【省會檢測】2023年江西省南昌市高考數(shù)學(xué)一模試卷(理科)

第1頁〔共29頁〕2023年江西省南昌市高考數(shù)學(xué)一模試卷〔理科〕一、選擇題：本大題共12個小題，每題5分，共60分.在每題給出的四個選項中，只有一項為哪一項符合題目要求的.1．集合，B={x|x=2n+1，n∈Z}，那么A∩B=〔〕A．〔﹣∞，4] B．{1，3} C．{1，3，5} D．[1，3]2．歐拉公式eix=cosx+isinx〔i為虛數(shù)單位〕是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)的，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，它在復(fù)變函數(shù)論里非常重要，被譽為“數(shù)學(xué)中的天橋〞，根據(jù)歐拉公式可知，表示的復(fù)數(shù)位于復(fù)平面中的〔〕A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．角α的終邊經(jīng)過點P〔sin47°，cos47°〕，那么sin〔α﹣13°〕=〔〕A． B． C． D．4．奇函數(shù)f'〔x〕是函數(shù)f〔x〕〔x∈R〕是導(dǎo)函數(shù)，假設(shè)x＞0時f'〔x〕＞0，那么〔〕A．f〔0〕＞f〔log32〕＞f〔﹣log23〕 B．f〔log32〕＞f〔0〕＞f〔﹣log23〕C．f〔﹣log23〕＞f〔log32〕＞f〔0〕 D．f〔﹣log23〕＞f〔0〕＞f〔log32〕5．設(shè)不等式組表示的平面區(qū)域為M，假設(shè)直線y=kx經(jīng)過區(qū)域M內(nèi)的點，那么實數(shù)k的取值范圍為〔〕A． B． C． D．6．平面內(nèi)直角三角形兩直角邊長分別為a，b，那么斜邊長為，直角頂點到斜邊的距離為，空間中三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，三個側(cè)面的面積分別為S1，S2，S3，類比推理可得底面積為，那么三棱錐頂點到底面的距離為〔〕A．B．C．D．7．圓臺和正三棱錐的組合體的正視圖和俯視圖如下圖，圖中網(wǎng)格是單位正方形，那么組合體的側(cè)視圖的面積為〔〕A．6+ B． C． D．88．執(zhí)行如圖程序框圖，那么輸出的n等于〔〕A．1 B．2 C．3 D．49．函數(shù)f〔x〕=〔﹣π≤x≤π〕的圖象大致為〔〕A． B． C． D．10．具有線性相關(guān)的五個樣本點A1〔0，0〕，A2〔2，2〕，A3〔3，2〕，A4〔4，2〕，A5〔6，4〕，用最小二乘法得到回歸直線方程l1：y=bx+a，過點A1，A2的直線方程l2：y=mx+n，那么以下4個命題中，①m＞b，a＞n；②直線l1過點A3；③④．〔參考公式，〕正確命題的個數(shù)有〔〕A．1個 B．2個 C．3個 D．4個11．設(shè)函數(shù)，假設(shè)f〔x〕的最大值不超過1，那么實數(shù)a的取值范圍為〔〕A． B． C． D．12．橢圓，O為坐標原點，A，B是橢圓上兩點，OA，OB的斜率存在并分別記為kOA、kOB，且，那么的最小值為〔〕A． B． C． D．二、填空題〔每題5分，總分值20分，將答案填在答題紙上〕13．展開式中的常數(shù)項為．14．平面向量，，假設(shè)有，那么實數(shù)m=．15．在圓x2+y2=4上任取一點，那么該點到直線x+y﹣2=0的距離d∈[0，1]的概率為．16．臺風(fēng)中心位于城市A東偏北α〔α為銳角〕度的150公里處，以v公里/小時沿正西方向快速移動，2.5小時后到達距城市A西偏北β〔β為銳角〕度的200公里處，假設(shè)，那么v=．三、解答題〔本大題共7小題，共70分.解容許寫出文字說明、證明過程或演算步驟.〕17．〔12.00分〕等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，滿足S4=2a4﹣1，S3=2a3﹣1．