人教版物理必修第二冊(cè)同步講練第6章 圓周運(yùn)動(dòng) 3　向心加速度 (含解析)

向心加速度核心素養(yǎng)目標(biāo)物理觀念向心加速度及其方向、向心加速度和線速度的關(guān)系、向心加速度和角速度的關(guān)系。科學(xué)思維能夠運(yùn)用向心加速度表達(dá)式分析處理實(shí)際情境中的有關(guān)問題。知識(shí)點(diǎn)一勻速圓周運(yùn)動(dòng)的加速度方向[觀圖助學(xué)]通過前面的學(xué)習(xí)，我們已經(jīng)知道，做曲線運(yùn)動(dòng)的物體，速度一定是變化的，即一定有加速度。如圖，雙人花樣滑冰運(yùn)動(dòng)中，女運(yùn)動(dòng)員繞男運(yùn)動(dòng)員做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，加速度的方向如何？1.心加速度物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)的加速度總指向圓心，我們把它叫作向心加速度。2.向心加速度的方向沿半徑方向指向圓心，與線速度方向垂直。[思考判斷](1)勻速圓周運(yùn)動(dòng)的加速度的方向始終不變。(×)(2)勻速圓周運(yùn)動(dòng)是勻變速運(yùn)動(dòng)。(×)(3)勻速圓周運(yùn)動(dòng)是加速度不變的運(yùn)動(dòng)。(×)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體，合力提供向心力，即合力指向圓心，所以加速度的方向也指向圓心向心加速度的方向時(shí)刻變化知識(shí)點(diǎn)二勻速圓周運(yùn)動(dòng)的加速度大小向心加速度表達(dá)式an＝eq\f(v2,r)或an＝ω2r[思考判斷](1)勻速圓周運(yùn)動(dòng)的加速度大小不變。(√)(2)根據(jù)an＝eq\f(v2,r)知加速度an與半徑r成反比。(×)(3)根據(jù)an＝ω2r知加速度an與半徑r成正比。(×)(4)物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，速度變化量為零。(×),根據(jù)牛頓第二定律an＝eq\f(Fn,m)＝eq\f(v2,r)＝ω2r核心要點(diǎn)一向心加速度的理解[問題探究]如圖所示，地球繞太陽做勻速圓周運(yùn)動(dòng)(漫畫)，小球繞細(xì)繩的另一端在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，請(qǐng)思考：(1)在勻速圓周運(yùn)動(dòng)過程中，地球、小球的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)發(fā)生變化嗎？若變化，變化的原因是什么？(2)向心加速度改變物體的速度大小嗎？答案(1)變化。向心加速度的作用。(2)向心加速度只改變線速度的方向，不改變速度的大小。[探究歸納]1.物理意義描述勻速圓周運(yùn)動(dòng)線速度方向變化的快慢，不表示速度大小變化的快慢。2.方向總是沿著圓周運(yùn)動(dòng)的半徑指向圓心，即方向始終與運(yùn)動(dòng)方向垂直，方向時(shí)刻改變。3.圓周運(yùn)動(dòng)的性質(zhì)不論向心加速度an的大小是否變化，an的方向是時(shí)刻改變的，所以圓周運(yùn)動(dòng)的向心加速度時(shí)刻發(fā)生改變，圓周運(yùn)動(dòng)一定是非勻變速曲線運(yùn)動(dòng)。4.變速圓周運(yùn)動(dòng)的向心加速度做變速圓周運(yùn)動(dòng)的物體，加速度一般情況下不指向圓心，該加速度有兩個(gè)分量：一是向心加速度，二是切向加速度。向心加速度表示速度方向變化的快慢，切向加速度表示速度大小變化的快慢。所以變速圓周運(yùn)動(dòng)中，向心加速度的方向也總是指向圓心。[試題案例][例1](多選)關(guān)于向心加速度，以下說法中正確的是()A.向心加速度的方向始終與線速度方向垂直B.向心加速度只改變線速度的方向，不改變線速度的大小C.物體做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)的加速度方向始終指向圓心D.物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)的加速度方向始終指向圓心解析向心加速度的方向沿半徑指向圓心，線速度方向則沿圓周的切線方向，所以向心加速度的方向始終與線速度方向垂直，A正確；物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，只具有向心加速度，加速度方向始終指向圓心，向心加速度只改變線速度的方向，不改變線速度的大小，B、D正確；一般情況下，圓周運(yùn)動(dòng)的向心加速度與切向加速度的合加速度方向不是始終指向圓心的，C錯(cuò)誤。