冀教版九年級數(shù)學(xué)上冊 （垂徑定理）課件

垂徑定理第二十八章

圓

情景導(dǎo)入問題

趙州橋的半徑是多少？它的主橋是圓弧形,它的跨度(弧所對的弦的長)為37.4m,拱高(弧的中點(diǎn)到弦的距離)為7.2m，你能求出趙州橋主橋拱的半徑嗎？獲取新知知識點(diǎn)一：垂徑定理問題1

如圖，AB是⊙O的一條弦，做直徑CD，使CD⊥AB，垂足為E．沿著CD所在的直線折疊，你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些相等的線段和弧？為什么？·OABCDE線段：AE=BE弧：AD=BD，AC=BC⌒⌒⌒⌒理由如下：把圓沿著直徑CD折疊時(shí)，根據(jù)前面的說理，點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，AE與BE重合，AD和BD,AC與BC重合．⌒⌒⌒⌒·OABCED證明:如圖所示,連接OA,OB.在△OAB中,∵OA=OB,OE⊥AB,∴AE=BE,∠AOE=∠BOE.∵∠AOC=180°-∠AOE,∠BOC=180°-∠BOE,∴∠AOC=∠BOC.如圖所示,在☉O中,CD為直徑,AB為弦,且CD⊥AB,垂足為E.求證：AE=BE，AD=BD，AC=BC⌒⌒⌒⌒∴AD=BD.⌒⌒∴AC=BC.⌒⌒垂徑定理垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所對的兩條弧.幾何語言：∵

CD是直徑，CD⊥AB，∴

AE=BE,⌒⌒AC

=BC,⌒⌒AD=BD.·OABCDE例題講解例1

已知：如圖，

CD為⊙O的直徑，AB為弦，且AB⊥CD，垂足為E.若ED=2，AB=8，求直徑CD的長.

解：如圖，連接OA.設(shè)⊙O的半徑為r.∴

CD為⊙O的直徑，AB⊥CD，∴AE=BE.

∴AB=8，∴AE=BE=4，

在Rt△OAE

中，OA2=OE2+AE2，OE=OD－ED，即r2=(r－2)2+42.

解得r=5，從而2r=10.

所以直徑CD的長為10.獲取新知知識點(diǎn)二：垂徑定理的推論如圖所示,在☉O中,直徑CD與弦AB(非直徑)相交于點(diǎn)E.【思考】(1)若AE=BE,能判斷CD與AB垂直嗎?AD與BD(或AC與BC)相等嗎?說明你的理由.⌒⌒⌒⌒(2)若AD=BD(或AC=BC),能判斷CD與AB垂直嗎?AE與BE相等嗎?說明你的理由.⌒⌒⌒⌒解:(1)CD⊥AB,AC=BC(或AD=BD).理由是:連接OA,OB,如圖所示,則△OAB是等腰三角形,∵AE=BE,∴CD⊥AB.⌒⌒⌒⌒由垂徑定理可得AC=BC，AD=BD.

⌒⌒⌒⌒(2)CD⊥AB,AE=BE.又∵OA=OB,∴AE=BE,CD⊥AB.理由是：∵AD=BD,∴∠AOD=∠BOD,⌒⌒平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧.垂徑定理推論1幾何語言：·OABCDE你還有其他的結(jié)論嗎？你發(fā)現(xiàn)了什么？∵

CD是直徑，AE=BE，∴

CD⊥AB,⌒⌒AC

=BC,⌒⌒AD=BD.平分弦（不是直徑）的所對的兩對弧，則垂直平分這條弦.垂徑定理推論2·OABCDE幾何語言：∴

CD⊥AB,

AE=BE,∵

CD是直徑，AC

=BC，⌒⌒垂徑定理的本質(zhì)是:知二得三（1）一條直線過圓心（2）這條直線垂直于弦（3）這條直線平分不是直徑的弦（4）這條直線平分不是直徑的弦所對的優(yōu)?。?）這條直線平分不是直徑的弦所對的劣弧例題講解例2解決求趙州橋拱半徑的問題：如圖，用弧AB表示主橋拱，設(shè)弧AB所在圓的圓心為O，半徑為R．經(jīng)過圓心O作弦AB的垂線OC，D為垂足，OC與弧AB相交于點(diǎn)C.根據(jù)前面的結(jié)論可知，D是弦AB的中點(diǎn)，C是弧AB的中點(diǎn)，CD就是拱高．它的主橋是圓弧形,它的跨度(弧所對的弦的長)為37.4m,拱高(弧的中點(diǎn)到弦的距離)為7.2m解得R≈27.9.ODABCR在Rt△OAD中，由勾股定理，得即R2=18.72+(R－7.2)2因此，趙州橋的主橋拱半徑約為27.9m.OA2=AD2+OD2OD=OC－CD=R－7.2AB=37.4m，CD=7.2m，在圖中隨堂演練1.如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為M，下列結(jié)論不成立的是()A．CM＝DM B.CB＝DBC．∠ACD＝∠ADC D．OM＝MB⌒⌒D2.如圖，AB是⊙O的弦，AB的長為8，P是⊙O上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A，B重合)，過點(diǎn)O作OC⊥AP于點(diǎn)C，OD⊥PB于點(diǎn)D，則CD的長為___43.已知：⊙O中弦AB∥CD,求證：AC＝BD.⌒⌒證明：作直徑MN⊥AB.∵AB∥CD，∴MN⊥CD.則AM＝BM，CM＝DM（垂直平分弦的直徑平分弦所對的弧）

AM－CM＝BM－DM∴AC＝BD⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒.MCDABON4.如圖，AB，CD是⊙O的弦，M，N分別為AB，CD的中點(diǎn)，且∠AMN＝∠CNM.求證：AB＝CD.證明：如圖，連接OM，ON，OA，OC.∵M(jìn)，N分別為AB，CD的中點(diǎn)，∴AB＝2AM，CD＝2CN.∴OM⊥AB，

ON⊥CD.∴∠OMA＝∠ONC＝90°.∵∠AMN＝∠CNM，∴∠OMN＝∠ONM.∴OM＝ON.又∵OA＝OC，∴Rt△OAM≌Rt△OCN.∴AM＝CN.∴AB＝CD.課堂小結(jié)垂徑定理內(nèi)容推論輔助線一條直線滿足:（“