高等數(shù)學(xué)-第2章課件

第二章導(dǎo)數(shù)與微分第一節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念第二節(jié)導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)法則和基本公式第三節(jié)隱函數(shù)及參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)第四節(jié)高階導(dǎo)數(shù)第五節(jié)函數(shù)的微分及其應(yīng)用第一節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念一、引例1.變速直線運(yùn)動(dòng)的速度設(shè)描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)位置的函數(shù)為則到的平均速度為而在時(shí)刻的瞬時(shí)速度為2.曲線的切線斜率曲線在M

點(diǎn)處的切線即為割線MN

的極限位置MT(當(dāng)時(shí)).割線MN

的斜率切線MT的斜率設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義,若存在,則稱函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo),并稱此極限為在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù).記作:

定義2.1.1

即若上述極限不存在,則稱在處不可導(dǎo).如果函數(shù)

在區(qū)間(a,b)的內(nèi)每一點(diǎn)都可導(dǎo)，則稱函數(shù)

在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，這樣就產(chǎn)生了一個(gè)新的函數(shù)，此函數(shù)稱為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，記作即求函數(shù)的增量求平均變化率取極限三、求導(dǎo)數(shù)舉例用導(dǎo)數(shù)定義求導(dǎo)數(shù)的步驟如下：四、左、右導(dǎo)數(shù)函數(shù)f(x)

在點(diǎn)x0

處可導(dǎo)的充分必要條件是左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)存在且相等.即左導(dǎo)數(shù)右導(dǎo)數(shù)單側(cè)倒數(shù)若函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且及都存在，則稱f(x)在閉區(qū)間[a,b]上可導(dǎo).五、導(dǎo)數(shù)的幾何意義切線方程:法線方程:曲線在點(diǎn)的切線斜率為因此,六、函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系所以函數(shù)在該點(diǎn)處連續(xù).定理2.1.1若函數(shù)

在點(diǎn)處可導(dǎo)，則函數(shù)在點(diǎn)處必連續(xù).證設(shè)函數(shù)

在點(diǎn)處可導(dǎo)，即存在，則注意:

函數(shù)在點(diǎn)x處連續(xù)未必可導(dǎo).

定理2.2.1設(shè)函數(shù)都在點(diǎn)x處可導(dǎo)，則函數(shù)的和、差、積、商（除分母為零的點(diǎn)外）都在點(diǎn)x處可導(dǎo).且第二節(jié)函數(shù)的求導(dǎo)法則和基本公式一、函數(shù)求導(dǎo)的四則運(yùn)算法則推論1推論2(C為常數(shù))二、反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定理2.2.2證:在

x

處給增量,由反函數(shù)的單調(diào)性知且由反函數(shù)的連續(xù)性知時(shí)必有，因此常數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)三、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則定理2.2.3如果函數(shù)在點(diǎn)x處可導(dǎo),而函數(shù)在對(duì)應(yīng)的點(diǎn)u

處可導(dǎo),則復(fù)合函數(shù)

也在點(diǎn)x處可導(dǎo),且有證:在點(diǎn)

u可導(dǎo),故（當(dāng)時(shí))故有定義2.3.1

一般地，如果變量x和y滿足一個(gè)方程，在一定條件下，當(dāng)x取某區(qū)間內(nèi)的任一值時(shí)，相應(yīng)地，總有滿足這一方程的y值存在，那么就說(shuō)方程在該區(qū)間內(nèi)確定了一個(gè)隱函數(shù).第三節(jié)隱函數(shù)及參數(shù)方程所確定

的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)顯函數(shù)隱函數(shù)的顯化隱函數(shù)求導(dǎo)法則用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則直接對(duì)方程兩邊求導(dǎo).對(duì)數(shù)求導(dǎo)法先將函數(shù)兩邊取對(duì)數(shù)，再利用隱函數(shù)的求導(dǎo)法則求導(dǎo).適用于由冪指函數(shù)、連乘連除或乘方、開方所構(gòu)成的比較復(fù)雜的函數(shù).二、由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)若參數(shù)萬(wàn)程

確定y與x之間的函數(shù)關(guān)系，則稱此函數(shù)為由參數(shù)方程所確定的函數(shù).定義2.3.2再設(shè)函數(shù)都可導(dǎo),且.由復(fù)合函數(shù)及反函數(shù)的求導(dǎo)法則與反函數(shù)的求導(dǎo)公式,有在方程中，設(shè)函數(shù)具有單調(diào)連續(xù)的反函數(shù)，則.

34第四節(jié)高階導(dǎo)數(shù)定義2.4.1函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)y'=f'(x)仍是x的函數(shù),我們稱f'(x)的導(dǎo)數(shù)為函數(shù)f(x)的二階導(dǎo)數(shù),記作y''

或,即y''=(y')'或.相應(yīng)地,把y=f(x)的導(dǎo)數(shù)f'(x)稱為函數(shù)y=f(x)的一階導(dǎo)數(shù).類似地有三階,四階,…,

n階導(dǎo)數(shù)，分別記作y'''

,y(4),…,y(n)或,,…,.其中，二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)稱為高階導(dǎo)數(shù).

二、參數(shù)方程的二階導(dǎo)數(shù)若參數(shù)方程

具有一階導(dǎo)數(shù)，那么由可得到函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)公式即一塊正方形金屬薄片受溫度變化的影響,其邊長(zhǎng)由x0變到x0+

Δx問此薄片面積改變了多少?

設(shè)薄片邊長(zhǎng)為x,面積為A,則A=x2,當(dāng)x在x0取得增量Δx時(shí),面積的增量為關(guān)于Δx

的線性主部故一、微分的概念1.引例第五節(jié)函數(shù)的微分及其應(yīng)用稱為函數(shù)在x0的微分

Δx→0時(shí)為高階無(wú)窮小2.微分定義定義2.5.1設(shè)y=f(x)在x0處的某鄰域內(nèi)有定義,x+Δx是該鄰域內(nèi)的任意一點(diǎn),如果函數(shù)在x0處的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)可表示成Δy=AΔx+o(Δx)，其中A是僅與x有關(guān)的常數(shù),o(Δx)是Δx的高階無(wú)窮小,則稱函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處可微.并稱AΔx為函數(shù)y=f(x)在x0處的微分，記作dy,即dy=AΔx,且有A=f'(x),這樣dy=f'(x)Δx.函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處可微的充要條件是函數(shù)y=f(x)在x0處可導(dǎo).當(dāng)Δy是曲線的縱坐標(biāo)增量時(shí);dy就是切線縱坐標(biāo)對(duì)應(yīng)的增量，當(dāng)|Δx|很小時(shí),在點(diǎn)M的附近,切線段MP可近似代替曲線段MN.二、微分的幾何意義三、基本初等函數(shù)的微分公式與

微分運(yùn)算法則1.基本初等函數(shù)的微分公式設(shè)函數(shù)