線性代數(shù)重點(diǎn)

線性代數(shù)部分線代這門課的特點(diǎn)線性代數(shù)與高數(shù)和概率相比，特點(diǎn)之一是知識(shí)點(diǎn)比較細(xì)碎。如矩陣部分涉及到了各種類型的性質(zhì)和關(guān)系，記憶量大而且容易混淆的地方較多；但線代更重要的特點(diǎn)在于知識(shí)點(diǎn)間的聯(lián)系性很強(qiáng)。這種聯(lián)系不僅僅是指在后面幾章中用到前兩章行列式和矩陣的相關(guān)知識(shí)，更重要的是在于不同章節(jié)中各種性質(zhì)、定理、判定法則之間有著相互推導(dǎo)和前后印證的關(guān)系。歷年考研真題中線代部分的題目都很靈活，在一道大題甚至小題中就可以考察到多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，而且過(guò)渡自然、結(jié)構(gòu)巧妙；有相當(dāng)一部分題目可以找出多種解法。出現(xiàn)這種情況當(dāng)然與出題專家水平高有關(guān)，但內(nèi)在原因還是在于線性代數(shù)這門課“知識(shí)點(diǎn)間聯(lián)系性強(qiáng)”的特點(diǎn)。所以我們?cè)趶?fù)習(xí)線代的策略中，有必要考慮一下怎樣才能做到“融會(huì)貫通”。“融會(huì)”可以理解為設(shè)法找到不同知識(shí)點(diǎn)之間的內(nèi)在相通之處；“貫通”可以理解為掌握前后知識(shí)點(diǎn)之間的順承關(guān)系。這樣做的目的就在于——當(dāng)看到題目的條件和結(jié)論、推測(cè)出其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)時(shí)立刻就能想到與之有關(guān)聯(lián)的其他知識(shí)點(diǎn)隊(duì)列，從而大大提高解題效率、增加得分勝算。這樣的復(fù)習(xí)策略雖然也能夠用于高數(shù)和概率，但在線代復(fù)習(xí)中的作用體現(xiàn)的最為明顯。以第三章《向量》、第四章《線性方程組》為例，“線性相關(guān)”、“線性表示”的概念與線性方程組的某些性質(zhì)定理之間存在著相互推導(dǎo)和相互印證的關(guān)系；出題專家在編制題目時(shí)常常利用這些聯(lián)系將兩部分的內(nèi)容結(jié)合起來(lái)出題，比如在歷年真題中出現(xiàn)頻率很高的性質(zhì)“齊次方程組是否有零解對(duì)應(yīng)于A的列向量組是否線性相關(guān)；非齊次方程組Ax=b是否有解對(duì)應(yīng)于向量b是否可由A的列向量線性表示”。再如一個(gè)貌似考察向量組線性無(wú)關(guān)的題目，做起來(lái)以后才發(fā)現(xiàn)實(shí)際考的是矩陣秩或行列式的內(nèi)容，題眼就在于性質(zhì)“方陣A可逆|A|=0A的列向量組線性無(wú)關(guān)r(A)=n”，依靠這一性質(zhì)建立起了線性無(wú)關(guān)和矩陣秩兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)間的聯(lián)系。以上簡(jiǎn)單分析了一下線代這門課本身的特點(diǎn)，在下面的小結(jié)中列出了對(duì)每章中一些具體知識(shí)點(diǎn)內(nèi)在聯(lián)系的分析和實(shí)戰(zhàn)過(guò)程中發(fā)現(xiàn)的一些常用的和好用的性質(zhì)，作為對(duì)具體知識(shí)點(diǎn)的討論。正是因?yàn)榫哂羞@樣的特點(diǎn)，線代與高數(shù)、概率相比，從難易程度上講正是一門“學(xué)得不好就顯得特別的難，一旦學(xué)好以后就會(huì)變得特別容易”的科目，所以實(shí)際上把時(shí)間花在線代復(fù)習(xí)上很劃算；即使你現(xiàn)在認(rèn)為自己的線代水平還不好，那么也不應(yīng)該有放棄線代的打算，因?yàn)?