（信號(hào)與系統(tǒng)課程）第五章 連續(xù)系統(tǒng)的復(fù)頻域分析：第1講

第五章第1講1第五章連續(xù)系統(tǒng)的復(fù)頻域分析拉普拉斯變換拉普拉斯反變換微分方程的變換解網(wǎng)絡(luò)的S域模型及分析任意信號(hào)輸入的響應(yīng)第五章第1講2傅里葉變換的問題傅里葉變換在分析信號(hào)的頻譜等方面是十分有效的，但在系統(tǒng)分析方面有不足之處：對(duì)時(shí)間函數(shù)限制嚴(yán)，是充分條件。不少函數(shù)不能直接按定義求，如增長(zhǎng)的指數(shù)函數(shù)

eata>0，傅里葉變換就不存在。

不能解決零輸入響應(yīng)問題，只能解決零狀態(tài)響應(yīng)。求傅里葉反變換也比較麻煩。第五章第1講3§1拉普拉斯變換從傅里葉變換到拉普拉斯變換用e-tf(t)來保證傅里葉積分收斂令s=+j稱為復(fù)頻率稱為復(fù)傅里葉變換或雙邊拉普拉斯變換。也稱為象函數(shù)。稱為拉普拉斯反變換，也稱原函數(shù)。對(duì)于有始信號(hào)，稱為單邊拉普拉斯變換或拉普拉斯變換。稱為單邊拉氏反變換或拉氏反變換。簡(jiǎn)記：f(t)

F(s)

記F(s)=[f(t)]記f(t)=-1[F(s)]第五章第1講4拉普拉斯變換與傅里葉變換的關(guān)系傅里葉變換和拉普拉斯變換是雙邊拉普拉斯變換的特殊情況，雙邊或單邊拉普拉斯變換是傅里葉變換的推廣。第五章第1講5拉氏變換與傅氏變換表示信號(hào)的差別第五章第1講6幾個(gè)基本函數(shù)的拉普拉斯變換指數(shù)函數(shù)f(t)=es0t(t)s0為復(fù)常數(shù)。即Re[s]＞Re[s0]令s0=

實(shí)數(shù)，則，Re[s]＞

令s0=j

虛數(shù)，則，Re[s]＞0單位階躍函數(shù)

(t)令上例中s0=0。則Re[s]＞0單位沖激函數(shù)

(t)Re[s]＞-∞第五章第1講7§2拉普拉斯變換的收斂域單邊拉普拉斯變換的收斂域若存在常數(shù)

1，使Re[s]=

＞

1則t

時(shí)，f

(t)e-t0故，收斂域?yàn)镽e[s]=

＞

1，若存在兩個(gè)常數(shù)

1和

2，使得雙邊拉普拉斯變換的收斂域Re[s]＞

1Re[s]＜

2故，收斂域?yàn)?/p>

1＜Re[s]＜

2收斂域收斂域第五章第1講8例1求f(t)=e-a

t(t)的拉普拉斯變換，其中：a

>0

解：為保證收斂，有a+

＞0，故收斂域?yàn)?/p>

＞－a收斂域第五章第1講9例2求f(t)=-e-a

t(-t)的拉普拉斯變換，其中：a

>0

解：為保證收斂，有a+<0，故收斂域?yàn)?lt;-a收斂域第五章第1講10例3求f(t)=e-

t(t)+e-2t(t)的拉普拉斯變換。

解：第一項(xiàng)的收斂域Re[s]＞－1，第二項(xiàng)的收斂域Re[s]＞－2，為保證收斂，取公共收斂域，其收斂域?yàn)镽e[s]＞－1。收斂域第五章第1講11說明幾點(diǎn)f

