浙江樹(shù)人大學(xué)高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽章程

浙江樹(shù)人大學(xué)高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽章程第一條總則樹(shù)人大學(xué)高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽（以下簡(jiǎn)稱(chēng)競(jìng)賽）是由校大學(xué)生科技競(jìng)賽委員會(huì)主辦、樹(shù)人大學(xué)基礎(chǔ)部承辦的面向全校大一學(xué)生的一項(xiàng)科技競(jìng)賽，旨在激發(fā)我校學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，提高學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維，同時(shí)也為省高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽（5月底）、全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽（10月底）和全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽（9月初）選拔人才。第二條競(jìng)賽內(nèi)容1．競(jìng)賽分為三個(gè)類(lèi)別，分別為理工類(lèi)、經(jīng)管類(lèi)和文專(zhuān)類(lèi)。（1）理工類(lèi)面向信息學(xué)院、生環(huán)學(xué)院的所有本科專(zhuān)業(yè)以及城建學(xué)院的土木工程專(zhuān)業(yè)。（2）經(jīng)管類(lèi)面向管理學(xué)院和現(xiàn)代服務(wù)業(yè)學(xué)院的所有本科專(zhuān)業(yè)。（3）文專(zhuān)類(lèi)面向所有開(kāi)設(shè)高等數(shù)學(xué)類(lèi)課程的文科、專(zhuān)科各專(zhuān)業(yè)以及城建學(xué)院除土木工程外的各本科專(zhuān)業(yè)。2.各類(lèi)別競(jìng)賽內(nèi)容分別為（1）理工類(lèi)：極限、導(dǎo)數(shù)（及應(yīng)用）、不定積分、定積分（及應(yīng)用）、微分方程；（2）經(jīng)管類(lèi)：極限、導(dǎo)數(shù)（及應(yīng)用）、不定積分、定積分（及應(yīng)用）、微分方程；（3）文專(zhuān)類(lèi)：極限、導(dǎo)數(shù)（及應(yīng)用）、不定積分、定積分。3.競(jìng)賽試題以當(dāng)前正在使用的《高等數(shù)學(xué)》、《微積分》或《應(yīng)用高等數(shù)學(xué)》教材及配套習(xí)題冊(cè)作為出題的主要依據(jù)。第三條競(jìng)賽形式、規(guī)則和紀(jì)律1．競(jìng)賽由樹(shù)人大學(xué)基礎(chǔ)部數(shù)學(xué)教研室統(tǒng)一命題，閉卷考試方式，考試時(shí)間為120分鐘。2．競(jìng)賽一般在每年3，4月的某一周的周二下午13：30—15：30舉行。3．參賽對(duì)象為大一學(xué)生，以班級(jí)為單位報(bào)名參賽。原則上每班報(bào)名人數(shù)不超過(guò)班級(jí)人數(shù)的25％。4．參賽學(xué)生攜帶至少兩證(身份證、學(xué)生證或一卡通）入場(chǎng)參賽。工作人員將密封的賽題按時(shí)啟封發(fā)給參賽學(xué)生，參賽學(xué)生在規(guī)定時(shí)間內(nèi)完成答卷，并準(zhǔn)時(shí)交卷。5．對(duì)違反競(jìng)賽規(guī)則的參賽學(xué)生，一經(jīng)發(fā)現(xiàn)，取消參賽資格，成績(jī)無(wú)效。第四條組織形式競(jìng)賽由校大學(xué)生科技競(jìng)賽委員會(huì)主辦，樹(shù)人大學(xué)基礎(chǔ)部承辦，校數(shù)學(xué)建模社團(tuán)與校學(xué)生會(huì)學(xué)習(xí)部協(xié)助基礎(chǔ)部完成競(jìng)賽的各項(xiàng)組織工作。