求數(shù)列通項(xiàng)公式大總結(jié)

利用遞推關(guān)系求數(shù)列通項(xiàng)的九種類型及解法同學(xué)們要熟練掌握，加油！相信你能行！1.形如型（1）若f(n)為常數(shù),即：,此時數(shù)列為等差數(shù)列，則=.（2）若f(n)為n的函數(shù)時，用累加法.方法如下：由得：時，，，所以各式相加得即：.為了書寫方便，也可用橫式來寫：時，，=.例1.（2003天津文）已知數(shù)列｛an｝滿足,證明證明：由已知得：=.例2.已知數(shù)列的首項(xiàng)為1，且寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式.答案：例3.已知數(shù)列滿足，，求此數(shù)列的通項(xiàng)公式.答案：評注：已知,，其中f(n)可以是關(guān)于n的一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、分式函數(shù)，求通項(xiàng).=1\*GB3①若f(n)是關(guān)于n的一次函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求和;=2\*GB3②若f(n)是關(guān)于n的二次函數(shù)，累加后可分組求和;=3\*GB3③若f(n)是關(guān)于n的指數(shù)函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和;=4\*GB3④若f(n)是關(guān)于n的分式函數(shù)，累加后可裂項(xiàng)求和。2.形如型（1）當(dāng)f(n)為常數(shù)，即：（其中q是不為0的常數(shù)），此數(shù)列為等比且=.（2）當(dāng)f(n)為n的函數(shù)時,用累乘法.例題：求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解答：由已知當(dāng)，N-1個式子累乘，得到當(dāng)n=1，也滿足，所以3.形如型（1）若（d為常數(shù)），則數(shù)列{}為“等和數(shù)列”，它是一個周期數(shù)列，周期為2，其通項(xiàng)分奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)來討論;（2）若f(n)為n的函數(shù)（非常數(shù)）時，可通過構(gòu)造轉(zhuǎn)化為型，通過累加來求出通項(xiàng);或用逐差法(兩式相減)得，，分奇偶項(xiàng)來分求通項(xiàng).例1.數(shù)列{}滿足,,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.分析1：構(gòu)造轉(zhuǎn)化為型解法1：令則.時,各式相加:當(dāng)n為偶數(shù)時，.此時當(dāng)n為奇數(shù)時，此時,所以.故解法2：時，，兩式相減得：.構(gòu)成以,為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列;構(gòu)成以,為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列.評注：結(jié)果要還原成n的表達(dá)式.例2.（2005江西卷）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn－Sn－2=3求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.解：方法一：因?yàn)?以下同例1，略 答案4.形如型（1）若(p為常數(shù))，則數(shù)列{}為“等積數(shù)列”，它是一個周期數(shù)列，周期為2，其通項(xiàng)分奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)來討論;（2）若f(n)為n的函數(shù)（非常數(shù)）時，可通過逐差法得，兩式相除后，分奇偶項(xiàng)來分求通項(xiàng).例1.已知數(shù)列,求此數(shù)列的通項(xiàng)公式.注：同上例類似，略.5．形如,其中)型（1）若c=1時，數(shù)列{}為等差數(shù)列;（2）若d=0時，數(shù)列{}為等比數(shù)列;（3）若時，數(shù)列{}為線性遞推數(shù)列，其通項(xiàng)可通過待定系數(shù)法構(gòu)造輔助數(shù)列來求.方法如下：設(shè),求出A例1．已知數(shù)列中，求通項(xiàng).分析：待定系數(shù)法構(gòu)造構(gòu)造新的等比數(shù)列。解：由設(shè),解出A=-1,則所以數(shù)列構(gòu)成以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列所以,即.6.形如型(1)若(其中k,b是常數(shù)，且)，則后面待定系數(shù)法也用一次函數(shù)。例題.在數(shù)列中，,求通項(xiàng).解：原遞推式可化為比較系數(shù)可得：k=-6,b=9,上式即為所以是一個等比數(shù)列，首項(xiàng),公比為.即：故.(2)若(其中q是常數(shù)，且n0,1)=1\*GB3①若p=1時，即：，累加即可=2\*GB3②若時，即：，后面的待定系數(shù)法也用指數(shù)形式。求通項(xiàng)方法有以下三種方向：=1\*romani.兩邊同除以.即：,令，則,然后類型1，累加求通項(xiàng).=2\*romanii.兩邊同除以.即：,令,則可化為.然后轉(zhuǎn)化為類型5來解，=3\*romaniii.待定系數(shù)法：設(shè).通過比較系數(shù)，求出，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求通項(xiàng).例1.（2003天津理）設(shè)為常數(shù)，且．證明對任意≥1，；證法2：由得.設(shè)，則b.即：,所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.則=,即：,故.評注：本題的關(guān)鍵是兩邊同除以3，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為類型5，構(gòu)造出新的等比數(shù)列，從而將求一般數(shù)列的通項(xiàng)問題轉(zhuǎn)化為求等比數(shù)列的通項(xiàng)問題.證法2：用待定系數(shù)法（注意設(shè)法哦?。┰O(shè),即:,比較系數(shù)得：,所以所以,所以數(shù)列是公比為－2，首項(xiàng)為的等比數(shù)列.即.規(guī)律：類型共同的規(guī)律為：兩邊同除以，累加求和，只是求和的方法不同.請同學(xué)們練習(xí)求。7.形如型（1）即取倒數(shù)法.例1.已知數(shù)列中，，，求通項(xiàng)公式。解：取倒數(shù)：8.形如(其中p,q為常數(shù))型（1）當(dāng)p+q=1時用轉(zhuǎn)化法例1.數(shù)列中，若,且滿足,求.解：把變形為.則數(shù)列是以為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，則利用類型6的方法可得.（2）當(dāng)時用待定系數(shù)法.例2.已知數(shù)列滿足，且,且滿足,求.解：令,即,與已知比較，則有,故或下面我們?nèi)∑渲幸唤M來運(yùn)算，即有,則數(shù)列是以為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，故,即,利用類型的方法，可得.評注：形如的遞推數(shù)列,我們通常采用兩次類型(5)的方法來求解,但這種方法比較復(fù)雜,我們采用特征根的方法:設(shè)方程的二根為,設(shè),再利用的值求得p,q的值即可.9.形如(其中p>0,r為常數(shù)