高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)解題技巧探析建議

高中三角函數(shù)是整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)以及難點(diǎn)，是歷年高考試題的熱門考點(diǎn)，它主要考查的是學(xué)生的邏輯分析能力、推理能力以及抽象思維能力，能幫助學(xué)生提高綜合能力，為學(xué)生未來的發(fā)展打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。但在實(shí)際的教學(xué)中，一般這個(gè)部分的內(nèi)容學(xué)習(xí)起來是比較吃力的，有的老師使用的是傳統(tǒng)的教學(xué)方式，讓學(xué)生對(duì)公式死記硬背，導(dǎo)致學(xué)生不會(huì)變通，當(dāng)題目稍微變動(dòng)一下就不會(huì)解題，在這樣的教學(xué)方式下，學(xué)生的能力永遠(yuǎn)也不會(huì)得到提高，更無法適應(yīng)當(dāng)下的高考。所以，熟練掌握三角函數(shù)的解題技巧是很有必要的，對(duì)其他科目的學(xué)習(xí)也會(huì)有很大幫助。一、當(dāng)前高中三角函數(shù)教學(xué)過程中存在的主要問題1.教師不注重學(xué)生能力的培養(yǎng)。高中階段的學(xué)習(xí)任務(wù)非常繁重，不僅學(xué)生面臨著巨大的學(xué)習(xí)壓力，教師也有很大的教學(xué)壓力。由于我國(guó)還處于應(yīng)試教育的階段，所以一切的學(xué)習(xí)和教學(xué)都是為了提高學(xué)生的成績(jī)，為將來的高考做準(zhǔn)備。所以在平時(shí)的教學(xué)中，很多教師就不注重教學(xué)手段的使用，而采用的是灌輸式的方式，在課上直接進(jìn)入正題，學(xué)生的興趣和積極性還沒有被調(diào)動(dòng)起來，無法理解公式是如何得來的。老師也不會(huì)去講解公式具體的推導(dǎo)過程，學(xué)生只能死記硬背公式。雖然這的確是快速提高成績(jī)的一個(gè)有效方法，但它不適合新課標(biāo)下的教學(xué)，學(xué)生的各項(xiàng)能力都無法得到培養(yǎng)，只會(huì)限制學(xué)生綜合能力的發(fā)展。高中三角函數(shù)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重中之重，其中必須要掌握正弦函數(shù)、余弦函數(shù)以及正切函數(shù)的公式推導(dǎo)過程，知道它們的基本概念以及如何在綜合題中運(yùn)用。歸根結(jié)底，學(xué)生在學(xué)習(xí)三角函數(shù)時(shí)比較吃力與老師的教學(xué)方式有很大的關(guān)系，當(dāng)老師只關(guān)注學(xué)生成績(jī)的提高，不關(guān)注學(xué)生的能力是否得到培養(yǎng)時(shí)，學(xué)生在學(xué)習(xí)模塊時(shí)就尤其吃力。2.學(xué)生缺少預(yù)習(xí)和復(fù)習(xí)。高中學(xué)習(xí)任務(wù)重，這是毋庸置疑的，但想要靠課堂的四十五分鐘完全掌握知識(shí)是幾乎不可能的，三角函數(shù)這一章的內(nèi)容比較復(fù)雜，涵蓋的知識(shí)點(diǎn)比較多，學(xué)生需要花費(fèi)大量的時(shí)間來學(xué)習(xí)。受初中學(xué)習(xí)習(xí)慣的影響，很多學(xué)生還沒有適應(yīng)高中的學(xué)習(xí)模式，沒有養(yǎng)成課前預(yù)習(xí)和課后復(fù)習(xí)的習(xí)慣，同時(shí)課堂上學(xué)習(xí)的內(nèi)容也不是單純的數(shù)字計(jì)算，而是變成了邏輯思維和抽象思維的培養(yǎng)。很多學(xué)生還無法適應(yīng)高中的學(xué)習(xí)節(jié)奏，課前沒有做好充分的預(yù)習(xí)，等到了上課的時(shí)候就會(huì)一頭霧水，稍不留意就會(huì)錯(cuò)過重要知識(shí)點(diǎn)。課上沒聽懂，課后做題的時(shí)候也無法進(jìn)行針對(duì)性的訓(xùn)練，復(fù)習(xí)也沒有計(jì)劃，久而久之就會(huì)造成完全聽不懂的后果。還有一部分學(xué)生喜歡做題的時(shí)候看答案解析，遇到難題時(shí)不去試著解決，而是寄希望于參考答案，學(xué)習(xí)態(tài)度不端正，學(xué)習(xí)習(xí)慣也沒有培養(yǎng)好，自然在之后的學(xué)習(xí)中逐漸失去興趣。