〔1〕求{an}的通項公式；〔2〕記bn=log2〔an?an+1〕，數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，求證：．18．〔12.00分〕某校為了推動數(shù)學(xué)教學(xué)方法的改革，學(xué)校將高一年級局部生源情況根本相同的學(xué)生分成甲、乙兩個班，每班各40人，甲班按原有模式教學(xué)，乙班實施教學(xué)方法改革．經(jīng)過一年的教學(xué)實驗，將甲、乙兩個班學(xué)生一年來的數(shù)學(xué)成績?nèi)∑骄鶖?shù)，兩個班學(xué)生的平均成績均在[50，100]，按照區(qū)間[50，60〕，[60，70〕，[70，80〕，[80，90〕，[90，100]進行分組，繪制成如下頻率分布直方圖，規(guī)定不低于80分〔百分制〕為優(yōu)秀．〔1〕完成表格，并判斷是否有90%以上的把握認為“數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀與教學(xué)改革有關(guān)〞；甲班乙班總計大于等于80分的人數(shù)小于80分的人數(shù)總計〔2〕從乙班[70，80〕，[80，90〕，[90，100]分數(shù)段中，按分層抽樣隨機抽取7名學(xué)生座談，從中選三位同學(xué)發(fā)言，記來自[80，90〕發(fā)言的人數(shù)為隨機變量X，求X的分布列和期望．附：K2=，P〔K2≥k0〕0.100.050.025k02.7063.8415.02419．〔12.00分〕如圖，四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，ABCD為直角梯形，AD∥BC，AD⊥AB，AB=BC=AP=AD=3，AC∩BD=O，過O點作平面α平行于平面PAB，平面α與棱BC，AD，PD，PC分別相交于點E，F(xiàn)，G，H．〔1〕求GH的長度；〔2〕求二面角B﹣FH﹣E的余弦值．20．〔12.00分〕拋物線C：y2=2px〔p＞0〕的焦點為F，準線為l，過焦點F的直線交C于A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕兩點，y1y2=﹣4．〔1〕求拋物線方程；〔2〕點B在準線l上的投影為E，D是C上一點，且AD⊥EF，求△ABD面積的最小值及此時直線AD的方程．21．〔12.00分〕函數(shù)f〔x〕=ln〔ax〕+bx在點〔1，f〔1〕〕處的切線是y=0．〔1〕求函數(shù)f〔x〕的極值；〔2〕當恒成立時，求實數(shù)m的取值范圍〔e為自然對數(shù)的底數(shù)〕．22．〔10.00分〕在平面直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為〔θ為參數(shù)〕，以坐標原點為極點，x軸非負半軸為極軸建立極坐標系．〔1〕求C的極坐標方程；〔2〕假設(shè)直線l1，l2的極坐標方程分別為，，設(shè)直線l1，l2與曲線C的交點為O，M，N，求△OMN的面積．23．f〔x〕=|2x+3a2|．〔1〕當a=0時，求不等式f〔x〕+|x﹣2|≥3的解集；〔2〕對于任意實數(shù)x，不等式|2x+1|﹣f〔x〕＜2a成立，求實數(shù)a的取值范圍．