，在一門“已經(jīng)學(xué)得差不多”的課上繼續(xù)投入時(shí)間的效果肯定要比投入等量時(shí)間在一門“學(xué)得不好但有更大提分空間”的課上的效果好，也就是說(shuō)，試圖把一門滿分是100分、現(xiàn)在水平是80分的課提高到85分，一般要比把一門滿分100現(xiàn)在只能拿40分的課提高10分、20分還要難得多。線代第一章《行列式》、第二章《矩陣》第一章《行列式》、第二章《矩陣》是線性代數(shù)中的基礎(chǔ)章節(jié)，有必要熟練掌握。第一章行列式的核心內(nèi)容是求行列式，包括具體行列式的計(jì)算和抽象行列式的計(jì)算，其中具體行列式的計(jì)算又有低階和n階兩種類型；主要方法是應(yīng)用行列式按行\(zhòng)列展開(kāi)定理和化為上下三角行列式求解，還可能用到的方法包括：行列式的定義（n階行列式的值為取自不同行、不同列的n個(gè)元素的乘積的代數(shù)和）、性質(zhì)（其中為矩陣A的特征值）、行列式的性質(zhì)（如“數(shù)乘行列式等于用此數(shù)乘一行列式中的某一行或某一列”）。對(duì)于抽象行列式的求值，考點(diǎn)不在求行列式，而在于、、等的相關(guān)性質(zhì)，在下面對(duì)第二章的討論中會(huì)有小結(jié)。第二章矩陣中的知識(shí)點(diǎn)很細(xì)碎，但好在每個(gè)小知識(shí)點(diǎn)包括的內(nèi)容都不多，沒(méi)有什么深度。由歷年考研真題可見(jiàn)，矩陣部分出題很靈活，頻繁出現(xiàn)的知識(shí)點(diǎn)包括矩陣運(yùn)算的運(yùn)算規(guī)律、，，的性質(zhì)、矩陣可逆的判定條件、矩陣秩的性質(zhì)、某些結(jié)構(gòu)特殊的矩陣和矩陣初等變換技巧等。所以復(fù)習(xí)本章的難度主要在于如何保證復(fù)習(xí)的全面細(xì)致，一些做題時(shí)用到的性質(zhì)和方法結(jié)合具體的題目就題論題才有最佳的效果，故在后面的評(píng)題中會(huì)有更充分的討論；下面的表格分類列出了逆矩陣、伴隨矩陣、矩陣轉(zhuǎn)置的性質(zhì)以供區(qū)別記憶：行列式性質(zhì)特征值性質(zhì)（為矩陣的特征值）運(yùn)算性質(zhì)秩的性質(zhì)轉(zhuǎn)置矩陣逆矩陣有特征值伴隨矩陣有特征值、、三者之間有一個(gè)即好記又好用的性質(zhì)數(shù)乘矩陣、矩陣之積及矩陣之和有特征值，有特征值則有：若是可逆矩陣則有；同樣，若可逆則有線代第三章《向量》、第四章《線性方程組》線代第三章《向量》、第四章《線性方程組》是整個(gè)線性代數(shù)部分的核心內(nèi)容，相比之下，前兩章行列式和矩陣可視作是為了討論向量和線性方程組部分的問(wèn)題而做鋪墊的基礎(chǔ)性章節(jié)，后兩章特征值、特征向量、二次型的內(nèi)容則相對(duì)獨(dú)立，可以看作是對(duì)第三、四章核心內(nèi)容的擴(kuò)展。向量與線性方程組兩章的內(nèi)容聯(lián)系很密切，很多知識(shí)點(diǎn)相互之間都有或明或暗的相關(guān)性。復(fù)習(xí)這兩章最有效的方法就是徹底理順諸多知識(shí)點(diǎn)之間的內(nèi)在聯(lián)系，因?yàn)檫@樣做首先能夠保證做到真正意義上的理解，同時(shí)也是熟練掌握和靈活運(yùn)用的前提。解線性方程組可以看作是這兩章內(nèi)容的出發(fā)點(diǎn)和目標(biāo)。線性方程組的系數(shù)矩陣是m行n列的，其有兩種形式，一種是矩陣形式；其中是系數(shù)矩陣,,；另一種是向量形式，其中。向量就這樣被引入了，可能早期的數(shù)學(xué)家研究向量就是為了更好的研究解方程組的問(wèn)題。先討論其次線性方程組與線性相關(guān)、無(wú)關(guān)的聯(lián)系。齊次線性方程組可以直接看出是一定有解的，因?yàn)楫?dāng)式等式一定成立，印證了第三章向量部分的一條性質(zhì)“0向量可由任何向量線性表示”，即當(dāng)中的時(shí)一定存在一組數(shù)使等式成立，至少在全為0時(shí)可以滿足。齊次線性方程組一定有解又可以分為兩種情況：1.有唯一零解；2.有非零解。當(dāng)齊次線性方程組有唯一零解時(shí)，是指等式中的只能全為0才能使等式成立，而第三章向量部分中判斷向量組是否線性相關(guān)\無(wú)關(guān)也正是由這個(gè)等式定義出的。