新教材2023-2024學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章空間向量與立體幾何1.2空間向量在立體幾何中的應(yīng)用1.2.2空間中的平面與空間向量分層作業(yè)課件新人教B版選擇性必修第一冊

第一章1.2.2空間中的平面與空間向量A級必備知識基礎(chǔ)練12345678910111213141516171819201.[探究點一]若a=(1,2,3)是平面γ的一個法向量,則下列向量中能作為平面γ的法向量的是(

)A.(0,1,2) B.(3,6,9)C.(-1,-2,3) D.(3,6,8)B解析

向量(1,2,3)與向量(3,6,9)共線.12345678910111213141516171819202.[探究點二(角度1)]設(shè)平面α的法向量為(1,-2,λ),平面β的法向量為(2,μ,4),若α∥β,則λ+μ=(

)A.2 B.4 C.-2 D.-4C解析

∵α∥β,12345678910111213141516171819203.[探究點二(角度1)]已知n為平面α的一個法向量,l為一條直線,則“l(fā)⊥n”是“l(fā)∥α”的(

)A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件B解析

當“l(fā)⊥n”時,由于l可能在平面α內(nèi),所以無法推出“l(fā)∥α”;當“l(fā)∥α”時,“l(fā)⊥n”.綜上所述,“l(fā)⊥n”是“l(fā)∥α”的必要不充分條件.故選B.12345678910111213141516171819204.[探究點二]如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是棱BB1,B1C1的中點,以下說法正確的是(

)A.A1E∥平面CC1D1DB.A1E⊥平面BCC1B1C.A1E∥D1FD.A1E⊥D1FA1234567891011121314151617181920解析

由長方體的性質(zhì)有平面ABB1A1∥平面CC1D1D,又A1E?平面ABB1A1,所以A1E∥平面CC1D1D,故選項A正確;因為E為棱BB1的中點,且A1B1⊥BB1,所以A1E與BB1不垂直,所以若A1E⊥平面BCC1B1,則A1E⊥BB1,這與A1E和BB1不垂直相矛盾,故選項B錯誤;以D為坐標原點,建立如圖所示的空間直角坐標系.1234567891011121314151617181920所以A1E與D1F不平行,且A1E與D1F不垂直,故選項C,D錯誤.故選A.12345678910111213141516171819205.[探究點二](多選題)下列利用方向向量、法向量判斷線、面位置關(guān)系的結(jié)論中,正確的是(

)A.若兩條不重合的直線l1,l2的方向向量分別是a=(2,-2,-1),b=(-2,-2,1),則l1∥l2B.若直線l的方向向量是a=(1,1,2),平面α的一個法向量是n=(-2,-2,-4),則l⊥αC.若直線l的方向向量是a=(0,2,0),平面α的一個法向量是n=(-2,0,2),則l∥αD.若兩個不同的平面α,β的法向量分別是m=(3,-4,2),n=(-2,0,3),則α⊥βBD1234567891011121314151617181920解析

對于A,因為向量a,b不平行,所以l1,l2不平行,故A不正確;對于B,因為n=-2a,所以a∥n,故B正確;對于C,因為a·n=0×(-2)+2×0+0×2=0,所以a⊥n,所以l∥α或l?α,故C不正確;對于D,因為m·n=-6+0+6=0,所以α⊥β,故D正確.故選BD.12345678910111213141516171819206.[探究點二(角度2)]已知直線l與平面α垂直,直線l的一個方向向量u=(1,-3,z),向量v=(3,-2,1)與平面α平行,則z=

.

-9解析

題知,u⊥v,∴u·v=3+6+z=0,∴z=-9.1234567891011121314151617181920AB∥平面CDE或AB?平面CDE12345678910111213141516171819208.[探究點二·2023廣東佛山高二階段練習]若平面α的一個法向量為m=(2,-6,s),平面β的一個法向量為n=(1,t,2),且α∥β,則s-t=

.

