八年級數(shù)學(xué)上冊知識講解及鞏固練習(xí)：《一元一次不等式》全章復(fù)習(xí)與鞏固(基礎(chǔ))知識講解

PAGE《不等式與一次不等式》全章復(fù)習(xí)與鞏固（基礎(chǔ)）知識講解責(zé)編：杜少波【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解不等式的有關(guān)概念，掌握不等式的三條基本性質(zhì)；2.理解不等式的解（解集）的意義，掌握在數(shù)軸上表示不等式的解集的方法；3.會利用不等式的三個基本性質(zhì)，熟練解一元一次不等式或不等式組；4.會根據(jù)題中的不等關(guān)系建立不等式（組），解決實(shí)際應(yīng)用問題；5.通過對比方程與不等式、等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)等一系列教學(xué)活動，理解類比的方法是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一種重要途徑.【知識網(wǎng)絡(luò)】【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、不等式1.不等式：用符號“＜”(或“≤”)，“＞”（或“≥”），≠連接的式子叫做不等式.要點(diǎn)詮釋：（1）不等式的解：能使不等式成立的未知數(shù)的值叫做不等式的解.（2）不等式的解集：對于一個含有未知數(shù)的不等式，它的所有解組成這個不等式的解集．解集的表示方法一般有兩種：一種是用最簡的不等式表示，例如，等；另一種是用數(shù)軸表示，如下圖所示：（3）解不等式：求不等式的解集的過程叫做解不等式．2.不等式的性質(zhì)：不等式的基本性質(zhì)1：a<b,b<c則a<c.這個性質(zhì)也叫做不等式的傳遞性.不等式的基本性質(zhì)2：不等式兩邊都加上(或減去)同一個數(shù)，所得到的不等式仍成立．如果a＞b，那么a±c＞b±c如果a<b，那么a±c<b±c不等式的基本性質(zhì)3：不等式兩邊都乘(或都除以)同一個正數(shù)，所得到的不等式仍成立；不等式兩邊都乘(或都除以)同一個負(fù)數(shù)，必須改變不等號的方向，所得到的不等式成立.如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc,;如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc,．要點(diǎn)二、一元一次不等式1.定義：不等式的左右兩邊都是整式，經(jīng)過化簡后只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是1，這樣的不等式叫做一元一次不等式，要點(diǎn)詮釋：ax+b＞0或ax+b＜0(a≠0)叫做一元一次不等式的標(biāo)準(zhǔn)形式．2.解法：解一元一次不等式步驟：去分母、去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為1.

要點(diǎn)詮釋：不等式解集的表示：在數(shù)軸上表示不等式的解集，要注意的是“三定”：一是定邊界點(diǎn)，二是定方向，三是定空實(shí).3.應(yīng)用：列不等式解應(yīng)用題的基本步驟與列方程解應(yīng)用題的步驟相類似，即：（1）審：認(rèn)真審題，分清已知量、未知量；（2）設(shè)：設(shè)出適當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)；（3）找：找出題中的不等關(guān)系，要抓住題中的關(guān)鍵字，如“大于”“小于”“不大于”“至少”“不超過”“超過”等關(guān)鍵詞的含義；（4）列：根據(jù)題中的不等關(guān)系，列出不等式；（5）解：解出所列的不等式的解集；（6）答：檢驗是否符合題意，寫出答案.要點(diǎn)詮釋：列一元一次不等式解應(yīng)用題時，經(jīng)常用到“合算”、“至少”、“不足”、“不超過”、“不大于”、“不小于”等表示不等關(guān)系的關(guān)鍵詞語，弄清它們的含義是列不等式解決問題的關(guān)鍵.要點(diǎn)三、一元一次不等式組

關(guān)于同一未知數(shù)的幾個一元一次不等式合在一起，就組成一個一元一次不等式組.

要點(diǎn)詮釋：（1）不等式組的解集：不等式組中各個不等式的解集的公共部分叫做這個不等式組的解集.（2）解不等式組：求不等式組解集的過程，叫做解不等式組.

（3）一元一次不等式組的解法：分別解出各不等式，把解集表示在數(shù)軸上，取所有解集的公共部分，利用數(shù)軸可以直觀地表示不等式組的解集.

