新教材2023-2024學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章空間向量與立體幾何本章總結(jié)提升課件新人教B版選擇性必修第一冊

第一章本章總結(jié)提升知識網(wǎng)絡(luò)·整合構(gòu)建專題突破·素養(yǎng)提升目錄索引

知識網(wǎng)絡(luò)·整合構(gòu)建專題突破·素養(yǎng)提升專題一空間向量的運算1.空間向量的運算主要包括空間向量的加減數(shù)乘運算以及坐標(biāo)運算,一般與共線向量定理、共面向量定理以及空間向量基本定理綜合考查.2.掌握基本的運算及共面、共線定理以及空間向量基本定理,重點提升數(shù)學(xué)運算和直觀想象素養(yǎng).規(guī)律方法

1.空間向量的概念及運算是由平面向量延伸而來的,要用類比的思想去掌握,在空間向量的加、減、數(shù)乘等線性運算中,要選擇適當(dāng)?shù)南蛄繛榛?用基向量表示出相關(guān)向量后再進行向量的運算,同時還要以相應(yīng)的圖形為指導(dǎo).2.在求一個向量由其他幾個向量來表示的時候,通常是利用向量的三角形法則、平行四邊形法則和共線向量的特點,把所求的向量逐步分解最終歸結(jié)為基底下的表示.變式訓(xùn)練1如圖,在四面體OABC中,G是△ABC的重心,D是OG的中點,則(

)B專題二空間向量與線面位置關(guān)系1.主要考查利用直線的方向向量與平面的法向量,判定、證明空間中的直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行與垂直.2.掌握直線的方向向量與平面的法向量,理解并記憶判定平行與垂直的公式,提升邏輯推理和直觀想象素養(yǎng).【例2】

已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,△ABC為等腰直角三角形,∠BAC=90°,且AB=AA1,D,E,F分別為B1A,C1C,BC的中點.(1)求證:DE∥平面ABC;(2)求證:B1F⊥平面AEF.證明

如圖,建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz.令A(yù)B=AA1=4,則A(0,0,0),E(0,4,2),F(2,2,0),A1(0,0,4),B1(4,0,4),D(2,0,2).∵AF∩FE=F,AF,FE?平面AEF,∴B1F⊥平面AEF.規(guī)律方法

證明線面平行和垂直問題,可以用幾何法,也可以用向量法.用向量法的關(guān)鍵在于構(gòu)造向量,再用共線向量定理或共面向量定理及向量垂直的判定定理.若能建立空間直角坐標(biāo)系,其證法將更為靈活方便,但要注意向量可平移這一特性,例如證明線面平行時需要強調(diào)直線上有一點不在平面內(nèi).變式訓(xùn)練2在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是BB1,CD的中點.(1)求證:平面AED⊥平面A1FD1;(2)在直線AE上求一點M,使得A1M⊥平面AED.(1)證明

以D為坐標(biāo)原點,分別以DA,DC,DD1所在直線為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz.設(shè)正方體的棱長為2,則D(0,0,0),A(2,0,0),E(2,2,1),F(0,1,0),A1(2,0,2),D1(0,0,2),同理,平面A1FD1的一個法向量為n2=(0,2,1),∴n1·n2=(0,1,-2)·(0,2,1)=0,∴n1⊥n2,∴平面AED⊥平面A1FD1.專題三空間向量與角1.主要考查利用直線的方向向量與平面的法向量,求直線與直線所成的角、直線與平面的夾角和平面與平面所成的角.2.掌握并理解利用直線的方向向量與平面的法向量求角的公式,提升邏輯推理和直觀想象素養(yǎng).【例3】

[人教A版教材習(xí)題]如圖,△ABC和△DBC所在平面垂直,且AB=BC=BD,∠CBA=∠DBC=120°.求:(1)直線AD與直線BC所成角的大小;(2)直線AD與平面BCD所成角的大小;(3)平面ABD和平面BDC的夾角的余弦值.解

在平面ABC內(nèi)過B點作z軸垂直于BC,在平面BCD內(nèi)過B點作x軸垂直于BC.∵平面ABC⊥平面DBC,∴∠xBz=90°.建立空間直角坐標(biāo)系Bxyz如圖所示,過A點向z軸作垂線可求得縱、豎坐標(biāo).設(shè)AB=a,∴直線AD與直線BC所成角的大小為90°.(2)設(shè)直線AD與平面BCD所成角為θ1,∵n=(0,0,1)是平面BCD的一個法向量,∴θ1=45°,即直線AD與平面BCD所成角的大小為45°.(3)設(shè)m=(x,y,z)是平面ABD的法向量.規(guī)律方法

1.線線角(1)用“平移法”作出異面直線所成角(或其補角),解三角形求角.(2)用“向量法”求兩直線的方向向量所成的角.2.線面角(1)按定義作出線面角(即找到斜線在平面內(nèi)的射影),解三角形.(2)求平面的法向量,利用直線的方向向量與平面的法向量所成的角和直線與平面所成角的關(guān)系求線面角.(3)利用等體積法求點到面的距離,由距離與斜線段長的比值等于線面角的正弦值求線面角.3.二面角(1)可以用定義法作出二面角的平面角解決.(2)向量法是計算二面角大小的常用方法,只要合理建系,將所求歸結(jié)為向量運算就可以較容易地解決問題.這三種空間角的求解方法很多,學(xué)習(xí)中應(yīng)以向量法為主,側(cè)重滲透向量坐標(biāo)法這一特色.變式訓(xùn)練3如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,B1C和C1D與底面所成的角分別為60°和45°,則異面直線B1C和C1D所成角的余弦值為

.

變式訓(xùn)練4正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長為a,側(cè)棱長為

a,求AC1與側(cè)面ABB1A1所成的角.解

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz,變式訓(xùn)練5如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,BC=CD=2,AC=4,∠ACB=∠ACD=,F為PC的中點,AF⊥PB.(1)求PA的長;(2)求二面角B-AF-D的正弦值.解

(1)如圖,連接BD交AC于O.因為BC=CD,所以△BCD為等腰三角形.專題四利用空間向量計算距離1.空間距離的計算思路

(2)設(shè)平面α的法向量為n,A是平面α內(nèi)的定點,P是平面α外一點,則點P到2.通過利用向量計算空間的角,可以培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和數(shù)學(xué)運算能力.【例4】

在三棱錐B-ACD中,平面ABD⊥平面ACD,若棱長AC=CD=AD=AB=1,且∠BAD=30°,求點D到平面ABC的距離.解

如圖所示,以AD的中點O為原點,以O(shè)D,OC所在直線為x軸、y軸,過O作OM⊥平面ACD交AB于M,以直線OM為z軸建立空間直角坐標(biāo)系,變式訓(xùn)練6[人教A版教材習(xí)題]如圖,在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中