2023年江西省南昌市高考數(shù)學(xué)一模試卷〔理科〕參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共12個小題，每題5分，共60分.在每題給出的四個選項中，只有一項為哪一項符合題目要求的.1．集合，B={x|x=2n+1，n∈Z}，那么A∩B=〔〕A．〔﹣∞，4] B．{1，3} C．{1，3，5} D．[1，3]【分析】先解出集合A={0，1，2，3，4}，然后可判斷1，3∈B，進行交集的運算即可求出A∩B．【解答】解：A={0，1，2，3，4}；對于集合B：n=0時，x=1；n=1時，x=3；即1，3∈B；∴A∩B={1，3}．應(yīng)選：B．【點評】考查描述法、列舉法表示集合的概念，以及交集的運算．2．歐拉公式eix=cosx+isinx〔i為虛數(shù)單位〕是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)的，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，它在復(fù)變函數(shù)論里非常重要，被譽為“數(shù)學(xué)中的天橋〞，根據(jù)歐拉公式可知，表示的復(fù)數(shù)位于復(fù)平面中的〔〕A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】直接由歐拉公式eix=cosx+isinx，可得=cos=，那么答案可求．【解答】解：由歐拉公式eix=cosx+isinx，可得=cos=，∴表示的復(fù)數(shù)位于復(fù)平面中的第一象限．應(yīng)選：A．【點評】此題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是根底題．3．角α的終邊經(jīng)過點P〔sin47°，cos47°〕，那么sin〔α﹣13°〕=〔〕A． B． C． D．【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義求出sinα和cosα，結(jié)合兩角和差的正弦公式和余弦公式進行化簡即可．【解答】解：∵r=|OP|==1，∴sinα==cos47°，cosα==sin47°，那么sin〔α﹣13°〕=sinαcos13°﹣cosαsin13°=cos47°cos13°﹣sin47°sin13°=cos〔47°+13°〕=cos60°=，應(yīng)選：A．【點評】此題主要考查三角函數(shù)的化簡和求解，利用三角函數(shù)的定義結(jié)合兩角和差的正弦公式是解決此題的關(guān)鍵．4．奇函數(shù)f'〔x〕是函數(shù)f〔x〕〔x∈R〕是導(dǎo)函數(shù)，假設(shè)x＞0時f'〔x〕＞0，那么〔〕A．f〔0〕＞f〔log32〕＞f〔﹣log23〕 B．f〔log32〕＞f〔0〕＞f〔﹣log23〕C．f〔﹣log23〕＞f〔log32〕＞f〔0〕 D．f〔﹣log23〕＞f〔0〕＞f〔log32〕【分析】判斷f〔x〕的單調(diào)性和奇偶性，再判斷大小關(guān)系．【解答】解：∵f′〔x〕是奇函數(shù)，且x＞0時f'〔x〕＞0，∴當x＜0時，f′〔x〕＜0，∴f〔x〕在〔﹣∞，0〕上單調(diào)遞減，在〔0，+∞〕上單調(diào)遞增，∵﹣f′〔﹣x〕=f′〔x〕，∴f〔﹣x〕=f〔x〕，∴f〔x〕是偶函數(shù)．∵log23＞log32＞0，∴f〔﹣log23〕=f〔log23〕＞f〔log32〕＞f〔0〕．應(yīng)選：C．【點評】此題考查了函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的判斷與應(yīng)用，屬于中檔題．5．設(shè)不等式組表示的平面區(qū)域為M，假設(shè)直線y=kx經(jīng)過區(qū)域M內(nèi)的點，那么實數(shù)k的取值范圍為〔〕A． B． C． D．【分析】畫出不等式組對應(yīng)的可行域，由于函數(shù)y=kx的圖象是過點O〔0，0〕，斜率為k的直線l，故由圖即可得出其范圍．【解答】解：由不等式組，作出可行域如圖，如圖．因為函數(shù)y=kx的圖象是過點O〔0，0〕，且斜率為k的直線l，由圖知，當直線l過點A〔1，2〕時，k取最大值：2，當直線l過點B〔2，1〕時，k取最小值：，故實數(shù)k的取值范圍是[，2]．應(yīng)選：C．【點評】此題考查簡單線性規(guī)劃，利用線性規(guī)劃的知識用圖象法求出斜率的最大值與最小值．