線性相關(guān)的定義為：設(shè)為一組向量，如果存在一組不為零的數(shù)使得等式成立，則稱向量組線性相關(guān)；如果等式當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立，則稱向量組線性無(wú)關(guān)。故向量與線性方程組在此又產(chǎn)生了聯(lián)系：齊次線性方程組是否有非零解對(duì)應(yīng)于系數(shù)矩陣A的列向量組是否線性相關(guān)。（這些聯(lián)系肯定不是簡(jiǎn)單的巧合，很有可能正是數(shù)學(xué)史上前后相承的發(fā)展，說(shuō)不定線性相關(guān)\無(wú)關(guān)的概念正是數(shù)學(xué)家在研究線性方程組問(wèn)題的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)的。其實(shí)如果按照數(shù)學(xué)發(fā)展史的進(jìn)程來(lái)編制數(shù)學(xué)教科書的話，雖然邏輯性和系統(tǒng)性會(huì)不如現(xiàn)在的分章節(jié)教材，但肯定會(huì)大大方便學(xué)習(xí)者的理解和領(lǐng)悟，因?yàn)檫@更接近于人思維自然進(jìn)展的節(jié)奏，非常有利于學(xué)習(xí)者認(rèn)識(shí)各種概念定理的來(lái)龍去脈，而“不明白自己學(xué)的到底是什么”正是很多同學(xué)對(duì)數(shù)學(xué)感到困惑的根源。即使不能做到編制教材，也可以在教材中做一些介紹）。假如線性相關(guān)\無(wú)關(guān)的概念就是為了更好地討論線性方程組問(wèn)題而提出的，那同樣可以認(rèn)為秩是為了更好地討論線性相關(guān)和線性無(wú)關(guān)而引入的。秩的定義是“極大線性無(wú)關(guān)組中的向量個(gè)數(shù)”，向量組組成的矩陣有說(shuō)明向量組的極大線性無(wú)關(guān)組中有n個(gè)向量，即線性無(wú)關(guān)，也即等式只有0解。所以，經(jīng)過(guò)“秩—〉線性相關(guān)\無(wú)關(guān)—〉線性方程組解的判定”的邏輯鏈條，由就可以判定齊次方程組只有0解。當(dāng)時(shí)，按照齊次線性方程組解的判定法則，此時(shí)有非零解，且有n-r個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量。這又與另一條性質(zhì)相和：如果齊次線性方程組方程個(gè)數(shù)小于未知量個(gè)數(shù)則必有非零解。若方程組的系數(shù)矩陣是m行n列的，則方程個(gè)數(shù)小于未知量個(gè)數(shù)時(shí)有m<n；因?yàn)榫仃嚨闹鹊扔谛兄纫驳扔诹兄?，所以必有，根?jù)齊次方程組解的判定定理有非零解。對(duì)于非齊次方程組來(lái)說(shuō)，其解的判定定理與“線性表示”的概念前后聯(lián)系：非齊次方程組是否有解對(duì)應(yīng)于向量是否可由的列向量線性表示。線性表示的定義為：對(duì)于向量組若存在一組數(shù)使等式成立，則稱向量可由向量組線性表示。而使上述等式成立的就是非齊次方程組的解，故齊次方程組有性質(zhì)“齊次線性方程組是否由非零解對(duì)應(yīng)于系數(shù)矩陣的列向量組是否線性向關(guān)”，非齊次方程組也由對(duì)應(yīng)性質(zhì)“非齊次線性方程組是否有解對(duì)應(yīng)于向量是否可由的列向量線性表示”。當(dāng)非齊次線性方程組與對(duì)應(yīng)齊次線性方程組滿足時(shí)，根據(jù)線性方程組解的判定法則，齊次方程組有零解，非齊次方程組有唯一解。這一點(diǎn)也正好印證了一個(gè)重要定理：“若線性無(wú)關(guān)，而線性相關(guān)，則向量可由向量組線性表示，且表示方法唯一”。以上討論了線性相關(guān)、線性表示的概念與齊次、非齊次線性方程組之間的內(nèi)在聯(lián)系，這樣做不僅僅是為了透徹理解知識(shí)點(diǎn)，更是為了有效應(yīng)對(duì)考試題。