由基礎(chǔ)部數(shù)學(xué)教研室負(fù)責(zé)擬定賽題、安排場(chǎng)地、組織監(jiān)考、閱卷和評(píng)獎(jiǎng)、頒發(fā)獲獎(jiǎng)證書(shū)和獎(jiǎng)品。報(bào)名表將發(fā)放到各個(gè)班級(jí)，以班級(jí)為單位報(bào)名。報(bào)名截止時(shí)間以報(bào)名表上注明的為準(zhǔn)。第五條評(píng)獎(jiǎng)辦法評(píng)卷采用流水批卷形式，按理工、經(jīng)管、文專(zhuān)三個(gè)類(lèi)別分別從高分到低分確定獎(jiǎng)級(jí)。競(jìng)賽每個(gè)類(lèi)別均設(shè)一、二、三等獎(jiǎng)，三個(gè)獎(jiǎng)級(jí)占本類(lèi)別參賽人數(shù)的比例分別為：一等獎(jiǎng)5％、二等獎(jiǎng)10％、三等獎(jiǎng)25％，賽后發(fā)放獲獎(jiǎng)證書(shū)及獎(jiǎng)品。校大學(xué)生科技競(jìng)賽委員會(huì)浙江樹(shù)人大學(xué)基礎(chǔ)學(xué)院2018-3附：（樣卷僅供參考。本屆賽題覆蓋范圍與往屆不一定相同，以本章程正文中提供的范圍為準(zhǔn)）HYPERLINK\l"樣卷一"樣卷一（17年理工類(lèi)試卷）HYPERLINK\l"樣卷二"樣卷二（17年經(jīng)管類(lèi)試卷）HYPERLINK\l"樣卷三"樣卷三（17年文專(zhuān)類(lèi)試卷）樣卷一：浙江樹(shù)人大學(xué)第十一屆《高等數(shù)學(xué)》競(jìng)賽(2017)工科類(lèi)試卷考試時(shí)間：120分鐘題號(hào)一二三四五六七總分分值2424128121010100得分一、計(jì)算題：（每題6分，共24分）1..2..3..4..二、填空題：（每題4分，共24分）1.設(shè)常數(shù)，則____________.2.設(shè)，則____________.3.設(shè)是由所確定的隱函數(shù)，則___________.4.設(shè)連續(xù)，則________________.5.設(shè)_______________.6.設(shè)是某個(gè)二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的兩個(gè)解，則該方程是________________________.三、(12分)設(shè)函數(shù)滿足方程和.(1)求的表達(dá)式.(2)求曲線的拐點(diǎn).四、(8分)求數(shù)列中的最大者.五、(12分)設(shè)在(為正整數(shù))上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù),在內(nèi)二階可導(dǎo)，且，證明：(1)存在，使得；(2)任取正整數(shù)，存在，使得.六、(10分)設(shè)在上有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù),,證明：(1)；(2)若，則.七、(10分)設(shè)拋物線通過(guò)原點(diǎn)，且當(dāng)時(shí)，.若該拋物線與軸、直線所圍成平面圖形的面積為，試求的值，使得這個(gè)圖形繞軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體體積最小.浙江樹(shù)人大學(xué)第十一屆《高等數(shù)學(xué)》競(jìng)賽(2017)工科類(lèi)試卷答案一、1.(3分)(6分)2.(3分)(6分)3.(3分)(6分)4.(3分)(6分)二、1.；2.；3.；4.；5.；6..三、解：(1)由題設(shè)，，其通解為(3分)將代入得，.所以，.(5分)(2)利用可知，.于是，(7分).(9分)當(dāng)時(shí)，有；當(dāng)時(shí)，有，又，故曲線的拐點(diǎn)為.(12分)四、解：設(shè)，則，得.(4分)在上單調(diào)增加，在上單調(diào)減少，故為在上的最大值點(diǎn).(6分)可知和可能為最大者，因?yàn)?，故為最大?(8分)五、證明：(1)若，由Rolle定理，結(jié)論明顯.(1分)若，因?yàn)樵谏线B續(xù)，所以在上連續(xù)，且有最大值和最小值.于是，，故.(3分)由介值定理，存在，使得.(5分)應(yīng)用Rolle定理，存在，使得.