這是一道靈巧的線性規(guī)劃問題，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想，屬中檔題．6．平面內(nèi)直角三角形兩直角邊長分別為a，b，那么斜邊長為，直角頂點到斜邊的距離為，空間中三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，三個側(cè)面的面積分別為S1，S2，S3，類比推理可得底面積為，那么三棱錐頂點到底面的距離為〔〕A．B．C．D．【分析】三棱錐P﹣ABC，PA，PB，PC兩兩垂直，P在底面的射影為H，設(shè)PA=a，PB=b，PC=c，運用三棱錐的體積公式和等積法，計算可得所求距離．【解答】解：如圖三棱錐P﹣ABC，PA，PB，PC兩兩垂直，P在底面的射影為H，設(shè)PA=a，PB=b，PC=c，可得S1=ab，S2=bc，S3=ca，可得abc=2，由題意可得底面積為，由等積法可得×abc=PH?，可得PH==，應(yīng)選：C．【點評】此題考查類比推理的應(yīng)用，注意平面與空間的區(qū)別和聯(lián)系，考查等積法的運用，屬于中檔題．7．圓臺和正三棱錐的組合體的正視圖和俯視圖如下圖，圖中網(wǎng)格是單位正方形，那么組合體的側(cè)視圖的面積為〔〕A．6+ B． C． D．8【分析】幾何體為圓臺和三棱錐的組合體，根據(jù)三視圖的對應(yīng)關(guān)系計算側(cè)視圖面積．【解答】解：由正視圖和俯視圖可知幾何體為下部為圓臺，上部為三棱錐，其中圓臺的上下底面半徑分別為1，2，高為2，三棱錐的高為2，底面為等腰三角形，由俯視圖可知底面等腰三角形底邊的高為，故側(cè)視圖下局部為上下底分別為2，4，高為2的梯形，上局部為底邊為，高為2的三角形，∴側(cè)視圖的面積為×〔2+4〕×2+=．應(yīng)選：B．【點評】此題考查了簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征與三視圖，屬于中檔題．8．執(zhí)行如圖程序框圖，那么輸出的n等于〔〕A．1 B．2 C．3 D．4【分析】由中的程序語句可知：該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計算并輸出變量n的值，模擬程序的運行過程，分析循環(huán)中各變量值的變化情況，可得答案．【解答】解：模擬程序的運行，可得n=0，x=，a=﹣sin，不滿足條件a=，執(zhí)行循環(huán)體，n=1，x=π，a=sinπ=0，不滿足條件a=，執(zhí)行循環(huán)體，n=2，x=，a=sin=，不滿足條件a=，執(zhí)行循環(huán)體，n=3，x=，a=sin=，滿足條件a=，退出循環(huán)，輸出n的值為3．應(yīng)選：C．【點評】此題考查了程序框圖的應(yīng)用問題，解題時應(yīng)模擬程序框圖的運行過程，以便得出正確的結(jié)論，是根底題．9．函數(shù)f〔x〕=〔﹣π≤x≤π〕的圖象大致為〔〕A． B． C． D．【分析】利用函數(shù)的奇偶性排除選項B，通過特殊點的位置排除選項D，利用特殊值的大小，判斷選項即可．【解答】解：函數(shù)是奇函數(shù)，排除選項B；x=時，y=＞0，排除選項D，x=時，y=，∵＞，所以排除選項C．應(yīng)選：A．【點評】此題考查函數(shù)的圖象的判斷，函數(shù)的奇偶性以及特殊點的位置，是判斷函數(shù)的圖象的常用方法．10．具有線性相關(guān)的五個樣本點A1〔0，0〕，A2〔2，2〕，A3〔3，2〕，A4〔4，2〕，A5〔6，4〕，用最小二乘法得到回歸直線方程l1：y=bx+a，過點A1，A2的直線方程l2：y=mx+n，那么以下4個命題中，①m＞b，a＞n；②直線l1過點A3；③④．