線代部分的學(xué)習(xí)并不容易“保持平庸”，一般不是學(xué)的很好、做起題來(lái)左右逢源、揮灑自如；就是收效欠佳、總感覺(jué)摸不準(zhǔn)題目的脈絡(luò)；其差距就在于對(duì)線性代數(shù)這門課各章節(jié)知識(shí)的聯(lián)系是不是真正把握領(lǐng)悟了。線代部分的題目難就難在考點(diǎn)的跨度大，出題老師可以借助各知識(shí)點(diǎn)之間天然的內(nèi)在聯(lián)系來(lái)編制出非常靈活的題目，而我們?nèi)绻麅H僅掌握零散知識(shí)點(diǎn)，那怕對(duì)這些孤立的點(diǎn)掌握的再透徹，在作題時(shí)也會(huì)被題目給弄的暈頭轉(zhuǎn)向。我記得當(dāng)時(shí)上線代課時(shí)也常常是聽(tīng)的一頭霧水、莫名其妙，感覺(jué)這門課很難；但在考研備考時(shí)經(jīng)過(guò)這樣“抓本質(zhì)聯(lián)系”的復(fù)習(xí)后卻感覺(jué)線代部分反而是考研數(shù)學(xué)三科中最容易的。每們科目都有其自身的特點(diǎn)，出題老師和我們考生都可以加以利用——出題專家們利用線性代數(shù)“知識(shí)點(diǎn)間聯(lián)系復(fù)雜”的特點(diǎn)可以編制出靈活的試題，我們則可以根據(jù)各知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系來(lái)進(jìn)行歸納、對(duì)比和總結(jié)，從而深化對(duì)知識(shí)點(diǎn)的掌握程度。以上所討論的各種聯(lián)系可以歸納為下面幾條非常重要的定義與性質(zhì)，其涵蓋了大量的題眼，在實(shí)際做題時(shí)非常好用。其含金量之高不僅在線代中是獨(dú)一無(wú)二的，在高數(shù)和概率兩門課的知識(shí)點(diǎn)中也很少見(jiàn)，希望你能重視：三個(gè)雙重定義：秩的定義a.矩陣秩的定義：矩陣中非零子式的最高階數(shù)b.向量組秩定義：向量組的極大線性無(wú)關(guān)組中的向量個(gè)數(shù)2.線性相關(guān)\無(wú)關(guān)的定義：對(duì)于一組向量，若存在不全為零的數(shù)使得成立，則相量組線性相關(guān)，否則向量組線性無(wú)關(guān)，即上述等式當(dāng)且僅當(dāng)全為0時(shí)才成立。向量組線性相關(guān)向量組中至少存在一個(gè)向量可由其余n-1個(gè)向量線性表出；線性無(wú)關(guān)向量組中沒(méi)有一個(gè)向量可由其余的向量線性表出。線性方程組的兩種形式：矩陣形式：向量形式：兩條性質(zhì)：1.對(duì)于方陣有：方陣可逆存在方陣使得的行\(zhòng)列向量組均線性無(wú)關(guān)可由克萊姆法則判斷有唯一解，而僅有零解。對(duì)于一般矩陣則有：的列向量組線性無(wú)關(guān)僅有零解，有唯一解。齊次線性方程組是否有非零解對(duì)應(yīng)于系數(shù)矩陣的列向量組是否線性相關(guān)，而非齊次線性方程組是否有解對(duì)應(yīng)于是否可以由的列向量組線性表出。以上兩條性質(zhì)可視為是將線性相關(guān)、行列式、秩、線性方程組幾部分知識(shí)聯(lián)系在一起的橋梁：性質(zhì)2性質(zhì)1中的“|A|≠0性質(zhì)2性質(zhì)1中的“|A|≠0A的列向量組線性無(wú)關(guān)”性質(zhì)1中的性質(zhì)1中的“r(A)=nA的列向量組線性無(wú)關(guān)”秩以上這些是大量擴(kuò)展性定理性質(zhì)的邏輯基礎(chǔ)，也是出題人考慮跨章節(jié)出題和考察大跨度知識(shí)點(diǎn)時(shí)的必經(jīng)之路——“兵家必爭(zhēng)之地”，怎么重視都不為過(guò)。