統(tǒng)計(jì)第八章相關(guān)回歸

第八章相關(guān)與回歸分析學(xué)習(xí)目標(biāo)1、掌握相關(guān)關(guān)系的概念和種類2、掌握相關(guān)分析的基本方法3、掌握一元線性回歸的基本原理和參數(shù)的最小二乘估計(jì)法4、利用回歸方程進(jìn)行統(tǒng)計(jì)預(yù)測(cè)分兩節(jié)來(lái)講：第一節(jié)相關(guān)的概念第二節(jié)相關(guān)分析第三節(jié)回歸分析與一元線性回歸分析

第四節(jié)多元線性回歸分析第五節(jié)非線性回歸分析第一節(jié)相關(guān)的概念一函數(shù)關(guān)系設(shè)有兩個(gè)變量x和y，變量y隨變量x的變化而變化，并完全依賴于x，則稱y是x的函數(shù)，記為y=f(x)，其中x稱為自變量，y稱為因變量。函數(shù)關(guān)系是一一對(duì)應(yīng)的確定性關(guān)系。

函數(shù)關(guān)系的例子在價(jià)格一定的情況下,某種商品的銷售額(y)與銷售量(x)之間的關(guān)系可表示為

y=p

x(p為單價(jià))圓的面積(S)與半徑之間的關(guān)系可表示為S=

R2

二相關(guān)關(guān)系特點(diǎn):1、一個(gè)變量的取值不是完全由另一個(gè)(或一組)變量唯一確定。2、當(dāng)變量x取某個(gè)值時(shí)，變量y的取值可能有幾個(gè)，不是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系概念：相關(guān)關(guān)系是變量之間確實(shí)存在著的數(shù)量上的相互依存關(guān)系，但關(guān)系值是不固定的。相關(guān)關(guān)系示圖

xy

相關(guān)關(guān)系的例子商品的消費(fèi)量(y)與居民收入(x)之間的關(guān)系商品銷售額(y)與廣告費(fèi)支出(x)之間的關(guān)系糧食畝產(chǎn)量(y)與施肥量(x1)、降雨量(x2)、溫度(x3)之間的關(guān)系收入水平(y)與受教育程度(x)之間的關(guān)系父親身高(y)與子女身高(x)之間的關(guān)系三、相關(guān)關(guān)系的種類（一）按相關(guān)程度不同分1、完全相關(guān)：即函數(shù)關(guān)系2、不完全相關(guān)：研究重點(diǎn)3、完全不相關(guān)：即相互獨(dú)立（二）按相關(guān)的方向分1、正相關(guān)：變動(dòng)方向一致。如：消費(fèi)支出與工資收入投入與產(chǎn)出2、負(fù)相關(guān)：變動(dòng)方向相反如：商品銷售額與商品流通費(fèi)用率物價(jià)與消費(fèi)量（三）按相關(guān)形式分：1、線性相關(guān)當(dāng)變量x值發(fā)生變動(dòng)時(shí)，變量y值發(fā)生大致均等的變動(dòng)；或從圖形上看，觀察點(diǎn)的分布情況大致散布在一條直線周圍。2、非線性相關(guān)當(dāng)變量x值發(fā)生變動(dòng)時(shí)，變量y值也隨之發(fā)生變動(dòng)，但這種變動(dòng)是不均等的；或從圖形上看，觀察點(diǎn)的分布情況表現(xiàn)為各種不同的曲線形式。

(四）按涉及的變量的多少分

1、單相關(guān)：2個(gè)變量之間的相關(guān)關(guān)系2、復(fù)相關(guān)：3個(gè)或3個(gè)以上的變量之間的相關(guān)關(guān)系?？煞纸鉃槎鄠€(gè)單相關(guān)進(jìn)行分析。完全正線性相關(guān)

完全負(fù)線性相關(guān)

非線性相關(guān)

正線性相關(guān)

負(fù)線性相關(guān)

不相關(guān)第二節(jié)相關(guān)分析一概念：

就是對(duì)變量之間的相關(guān)關(guān)系進(jìn)行分析。分析一個(gè)變量與另外一個(gè)（或一組）變量之間的相關(guān)關(guān)系的密切程度和方向的一種統(tǒng)計(jì)分析方法。二方法