答案ABD[針對(duì)訓(xùn)練1]物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)過程中，其向心加速度()A.大小、方向均保持不變B.大小、方向均時(shí)刻改變C.大小時(shí)刻改變、方向時(shí)刻改變D.大小保持不變、方向時(shí)刻改變解析做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體其速度大小不變，由向心加速度公式an＝eq\f(v2,r)可知其大小不變，向心加速度的方向始終指向圓心，故其方向時(shí)刻改變。選項(xiàng)D正確。答案D核心要點(diǎn)二向心加速度公式的理解與應(yīng)用[問題探究]如圖所示，兩個(gè)嚙合的齒輪，其中A點(diǎn)為小齒輪邊緣上的點(diǎn)，B點(diǎn)為大齒輪邊緣上的點(diǎn)，C點(diǎn)為大齒輪中間的點(diǎn)。(1)哪兩個(gè)點(diǎn)的向心加速度與半徑成正比？(2)哪兩點(diǎn)的向心加速度與半徑成反比？答案(1)B、C兩個(gè)點(diǎn)的角速度相同，由an＝ω2r知向心加速度與半徑成正比。(2)A、B兩個(gè)點(diǎn)的線速度相同，由an＝eq\f(v2,r)知向心加速度與半徑成反比。[探究歸納]1.由向心加速度方向看圓周運(yùn)動(dòng)性質(zhì)向心加速度方向總是沿著圓周運(yùn)動(dòng)的半徑指向圓心，不論向心加速度an的大小是否變化，an的方向是時(shí)刻變化的，所以圓周運(yùn)動(dòng)一定是變加速運(yùn)動(dòng)。2.向心加速度的幾種表達(dá)式(1)對(duì)應(yīng)線速度：an＝eq\f(v2,r)。(2)對(duì)應(yīng)角速度：an＝rω2。(3)對(duì)應(yīng)周期：an＝eq\f(4π2,T2)r。(4)對(duì)應(yīng)轉(zhuǎn)速：an＝4π2n2r。3.向心加速度的大小與各量關(guān)系的理解(1)當(dāng)r一定時(shí)，an∝v2，an∝ω2。(2)當(dāng)v一定時(shí)，an∝eq\f(1,r)。(3)當(dāng)ω一定時(shí)，an∝r。(4)an與r的關(guān)系圖像：如圖所示。由an－r圖像可以看出：an與r成正比還是反比，要看ω恒定還是v恒定。[試題案例][例2](多選)如圖所示，一個(gè)球繞中心軸線OO′以角速度ω做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則()隱含：球上各點(diǎn)的角速度相等A.a、b兩點(diǎn)線速度相同B.a、b兩點(diǎn)角速度相同C.若θ＝30°，則a、b兩點(diǎn)的線速度之比va∶vb＝eq\r(3)∶2D.若θ＝30°，則a、b兩點(diǎn)的向心加速度之比aa∶ab＝eq\r(3)∶2解析由于a、b兩點(diǎn)在同一球體上，因此a、b兩點(diǎn)的角速度ω相同，選項(xiàng)B正確；而據(jù)v＝ωr可知va＜vb，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；由幾何關(guān)系有ra＝rb·cosθ，當(dāng)θ＝30°時(shí)，ra＝eq\f(\r(3),2)rb，則va∶vb＝eq\r(3)∶2，選項(xiàng)C正確；由a＝ω2r，可知aa∶ab＝ra∶rb＝eq\r(3)∶2，選項(xiàng)D正確。答案BCD方法總結(jié)向心加速度公式的應(yīng)用技巧(1)先確定各點(diǎn)是線速度大小相等，還是角速度相同。(2)在線速度大小相等時(shí)，向心加速度與半徑成反比，在角速度相同時(shí)，向心加速度與半徑成正比。(3)向心加速度公式an＝eq\f(v2,r)和an＝ω2r不僅適用于勻速圓周運(yùn)動(dòng)，也適用于變速圓周運(yùn)動(dòng)。[針對(duì)訓(xùn)練2](多選)如圖所示為甲、乙兩球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)向心加速度隨半徑變化的圖像，由圖像可知()A.甲球運(yùn)動(dòng)時(shí)，線速度大小保持不變B.甲球運(yùn)動(dòng)時(shí)，角速度大小保持不變C.乙球運(yùn)動(dòng)時(shí)，線速度大小保持不變D.乙球運(yùn)動(dòng)時(shí)，角速度大小保持不變解析由a＝eq\f(v2,R)知，v不變時(shí)，a與R成反比，圖像為雙曲線的一支，選項(xiàng)A正確，B錯(cuò)誤；由a＝ω2R知，ω不變時(shí)，a與R成正比，圖像為過原點(diǎn)的傾斜直線，選項(xiàng)C錯(cuò)誤，D正確。答案AD1.下列關(guān)于向心加速度的說法中正確的是()A.向心加速度越大，物體速率變化越快B.向心加速度的大小與軌道半徑成反比C.向心加速度的方向始終與線速度方向垂直D.