712345678910111213141516171819209.[探究點一]在如圖所示的坐標系中,ABCD-A1B1C1D1表示棱長為1的正方體,給出下列結(jié)論:①直線DD1的一個方向向量為(0,0,1);②直線BC1的一個方向向量為(0,1,1);③平面ABB1A1的一個法向量為(0,1,0);④平面B1CD的一個法向量為(1,1,1).其中正確的是

.(填序號)

①②③1234567891011121314151617181920123456789101112131415161718192010.[探究點一]在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別為棱A1D1,A1B1的中點,在如圖所示的空間直角坐標系中,求:(1)平面BDD1B1的一個法向量;(2)平面BDEF的一個法向量.1234567891011121314151617181920解

設(shè)正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2,則D(0,0,0),B(2,2,0),D1(0,0,2),E(1,0,2).(1)設(shè)平面BDD1B1的一個法向量為n=(x1,y1,z1).令x1=1,則y1=-1,z1=0,∴平面BDD1B1的一個法向量為n=(1,-1,0).1234567891011121314151617181920令x2=2,則y2=-2,z2=-1,∴平面BDEF的一個法向量為m=(2,-2,-1).123456789101112131415161718192011.[探究點二(角度1)]如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別是C1C,B1C1的中點.求證:MN∥平面A1BD.1234567891011121314151617181920又MN?平面A1BD,∴MN∥平面A1BD.(方法二)如圖,以D為原點,DA,DC,DD1所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標系,設(shè)正方體的棱長為1,則可求得1234567891011121314151617181920設(shè)平面A1BD的法向量是n=(x,y,z),取x=1,得y=-1,z=-1.∴n=(1,-1,-1).1234567891011121314151617181920又MN?平面A1BD,∴MN∥平面A1BD.123456789101112131415161718192012.[探究點二(角度2)]如圖,在四棱錐P

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ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中點.求證:(1)AE⊥CD;(2)PD⊥平面ABE.1234567891011121314151617181920證明

(1)∵AB,AD,AP兩兩垂直,∴建立如圖所示的空間直角坐標系.設(shè)PA=AB=BC=1,則P(0,0,1).∵∠ABC=60°,∴△ABC為正三角形.12345678910111213141516171819201234567891011121314151617181920∴PD⊥AB.又AB∩AE=A,AB?平面ABE,AE?平面ABE,∴PD⊥平面ABE.1234567891011121314151617181920B級關(guān)鍵能力提升練13.已知平面α內(nèi)兩向量a=(1,1,1),b=(0,2,-1),且c=ma+nb+(4,-4,1).若c為平面α的法向量,則m,n的值分別為(

)A.-1,2 B.1,-2 C.1,2

D.-1,-2A解析

c=ma+nb+(4,-4,1)=(m,m,m)+(0,2n,-n)+(4,-4,1)=(m+4,m+2n-4,m-n+1),由c為平面α的法向量,123456789101112131415161718192014.已知直線l的方向向量為a,且直線l不在平面α內(nèi),平面α內(nèi)兩共點向量

D解析

A,B,C中均能推出l∥α,或l?α,但不能確定一定能表示為l∥α.123456789101112131415161718192015.[2023河南商城高二階段練習]已知直線l的方向向量是a=(3,2,1),平面α的法向量是u=(-1,2,-1),則l與α的位置關(guān)系是(

)A.l⊥α

B.l∥αC.l與α相交但不垂直

D.l∥α或l?αD解析

∵a·u=-3+4-1=0,∴a⊥u,∴l(xiāng)∥α或l?α.故選D.123456789101112131415161718192016.[2023廣東佛山高二階段練習]已知兩個不重合的平面α與平面ABC,若平A.平面α∥平面ABCB.平面α⊥平面ABCC.平面α,平面ABC相交但不垂直D.以上均有可能A1234567891011121314151617181920∴n1也為平面ABC的一個法向量.又平面α與平面ABC不重合,∴平面α與平面ABC平行.故選A.1234567891011121314151617181920ABC1234567891011121314151617181920123456789101112131415161718192018.如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,BC=2,CC1=3,E,F分別是BC,CD的中點,以D為原點,分別以DA,DC,DD1所在直線為坐標軸建立空間直角坐標系,則平面D1EF的一個法向量是

.

(-6,3,2)1234567891011121314151617181920解析

∵在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,BC=2,CC1=3,E,F分別是BC,CD的中點,以D為原點,分別以DA,DC,DD1所在直線為坐標軸建立空間直角坐是(-6,3,2).123456789101112131415161718192019.在△ABC中,A(1,-2,-1),B(0,-3,1),C(2,-2,1).若向量n與平面ABC垂直,且|n|=,則n的坐標為

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(-2,4,1)或(2,-4,-1)解得y=4或y=-4.當y=4時,x=-2,z=1;當y=-4時,x=2,z=-1.∴n的坐標為(-2,4,1)或(2,-4,-1).123456789101112131415161718192020.

如圖所示,平面CDEF⊥平面ABCD,且四邊形ABCD為平行四邊形,∠DAB=45°,四邊形CDEF為直角梯形,EF∥DC,ED⊥CD,AB=3EF=3,ED