（4）一元一次不等式組的應(yīng)用：①根據(jù)題意構(gòu)建不等式組，解這個不等式組；②由不等式組的解集及實(shí)際意義確定問題的答案．【典型例題】類型一、不等式 1.用適當(dāng)?shù)姆栒Z言表達(dá)下列關(guān)系.。（1）a與5的和是正數(shù).（2）b與-5的差不是正數(shù).（3）x的2倍大于x.（4）2x與1的和小于零.（5）a的2倍與4的差不少于5.【答案與解析】解：（1）a+5>0；（2）b-（-5）≤0；（3）2x>x；（4）2x+1<0；（5）2a-4≥5.【總結(jié)升華】正確運(yùn)用不等符號翻譯表述一些數(shù)學(xué)描述是學(xué)好不等式的關(guān)鍵，要關(guān)注一些常見的描述語言，如此處：不是、不少于、不大于……2.用適當(dāng)?shù)姆柼羁眨海?）如果a<b，那么a-3__b-3；7a__7b；-2a__-2b.（2）如果a<b，那么a-b__0；a+5b__6b；.【思路點(diǎn)撥】不等式的基本性質(zhì)1,2,3．【答案】（1）＜；＜；＞．（2）＜；＜；＜．【解析】（1）在不等式a<b兩邊同減去3，得a-3＜b-3；在不等式a<b兩邊同乘以7，得7a＜7b；在不等式a<b兩邊同乘以﹣2，得-2a＞-2b．（2）在不等式a<b兩邊同減去b，合并得a-b＜0；在a<b兩邊同加上5b，合并得a+5b＜6b；在a<b兩邊同減去，合并得．【總結(jié)升華】剛開始在面對不等式的基本變形時，要不斷強(qiáng)化在變形上所運(yùn)用的具體性質(zhì)，同時也要逐步積累一些運(yùn)用性質(zhì)變形后的化簡結(jié)果，這樣學(xué)習(xí)到的不等式的基本性質(zhì)才能落在實(shí)處．舉一反三：【高清課堂：一元一次不等式章節(jié)復(fù)習(xí)410551例1】【變式】判斷（1）如果，那么；（2）如果，那么.【答案】（1）×；（2）√．類型二、一元一次不等式

