新教材2023-2024學年高中數(shù)學第五章數(shù)列5.1數(shù)列基礎5.1.2數(shù)列中的遞推課件新人教B版選擇性必修第三冊

第五章5.1.2數(shù)列中的遞推課程標準1.逐步體會遞推公式是數(shù)列的一種表示方法;2.理解遞推公式的概念及含義,能夠根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的項;3.掌握由一些簡單的遞推公式求數(shù)列的通項公式的方法;4.理解數(shù)列的前n項和,會根據(jù)數(shù)列的前n項和Sn求通項an.基礎落實·必備知識全過關重難探究·能力素養(yǎng)全提升成果驗收·課堂達標檢測目錄索引

基礎落實·必備知識全過關知識點1數(shù)列的遞推關系如果已知數(shù)列的

,且數(shù)列的相鄰兩項或兩項以上的關系都可以用一個公式來表示,則稱這個公式為數(shù)列的

(也稱為遞推公式或遞歸公式).

首項(或前幾項)

遞推關系名師點睛通項公式與遞推公式的區(qū)別與聯(lián)系類別區(qū)別聯(lián)系通項公式an是序號n的函數(shù)式an=f(n)都是給出數(shù)列的方法,都可求出數(shù)列中任意一項遞推公式數(shù)列的相鄰兩項或兩項以上的關系式過關自診1.已知數(shù)列{an}的首項a1=1,且an=3an-1+1(n≥2),則a4為(

)A.13 B.15

C.30

D.402.[人教A版教材習題改編]已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an=an-1+2n-1(n≥2),試求該數(shù)列的前5項.D解析

a2=3a1+1=4,a3=3a2+1=13,a4=3a3+1=40.解a1=1,a2=a1+21=1+2=3,a3=a2+22=3+4=7,a4=a3+23=7+8=15,a5=a4+24=15+16=31.知識點2數(shù)列的前n項和一般地,給定數(shù)列{an},稱

為數(shù)列{an}的前n項和.

過關自診[人教A版教材習題改編]若數(shù)列{an}的前n項和為Sn=n2+n,則數(shù)列{an}的通項公式為an=

.

Sn=a1+a2+a3+…+an2n解析

a1=S1=2.因為an=Sn-Sn-1=n2+n-[(n-1)2+(n-1)]=2n(n≥2),并且當n=1時,a1=2×1=2依然成立,所以{an}的通項公式是an=2n.重難探究·能力素養(yǎng)全提升探究點一由遞推關系寫出數(shù)列的項【例1】

已知數(shù)列{an}中,a1=1,a2=2,an=an-1+an-2(n≥3).(1)寫出此數(shù)列的前5項;(2)通過公式

構造一個新的數(shù)列{bn},寫出數(shù)列{bn}的前4項.解(1)a1=1,a2=2,a3=a2+a1=3,a4=a3+a2=3+2=5,a5=a4+a3=5+3=8.規(guī)律方法

由遞推公式寫出數(shù)列的項的方法(1)根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的項,首先要弄清楚公式中各部分的關系,再依次代入計算.(2)若知道的是末項,通常將所給公式整理成用后面的項表示前面的項的形式,如an=2an+1+1.(3)若知道的是首項,通常將所給公式整理成用前面的項表示后面的項的形式,如

.變式訓練1[人教A版教材例題]已知數(shù)列{an}的首項為a1=1,遞推公式為,寫出這個數(shù)列的前5項.解由題意可知a1=1,探究點二由遞推公式求通項公式【例2】

(1)已知a1=1,an+1-an=2,求數(shù)列{an}的通項公式.解(方法一)∵an+1-an=2,∴a2-a1=2,a3-a2=2,a4-a3=2,……,an-an-1=2,將這些式子的兩邊分別相加得(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)+…+(an-an-1)=2(n-1),即an-a1=2(n-1).又a1=1,∴數(shù)列{an}的通項公式為an=2n-1.(方法二)∵an+1-an=2,∴an=an-1+1×2=an-2+2×2=…=a1+(n-1)×2=2n-1,即數(shù)列{an}的通項公式為an=2n-1.(2)已知a1=1,an+1=2an,求數(shù)列{an}的通項公式.又a1=1,∴數(shù)列{an}的通項公式為an=2n-1.(方法二)∵an+1=2an,∴an=2an-1=22an-2=23an-3=…=2n-1a1=2n-1,即數(shù)列{an}的通項公式為an=2n-1.規(guī)律方法

由遞推公式求通項公式的方法(1)歸納法一般是根據(jù)遞推公式先寫出前幾項,然后進行歸納猜想n與an間的內(nèi)在規(guī)律,但此方法不嚴密,需要將通項公式代入遞推公式檢驗.(2)累加法當an-an-1=f(n)滿足一定條件時,常用an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1來求通項公式an.(3)累乘法A探究點三

數(shù)列中an與Sn的關系

【例3】

(1)若數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足Sn=2n2-3n,求通項an.(2)若數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足Sn=5n-3,求通項an.解

當n=1時,a1=S1=2×12-3×1=-1.當n≥2時,an=Sn-Sn-1=(2n2-3n)-[2(n-1)2-3(n-1)]=4n-5.顯然a1=-1滿足上式,故數(shù)列{an}的通項an=4n-5.解

當n=1時,a1=S1=51-3=2.當n≥2時,an=Sn-Sn-1=(5n-3)-(5n-1-3)=4×5n-1.顯然a1=2不滿足上式,變式探究將例3(1)中條件“Sn=2n2-3n”改為“Sn=2n2-3n+1”,求通項an.規(guī)律方法

由Sn求an的方法

若a1適合an(n≥2)的表達式,則可用一個公式表示an;若a1不適合,則要用分段函數(shù)的形式表示an.故不可不求a1而直接求an.成果驗收·課堂達標檢測12345C12345A123453.設數(shù)列{an}的前n項和Sn=n3,則a4=(

)A.15 B.37

C.27

D.64B解析

a4=S4-S3=43-33=64-27=37.123454.已知數(shù)列{an}滿足a1=2,(n+1)an+1-(n+2)an=2,則a3=

.

6解析

當n=1時,2a2-3a1=2,即2a2-3×2=2,解得a2=4.當n=2時,3a3-4a2=2,即3a3-4×4=2,解得a3=6.123455.已知數(shù)列{an}滿足a1=0,an+1=an+(2n-1),寫出它的前5項,并歸納出數(shù)列的通項公式.解∵a1=0,an+1=an+(2n-1),∴a2=a1+(2×1-1)=0+1=1,a3=a2+(2×2-1)=1+3=4,a4=a