〔參考公式，〕正確命題的個數(shù)有〔〕A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】首先求得a，b，m，n的值，然后結(jié)合所給的數(shù)據(jù)驗證所給的算式是否成立即可．【解答】解：由題意可得：，那么：，線性回歸方程l1為：，直線l2的方程為：y=x，故：b=0.6，a=0.2，m=1，n=0，說法①正確；3×0.6+0.2=2，那么直線l1過A3，說法②正確；，，說法③錯誤；，，說法④錯誤；綜上可得：正確命題的個數(shù)有2個．應(yīng)選：B．【點評】此題考查線性回歸方程及其應(yīng)用，重點考查學(xué)生對根底概念的理解和計算能力，屬于中等題．11．設(shè)函數(shù)，假設(shè)f〔x〕的最大值不超過1，那么實數(shù)a的取值范圍為〔〕A． B． C． D．【分析】討論x＜a+1時，x≥a+1時，由指數(shù)函數(shù)、絕對值函數(shù)的單調(diào)性，可得最大值，解不等式即可得到所求范圍．【解答】解：當x＜a+1時，f〔x〕=〔〕|x﹣a|在〔﹣∞，a〕遞增，[a，a+1〕遞減，可得x=a處取得最大值，且為1；當x≥a+1時，f〔x〕=﹣a﹣|x+1|，當a+1≥﹣1，即a≥﹣2時，f〔x〕遞減，可得﹣a﹣|a+2|≤1，解得a≥﹣；當a+1＜﹣1，即a＜﹣2時，f〔x〕在x=﹣1處取得最大值，且為﹣a≤1，那么a∈?．綜上可得a的范圍是[﹣，+∞〕．應(yīng)選：A．【點評】此題考查分段函數(shù)的最值的求法，注意運用分類討論思想方法，以及指數(shù)函數(shù)和絕對值函數(shù)的單調(diào)性，考查運算能力，屬于中檔題．12．橢圓，O為坐標原點，A，B是橢圓上兩點，OA，OB的斜率存在并分別記為kOA、kOB，且，那么的最小值為〔〕A． B． C． D．【分析】設(shè)橢圓的參數(shù)方程，根據(jù)直線的斜率公式，求得α=+β，利用兩點之間的距離公式，求得|OA|2+|OB|2=36，根據(jù)根本不等式求得即可求得的最小值．【解答】解：設(shè)A〔2cosα，2sinα〕，B〔2cosβ，2sinβ〕，α∈[0，2π〕，β∈[0，2π〕，由kOA?kOB==﹣，整理得：cosαsinβ+sinαsinβ=0，即cos〔α﹣β〕=0，那么α﹣β=，α=+β，那么A〔2cos〔+β〕，2sin〔+β〕〕，即A〔﹣2sinβ，2cosβ〕，∴|OA|2=24sin2β+12cos2β=12〔1+sin2β〕，|OB|2=12〔1+cos2β〕，那么|OA|2+|OB|2=36，|OA|?|OB|≤=18，當且僅當|OA|=|OB|，即sinβ=±，β=或β=，≥≥=，當且僅當|OA|=|OB|，即sinβ=±，β=或β=，綜上可知：的最小值，應(yīng)選：C．【點評】此題考查橢圓的參數(shù)方程，直線的斜率公式，根本不等式的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于難題．二、填空題〔每題5分，總分值20分，將答案填在答題紙上〕13．展開式中的常數(shù)項為4．【分析】分別求出〔x+2〕3的展開式中含x的項及常數(shù)項，再由多項式乘多項式求解．【解答】解：〔x+2〕3的通項公式為=．取3﹣r=1，得r=2．∴〔x+2〕3的展開式中含x的項為12x，取3﹣r=0，得r=3．∴〔x+2〕3的展開式中常數(shù)項為8，∴展開式中的常數(shù)項為12﹣8=4．故答案為：4．【點評】此題考查二項式系數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是熟記二項展開式的通項，是根底題．14．平面向量，，假設(shè)有，那么實數(shù)m=±2．【分析】根據(jù)平面向量的模長公式與數(shù)乘向量，列方程求出m的值．【解答】解：向量，，假設(shè)，那么〔2﹣〕?〔5，2m〕=，∴2﹣=0，化簡得m2=4，解得m=±2．故答案為：±2．【點評】此題考查了平面向量的模長公式與數(shù)乘向量應(yīng)用問題，是根底題．15．