另外，線性代數(shù)部分在考試時(shí)會(huì)經(jīng)常直接考一些“雖不要求掌握、但卻可以用要求掌握的一些定理推論推導(dǎo)出來(lái)”的性質(zhì)和結(jié)論，所以有必要擴(kuò)大一些知識(shí)面，說(shuō)不定在考試時(shí)就會(huì)有意外收獲：一個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量組不可能由一個(gè)所含向量個(gè)數(shù)比它少的向量組線性表示。如果向量組可由向量組線性表示，則有。等價(jià)的向量組具有相同的秩，但不一定有相同個(gè)數(shù)的向量；任何一個(gè)向量組都與它的極大線性無(wú)關(guān)組等價(jià)。常見(jiàn)的線性無(wú)關(guān)組：齊次方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系；、、這樣的單位向量組；不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量。關(guān)于秩的一些結(jié)論：；；；；；若有、滿足，則；若是可逆矩陣則有；同樣若可逆則有。非齊次線性方程組有唯一解則對(duì)應(yīng)齊次方程組僅有零解，若有無(wú)窮多解則有非零解；若有兩個(gè)不同的解則有非零解；若是矩陣而則一定有解，而且當(dāng)時(shí)是唯一解，當(dāng)時(shí)是無(wú)窮多解，而若則沒(méi)有解或有唯一解。線代第五章《特征值和特征向量》相對(duì)于前兩章來(lái)說(shuō)，本章不是線性代數(shù)這門課的理論重點(diǎn)，但卻是一個(gè)考試重點(diǎn)，歷年考研真題都有相關(guān)題目，而且最有可能是綜合性的大題。特征值和特征向量之所以會(huì)得到如此青睞，大概是因?yàn)榻鉀Q相關(guān)題目要用到線代中的大量?jī)?nèi)容——即有行列式、矩陣又有線性方程組和線性相關(guān)，“牽一發(fā)而動(dòng)全身”；著重考察這樣的知識(shí)點(diǎn)，在保證了考察面廣的同時(shí)又有較大的出題靈活性。從我們的角度來(lái)看，《特征值特征向量》這一章的內(nèi)容即少且條理清晰，雖然涉及其它很多知識(shí)，但需要探究的深層次聯(lián)系很少，故學(xué)好這個(gè)“必考點(diǎn)”實(shí)際上要比學(xué)好高數(shù)中的那些必考點(diǎn)如曲線、曲面積分要容易的多，這一點(diǎn)也是前面說(shuō)復(fù)習(xí)線代這門課很劃算的原因之一。本章知識(shí)要點(diǎn)如下：特征值和特征向量的定義及計(jì)算方法。就是記牢一系列公式如、、和。在歷年真題中常用到下列性質(zhì)：若階矩陣有個(gè)特征值，則有；若矩陣有特征值，則、、、、、分別有特征值、、、、、，且對(duì)應(yīng)特征向量等于所對(duì)應(yīng)的特征向量，而若、分別為矩陣、的特征值，則不一定為的特征值。相似矩陣及其性質(zhì)。定義式為，需要區(qū)分矩陣的相似、等價(jià)與合同：矩陣與矩陣等價(jià)（）的定義式是，其中、為可逆矩陣，此時(shí)矩陣可通過(guò)初等變換化為矩陣，并有；當(dāng)中的、互逆時(shí)就變成了矩陣相似（）的定義式，即有，此時(shí)滿足、、，并且、有相同的特征值。矩陣合同的定義是，其中為可逆矩陣。由以上定義可看出等價(jià)、合同、相似三者之間的關(guān)系：若與合同或相似則與必等價(jià)，反之不成立；合同與等價(jià)之間沒(méi)有必然聯(lián)系。矩陣可相似對(duì)角化的條件。包括兩個(gè)充要條件和兩個(gè)充分條件，充要條件1是階矩陣有個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量；充要條件2是的任意重特征根對(duì)應(yīng)有個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量；充分條件1是有個(gè)互不相同的特征值；充分條件2是為實(shí)對(duì)稱矩陣。實(shí)對(duì)稱矩陣極其相似對(duì)角化。階實(shí)對(duì)稱矩陣必可正交、相似于對(duì)角陣，即有正交陣使得而且正交陣由對(duì)應(yīng)的幾個(gè)正交的特征向量組成。其實(shí)本章的內(nèi)容從中也可以