第三章三維幾何造型

三維幾何造型計算機圖形學的許多應用涉及到三維幾何信息在計算機內(nèi)的生成和表示，如飛機、汽車的外形設計，機械零部件的設計，機器人運動的模擬等。這類問題統(tǒng)稱為幾何造型。幾何造型是通過對點、線、面、體等幾何元素，經(jīng)過平移、旋轉等幾何變換和并、交、差等集合運算，產(chǎn)生滿足設計目的的物體模型。機械產(chǎn)品三維幾何模型的基本構成要素是空間的點、線、面和體。根據(jù)技術發(fā)展過程，三維幾何模型的建立相應經(jīng)歷了線框(wireframe)、表面(surface)和實體(solid)三種模型。線框模型只是由一組頂點和邊構成的。用一切面截取只能生成一組離散交點，不能形成切面的形狀。如果我們只關心物體的形狀、位置、方位，這種模型是可用的，也是最簡單的，占用內(nèi)存少，處理速度快。表面模型是由一組頂點、邊和面構成的。用一切面截取則生成一組點和線，可形成切面的形狀?？梢员硎疚矬w的外表面或數(shù)控加工這些表面。實體模型由一組頂點、邊、表面和體積構成。用一切面裁取可生成一組點、線和切平面上物體內(nèi)部面積?？梢杂嬎阄矬w的質量特性、動態(tài)特性或力學特性，還可進行多個物體間的干涉檢查。這種模型最復雜，占用內(nèi)存多，處理速度慢。實體模型有邊界表示、體素構造表示、半空間表示、八叉樹表示等方法。線框模型

線框模型是由有限個空間點以及成對點之間相連的邊構成的三維幾何模型。優(yōu)點：定義過程最簡單；數(shù)據(jù)存貯量最小，操作靈活，響應速度快；靈活方便的線框功能是進一步構造表面模型和實體模型的工具。缺點：不能唯一定義物體的形狀或定義出實際不可能存在的形體；不能自動消除隱藏線；無法計算物體的體積。線框模型的計算機表示線框模型的計算機表示主要包括兩類信息，一類是幾何信息，定義線框模型中空間點的坐標數(shù)據(jù)和曲邊的定義數(shù)據(jù)；一類是拓撲信息，定義每條邊的兩個端點的標號。線框模型的建立方法為了便于建立線框模型，一般設有兩種坐標系。一種是總體坐標系，或稱模型空間(modelspace)，對當前的線框模型只能統(tǒng)一規(guī)定一個；另一種是局部坐標系，或稱繪圖空間(drawingspace)或工作平面，用戶可以隨時根據(jù)需要定義。一個好的線框造型系統(tǒng)應有豐富多樣的點和線的幾何定義方法，有方便靈活的局部坐標系操作和快速的視圖旋轉變換，有必要的投影、作等距線等操作命令。線框模型存在的問題線框模型的表示過于簡單，用來表示一個真實物體的約束條件不夠充分，可能構造出客觀不可能存在的物體，或不能唯一確定的物體。無法消隱造成線框模型的多義性，即一個線框模型有可能理解成多個實際的物體。表面模型表面模型是在線框模型的基礎上增加面的信息，表面不一定需要封閉。表面模型為形體提供了更多的幾何信息，可以在程序中實現(xiàn)自動消除隱藏線，生成明暗圖，計算表面積，產(chǎn)生表面數(shù)控加工走刀軌跡等，也可以在有限元分析中生成表面有限元網(wǎng)格。表面模型的構造方法大體可以分為兩類：一類是整體構造法，一類是離散構造法。整體構造法使用貝齊埃曲面、B樣條曲面等進行構造，步驟點－線－面。離散構造法從線框模型著手，交互繪制各個面的輪廓線，然后在封閉的內(nèi)外輪廓線間填補平面或規(guī)則曲面。實體模型

實體造型是構造物體的完整的三維幾何模型。實體模型是描述幾何形體的最高層次模型。實體模型與表面模型的區(qū)別在于前者的表面必須封閉、有向，各張表面間有嚴格的拓撲關系，形成一個整體；而表面模型的面可以不封閉，面的上下表面都可以有效。

實體造型的核心問題是在計算機內(nèi)如何來表示三維的物體。經(jīng)過二十多年的研究和發(fā)展形成了幾種不同的基本表示方法，主要有邊界表示法、體素構造法、半空間表示法和八叉樹表示法等。邊界表示法－層次結構在邊界定示中，物體通過其封閉的邊界表面來描述，而物體封閉的邊界表面由一組面所構成，各個面均有方向，明確地劃分出物體的里面和外面，每個面均有單獨的數(shù)學定義；每個面由封閉的環(huán)來確定其邊界；每個環(huán)由一組邊所構成，每條邊也有其單獨的數(shù)學定義；每條邊由兩個頂點(端點)所界定，一個為邊的起始點，另一個為邊的終點；每個頂點由空間三個坐標值來確定。在邊界模型中，存貯的信息分成相對獨立的兩部分：拓撲和幾何。邊界表示法－層次結構物體(body)：是由封閉表面圍成的有限空間。邊界表面上任一點的鄰域都明確分成兩部分，一部分在物體之內(nèi)，另一部分在物體之外。殼(shell)：是方向一致的一組面的集合，形成封閉的單一連通空間。一個物體可有多個殼，其中一個為外殼，共余為內(nèi)殼。面(face)：是物體表面的一部分，是有界、不自交的連通表面，帶有方向性。面的有效范圍由一個外環(huán)和若干內(nèi)環(huán)界定。環(huán)(Loop)：是由有序、有向邊組成的封閉周界。確定面的最大外邊界的環(huán)是外環(huán)，外環(huán)按逆時針走向，根據(jù)外壞的走向，按右手定則確定面的外指法矢方向；確定面中內(nèi)孔或凸臺周界的環(huán)是內(nèi)環(huán)，內(nèi)環(huán)按順時針走向。邊(edge)：是物體兩個鄰面的交界。邊有方向，不能自交。項點(vertex)：是邊的端點，不允許出現(xiàn)在邊的內(nèi)部，也不能孤立存在于物體的內(nèi)外或面的內(nèi)部。歐拉公式式中各符號分別為頂點、邊、面、殼、孔、內(nèi)環(huán)的數(shù)量。邊界表示中的翼邊結構描述面、邊、頂點三種拓撲元素的鄰接關系有3組共9種表示方式，其中以邊為核心的一組鄰接信息最實用，稱為翼邊結構，它是描述與一條邊相鄰的兩個頂點、四條鄰邊和兩個鄰面這些拓撲信息的數(shù)據(jù)結構。通過這種翼邊結構可以方便地查找各元素之間的鄰接關系。邊界表示的數(shù)據(jù)結構集合運算

集合運算又稱布爾運算。在邊界表示的實體造型系統(tǒng)中，復雜的形體一般是用若干簡單的形體(體素)經(jīng)并、交、差、求補等集合運算自動生成?；谶吔绫砻娣诸惖乃惴ǎ涸O兩個物體A和B的邊界表面表示為b(A)和b(B)，將其各面經(jīng)過剪裁可歸納成四類：AinB、AoutB、BinA和BoutA?；谏鲜鲞吔绫砻娴姆诸?，可得出以下集合運算的表達式：體素構造法體素構造法(CSG)是用基本