在圓x2+y2=4上任取一點，那么該點到直線x+y﹣2=0的距離d∈[0，1]的概率為．【分析】由題意畫出圖形，由弧長公式求出在圓x2+y2=4上任取一點，該點到直線x+y﹣2=0的距離d∈[0，1]的弧的長度，再由測度比為長度比得答案．【解答】解：如圖，直線x+y﹣2=0與圓x2+y2=4相切于D，且OD=2，作與直線x+y﹣2=0平行的直線交圓于AB，由O到直線AB的距離OC=1，半徑OA=2，可得，∴劣弧的長度為，而圓的周長為4π，∴在圓x2+y2=4上任取一點，那么該點到直線x+y﹣2=0的距離d∈[0，1]的概率為．故答案為：．【點評】此題考查幾何概型，考查直線與圓位置關(guān)系的應(yīng)用，表達了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．16．臺風(fēng)中心位于城市A東偏北α〔α為銳角〕度的150公里處，以v公里/小時沿正西方向快速移動，2.5小時后到達距城市A西偏北β〔β為銳角〕度的200公里處，假設(shè)，那么v=100．【分析】如下圖：AB=150，AC=200，B=α，C=β，根據(jù)解三角形可得3sinα=4sinβ，①，又cosα=cosβ，②，求出cosβ=，cosα=，求出BC的距離，即可求出速度【解答】解：如下圖：AB=150，AC=200，B=α，C=β，在Rt△ADB中，AD=ABsinα=150sinα，BD=ABcosα在Rt△ADC中，AD=ACsinα=200sinβ，CD=ACcosβ∴150sinα=200sinβ，即3sinα=4sinβ，①，又cosα=cosβ，②，由①②解得sinβ=，cosβ=，sinα=，cosα=∴BD=ABcosα=150×=90，CD=ACcosβ=200×=160，∴BC=BD+CD=90+160=250，∴v==100，故答案為：100．【點評】此題考查了解三角形的問題，以及三角函數(shù)的關(guān)系，屬于根底題三、解答題〔本大題共7小題，共70分.解容許寫出文字說明、證明過程或演算步驟.〕17．〔12.00分〕等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，滿足S4=2a4﹣1，S3=2a3﹣1．〔1〕求{an}的通項公式；〔2〕記bn=log2〔an?an+1〕，數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，求證：．【分析】〔1〕設(shè){an}的公比為q，由S4﹣S3=a4得，2a4﹣2a3=a4，從而q=2．由S3=2a3﹣1，求出a1=1．由此{an}的通項公式．〔2〕由，得，由．【解答】解：〔1〕設(shè){an}的公比為q，由S4﹣S3=a4得，2a4﹣2a3=a4，所以，所以q=2．又因為S3=2a3﹣1，所以a1+2a1+4a1=8a1﹣1，所以a1=1．所以．證明：〔2〕由〔1〕知，所以，所以=．【點評】此題主要考查數(shù)列通項公式和前n項和的求解，利用裂項求和法是解決此題的關(guān)鍵．18．〔12.00分〕某校為了推動數(shù)學(xué)教學(xué)方法的改革，學(xué)校將高一年級局部生源情況根本相同的學(xué)生分成甲、乙兩個班，每班各40人，甲班按原有模式教學(xué)，乙班實施教學(xué)方法改革．經(jīng)過一年的教學(xué)實驗，將甲、乙兩個班學(xué)生一年來的數(shù)學(xué)成績?nèi)∑骄鶖?shù)，兩個班學(xué)生的平均成績均在[50，100]，按照區(qū)間[50，60〕，[60，70〕，[70，80〕，[80，90〕，[90，100]進行分組，繪制成如下頻率分布直方圖，規(guī)定不低于80分〔百分制〕為優(yōu)秀．