3.（2016?寧德）解不等式﹣1≤，并把解集在數(shù)軸上表示出來．【思路點(diǎn)撥】不等式中含有分母，應(yīng)先根據(jù)不等式的基本性質(zhì)2去掉分母，再作其他變形．去分母時，不要忘記給分子加括號．【答案與解析】解：去分母，得：3x﹣6≤2（7-x），去括號，得：3x﹣6≤14﹣2x移項得：5x≤20，解得：x≤4．將其在數(shù)軸上表示出來如圖所示．【總結(jié)升華】解一元一次不等式與解一元一次方程的步驟異同見下表：ax＝bax＞bax＜b解：當(dāng)a≠0時，；當(dāng)a＝0，b≠0時，無解；當(dāng)a＝0，b＝0時，x為任意有理數(shù)．解：當(dāng)a＞0時，；當(dāng)a＜0時，；當(dāng)a＝0，b≥0時，無解；當(dāng)a＝0，b＜0時，x為任意有理數(shù)．解：當(dāng)a＞0時，；當(dāng)a＜０時，；當(dāng)a＝0，b≤0時，無解；當(dāng)a＝0，b＞0時，x為任意有理數(shù)．舉一反三：【變式】解不等式1﹣，并把它的解集在數(shù)軸上表示出來．【答案】解：去分母得6﹣2（2x+1）≥3（1﹣x），去括號得，6﹣4x﹣2≥3﹣3x，移項，合并同類項得，﹣x≥﹣1，系數(shù)化成1得，x≤1．解集在數(shù)軸上表示出來為：．4.某種商品進(jìn)價為150元，出售時標(biāo)價為225元，由于銷售情況不好，商店準(zhǔn)備降價出售，但要保證利潤不低于10%，那么商店最多降價多少元出售商品？【思路點(diǎn)撥】利潤＝售價－進(jìn)價，售價＝進(jìn)價＋利潤＝進(jìn)價×（1＋利潤率）.【答案與解析】解：設(shè)商店降價元出售該商品，則≥，解得≤60.答：商店最多降價60元出售商品?！究偨Y(jié)升華】本題考查一元一次不等式的應(yīng)用，將現(xiàn)實(shí)生活中的事件與數(shù)學(xué)思想聯(lián)系起來，解答過程中應(yīng)注意“設(shè)”與“答”的區(qū)別．類型三、一元一次不等式組5.解不等式組：，并求出正整數(shù)解?！舅悸伏c(diǎn)撥】分別解出各不等式，取所有的公共部分?！敬鸢概c解析】解：由不等式①得≤2，由不等式②得，∴由①②得，即∴原不等式組的解集是，正整數(shù)解為1,2．【總結(jié)升華】求不等式(組)的特殊解的一般步驟是先求出不等式(組)的解集，再從中找出符合要求的特殊解．舉一反三：【變式】求不等式組的整數(shù)解．【答案】解：解不等式-3(x-2)≥4-x，得x≤1，解不等式，得x＞-2，所以該不等式組的解集為：-2＜x≤1，所以該不等式組的整數(shù)解是-1，0，1．類型四、綜合應(yīng)用6.若關(guān)于x,y的方程組的解滿足，求k的整數(shù)值.【思路點(diǎn)撥】從概念出發(fā)，解出方程組（用k表示x、y），然后解不等式組.【答案與解析】解：解方程組∵，解得：,∴整數(shù)k的值為0，1，2.【總結(jié)升華】方程組的未知數(shù)是x、y，k在方程組里看成常數(shù).通過求解方程組可以用k表示x、y.方程組的解滿足不等式，那么可以將x、y用含k的式子替換，得到關(guān)于k的不等式組，可以求出k的取值范圍，進(jìn)而可以求出k的整數(shù)值.【高清課堂：一元一次不等式章節(jié)復(fù)習(xí)410551例3（1）】舉一反三：【變式】m為何值時，關(guān)于x的方程：的解大于1？【答案】解：由，得，∴，解得．∴當(dāng)時，關(guān)于x的方程：的解大于1.7.2015年5月6日，涼山州政府在邛?！翱樟小表椖靠疾熳剷吓c多方達(dá)成初步合作意向，決定共同出資60.8億元，建設(shè)40千米的邛?？罩辛熊嚕畵?jù)測算，將有24千米的“空列”軌道架設(shè)在水上，其余架設(shè)在陸地上，并且每千米水上建設(shè)費(fèi)用比陸地建設(shè)費(fèi)用多0.2億元．（1）求每千米“空列”軌道的水上建設(shè)費(fèi)用和陸地建設(shè)費(fèi)用各需多少億元？（2）預(yù)計在某段“空列”軌道的建設(shè)中，每天至少需要運(yùn)送沙石1600m3，施工方準(zhǔn)備租用大、小兩種運(yùn)輸車共10輛，已知每輛大車每天運(yùn)送沙石200m3，每輛小車每天運(yùn)送沙石120m3，大、小車每天每輛租車費(fèi)用分別為1000元、700元，且要求每天租車的總費(fèi)用不超過9300元，問施工方有幾種租車方案？哪種租車方案費(fèi)用最低，最低費(fèi)用是多少？【思路點(diǎn)撥】（1）首先根據(jù)題意，設(shè)每千米“空列”軌道的水上建設(shè)費(fèi)用需要x億元，每千米陸地建設(shè)費(fèi)用需y億元，然后根據(jù)“空列”項目總共需要60.8億元，以及每千米水上建設(shè)費(fèi)用比陸地建設(shè)費(fèi)用多0.2億元，列出二元一次方程組，再解方程組，求出每千米“空列”軌道的水上建設(shè)費(fèi)用和陸地建設(shè)費(fèi)用各需多少億元即可．（2）首先根據(jù)題意，設(shè)每天租m輛大車，則需要租10﹣m輛小車，然后根據(jù)每天至少需要運(yùn)送沙石1600m3，以及每天租車的總費(fèi)用不超過9300元，列出一元一次不等式組，判斷出施工方有幾種租車方案；最后分別求出每種租車方案的費(fèi)用是多少，判斷出哪種租車方案費(fèi)用最低，最低費(fèi)用是多少即可．【答案與解析】解：（1）設(shè)每千米“空列”軌道的水上建設(shè)費(fèi)用需要x億元，每千米陸地建設(shè)費(fèi)用需y億元，則，解得．所以每千米“空列”軌道的水上建設(shè)費(fèi)用需要1.6億元，每千米陸地建設(shè)費(fèi)用需1.4億元．答：每千米“空列”軌道的水上建設(shè)費(fèi)用需要1.6億元，每千米陸地建設(shè)費(fèi)用需1.4億元．（2）設(shè)每天租m輛大車，則需要租10﹣m輛小車，則∴，∴施工方有3種租車方案：①租5輛大車和5輛小車；②租6輛大車和4輛小車；③租7輛大車和3輛小車；①租5輛大車和5輛小車時，租車費(fèi)用為：1000×5+700×5=5000+3500=8500（元）②租6輛大車和4輛小車時，租車費(fèi)用為：1000×6+700×4=6000+2800=8800（元）③租7輛大車和3輛小車時，租車費(fèi)用為：1000×7+700×3=7000+2100=9100（元）∵8500＜8800＜9100，∴租5輛大車和5輛小車時，租車費(fèi)用最低，最低費(fèi)用是8500元．【總結(jié)升華】（1）此題主要考查了一元一次不等式組的應(yīng)用，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：一元一次不等式組的應(yīng)用主要是列一元一次不等式組解應(yīng)用題，其