(7分)(2)令(為任取正整數(shù))，則由.(9分)應(yīng)用Lagrange中值定理，存在，使得，即.(12分)六、證明：(1).(5分)(2)由(1)及，有(7分).(10分)七、解：因?yàn)榻?jīng)過(guò)原點(diǎn)，所以.(1分)由題設(shè)，，即.(3分)于是，圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所成旋轉(zhuǎn)體的體積為：.(6分)所以，.令，得惟一駐點(diǎn).(8分)又，則是的最小值點(diǎn).此時(shí)，.(10分)樣卷二：浙江樹(shù)人大學(xué)第十一屆《高等數(shù)學(xué)》競(jìng)賽(2017)經(jīng)管類(lèi)試卷考試時(shí)間：120分鐘題號(hào)一二三四五六七總分分值21271010101012100得分一、填空題（每空格3分，共21分）1....2.若，則常數(shù)，.3.設(shè)是連續(xù)函數(shù)，則＝．4.設(shè)，則.二、計(jì)算題(每小題9分,共27分)1.，求2.3.討論方程根的個(gè)數(shù)．三、(10分)在曲線上求點(diǎn)，使過(guò)該點(diǎn)的切線被兩坐標(biāo)軸所截線段的長(zhǎng)度最小.四、(10分)在上連續(xù)且滿足,求.五、(10分)設(shè)為的一個(gè)原函數(shù)，為的一個(gè)原函數(shù)，且，求.六、(10分)在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),且滿足.,使得.七、(12分)若在的某個(gè)鄰域中有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)，且存在，證明：.浙江樹(shù)人大學(xué)第十一屆《高等數(shù)學(xué)》競(jìng)賽(2017)經(jīng)管類(lèi)試卷答案一、填空題（每空格3分，共21分）1.-1,-1,2.-1,33.04.二、計(jì)算題(每小題9分,共27分)1.2.3.討論方程根的個(gè)數(shù)．解：令，則在內(nèi)遞增當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.故在內(nèi)單調(diào)增加，在內(nèi)單調(diào)減少．由于，所以在和內(nèi)分別有一個(gè)零點(diǎn)，即方程有兩個(gè)根．三、(10分)在曲線上求點(diǎn)，使過(guò)該點(diǎn)的切線被兩坐標(biāo)軸所截線段的長(zhǎng)度最小.解：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則過(guò)該點(diǎn)的切線與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為.兩交點(diǎn)的距離令，則，.0+不存在0+減極小值增減極小值增，，.四、(10分)解：.兩邊積分得:所以..五、(10分)解：.六、(10分),有.由羅爾定理得：,使得,即.七、(12分)證：其中,,由得：.樣卷三：浙江樹(shù)人大學(xué)第十一屆《高等數(shù)學(xué)》競(jìng)賽（2017.4）文專(zhuān)類(lèi)試卷考試時(shí)間：120分鐘題號(hào)一二三四五六七八總分分值241810771888100得分一、填空題(每空格3分,共24分)1.2.設(shè)是可導(dǎo)函數(shù),且則3.設(shè),則4..abxc5.如果在abxc則函數(shù)在處取得______________(填“極大值”、“極小值”或“無(wú)極值”;曲線在上的凹凸性為_(kāi)_______.二、計(jì)算下列極限(每小題6分,共18分)1.2.3.三、設(shè),求,(10分)四、設(shè),求.(7分)五、設(shè)是連續(xù)函數(shù),且,求.(7分)六、求下列積分(每小題6分,共18分)1.2.3.七、設(shè)可導(dǎo)函數(shù)滿足,求(7分)八、證明：當(dāng)時(shí),(7分)浙江樹(shù)人大學(xué)第十一屆《高等數(shù)學(xué)》競(jìng)賽（2017.4）文專(zhuān)類(lèi)試卷解答一、填空題(每空格3分,共24分)1.2.3.4.5.

極小值，凹.二、計(jì)算下列極限(每小題6分,