〔1〕完成表格，并判斷是否有90%以上的把握認為“數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀與教學(xué)改革有關(guān)〞；甲班乙班總計大于等于80分的人數(shù)小于80分的人數(shù)總計〔2〕從乙班[70，80〕，[80，90〕，[90，100]分數(shù)段中，按分層抽樣隨機抽取7名學(xué)生座談，從中選三位同學(xué)發(fā)言，記來自[80，90〕發(fā)言的人數(shù)為隨機變量X，求X的分布列和期望．附：K2=，P〔K2≥k0〕0.100.050.025k02.7063.8415.024【分析】〔1〕依題意求出K2≈3.333＞2.706，從而有90%以上的把握認為“數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀與教學(xué)改革有關(guān)〞．〔2〕從乙班[70，80〕，[80，90〕，[90，100]分數(shù)段中抽人數(shù)分別為2，3，2，依題意隨機變量X的所有可能取值為0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和數(shù)學(xué)期望．【解答】解：〔1〕依題意得，有90%以上的把握認為“數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀與教學(xué)改革有關(guān)〞．〔2〕從乙班[70，80〕，[80，90〕，[90，100]分數(shù)段中抽人數(shù)分別為2，3，2，依題意隨機變量X的所有可能取值為0，1，2，3，，，∴X的分布列為：X0123P∴．【點評】此題考查獨立性檢驗的應(yīng)用，考查離散型隨機變量的分布列、數(shù)學(xué)期望等根底知識，考查運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是中檔題．19．〔12.00分〕如圖，四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，ABCD為直角梯形，AD∥BC，AD⊥AB，AB=BC=AP=AD=3，AC∩BD=O，過O點作平面α平行于平面PAB，平面α與棱BC，AD，PD，PC分別相交于點E，F(xiàn)，G，H．〔1〕求GH的長度；〔2〕求二面角B﹣FH﹣E的余弦值．【分析】〔1〕法一：推導(dǎo)出EF∥AB，EH∥BP，F(xiàn)G∥AP，從而△BOC∽△DOA，且，連接HO，那么有HO∥PA，過點H作HN∥EF交FG于N，由此能求出GH．法二：由面面平行的性質(zhì)定理，得EF∥AB，EH∥BP，F(xiàn)G∥AP，作HN∥BC，HN∩PB=N，GM∥AD，HN∥GM，HN=GM，故四邊形GMNH為矩形，即GH=MN，由此能求出GH．〔2〕以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立如下圖空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角B﹣FH﹣E的余弦值．【解答】解：〔1〕解法一：因為α∥平面PAB，平面α∩平面ABCD=EF，O∈EF，平面PAB∩平面ABCD=AB，所以EF∥AB，同理EH∥BP，F(xiàn)G∥AP，因為BC∥AD，AD=6，BC=3，所以△BOC∽△DOA，且，所以，，同理，連接HO，那么有HO∥PA，所以HO⊥EO，HO=1，所以，同理，，過點H作HN∥EF交FG于N，那么解法二：因為α∥平面PAB，平面α∩平面ABCD=EF，O∈EF，平面PAB∩平面ABCD=AB，根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理，所以EF∥AB，同理EH∥BP，F(xiàn)G∥AP，因為BC∥AD，AD=2BC，所以△BOC∽△DOA，且，又因為△COE∽△AOF，AF=BE，所以BE=2EC，同理2AF=FD，2PG=GD，如圖：作HN∥BC，HN∩PB=N，GM∥AD，GM∩PA=M，所以HN∥GM，HN=GM，故四邊形GMNH為矩形，即GH=MN，在△PMN中，所以，所以．