m帶小波在大地測量信號處理中的應(yīng)用

m帶小波在大地測量信號處理中的應(yīng)用

傳統(tǒng)的雙帶小波應(yīng)用于大地測量數(shù)據(jù)處理領(lǐng)域，取得了一定的成果。m波有以下優(yōu)點：高端更詳細(xì)；m波比二帶小波具有更好的能量集中性。正交過程中的波選擇性具有很大的自由度。當(dāng)同時處理單帶時，頻率混合傳播會減少。1帶小波變換原理1.1m帶小波的分解濾波器M帶小波分解時,首先將輸入信號,通過M個分析濾波器分解為M個頻帶,然后將每個頻帶的信號進(jìn)行隔點采樣,采樣周期為M.信號重構(gòu)時,則是將每個頻帶分量進(jìn)行上采樣,采樣周期同樣是M,最后經(jīng)過重構(gòu)濾波器合成為原信號.設(shè)?(t)為尺度函數(shù),使得?j,k={M-2/j?(M-jt-k)},k∈Z構(gòu)成多分辨率子空間Vj的規(guī)范正交基,且滿足雙尺度方程?(t)=√Μ∑kh0(k)?(Μt-k)?(t)=M??√∑kh0(k)?(Mt?k)相應(yīng)的小波共有M-1個.定義尺度函數(shù)φj,k和小波函數(shù)Ψij,kij,k為φj,k(t)=M-j/2φ(M-jt-k)(1)Ψij,kij,k(t)=M-j/2Ψi(M-jt-k)(2)設(shè)cj為上一級的小波逼近分量,則M帶小波分解為cj+1(n)=∑kh0(Μn-k)cj(k)(3)d(i)j+1=∑khi(Μn-k)cj(k)(4)hi(i=0,1,??Μ-1)cj+1(n)=∑kh0(Mn?k)cj(k)(3)d(i)j+1=∑khi(Mn?k)cj(k)(4)hi(i=0,1,??M?1)是其分解濾波器.同理,M帶小波重構(gòu)算法為cj,k=∑m∈Ζcj+1,nh0k-Μn+Μ-1∑i-1dij+1,nhik-Μn(k∈Ζ)(5)cj,k=∑m∈Zcj+1,nh0k?Mn+∑i?1M?1dij+1,nhik?Mn(k∈Z)(5)1.2改進(jìn)保護(hù)因子帶重構(gòu)假設(shè)信號f(t)的采樣頻率為fs,根據(jù)Naquist采樣定理,經(jīng)過M帶小波分解之后,其頻帶范圍被劃為成M個子頻帶.若對每個子頻帶的信號進(jìn)行分解,則又得出M個子頻帶.不斷重復(fù)這一過程,設(shè)(i,j)表示第i層第j個節(jié)點,在第i層上,頻帶的頻率不是隨著j的增大逐漸增加,而是某些頻帶發(fā)生一定規(guī)律的錯亂.而且隨著分解層次的增大錯亂越復(fù)雜.首先將信號按照M帶小波包算法進(jìn)行分解,得到各層小波包系數(shù),然后將各子帶上的小波包系數(shù)分別重構(gòu)至與原始信號相同的尺度,利用M下采樣和M上采樣的反向折疊作用,消除由于上、下采樣引起的頻率折疊.單子帶重構(gòu)能夠消除頻率折疊,由于實際應(yīng)用的小波濾波器的非理想頻域特性,各子帶中含有其相鄰子帶的分量.通過改進(jìn)單子帶重構(gòu)算法,即對每一個小波包向下分解時,都利用FFT(快速傅里葉變換)和IFFT(快速傅里葉逆變換)去除各子帶多余頻率成分,以減弱M帶小波濾波器非理想性影響.改進(jìn)單子帶重構(gòu)消除了部分的頻率折疊和子帶中存在的虛假頻率成分,但M帶小波包分解后還存在頻帶錯亂,應(yīng)按照頻帶混疊的規(guī)律進(jìn)行節(jié)點重排序,使得各個子帶在不存在多余頻率成分的同時,各子帶的順序也滿足理想的M帶小波包頻帶劃分規(guī)律.由于本次實例分析中時間序列自身的頻率分布特性,其特征頻率分布在低頻帶中,在利用M帶小波濾波器分解信號的同時,只對每層的第一個節(jié)點進(jìn)行分解即可,直到提取出所需要的頻帶,因此可以不考慮頻率折疊,只需要通過改進(jìn)的算法對各子帶多余頻率進(jìn)行消除即可.2改進(jìn)的m帶小波包組合算法設(shè)時間序列s由一系列正弦波疊加而成,采樣頻率為100Hz,存在的頻率項為3Hz、13Hz、20Hz、30Hz、36Hz、47Hz.