在勻速圓周運(yùn)動(dòng)中向心加速度是恒量解析向心加速度是描述速度變化快慢的物理量，但它只反映線速度方向的變化快慢，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；向心加速度的大小可用an＝eq\f(v2,r)或an＝ω2r表示，當(dāng)v一定時(shí)，an與r成反比；當(dāng)ω一定時(shí)，an與r成正比，可見an與r的比例關(guān)系是有條件，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；向心加速度方向始終與線速度方向垂直，選項(xiàng)C正確；在勻速圓周運(yùn)動(dòng)中，向心加速度大小恒定，但方向始終指向圓心，即其方向時(shí)刻變化，所以向心加速度不是恒量，選項(xiàng)D錯(cuò)誤。答案C2.關(guān)于質(zhì)點(diǎn)的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，下列說法中正確的是()A.由a＝eq\f(v2,r)可知，a與r成反比B.由a＝ω2r可知，a與r成正比C.由v＝ωr可知，ω與r成反比D.由ω＝2πn可知，ω與n成正比解析物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心加速度與物體的線速度、角速度、半徑有關(guān)。但向心加速度與半徑的關(guān)系要在一定前提條件下才能給出。當(dāng)線速度一定時(shí)，向心加速度與半徑成反比；當(dāng)角速度一定時(shí)，向心加速度與半徑成正比，對(duì)線速度和角速度與半徑的關(guān)系也可以同樣進(jìn)行討論，選項(xiàng)D正確。答案D3.關(guān)于向心加速度，下列說法正確的是()A.由an＝eq\f(v2,r)知，勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心加速度恒定B.勻速圓周運(yùn)動(dòng)不屬于勻速運(yùn)動(dòng)C.向心加速度可以改變速度方向，也能改變速度大小D.做圓周運(yùn)動(dòng)的物體，加速度方向時(shí)刻指向圓心解析由an＝eq\f(v2,r)知，勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心加速度大小是恒定的，但是方向不斷改變，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；勻速圓周運(yùn)動(dòng)的速度方向不斷改變，故不屬于勻速運(yùn)動(dòng)，選項(xiàng)B正確；向心加速度只改變速度方向，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；只有做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體，加速度方向才時(shí)刻指向圓心，選項(xiàng)D錯(cuò)誤。答案B4.甲、乙兩個(gè)物體都做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)半徑之比為3∶4，在相同的時(shí)間里甲轉(zhuǎn)過60圈，乙轉(zhuǎn)過45圈，則它們的向心加速度之比為()A.3∶4 B.4∶3C.4∶9 D.9∶4解析根據(jù)公式an＝ω2r及ω＝eq\f(Δθ,Δt)＝eq\f(2π,T)知eq\f(a甲,a乙)＝eq\f(r甲,r乙)×eq\f(Teq\o\al(2,乙),Teq\o\al(2,甲))，而T甲＝eq\f(t,60)，T乙＝eq\f(t,45)，所以eq\f(a甲,a乙)＝eq\f(3,4)×eq\f(602,452)＝eq\f(4,3)，選項(xiàng)B正確。答案B5.飛機(jī)由俯沖轉(zhuǎn)為上升的一段軌跡可以看成圓弧，如圖所示，如果這段圓弧的半徑r＝800m，飛行員能承受的加速度最大為8g。飛機(jī)在最低點(diǎn)P的速率不得超過多少？(g取10m/s2)解析飛機(jī)在最低點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)，由于其向心加速度最大不得超過8g才能保證飛行員安全，所以由an＝eq\f(v2,r)得v＝eq\r(anr)＝eq\r(8×10×800)m/s＝80eq\r(10)m/s，故飛機(jī)在最低點(diǎn)P的速率不得超過80eq\r(10)m/s。答案80eq\r(10)m/s基礎(chǔ)過關(guān)1.關(guān)于做勻速圓周運(yùn)動(dòng)物體的向心加速度的方向，下列說法中正確的是()A.與線速度方向始終相同B.與線速度方向始終相反C.始終指向圓心D.始終保持不變解析向心加速度的方向與線速度方向垂直，始終指向圓心，選項(xiàng)A、B錯(cuò)誤，C正確；做勻速圓周運(yùn)動(dòng)物體的向心加速度的大小不變，而方向時(shí)刻變化，D錯(cuò)誤。