(t)的拉普拉斯變換僅在收斂域內(nèi)存在，故求F(s)時(shí)應(yīng)指明其收斂域。在實(shí)際存在的有始信號(hào)，只要

取得足夠大，總是滿足絕對(duì)可積條件的。故單邊拉普拉斯變換一定存在。所以，單邊拉普拉斯變換一般不說明收斂域。兩個(gè)函數(shù)的拉普拉斯變換可能一樣，但時(shí)間函數(shù)(原函數(shù))相差很大。這主要區(qū)別在于收斂域。見例１和例２。如果拉普拉斯變換的收斂域不包括j

軸，那么傅里葉變換也不收斂。f

(t)的拉普拉斯變換存在多個(gè)收斂域時(shí)，取其公共部分（重疊部分）為其收斂域。第五章第1講12收斂域的若干特性f

(t)是有限長(zhǎng)的，則收斂域是整個(gè)S平面，Re[s]＞－∞。f

(t)乘指數(shù)增長(zhǎng)或指數(shù)衰減信號(hào)，因?yàn)闀r(shí)間有限，總是絕對(duì)可積的。故在整個(gè)Ｓ平面內(nèi)，f

(t)e-

t絕對(duì)可積。f

(t)為右邊信號(hào)，則收斂域是Re[s]＞

0，

0＞0若f

(t)e-

0t絕對(duì)可積，則

1＞

0；f

(t)e-

1t也絕對(duì)可積。因?yàn)楫?dāng)t-

時(shí)，e-

t增長(zhǎng)。但當(dāng)t<T1

時(shí)，f

(t)=0。故在Re[s]＞

0的區(qū)域內(nèi)，f

(t)e-

t絕對(duì)可積。收斂域第五章第1講13收斂域的若干特性f

(t)為左邊信號(hào)，則收斂域是

Re[s]＜

0，

0＜0。f

(t)為雙邊信號(hào)，則收斂域是S平面的一條帶狀區(qū)域。證明同上。若f

(t)e-

0t絕對(duì)可積，則

1<

0；f

(t)e-

1t也絕對(duì)可積。因?yàn)楫?dāng)t

時(shí)，e-

t增長(zhǎng)。但當(dāng)t>T2時(shí)，f

(t)=0。故在Re[s]<

0的區(qū)域內(nèi)，f

(t)e-

t絕對(duì)可積。收斂域第五章第1講14§3拉普拉斯變換的性質(zhì)返回第五章第1講15舉例例1余弦函數(shù)

f

(t)=cost·(t)應(yīng)用線性性質(zhì):例2正弦函數(shù)

f

(t)=sint·(t)應(yīng)用線性性質(zhì):例3單位斜坡函數(shù)

f

(t)=t(t)，因?yàn)椋簯?yīng)用頻域微分性質(zhì)查看性質(zhì)第五章第1講16舉例例4指數(shù)余弦函數(shù)

f

(t)=etcost·(t)應(yīng)用頻移性質(zhì):例5門函數(shù)（矩形波）

f

(t)=A[(t)-(t-T)]查看性質(zhì)第五章第1講17舉例例6任意周期函數(shù)

若f1(t)

F1(s),應(yīng)用時(shí)移性質(zhì):設(shè)

f1(t)為周期函數(shù)的第一周期，則周期函數(shù)可表示為：返回第五章第1講18舉例例7周期矩形波

f1(t)=

(t)-(t-1)，T=3例8沖激串

f

1(t)=(t)查看性質(zhì)第五章第1講19舉例例9鋸齒波

查看性質(zhì)方法一：用頻域微分性質(zhì)：方法二：用時(shí)域微分性質(zhì)：第五章第1講20舉例例10

查看性質(zhì)方法二：方法一：因?yàn)橛妙l域微分性質(zhì)：應(yīng)用頻移性質(zhì)：應(yīng)用時(shí)移性質(zhì)：應(yīng)用頻域微分性質(zhì)：第五章第1講21舉例例10

查看性質(zhì)方法三：應(yīng)用頻移性質(zhì)：應(yīng)用時(shí)移性質(zhì)：第五章第1講22舉