m帶小波在大地測(cè)量信號(hào)處理中的應(yīng)用

m帶小波在大地測(cè)量信號(hào)處理中的應(yīng)用

傳統(tǒng)的雙帶小波應(yīng)用于大地測(cè)量數(shù)據(jù)處理領(lǐng)域，取得了一定的成果。m波有以下優(yōu)點(diǎn)：高端更詳細(xì)；m波比二帶小波具有更好的能量集中性。正交過(guò)程中的波選擇性具有很大的自由度。當(dāng)同時(shí)處理單帶時(shí)，頻率混合傳播會(huì)減少。1帶小波變換原理1.1m帶小波的分解濾波器M帶小波分解時(shí),首先將輸入信號(hào),通過(guò)M個(gè)分析濾波器分解為M個(gè)頻帶,然后將每個(gè)頻帶的信號(hào)進(jìn)行隔點(diǎn)采樣,采樣周期為M.信號(hào)重構(gòu)時(shí),則是將每個(gè)頻帶分量進(jìn)行上采樣,采樣周期同樣是M,最后經(jīng)過(guò)重構(gòu)濾波器合成為原信號(hào).設(shè)?(t)為尺度函數(shù),使得?j,k={M-2/j?(M-jt-k)},k∈Z構(gòu)成多分辨率子空間Vj的規(guī)范正交基,且滿足雙尺度方程?(t)=√Μ∑kh0(k)?(Μt-k)?(t)=M??√∑kh0(k)?(Mt?k)相應(yīng)的小波共有M-1個(gè).定義尺度函數(shù)φj,k和小波函數(shù)Ψij,kij,k為φj,k(t)=M-j/2φ(M-jt-k)(1)Ψij,kij,k(t)=M-j/2Ψi(M-jt-k)(2)設(shè)cj為上一級(jí)的小波逼近分量,則M帶小波分解為cj+1(n)=∑kh0(Μn-k)cj(k)(3)d(i)j+1=∑khi(Μn-k)cj(k)(4)hi(i=0,1,??Μ-1)cj+1(n)=∑kh0(Mn?k)cj(k)(3)d(i)j+1=∑khi(Mn?k)cj(k)(4)hi(i=0,1,??M?1)是其分解濾波器.同理,M帶小波重構(gòu)算法為cj,k=∑m∈Ζcj+1,nh0k-Μn+Μ-1∑i-1dij+1,nhik-Μn(k∈Ζ)(5)cj,k=∑m∈Zcj+1,nh0k?Mn+∑i?1M?1dij+1,nhik?Mn(k∈Z)(5)1.2改進(jìn)保護(hù)因子帶重構(gòu)假設(shè)信號(hào)f(t)的采樣頻率為fs,根據(jù)Naquist采樣定理,經(jīng)過(guò)M帶小波分解之后,其頻帶范圍被劃為成M個(gè)子頻帶.若對(duì)每個(gè)子頻帶的信號(hào)進(jìn)行分解,則又得出M個(gè)子頻帶.不斷重復(fù)這一過(guò)程,設(shè)(i,j)表示第i層第j個(gè)節(jié)點(diǎn),在第i層上,頻帶的頻率不是隨著j的增大逐漸增加,而是某些頻帶發(fā)生一定規(guī)律的錯(cuò)亂.而且隨著分解層次的增大錯(cuò)亂越復(fù)雜.首先將信號(hào)按照M帶小波包算法進(jìn)行分解,得到各層小波包系數(shù),然后將各子帶上的小波包系數(shù)分別重構(gòu)至與原始信號(hào)相同的尺度,利用M下采樣和M上采樣的反向折疊作用,消除由于上、下采樣引起的頻率折疊.單子帶重構(gòu)能夠消除頻率折疊,由于實(shí)際應(yīng)用的小波濾波器的非理想頻域特性,各子帶中含有其相鄰子帶的分量.通過(guò)改進(jìn)單子帶重構(gòu)算法,即對(duì)每一個(gè)小波包向下分解時(shí),都利用FFT(快速傅里葉變換)和IFFT(快速傅里葉逆變換)去除各子帶多余頻率成分,以減弱M帶小波濾波器非理想性影響.改進(jìn)單子帶重構(gòu)消除了部分的頻率折疊和子帶中存在的虛假頻率成分,但M帶小波包分解后還存在頻帶錯(cuò)亂,應(yīng)按照頻帶混疊的規(guī)律進(jìn)行節(jié)點(diǎn)重排序,使得各個(gè)子帶在不存在多余頻率成分的同時(shí),各子帶的順序也滿足理想的M帶小波包頻帶劃分規(guī)律.由于本次實(shí)例分析中時(shí)間序列自身的頻率分布特性,其特征頻率分布在低頻帶中,在利用M帶小波濾波器分解信號(hào)的同時(shí),只對(duì)每層的第一個(gè)節(jié)點(diǎn)進(jìn)行分解即可,直到提取出所需要的頻帶,因此可以不考慮頻率折疊,只需要通過(guò)改進(jìn)的算法對(duì)各子帶多余頻率進(jìn)行消除即可.2改進(jìn)的m帶小波包組合算法設(shè)時(shí)間序列s由一系列正弦波疊加而成,采樣頻率為100Hz,存在的頻率項(xiàng)為3Hz、13Hz、20Hz、30Hz、36Hz、47Hz.