3.公式學(xué)習(xí)不求甚解。高中三角函數(shù)這一模塊有很多公式，很多學(xué)生在面對(duì)一道題的時(shí)候無從下手，不知道該用哪個(gè)公式，究其原因，還是沒有真正掌握三角函數(shù)的本質(zhì)。比如有一道三角函數(shù)的題是這樣的：已知sin（390°）=sin（30°＋360°）=sin30°=1/2，tanβ=3/4，求sinβ和cosβ。很多學(xué)生在看到這道題的時(shí)候，一般首先會(huì)想到同角的正余弦比就是要求的正切值，但他們卻忽略了一個(gè)重要的知識(shí)點(diǎn)，即同角的正弦值的平方與余弦值的平方的和等于一，利用這個(gè)規(guī)律就可以輕松解答這道題。遇到這種題的時(shí)候，我們一般所用的方法就是簡(jiǎn)化求值，只需要將角化成誘導(dǎo)公式左邊角的形式就可以輕松解決，但很多學(xué)生在做題的時(shí)候，由于對(duì)公式還沒有掌握透徹，不清楚究竟該使用哪個(gè)公式，往往把一道簡(jiǎn)單的題復(fù)雜化，最后導(dǎo)致更不會(huì)解。這個(gè)問題的根本原因就是學(xué)生對(duì)公式的學(xué)習(xí)不求甚解，沒有掌握透徹。4.易忽略有字母的三角函數(shù)值的符號(hào)。忽略三角函數(shù)值的符號(hào)是學(xué)生在做題過程中經(jīng)常容易出現(xiàn)的一個(gè)問題。例如：已知sinα=-3/5，求cosα和tanα的值。很多學(xué)生在做這道題的時(shí)候會(huì)出現(xiàn)一個(gè)錯(cuò)誤，即利用sin2α＋cos2α=1的變式：sinα=1-cos2α，這種的解題方法是完全錯(cuò)誤的，正確解法應(yīng)該是將sinα和cosα組成二元一次方程組，利用已知的條件判斷出α是第一象限角還是第三象限角，然后進(jìn)行分情況討論。很多學(xué)生在做題的過程中往往會(huì)忽略題目中給出的條件，在進(jìn)行計(jì)算的時(shí)候也容易忽略掉符號(hào)，最終導(dǎo)致計(jì)算出現(xiàn)錯(cuò)誤。5.在運(yùn)用誘導(dǎo)公式時(shí)，對(duì)符號(hào)的把握不到位。在學(xué)習(xí)完三角函數(shù)的整個(gè)章節(jié)后就會(huì)發(fā)現(xiàn)，基本的公式一共有16個(gè)，相比其他章節(jié)的公式來說已經(jīng)算非常多的了，而想要真正運(yùn)用好這些公式也不是一件簡(jiǎn)單的事，有時(shí)稍不注意就會(huì)把公式的符號(hào)弄錯(cuò)，導(dǎo)致這道題的結(jié)果出錯(cuò)。有一個(gè)誘導(dǎo)公式是sin（л+α）=-sinα，這時(shí)應(yīng)該把α看作一個(gè)銳角，而л+α就位于第三象限，根據(jù)學(xué)過的知識(shí)，正弦值如果在第三象限，那么結(jié)果就是負(fù)值，這才有了公式中的“-”，但很多學(xué)生在做題的時(shí)候不會(huì)考慮到這些，對(duì)符號(hào)的把握不到位，他們根據(jù)角的終邊最終落在第幾象限來確定公式后的符號(hào)，這樣的解法會(huì)造成出錯(cuò)率很高，也錯(cuò)用了三角函數(shù)的公式。二、提高高中學(xué)生三角函數(shù)解題技巧的有效對(duì)策1.充分利用數(shù)形結(jié)合的方式來解題。如果單純地去解抽象的三角函數(shù)題可能會(huì)有些難度，尤其是對(duì)于正在學(xué)習(xí)中的學(xué)生來說，不是一件簡(jiǎn)單的事，我們?cè)诮馊呛瘮?shù)的題的時(shí)候，往往運(yùn)用的是常規(guī)思維，計(jì)算起來就非常吃力，但如果換一種思維方式，將三角函數(shù)的圖形和坐標(biāo)聯(lián)系起來解題，就會(huì)變得容易得多，這種數(shù)形結(jié)合的解題方式是三角函數(shù)中使用最多的方法之一，它能將抽象的三角函數(shù)轉(zhuǎn)換為具體的圖形，解題的過程就會(huì)變得更加具體。例如，有一道題是這樣的：求三角函數(shù)y=sinx/(2+cosx)的最值。這道題就是典型的運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方式來解答的題。首先可以建立一個(gè)坐標(biāo)系，設(shè)一個(gè)點(diǎn)O（cosx，sinx），已知點(diǎn)O是一個(gè)單位圓上的一點(diǎn)，我們通過觀察圖形即可得知，函數(shù)y所要表達(dá)的意義就是O與已知定點(diǎn)之間的連線的斜率。