2023-2024學年湘教版必修第二冊 　 數(shù)量積的物理背景及數(shù)量積的定義 課件（32張）

1.理解向量數(shù)量積的含義及其物理意義.2.能正確熟練地應用數(shù)量積的定義進行運算.課標要求素養(yǎng)要求通過學習數(shù)量積的定義及其物理意義，體會數(shù)學運算素養(yǎng)及數(shù)學抽象素養(yǎng).課前預習課堂互動分層訓練內(nèi)容索引課前預習知識探究11.數(shù)量積的定義設a，b是任意兩個向量，〈a，b〉是它們的夾角，則定義a·b＝_____________為a與b的數(shù)量積.〈a，b〉＝α的取值范圍為________.|a|·|b|·cos〈a，b〉[0，π]點睛(1)在書寫數(shù)量積時，a與b之間用實心圓點“·”連接，而不能用“×”連接，也不能不寫.(2)向量的線性運算的結(jié)果是向量，但兩個向量的數(shù)量積是一個數(shù)量，而不是向量，其大小與兩個向量的長度及其夾角都有關(guān)，符號由夾角的余弦值的符號決定.(3)設兩個非零向量a與b的夾角為θ，則當θ＝0°時，cosθ＝1，a·b＝|a||b|；當θ為銳角時，cosθ>0，a·b>0且a·b≠|(zhì)a||b|；當θ為直角時，cosθ＝0，a·b＝0；當θ為鈍角時，cosθ<0，a·b<0且a·b≠－|a||b|.2.數(shù)量積的性質(zhì)(2)當a＝0或b＝0時，由于零向量與任意向量垂直，因此，a·b＝0?_______.a⊥ba⊥b1.思考辨析，判斷正誤×(1)向量數(shù)量積的運算結(jié)果是向量.(

)提示數(shù)量積運算結(jié)果是一個實數(shù)，這個實數(shù)可以是正數(shù)、負數(shù)或零.(2)對于非零向量a，b，a·b＝0?a⊥b.()√×B3.已知向量|a|＝10，|b|＝12，且a·b＝－60，則向量a與b的夾角為(

) A.60° B.120° C.135° D.150°

解析設a與b的夾角為θ，B又0°≤θ≤180°，∴θ＝120°.4.已知a，b的夾角為θ，|a|＝2，|b|＝3. (1)若θ＝135°，則a·b＝________； (2)若a∥b，則a·b＝________； (3)若a⊥b，則a·b＝________.±60課堂互動題型剖析2題型一平面向量數(shù)量積的基本概念

【例1】

下列說法：①若a2＋b2＝0，則a＝b＝0；②已知a，b，c是三個非零向量，若a＋b＝0，則|a·c|＝|b·c|；③a，b共線?a·b＝|a||b|；④|a||b|<a·b；⑤a·a·a＝|a|3；⑥a2＋b2≥2a·b；⑦非零向量a，b滿足：a·b>0，則a與b的夾角為銳角.其中正確的是________(填序號).

解析由于a2≥0，b2≥0，若a2＋b2＝0，則a＝b＝0，故①正確；若a＋b＝0，則a＝－b，又a，b，c是三個非零向量，所以a·c＝－b·c，所以|a·c|＝|b·c|，②正確；a，b共線?a·b＝±|a||b|，所以③錯誤.

對于④，應有|a||b|≥a·b，所以④錯誤；

對于⑤，應該是a·a·a＝|a|2a，所以⑤錯誤； a2＋b2≥2|a||b|≥2a·b，故⑥正確；

當a與b的夾角為0°時，也有a·b>0，因此⑦錯誤.

綜上可知①②⑥正確.①②⑥對于這類概念、性質(zhì)、運算律的問題的解答，關(guān)鍵是要對相關(guān)知識深刻理解.特別是那些易與實數(shù)運算相混淆的運算律，當然還有數(shù)量積中有關(guān)角的概念以及數(shù)量積的性質(zhì)等.思維升華【訓練1】

已知a，b，c是三個非零向量，則下列結(jié)論中真命題的個數(shù)為(

) ①a·b＝±|a|·|b|?a∥b；②a，b反向?a·b＝－|a|·|b|；③a⊥b?|a＋b|＝|a－b|；④|a|＝|b|?|a·c|＝|b·c|. A.1 B.2 C.3 D.4

解析①∵a·b＝|a||b|cosθ，∴由a·b＝±|a||b|及a，b為非零向量可得cosθ＝±1，∴θ＝0或π.∴a∥b，且以上各步均可逆，故命題①是真命題.C②若a，b反向，則a，b的夾角為π，∴a·b＝|a||b|·cosπ＝－|a||b|，且以上各步均可逆，故命題②是真命題.③當a⊥b時，將向量a，b的起點確定在同一點，以向量a，b為鄰邊作平行四邊形，則該平行四邊形必為矩形，于是它的兩條對角線長相等，即有|a＋b|＝|a－b|.反過來，若|a＋b|＝|a－b|，則以a，b為鄰邊的四邊形為矩形，∴a⊥b，故命題③是真命題.④當|a|＝|b|，但a與c的夾角和b與c的夾角不等時，就有|a·c|≠|(zhì)b·c|，反過來由|a·c|＝|b·c|也推不出|a|＝|b|.故命題④是假命題.【例2】

已知|a|＝|b|＝2，且a與b的夾角為60°，則a＋b與a的夾角是多少？a－b與a的夾角又是多少？題型二求向量的夾角因為|a|＝|b|＝2，所以平行四邊形OACB是菱形，又∠AOB＝60°，即a＋b與a的夾角是30°，a－b與a的夾角是60°.(1)求兩個向量夾角的關(guān)鍵是利用平移的方法使兩個向量起點重合，作兩個向量的夾角，按照“一作二證三算”的步驟求出.(2)特別地，a與b的夾角為θ，λ1a與λ2b(λ1，λ2是非零常數(shù))的夾角為θ0，當λ1λ2<0時，θ0＝180°－θ；當λ1λ2>0時，θ0＝θ.思維升華CA.30° B.60°C.120° D.150°題型三求向量的數(shù)量積求平面向量數(shù)量積的方法若已知向量的模及其夾角，則直接利用公式a·b＝|a||b|cosθ.運用此法計算數(shù)量積的關(guān)鍵是確定兩個向量的夾角，條件是兩向量的起點必須重合，否則，要通過平移使兩向量符合以上條件.思維升華0－16－16v1.通過學習平面向量數(shù)量積的概念提升數(shù)學抽象素養(yǎng).通過計算平面向量的數(shù)量積培養(yǎng)數(shù)學運算素養(yǎng).2.兩個向量的數(shù)量積是兩個向量之間的一種運算，與實數(shù)乘實數(shù)、實數(shù)乘向量的乘法運算是有區(qū)別的，在書寫時一定要把它們嚴格區(qū)分開來，絕不可混淆.課堂小結(jié)分層訓練素養(yǎng)提升3

C2.若|m|＝4，|n|＝6，m與n的夾角θ為45°，則m·n＝(

)BB4.下列命題中正確的是(

)D解析根據(jù)向量的數(shù)量積的定義可知選D.5.已知力F的大小|F|＝10，在F的作用下產(chǎn)生的位移s的大小為14，F(xiàn)與s的夾角為60°，則F做的功為(

) A.7 B.10 C.14 D.70D135°7.若|a|＝|b|＝|a－b|＝r(r>0)，則a與b的夾角為______.60°8.已知非零向量a，b