利用三帶小波包對(duì)其進(jìn)行分解,并重構(gòu)得到圖1.圖1中的(a)、(c)、(e)分別表示利用普通三帶小波包重構(gòu)算法分析s所得的結(jié)果,(b)、(d)、(f)則表示利用改進(jìn)后的三帶小波單自帶重構(gòu)算法所分析的結(jié)果.圖1中每個(gè)小圖形的左邊是由分解第二層的所有節(jié)點(diǎn)經(jīng)過(guò)三帶小波包分解重構(gòu)后的特征頻率項(xiàng),和該特征項(xiàng)的傅里葉變換,從傅里葉圖譜中可得利用普通三帶小波包分解產(chǎn)生了頻率混淆,比如在第圖1(a)的節(jié)點(diǎn)(2,3)存在兩個(gè)不屬于該頻帶的頻率,有9Hz、20Hz,而該頻帶范圍為11Hz～16Hz.頻率折疊的現(xiàn)象在上圖也有體現(xiàn),在圖1(e)中,理論上節(jié)點(diǎn)(2,7)和節(jié)點(diǎn)(2,9)的特征頻率分別為20Hz、30Hz,但是經(jīng)過(guò)分解后兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的頻率剛好互相折疊,其特征頻率分別為30Hz、20Hz.由于包含在低頻子帶中的高頻部分和包含在高頻中的低頻部分經(jīng)過(guò)上采樣和下采樣,且不滿足采樣定理,所以會(huì)產(chǎn)生頻率折疊.由圖1可以看出頻率折疊的一些規(guī)律,在每一層的奇數(shù)節(jié)點(diǎn)向下分解得到的子節(jié)點(diǎn)的頻帶順序正常,例如第一層分解的第一個(gè)節(jié)點(diǎn)向下分解的時(shí)候并沒有發(fā)生頻率折疊的情況,而偶數(shù)節(jié)點(diǎn)向下分解得到的子節(jié)點(diǎn)的頻帶循序發(fā)生變化,低頻頻帶被折疊成高頻頻帶,而高頻頻帶被折疊成低頻頻帶,正如在第一層第二個(gè)節(jié)點(diǎn)向下分解的時(shí)候節(jié)點(diǎn)(2,4)與節(jié)點(diǎn)(2,6)的頻帶發(fā)生了折疊.由仿真可以看出,改進(jìn)后的M帶小波包單子帶重構(gòu)算法不但能消除信號(hào)分解中產(chǎn)生的頻率混淆,還能克服頻率折疊現(xiàn)象.3小波譜的探測(cè)本次實(shí)例采用的信號(hào)是某站的GPS坐標(biāo).首先利用二帶小波譜對(duì)信號(hào)進(jìn)行周期分析,提取該信號(hào)的特征頻率,然后利用M帶小波對(duì)該信號(hào)的特征項(xiàng)進(jìn)行提取.由于該數(shù)據(jù)的采樣頻率為每天一組,根據(jù)GPS定位誤差及其規(guī)律性分析,取M=5.圖2是某站經(jīng)過(guò)標(biāo)準(zhǔn)化后的GPS坐標(biāo),設(shè)為fx.圖3是利用傳統(tǒng)的二帶小波譜對(duì)該坐標(biāo)序列進(jìn)行分析.從圖3中數(shù)據(jù)可以看出,fx主要有兩個(gè)周期項(xiàng),分別是917、364天,即三年周期和年周期.然后用五帶小波對(duì)fx進(jìn)行分解,圖4是經(jīng)過(guò)4層五帶小波分解后的頻率分布情況.由于信號(hào)的頻率分布主要是低頻范圍,所以只要對(duì)每一層的第一個(gè)節(jié)點(diǎn)進(jìn)行下一層的分解就能得到所需求的頻率范圍.利用五帶小波將信號(hào)分解至第四層,其中頻率1.09×10-3Hz,2.74×10-3Hz,即對(duì)應(yīng)周期為917和364,幅值為0.12mm、0.19mm,分別處在第四層的第二個(gè)和第四個(gè)節(jié)點(diǎn)上.于是對(duì)第四層前四個(gè)節(jié)點(diǎn)進(jìn)行單子帶重構(gòu),且消除多余頻帶,得出圖5.對(duì)照小波譜探測(cè)的結(jié)果,可以看出,理論上第四層的第五個(gè)節(jié)點(diǎn)應(yīng)該與第一個(gè)、第三個(gè)節(jié)點(diǎn)一樣,其頻率成分為0.然而在圖5中可以發(fā)現(xiàn)在第五個(gè)節(jié)點(diǎn)存在一個(gè)頻率,其值為3.831×10-3Hz,對(duì)應(yīng)的周期是261天,幅值為0.02mm,而其它頻率特征項(xiàng)的幅值比它高一個(gè)數(shù)量級(jí),因此可以認(rèn)為該特征項(xiàng)是屬于弱信號(hào).4小波與m帶小波的比較通過(guò)傳統(tǒng)的