平方差公式 省賽獲獎(jiǎng)

14.2乘法公式14.2.1平方差公式

多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加.(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn.回憶：多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的法則1.經(jīng)歷探索平方差公式的過程,會(huì)推導(dǎo)平方差公式.2.理解平方差公式的結(jié)構(gòu)特征,靈活應(yīng)用平方差公式．(x+1)(x－1)；(2)(a+2)(a－2)；

(3)(3－x)(3+x)；(4)(2x+1)(2x－1).觀察上述算式，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？運(yùn)算出結(jié)果后，你又發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？等號(hào)的左邊：兩個(gè)數(shù)的和與差的積，等號(hào)的右邊：是這兩個(gè)數(shù)的平方差.=a2－4=4x2－1平方差公式:(a+b)(a－b)=a2－b2.即兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差.(a+b)(a－b)=a2－b2.a2－ab+ab－b2=歸納

請(qǐng)從這個(gè)正方形紙板上，剪下一個(gè)邊長為b的小正方形，如圖1，拼成如圖2的長方形，你能根據(jù)圖中的面積說明平方差公式嗎？(a+b)(a－b)=a2－b2圖1圖2驗(yàn)證【例1】運(yùn)用平方差公式計(jì)算：(1)(3x＋2)(3x－2).(2)(b+2a)(2a－b).【解析】

(1)(3x＋2)(3x－2)=(3x)2－22=9x2－4.(2)(b+2a)(2a－b)=(2a+b)(2a－b)=(2a)2－b2=4a2－b2.只有符合(a+b)(a－b)的形式才能用平方差公式【例2】計(jì)算(1)102×98.(2)(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5).【解析】（1）102×98=(100+2)(100-2)=1002－22=10000－4=9996.(2)原式=(y2－22)-(y2+5y-y-5)=y2－22－y2-5y+y+5=-4y+1.

從例題中，你認(rèn)為運(yùn)用公式解決問題時(shí)應(yīng)注意什么？總結(jié)經(jīng)驗(yàn)（1）在運(yùn)用平方差公式之前，一定要看是否具備公式的結(jié)構(gòu)特征；（2）一定要找準(zhǔn)哪個(gè)數(shù)或式相當(dāng)于公式中的a，哪個(gè)數(shù)或式相當(dāng)于公式中的b；（3）總結(jié)規(guī)律：一般地，“第一個(gè)數(shù)”a的符號(hào)相同，“第二個(gè)數(shù)”b

的符號(hào)相反；（4）公式中的字母a,b可以是具體的數(shù)、單項(xiàng)式、多項(xiàng)式等；（5）不能忘記寫公式中的“平方”．1.下列多項(xiàng)式乘法中，能用平方差公式計(jì)算的是()

（1）(x+1)(1+x)； （2）(a+b)(b－a)；（3）(－a+b)(a－b)；（4）(x2－y)(x+y2)；（5）(－a－b)(a－b)； （6）(c2－d2)(d2+c2).

（2）（5）（6）【跟蹤訓(xùn)練】1.(1＋x)(1－x)＝1－

2.(-3＋a)(-3－)＝

－a24.(0.3x－2)(

)＝4－0.09x23.(x＋a)(a

)＝a2–x25.(ab)(－x)＝x2－2.填空：使等式兩邊滿足平方差公式x2a9-x-aba2b2-x-2-0.3x3.利用平方差公式計(jì)算：原式=(-2y-x)(-2y+x)=4y2－x2.【解析】原式=(5+2x)(5-2x)=25－4x2.【解析】原式=[(x+6)-(x-6)][(x+6)+(x-6)]=(x+6-x+6)(x+6+x-6)=12×2x=24x.平方差公式的逆用a2－b2=

(a+b)(a－b)【解析】【解析】原式=(0.5-x)(0.5+x)(x2+0.25)=(0.25－x2)(0.25+x2)=0.0625－x4.（5）100.5×99.5.【解析】原式=(100+0.5)(100-0.5)=10000-0.25=9999.75.通過本課時(shí)的學(xué)習(xí)，需要我們掌握：平方差公式:(a+b)(a－b)=a2－b2.即兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差.平方差公式的逆用：

a2－b2=

(a+b)(a－b)1．（眉山·中考）下列運(yùn)算中正確的是（）A．B．C．D．【解析】選B.在A中3a＋2a＝5a；C中；

D中.2.(威?！ぶ锌?已知a-b=1,則a2－b2－2b的值為()A．4 B．3C．1 D．0【解析】選C.a2－b2－2b=(a-b)(a+b)-2b=a+b-2b=a-b=1.3.（湖州·中考）將圖甲中陰影部分的小長方形變換到圖乙位置，你能根據(jù)兩個(gè)圖形的面積關(guān)系得到的數(shù)學(xué)公式是___________．【解析】圖甲的面積=（a+b）(a-b)，圖乙的面積=a(a-b)+b(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2.答案:（a+b）(a-b)=a2-b2

原式=(100-1)(100+1)×10001=(10000-1)(10000+1)=100000000-1=99999999.4.計(jì)算99×101×10001.【解析】5.化簡：(x-y)(x+y)(x2+y2)(x4+y4)(x8+y8)(x16+y16).原式=（x2-y2)(x2+y2)(x4+y4)(x8+y8)(x16+y16)=（x4-y4)(x4+y4)(x8+y8)(x16+y16)=（x8-y8)(x8+y8)(x16+y16)=(x16-y16)(x16+y16)=x32-y32.【解析】

科學(xué)探究

給出下列算式:32－12=8=8×1；52－32=16=8×2；72－52=24=8×3；92－72=32=8×4.（1）觀察上面一系列式子，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？

（2）用含n的式子表示出來

(n為正整數(shù)）（3）計(jì)算20172－2015