利用三帶小波包對其進(jìn)行分解,并重構(gòu)得到圖1.圖1中的(a)、(c)、(e)分別表示利用普通三帶小波包重構(gòu)算法分析s所得的結(jié)果,(b)、(d)、(f)則表示利用改進(jìn)后的三帶小波單自帶重構(gòu)算法所分析的結(jié)果.圖1中每個小圖形的左邊是由分解第二層的所有節(jié)點經(jīng)過三帶小波包分解重構(gòu)后的特征頻率項,和該特征項的傅里葉變換,從傅里葉圖譜中可得利用普通三帶小波包分解產(chǎn)生了頻率混淆,比如在第圖1(a)的節(jié)點(2,3)存在兩個不屬于該頻帶的頻率,有9Hz、20Hz,而該頻帶范圍為11Hz～16Hz.頻率折疊的現(xiàn)象在上圖也有體現(xiàn),在圖1(e)中,理論上節(jié)點(2,7)和節(jié)點(2,9)的特征頻率分別為20Hz、30Hz,但是經(jīng)過分解后兩個節(jié)點的頻率剛好互相折疊,其特征頻率分別為30Hz、20Hz.由于包含在低頻子帶中的高頻部分和包含在高頻中的低頻部分經(jīng)過上采樣和下采樣,且不滿足采樣定理,所以會產(chǎn)生頻率折疊.由圖1可以看出頻率折疊的一些規(guī)律,在每一層的奇數(shù)節(jié)點向下分解得到的子節(jié)點的頻帶順序正常,例如第一層分解的第一個節(jié)點向下分解的時候并沒有發(fā)生頻率折疊的情況,而偶數(shù)節(jié)點向下分解得到的子節(jié)點的頻帶循序發(fā)生變化,低頻頻帶被折疊成高頻頻帶,而高頻頻帶被折疊成低頻頻帶,正如在第一層第二個節(jié)點向下分解的時候節(jié)點(2,4)與節(jié)點(2,6)的頻帶發(fā)生了折疊.由仿真可以看出,改進(jìn)后的M帶小波包單子帶重構(gòu)算法不但能消除信號分解中產(chǎn)生的頻率混淆,還能克服頻率折疊現(xiàn)象.3小波譜的探測本次實例采用的信號是某站的GPS坐標(biāo).首先利用二帶小波譜對信號進(jìn)行周期分析,提取該信號的特征頻率,然后利用M帶小波對該信號的特征項進(jìn)行提取.由于該數(shù)據(jù)的采樣頻率為每天一組,根據(jù)GPS定位誤差及其規(guī)律性分析,取M=5.圖2是某站經(jīng)過標(biāo)準(zhǔn)化后的GPS坐標(biāo),設(shè)為fx.圖3是利用傳統(tǒng)的二帶小波譜對該坐標(biāo)序列進(jìn)行分析.從圖3中數(shù)據(jù)可以看出,fx主要有兩個周期項,分別是917、364天,即三年周期和年周期.然后用五帶小波對fx進(jìn)行分解,圖4是經(jīng)過4層五帶小波分解后的頻率分布情況.由于信號的頻率分布主要是低頻范圍,所以只要對每一層的第一個節(jié)點進(jìn)行下一層的分解就能得到所需求的頻率范圍.利用五帶小波將信號分解至第四層,其中頻率1.09×10-3Hz,2.74×10-3Hz,即對應(yīng)周期為917和364,幅值為0.12mm、0.19mm,分別處在第四層的第二個和第四個節(jié)點上.于是對第四層前四個節(jié)點進(jìn)行單子帶重構(gòu),且消除多余頻帶,得出圖5.對照小波譜探測的結(jié)果,可以看出,理論上第四層的第五個節(jié)點應(yīng)該與第一個、第三個節(jié)點一樣,其頻率成分為0.然而在圖5中可以發(fā)現(xiàn)在第五個節(jié)點存在一個頻率,其值為3.831×10-3Hz,對應(yīng)的周期是261天,幅值為0.02mm,而其它頻率特征項的幅值比它高一個數(shù)量級,因此可以認(rèn)為該特征項是屬于弱信號.4小波與m帶小波的比較通過傳統(tǒng)的