第二章 2.1 2.1.2 空間中直線與直線之間的位置關(guān)系(第一課時(shí))

平面中的直線有幾種位置關(guān)系？新課引入：空間中的兩直線有幾種位置關(guān)系？一，預(yù)習(xí)思考：P44-481．異面直線(1)定義：把不同在

平面內(nèi)的兩條直線叫做異面直線．(2)畫法：(通常用平面襯托)任何一個(gè)思考1：能否將異面直線理解為分別在兩個(gè)平面內(nèi)的直線或平面內(nèi)的一條直線與平面外的一條直線？思考2：異面直線與平行直線有什么異同點(diǎn)？也是判斷異面直線的依據(jù)2．空間中兩條直線的位置關(guān)系3．平行公理(公理4)與等角定理(1)平行公理：①文字表述：平行于同一條直線的兩條直線

．這一性質(zhì)叫做空間

．互相平行平行線的傳遞性②符號(hào)表述：?

.a∥c(2)等角定理：空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角

或

．相等互補(bǔ)4．異面直線所成的角(1)定義：已知兩條異面直線a，b，經(jīng)過空間任一點(diǎn)O作直線a′∥a，b′∥b，我們把a(bǔ)′與b′所成的

(或

)叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)．(2)范圍：

.(3)當(dāng)θ＝

時(shí)，a與b互相垂直，記作

.銳角直角0°＜θ

≤90°90°a⊥b思考3：在異面直線所成角的定義中，角的大小與點(diǎn)O的位置有關(guān)系嗎？

提示：根據(jù)等角定理可知，a′與b′所成角的大小與點(diǎn)O的位置無關(guān)，但是為了簡便，點(diǎn)O常取在兩條異面直線中的一條上，特別是這一直線上的某些特殊點(diǎn)(如線段的端點(diǎn)、中點(diǎn)等)．

[例1]

在正方體ABCD—A1B1C1D1中，E、F分別是AA1、AB的中點(diǎn)，試判斷下列各對(duì)線段所在直線的位置關(guān)系：(1)AB與CC1；(2)A1B1與DC；(3)A1C與D1B；(4)DC與BD1；(5)D1E與CF.二，合作探究：[自主解答]

(1)∵C∈平面ABCD，AB?平面ABCD，又C?AB，C1?平面ABCD，∴AB與CC1異面．(2)∵A1B1∥AB，AB∥DC，∴A1B1∥DC.(3)∵A1D1∥BC且A1D1＝BC，則A1，B，C，D1在同一平面內(nèi)，∴A1C與D1B相交．(4)∵B∈平面ABCD，DC?平面ABCD，又B?DC，D1?平面ABCD，∴DC與BD1異面．(5)設(shè)CF與DA的延長線交于G，連接D1G，∵AF∥DC，F(xiàn)為AB中點(diǎn)，∴A為DG的中點(diǎn)．又AE∥DD1，∴GD1過AA1的中點(diǎn)E，∴直線D1E與CF相交．

1．判斷兩直線是異面直線的方法:

小結(jié)：(2)觀察法：過平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線和平面內(nèi)不經(jīng)過該點(diǎn)的直線為異面直線(此結(jié)論可作為定理使用)．(1)定義法：依據(jù)定義判斷兩直線不可能在同一個(gè)平面內(nèi)．(3)反證法：即假設(shè)這兩條直線不是異面直線，那么它們是共面直線(即假設(shè)兩條直線相交或平行)，結(jié)合原題中的條件，經(jīng)正確地推理，得出矛盾，從而斷定假設(shè)“兩條直線不是異面直線”是錯(cuò)誤的，進(jìn)而得出結(jié)論：這兩條直線是異面直線．2．判定兩條直線平行或相交可用平面幾何的方法去判斷，而兩條直線平行也可以用公理4判斷．若a和b是異面直線，b和c是異面直線，則a和c的