解：〔2〕以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立如下圖空間直角坐標系，B〔3，0，0〕，F(xiàn)〔0，2，0〕，E〔3，2，0〕，H〔2，2，1〕，，設(shè)平面BFH的法向量為，，令z=﹣2，得，因為平面EFGH∥平面PAB，所以平面EFGH的法向量，，故二面角B﹣FH﹣E的余弦值為．【點評】此題考查線段長的求法，考查二面角的余弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等根底知識，考查運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是中檔題．20．〔12.00分〕拋物線C：y2=2px〔p＞0〕的焦點為F，準線為l，過焦點F的直線交C于A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕兩點，y1y2=﹣4．〔1〕求拋物線方程；〔2〕點B在準線l上的投影為E，D是C上一點，且AD⊥EF，求△ABD面積的最小值及此時直線AD的方程．【分析】〔1〕根據(jù)題意，分直線的斜率是否存在兩種情況討論，求出p的值，綜合即可得答案；〔2〕根據(jù)題意，設(shè)D〔x0，y0〕，，分析可得E、A的坐標，進而可得直線AD的方程，結(jié)合三角形面積公式可以用t表示△ABD面積，利用根本不等式的性質(zhì)分析可得答案．【解答】解：〔Ⅰ〕依題意，當直線AB的斜率不存在時，|AB|=﹣p2=﹣4，p=2當直線AB的斜率存在時，設(shè)由，化簡得由y1y2=﹣4得p2=4，p=2，所以拋物線方程y2=4x．〔Ⅱ〕設(shè)D〔x0，y0〕，，那么E〔﹣1，t〕，又由y1y2=﹣4，可得因為，AD⊥EF，所以，故直線由，化簡得，所以．所以設(shè)點B到直線AD的距離為d，那么所以，當且僅當t4=16，即t=±2，當t=2時，AD：x﹣y﹣3=0，當t=﹣2時，AD：x+y﹣3=0．【點評】此題考查拋物線的幾何性質(zhì)，涉及直線與拋物線的位置關(guān)系，〔1〕中注意直線的斜率是否存在．21．〔12.00分〕函數(shù)f〔x〕=ln〔ax〕+bx在點〔1，f〔1〕〕處的切線是y=0．〔1〕求函數(shù)f〔x〕的極值；〔2〕當恒成立時，求實數(shù)m的取值范圍〔e為自然對數(shù)的底數(shù)〕．【分析】〔Ⅰ〕求出，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得f〔x〕=lnx﹣x+1〔x∈〔0，+∞〕〕，由此能示出f〔x〕的極值．〔Ⅱ〕當〔m＜0〕在x∈〔0，+∞〕恒成立時，〔m＜0〕在x∈〔0，+∞〕恒成立，法一：設(shè)，那么，，g〔x〕在〔0，1〕上單調(diào)遞減，在〔1，+∞〕上單調(diào)遞增，；．g〔x〕，h〔x〕均在x=1處取得最值，要使g〔x〕≥h〔x〕恒成立，只需g〔x〕min≥h〔x〕max，由此能求出實數(shù)m的取值范圍．法二：設(shè)〔x∈〔0，+∞〕〕，那么，，由此能求出實數(shù)m的取值范圍．【解答】解：〔Ⅰ〕因為f〔x〕=ln〔ax〕+bx，所以，因為點〔1，f〔1〕〕處的切線是y=0，所以f'〔1〕=1+b=0，且f〔1〕=lna+b=0所以a=e，b=﹣1，即f〔x〕=lnx﹣x+1〔x∈〔0，+∞〕〕所以，所以在〔0，1〕上遞增，在〔1，+∞〕上遞減所以f〔x〕的極大值為f〔1〕=lne﹣1=0，無極小值．〔Ⅱ〕當〔m＜0〕在x∈〔0，+∞〕恒成立時，由〔Ⅰ〕f〔x〕=lnx﹣x+1，即〔m＜0〕在x∈〔0，+∞〕恒成立，解法一：設(shè)，那么，，又因為m＜0，所以當0＜x＜1時，g'〔x〕＜0，h'〔x〕＞0；當x＞1時，g'〔x〕＞0，h'〔x〕＜0．所以g〔x〕在〔0，1〕上單調(diào)遞減，在〔1，+∞〕上單調(diào)遞增，；h〔x〕在〔0，1〕上單調(diào)遞增，在〔1，+∞〕上單