蒙特卡洛方法在材料學(xué)中的應(yīng)用

蒙特卡洛方法蒙特卡羅方法又稱統(tǒng)計(jì)模擬(StatisticalSimulation)方法，它用隨機(jī)數(shù)對問題的概率模型進(jìn)行數(shù)值模擬從而獲得問題的解。NicholasMetropolis(1915-1999)Monte-Carlo,Monaco是由Metropolis在二次世界大戰(zhàn)期間提出的：Manhattan計(jì)劃，研究與原子彈有關(guān)的中子輸運(yùn)過程；MonteCarlo是摩納哥（monaco)的首都，該城以賭博聞名蒙特卡洛方法的由來擲針實(shí)驗(yàn)（蒲豐實(shí)驗(yàn)）為了求得圓周率π值，在十九世紀(jì)后期，有很多人作了這樣的試驗(yàn)：將長為2l的一根針任意投到地面上，用針與一組相間距離為2a（l＜a）的平行線相交的頻率代替概率P，再利用準(zhǔn)確的關(guān)系式：

求出π值其中Ｎ為投計(jì)次數(shù)，n為針與平行線相交次數(shù)。這就是古典概率論中著名的蒲豐問題。

一些人進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)，其結(jié)果列于下表：實(shí)驗(yàn)者年份投計(jì)次數(shù)π的實(shí)驗(yàn)值沃爾弗(Wolf)185050003.1596斯密思(Smith)185532043.1553福克斯(Fox)189411203.1419拉查里尼(Lazzarini)190134083.1415929

設(shè)針投到地面上的位置可以用一組參數(shù)（x,θ）來描述，x為針中心的坐標(biāo)，θ為針與平行線的夾角，如圖所示。針在平行線間的位置

任意投針，就是意味著x與θ都是任意取的，但x的范圍限于［0，a］，夾角θ的范圍限于［0，π］。在此情況下，針與平行線相交的數(shù)學(xué)條件是x≤l·sinθ則投針N次，相交次數(shù)為n，則相交的概率為：說明：1，用隨機(jī)方法可以解決一些比較難于用確定性方法解決的問題。（優(yōu)點(diǎn)）2，隨機(jī)方法要達(dá)到一定的精度，所耗時(shí)間較長。（缺點(diǎn)）3，用隨機(jī)方法計(jì)算，一個(gè)關(guān)鍵的問題是隨機(jī)數(shù)的取得。（關(guān)鍵）蒙特卡洛模擬方法的原理是當(dāng)問題或?qū)ο蟊旧砭哂懈怕侍卣鲿r(shí)，可以用計(jì)算機(jī)模擬的方法產(chǎn)生抽樣結(jié)果，根據(jù)抽樣計(jì)算統(tǒng)計(jì)量或者參數(shù)的值；隨著模擬次數(shù)的增多，可以通過對各次統(tǒng)計(jì)量或參數(shù)的估計(jì)值求平均的方法得到穩(wěn)定結(jié)論。蒙特卡洛方法的原理蒙特卡洛的模擬步驟1.根據(jù)提出的問題構(gòu)造一個(gè)簡單、適用的概率模型或隨機(jī)模型，使問題的解對應(yīng)于該模型中隨機(jī)變量的某些特征（如概率、均值和方差等），所構(gòu)造的模型在主要特征參量方面要與實(shí)際問題或系統(tǒng)相一致2.根據(jù)模型中各個(gè)隨機(jī)變量的分布，在計(jì)算機(jī)上產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)，實(shí)現(xiàn)一次模擬過程所需的足夠數(shù)量的隨機(jī)數(shù)。通常先產(chǎn)生均勻分布的隨機(jī)數(shù)，然后生成服從某一分布的隨機(jī)數(shù)，方可進(jìn)行隨機(jī)模擬試驗(yàn)。3.根據(jù)概率模型的特點(diǎn)和隨機(jī)變量的分布特性，設(shè)計(jì)和選取合適的抽樣方法，并對每個(gè)隨機(jī)變量進(jìn)行抽樣（包括直接抽樣、分層抽樣、相關(guān)抽樣、重要抽樣等）。

4.按照所建立的模型進(jìn)行仿真試驗(yàn)、計(jì)算，求出問題的隨機(jī)解。5.統(tǒng)計(jì)分析模擬試驗(yàn)結(jié)果，給出問題的概率解以及解的精度估計(jì)。

[0,1]區(qū)間均勻分布的隨機(jī)數(shù)是蒙特卡羅方法研究的一個(gè)重要內(nèi)容。如果得到[0,1]區(qū)間均勻分布的隨機(jī)數(shù)，則任何區(qū)間[a,b]之內(nèi)的隨機(jī)數(shù)都可以得到：隨機(jī)數(shù)的要求：1，足夠多個(gè)隨機(jī)數(shù)能遍布[0,1]范圍，非周期性，遍歷性。2，在[0,1]中每個(gè)小區(qū)間出現(xiàn)的機(jī)會相等，等概率性。并不是一個(gè)簡單的問題。stdlib.h里面的random()函數(shù)可以在低精度的情況下使用。（一）隨機(jī)數(shù)表為了產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)，可以使用隨機(jī)數(shù)表。隨機(jī)數(shù)表是由0，1，…，9十個(gè)數(shù)字組成，每個(gè)數(shù)字以0.1的等概率出現(xiàn)，數(shù)字之間相互獨(dú)立。這些數(shù)字序列叫作隨機(jī)數(shù)字序列。如果要得到n位有效數(shù)字的隨機(jī)數(shù)，只需將表中每n個(gè)相鄰的隨機(jī)數(shù)字合并在一起，且在最高位的前邊加上小數(shù)點(diǎn)即可。例如，某隨機(jī)數(shù)表的第一行數(shù)字為7634258910…，要想得到三位有效數(shù)字的隨機(jī)數(shù)依次為0.763，0.425，0.891。因?yàn)殡S機(jī)數(shù)表需在計(jì)算機(jī)中占有很大內(nèi)存，而且也難以滿足蒙特卡羅方法對隨機(jī)數(shù)需要量非常大的要求，因此，該方法不適于在計(jì)算機(jī)上使用。（二）物理方法產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)用物理方法產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的基本原理是：利用某些物理現(xiàn)象，在計(jì)算機(jī)上增加些特殊設(shè)備，可以在計(jì)算機(jī)上直接產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)。這些特殊設(shè)備稱為隨機(jī)數(shù)發(fā)生器。用來作為隨機(jī)數(shù)發(fā)生器的物理源主要有兩種：一種是根據(jù)放射性物質(zhì)的放射性，另一種是利用計(jì)算機(jī)的固有噪聲。用物理方法產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)序列無法重復(fù)實(shí)現(xiàn)（缺點(diǎn)），不能進(jìn)行程序復(fù)算，給驗(yàn)證結(jié)果帶來很大困難。而且，需要增加隨機(jī)數(shù)發(fā)生器