位置關(guān)系是 (

)A．a(chǎn)∥c

B．a(chǎn)和c異面C．a(chǎn)和c相交 D．a(chǎn)和c平行、相交或異面及時(shí)訓(xùn)練：解析：如圖，在長方體ABCD—A′B′C′D′中，令A(yù)′D′所在直線為a，AB所在直線為b，由題意，a和b是異面直線，b和c是異面直線．若令B′C′所在直線為c，則a和c平行．若令C′C所在直線為c，則a和c異面．若令D′D所在直線為c，則a和c相交．答案：D

[例2]

如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，M1分別是棱AD和A1D1的中點(diǎn)．(1)求證：四邊形BB1M1M為平行四邊形；(2)求證：∠BMC＝∠B1M1C1.[自主解答]

(1)在正方形ADD1A1中，M，M1分別為AD，A1D1的中點(diǎn)，∴MM1綊AA1，又∵AA1綊BB1，∴MM1∥BB1，且MM1＝BB1，∴四邊形BB1M1M為平行四邊形．(2)法一：由(1)知四邊形BB1M1M為平行四邊形，∴B1M1∥BM.同理可得四邊形CC1M1M為平行四邊形，∴C1M1∥CM.由平面幾何知識(shí)可知，∠BMC和∠B1M1C1都是銳角．由等角定理得∠BMC＝∠B1M1C1.法二：由(1)知四邊形BB1M1M為平行四邊形．∴B1M1＝BM.同理可得四邊形CC1M1M為平行四邊形．∴C1M1＝CM，又∵B1C1＝BC，∴△BCM≌△B1C1M1.∴∠BMC＝∠B1M1C1.

(1)定義法：兩直線平行須滿足：①兩直線在同一個(gè)平面內(nèi)；②兩直線沒有公共點(diǎn)．

(2)公理法(利用公理4)：(3)中位線法；（4）平行四邊形法。小結(jié)：判斷兩直線是平行直線的方法:2．如圖，四面體A－BCD的四個(gè)面分別為△ABC、

△ACD、△ADB和△BCD，E、F、G分別是線段AB，AC，AD上的點(diǎn)，且滿足AE∶AB＝AF∶AC＝AG∶AD.求證：△EFG∽△BCD.及時(shí)訓(xùn)練：證明：在△ABD中，∵AE∶AB＝AG∶AD，∴EG∥BD.同理GF∥DC，EF∥BC.又∠GEF與∠DBC方向相同，∴∠GEF＝∠DBC.同理∠EGF＝∠BDC，∴△EFG∽△BCD.三課堂檢測：課堂強(qiáng)化：1,2,3[例3]如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，求下列異面直線所成的角．(1)AA1與BC；(2)A1B與AC.[自主解答]

(1)∵AA1∥BB1，∴∠B1BC是異面直線A1A與BC所成的角．又∵∠B1BC＝90°，∴異面直線AA1與BC所成的角為90°.(2)連接A1C1，∵AA1C1C為平行四邊形，∴AC∥A1C1，∴∠BA1C1是異面直線A1B與AC所成的角．連接BC1，△A1BC1是正三角形，∴∠BA1C1＝60°，∴異面直線A1B與AC所成的角為60°.求異面直線所成角的基本步驟(1)作——即據(jù)定義作平行線，作出異面直線所成的角，作平行線時(shí)，若遇題設(shè)中有中點(diǎn)，?？紤]中位線；若異面直線依附于某幾何體，且直接對(duì)異面直線平移有困難時(shí)，可利用該幾何體的特殊點(diǎn)，使異面直線轉(zhuǎn)化為相交直線．(2)證——證明這個(gè)角或其補(bǔ)角即為所求的角．(3)求——轉(zhuǎn)化為求一個(gè)三角形的內(nèi)角，通過解三角形，求出所找的角．所以異面直線AD，BC所成的角為∠EMF的補(bǔ)角，即異面直線AD，BC所成的角為60°.分別和兩條異面直線相交的兩條直線的位置關(guān)系是 (

)A．相交 B．異面C．平行 D．相交或異面[錯(cuò)解]

根據(jù)條件可知兩條直線的位置關(guān)系如圖所示，故選B.[錯(cuò)因]

本題中沒有限制交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，解答時(shí)只考慮到有四個(gè)交點(diǎn)的情形，沒有想象到有三個(gè)交點(diǎn)的情形，如圖示．