第二十四章相似三角形(復(fù)習(xí))

第二十四章相似三角形（一）比例線段一、概念辨析1、比例線段：四條線段a、b、c、d中，如果a與b的比等于c與d的比，即

，那么這四條線段a、b、c、d叫做成比例線段，簡(jiǎn)稱(chēng)比例線段.線段d是a、b、c的第四比例項(xiàng).例1(1)若x是2、4、6的第四比例項(xiàng)，求x(2)若x,3,4,6成比例線段，求x2、比例的基本性質(zhì)：比例的兩個(gè)外項(xiàng)的積等于兩個(gè)內(nèi)項(xiàng)的積.例2、若ab=cd,則下列式子成立的是（）3、比例中項(xiàng)：由b2=ac可得a：b=b：c（b:a=c:b），線段b叫a、c的比例中項(xiàng).例3、（1）若線段a=5厘米，b=6厘米，則a、b的比例中項(xiàng)為

。（2）若a=5，b=6，則a、b的比例中項(xiàng)為

。4、合比性質(zhì)：等比性質(zhì):如果,那么例4、5、黃金分割：如果點(diǎn)P把線段AB分割成AP和PB（AP>PB）兩段，其中AP是AB和PB的比例中項(xiàng)，那么稱(chēng)這種分割為黃金分割，點(diǎn)P稱(chēng)為線段AB的黃金分割點(diǎn)AP與AB的比值為，近似值為0.618。例5、（1）已知：點(diǎn)P將線段AB黃金分割，且AB=4cm，則AP=

cm.（2）已知：點(diǎn)P將線段AB分成AP、BP兩段，其中AP是AB、BP的比例中項(xiàng)，AB=4cm，則AP=

cm。6、三角形一邊的平行線性質(zhì)定理：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊所在的直線，截得的對(duì)應(yīng)線段成比例.符號(hào)語(yǔ)言：∵DE∥BC,

,

7、三角形一邊的平行線性質(zhì)定理推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊所在的直線，截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對(duì)應(yīng)成比例.符號(hào)語(yǔ)言：∵DE∥BC,∴例6：如圖：△ＡＢＣ中，ＤＥ∥ＢＣ，ＡＤ＝２，ＤＢ＝４，ＤＥ＝３，則ＢＣ＝

。例7：如圖：ＤＥ∥ＢＣ，ＡＤ＝２，ＡＥ＝３，ＤＥ＝４，ＡＢ＝６，則ＢＣ＝

。ＣＥ＝

。8、三角形一邊的平行線判定定理推論:

如果一條直線截三角形兩邊的延長(zhǎng)線（這兩邊的延長(zhǎng)線在第三邊的同側(cè)）所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊.∵∴DE∥BC,9、平行線分線段成比例定理：兩條直線被三條平行的直線所截，截得的對(duì)應(yīng)線段成比例.等.∵AD∥BE∥CF

∴＝10、平行線等分線段定理：兩條直線被三條平行的直線所截，如果在一直線上所截得的線段相等，那么在另一直線上所截得的線段也相等。等.∵AD∥BE∥CF且DE=EF

∴AB=BC11、重心的性質(zhì)：三角形的重心到一個(gè)頂點(diǎn)的距離，等于它到對(duì)邊中點(diǎn)的距離的兩倍.∵G是△ＡＢＣ的重心∴例8、如圖：過(guò)△ＡＢＣ的重心G作BC的平行線，分別交AB、AC于點(diǎn)E、F，若EF=4，則BC=

。例9：如圖：ＡＤ∥ＢＥ∥ＦＣ，DF=8，DE=6，ＡB＝2，則ＢＣ＝

．例9：如圖：ＡＤ∥ＢＥ∥ＦＣ，ＡＤ＝３，ＢＥ＝１，ＦＣ＝２，ＡＣ＝１０，則ＢＣ＝

．例10：如圖：△ＡＢＣ中，ＤＥ∥ＢＣ，ＥＦ∥ＡＢ，則下列比例式中正確的是（）例１1：已知：ＡＢ∥ＦＥ∥ＤＣ，ＡＢ＝２，ＣＤ＝６，ＡＥ：ＥＣ＝１：３，求ＥＦ的長(zhǎng)例１2、如圖：ＡＢＣＤ中，ＢＥ＝２ＥＣ，Ｆ是ＣＤ的中點(diǎn)，ＡＣ與ＥＦ交于Ｇ，求的值例１3、如圖：Ｄ是△ＡＢＣ的邊ＡＣ的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Ｄ作直線交ＡＢ于點(diǎn)Ｅ，交ＢＣ的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Ｆ．求證：相似三角形（二）相似三角形的判定例1、如圖，Ｅ是△ＡＢＣ中AB邊上的一點(diǎn)，F(xiàn)是△ＡＢＣ中AC邊上的一點(diǎn)，要使△ＡEF與△ＡＢＣ相似，只需添加一個(gè)條件

。例2、已知△ＡＢＣ，D為AB邊上的點(diǎn)，且∠ACD=∠B求證：FECBA例3、如圖，已知：求證：例4、如圖：由5個(gè)同樣大小的正方形拼成一個(gè)長(zhǎng)方形求∠D+∠B的度數(shù)。例5、如圖，在等腰三角形ADE中，AD=AE，點(diǎn)B在ED的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)C在DE的延長(zhǎng)線上（1）若∠DAE=900，

∠BAC=1350求證：（2）若∠BAC=1000，則當(dāng)∠DAE為多少度時(shí)例6、如圖，∠1=∠2，

求證：△ABC∽△EDC例7、在△ABC和△A’B’C’中，AD和A’D’分別為BC、B’C’邊上的中線，且求證：△ABC∽△A’B’C'例8、如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E是BC上一點(diǎn)，連結(jié)AE、DE、F為AE上一點(diǎn)，且∠DFE=∠C，ABCDEF求證：（1）△ABE∽△DFA；（2）

ABCDEF例9.已知：如圖4，在梯形ABCD中，AB∥CD．且AB=2CD，

E、F分別是AB和BC的中點(diǎn)，EF與BD相交于點(diǎn)M．求證：DM=2BM．DAEBFCM例10、如圖，梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD=BC=4,AD=2.點(diǎn)M是邊BC的中點(diǎn)，以M為頂點(diǎn)作∠EMF＝∠B