答案C2.如圖所示，一圓環(huán)以直徑AB為軸做勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，P、Q、R是環(huán)上的三點(diǎn)，則下列說法正確的是()A.向心加速度的大小aP＝aQ＝aRB.任意時(shí)刻P、Q、R三點(diǎn)向心加速度的方向不同C.線速度vP＞vQ＞vRD.任意時(shí)刻P、Q、R三點(diǎn)的線速度方向均不同解析圓環(huán)各處的角速度相等，由a＝ω2r知aP＞aQ＞aR，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；由于向心加速度總是指向圓心，所以P、R、Q處的向心加速度的方向都垂直于AB軸且指向AB軸，即P、Q、R三點(diǎn)向心加速度的方向相同，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；由v＝ωr知vP＞vQ＞vR，選項(xiàng)C正確；線速度方向都垂直于半徑，故P、Q、R三點(diǎn)的線速度方向相同，選項(xiàng)D錯(cuò)誤。答案C3.(多選)冰上芭蕾舞劇《天鵝湖》在某大劇院的歌劇廳震撼上演！表演中，演員展開雙臂單腳點(diǎn)地做著優(yōu)美的旋轉(zhuǎn)動(dòng)作，在他將雙臂逐漸放下的過程中，他轉(zhuǎn)動(dòng)的速度會(huì)逐漸變快，則他肩上某點(diǎn)隨之轉(zhuǎn)動(dòng)的()A.周期變大B.線速度變大C.角速度變大D.向心加速度變大解析他轉(zhuǎn)動(dòng)的速度逐漸變快，說明角速度變大，而v＝ωr，an＝ω2r，T＝eq\f(2π,ω)，隨ω的增大，v、an在變大，T將變小，選項(xiàng)A錯(cuò)誤，B、C、D正確。答案BCD4.如圖所示，質(zhì)量為m的木塊從半徑為R的固定半球形碗口下滑到碗的最低點(diǎn)的過程中，如果由于摩擦力的作用使木塊的速率不變，那么木塊()A.加速度為零B.加速度恒定C.加速度大小不變，方向時(shí)刻改變，但不一定指向圓心D.加速度大小不變，方向時(shí)刻指向圓心解析由題意知，木塊做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，木塊的加速度大小不變，方向時(shí)刻指向圓心，D正確，A、B、C錯(cuò)誤。答案D5.A、B兩小球都在水平面上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，A球的軌道半徑是B球軌道半徑的2倍，A的轉(zhuǎn)速為30r/min，B的轉(zhuǎn)速為15r/min。則兩球的向心加速度之比為()A.1∶1 B.2∶1C.4∶1 D.8∶1解析由題意知，球A的轉(zhuǎn)速為30r/min，球B的轉(zhuǎn)速為15r/min，根據(jù)ω＝2πn可知A、B兩球的角速度之比為2∶1；而A球的軌道半徑是B球軌道半徑的2倍，根據(jù)a＝rω2可知，則向心加速度之比為8∶1，選項(xiàng)A、B、C錯(cuò)誤，D正確。答案D6.(多選)如圖所示，皮帶傳動(dòng)裝置中，右邊兩輪連在一起共軸轉(zhuǎn)動(dòng)，圖中三輪半徑分別為r1＝3r，r2＝2r，r3＝4r；A、B、C三點(diǎn)為三個(gè)輪邊緣上的點(diǎn)，皮帶不打滑。向心加速度分別為a1、a2、a3，則下列比例關(guān)系正確的是()A.eq\f(a1,a2)＝eq\f(3,2) B.eq\f(a1,a2)＝eq\f(2,3)C.eq\f(a2,a3)＝eq\f(2,1) D.eq\f(a2,a3)＝eq\f(1,2)解析由于皮帶不打滑，v1＝v2，a＝eq\f(v2,r)，故eq\f(a1,a2)＝eq\f(r2,r1)＝eq\f(2,3)，選項(xiàng)A錯(cuò)誤，B正確；由于右邊兩輪共軸轉(zhuǎn)動(dòng)，ω2＝ω3，a＝rω2，eq\f(a2,a3)＝eq\f(r2,r3)＝eq\f(1,2)，選項(xiàng)C錯(cuò)誤，D正確。答案BD能力提升7.(多選)如圖所示，一小物塊以大小為a＝4m/s2的向心加速度做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，半徑R＝1m。則下列說法正確的是()A.小物塊運(yùn)動(dòng)的角速度為2rad/sB.小物塊做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為πsC.小物塊在t＝eq\f(π,4)s內(nèi)通過的位移大小為eq\f(π,20)mD.小物塊在πs內(nèi)通過的路程為零解析依據(jù)a＝ω2R，小物塊運(yùn)動(dòng)的角速度ω＝eq\r(\f(a,R))＝eq\r(\f(4,1))rad/s＝2rad/s；周期T＝eq\f(2π,ω)＝πs，選項(xiàng)A、B正確；小物塊運(yùn)動(dòng)的周期為πs，則在t＝eq\f(