1、相關(guān)表：例：教材P343頁(yè)表8-2

2、相關(guān)圖：散點(diǎn)圖

3、指標(biāo)計(jì)算：相關(guān)系數(shù)（線性相關(guān)條件下）三、相關(guān)系數(shù)（一）概念

相關(guān)系數(shù)是直線相關(guān)條件下說(shuō)明兩個(gè)變量之間相關(guān)密切程度的統(tǒng)計(jì)分析指標(biāo)，用“r”表示。（二）計(jì)算公式（積差法）：或化簡(jiǎn)為相關(guān)系數(shù)的取值范圍及其意義：r的取值范圍是[-1，1]|r|=1，為完全相關(guān)r=1，為完全正相關(guān)r=-1，為完全負(fù)相關(guān)

r=0，不存在線性相關(guān)關(guān)系-1.0+1.00-0.5+0.5完全負(fù)相關(guān)無(wú)線性相關(guān)完全正相關(guān)負(fù)相關(guān)程度增加正相關(guān)程度增加【例】在研究我國(guó)人均消費(fèi)水平的問(wèn)題中，把全國(guó)人均消費(fèi)額記為y，把人均國(guó)民收入記為x。我們收集到1981～1993年的樣本數(shù)據(jù)(xi，yi)，i=1,2,…，13，數(shù)據(jù)見(jiàn)表，計(jì)算相關(guān)系數(shù)。我國(guó)人均國(guó)民收入與人均消費(fèi)金額數(shù)據(jù)單位:元年份人均國(guó)民收入人均消費(fèi)金額年份人均國(guó)民收入人均消費(fèi)金額1981198219831984198519861987393.8419.14460.86544.11668.29737.73859.972492672893294064515131988198919901991199219931068.81169.21250.71429.51725.92099.56436907138039471148解：根據(jù)樣本相關(guān)系數(shù)的計(jì)算公式有人均國(guó)民收入與人均消費(fèi)金額之間的相關(guān)系數(shù)為0.9987(三)計(jì)算公式(等級(jí)相關(guān))例8.3例8.4例8.5相關(guān)分析的不足：相關(guān)分析只能分析出變量之間是否有相關(guān)關(guān)系，相關(guān)關(guān)系的形式、方向和程度。但對(duì)于一個(gè)變量是如何隨著另一個(gè)（或一組）變量的變動(dòng)而變動(dòng)（即變量之間的數(shù)量變動(dòng)關(guān)系）無(wú)法說(shuō)明。這就需要在相關(guān)分析的基礎(chǔ)進(jìn)一步進(jìn)行回歸分析。第二節(jié)回歸分析與一元線性回歸分析一、回歸分析從一組樣本數(shù)據(jù)出發(fā)，確定變量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系式選擇適當(dāng)?shù)幕貧w模型，采用最小二乘法估計(jì)回歸模型中的待定系數(shù)。利用所求的關(guān)系式，來(lái)預(yù)測(cè)或控制另一個(gè)特定變量的取值?；貧w分析與相關(guān)分析的區(qū)別①相關(guān)分析中，變量x變量y處于平等的地位；回歸分析中，變量y稱為因變量，處在被解釋的地位，x稱為自變量，用于預(yù)測(cè)因變量的變化。②相關(guān)分析主要是描述兩個(gè)變量之間相關(guān)關(guān)系的密切程度和方向；回歸分析不僅可以揭示變量x對(duì)變量y的影響大小，還可以由回歸方程進(jìn)行預(yù)測(cè)和控制二、回歸模型的類型一個(gè)自變量?jī)蓚€(gè)及兩個(gè)以上自變量回歸模型多元回歸一元回歸線性回歸非線性回歸線性回歸非線性回歸三、一元線性回歸分析（一）概念當(dāng)只涉及一個(gè)自變量時(shí)稱為一元回歸，若因變量y與自變量x之間為線性關(guān)系時(shí)稱為一元線性回歸。（二）一元線性回歸模型形式只涉及一個(gè)自變量的簡(jiǎn)單線性回歸模型可表示為：

最小二乘法示圖xy(xn,yn)(x1,y1)

(x2,y2)(xi,yi)｝＾(三)參數(shù)a

和b

的最小二乘估計(jì)使因變量的觀察值（y）與估計(jì)值（)之間的離差平方和達(dá)到最小來(lái)求回歸方程中的待定系數(shù)a和b，即最小二乘估計(jì)法。最小二乘法（

a和b的計(jì)算公式）四、回歸方程的評(píng)價(jià)（估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差Sy實(shí)際觀察值與回歸估計(jì)值離差平方和的均方根反映實(shí)際觀察值在回歸直線周圍的分散狀況，反映回歸方程擬合的程度。計(jì)算公式為：五、利用回歸方程進(jìn)行估計(jì)和預(yù)測(cè)（點(diǎn)估計(jì)）

對(duì)于自變量x的任一給定值x0，根據(jù)回歸方程可得到因變量y的一個(gè)估計(jì)值。習(xí)題：某地區(qū)2006—2011年人均收入與某商品的銷售額資料如下：要求：（1）判斷人均收入與商品銷售額之間的相關(guān)關(guān)系的形式（2）用最小平方法建立直線回歸方程（3）預(yù)測(cè)當(dāng)人均收入為5000元時(shí)，該商品銷售額將達(dá)多少？年份200620072008200920102011人均收入（元）200024003000320035004000銷售額（百萬(wàn)元）1011151417201、7個(gè)同類企業(yè)生產(chǎn)性固定資產(chǎn)年平均價(jià)值