而當(dāng)連線與圓相切時(shí)，斜率會(huì)達(dá)到最值，并且有兩個(gè)最值，最小值和最大值，通過計(jì)算即可得知，最小值為，最大值為。在三角函數(shù)中，數(shù)形結(jié)合是一種常用的解題技巧，可以解決很多抽象的問題，學(xué)生在學(xué)習(xí)這一模塊的時(shí)候要尤其注意學(xué)會(huì)這種方法的運(yùn)用。2.投機(jī)取巧，掌握一些特殊的三角函數(shù)。學(xué)會(huì)使用一些技巧會(huì)讓解題過程變得簡(jiǎn)單很多，除了有數(shù)形結(jié)合的方式，適當(dāng)?shù)臅r(shí)候還可以“投機(jī)取巧”，利用特殊的規(guī)律進(jìn)行解題。在學(xué)習(xí)這部分的內(nèi)容時(shí)，教師可以給學(xué)生羅列出一些特殊的三角函數(shù)值和圖形，要求學(xué)生把特殊的值記憶下來即可。比如sin30°=1/2=cos60°，sin90°=1，cos90°=0，這些都是特殊的三角函數(shù)值，記住這些將會(huì)對(duì)做題很有幫助。這種方法一般在做選擇題的時(shí)候非常適用，可以直接利用一些特殊值代入選項(xiàng)來進(jìn)行驗(yàn)證，這樣大大提高了做題的效率，節(jié)省了很多時(shí)間，這樣就不用對(duì)整個(gè)題目進(jìn)行完整地計(jì)算，從而找出最便捷的解題方式，而且一般正確率會(huì)很高。這種方法需要學(xué)生多加練習(xí)。3.夯實(shí)理論知識(shí)基礎(chǔ)。縱觀近些年的高考數(shù)學(xué)題目，考查的基本都是基礎(chǔ)知識(shí)，偏難的題很少出現(xiàn)，主要考查學(xué)生是否真正掌握基本概念，能否運(yùn)用基礎(chǔ)知識(shí)進(jìn)行變通解題。所以要想真正掌握三角函數(shù)這一方面的知識(shí)，就必須吃透課本，牢牢掌握三角函數(shù)的基本概念，如正弦函數(shù)的圖形、性質(zhì)及公式的變化等，認(rèn)真練習(xí)課本上的例題，然后再進(jìn)行強(qiáng)化訓(xùn)練。很多學(xué)生在學(xué)習(xí)這部分的內(nèi)容時(shí)，往往還沒有真正掌握三角函數(shù)的基本概念，就急于求成，迫不及待地找題來做，導(dǎo)致做題過程中出現(xiàn)很多問題，既浪費(fèi)時(shí)間又沒有真正得到提高。所以只有對(duì)基礎(chǔ)理論知識(shí)掌握透徹，才能輕松進(jìn)行公式的推導(dǎo)，通過做一道題而學(xué)會(huì)做一類題的方法。例如有這樣一道題：如果α是第四象限的角，那么180°-α是第幾象限的角？這道題的解題思路就是，已知α在第四象限，那么就可以得出270°+k·360°＜α＜360°+k·360°，k∈Z，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)又可以得到：-90°-k·360°＞180°-α＞-180°-k·360°，那么最終就可以得出180°-α是第三象限的角。這道題實(shí)際上并不難解，它主要考查的是學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)概念和基礎(chǔ)知識(shí)的運(yùn)用，能熟練地進(jìn)行角度制和弧度制的計(jì)算，區(qū)別象限角、區(qū)間角。所以說，在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，尤其要注意基礎(chǔ)知識(shí)的理解，才有可能做到舉一反三、觸類旁通，提高自身的綜合運(yùn)用能力，從而形成嚴(yán)密的數(shù)學(xué)思維。4.解題期間注意對(duì)隱含條件的分析。三角函數(shù)由于公式多，所以在出題時(shí)可以進(jìn)行多方面的變換，尤其是一些帶有圖表的題目，其中多數(shù)含有隱性條件，需要學(xué)生們?cè)谧鲱}時(shí)仔細(xì)把握，如果學(xué)生很難發(fā)現(xiàn)其中的隱性條件，那么這道題將很難做出來。例如：已知一個(gè)三角形ABC是銳角三角形，sin∠C=，tan∠B＝2，問∠A的余弦值是多少。我們知道，三角形的內(nèi)角和是180°，所以∠A+∠B+∠C=180°，所以可以進(jìn)一步得到cos∠A=cos(180°-∠B-∠C)=-cos(∠B+∠C)=sin∠Bsin∠C-cos∠Bcos∠C，再根據(jù)同角的正弦值的平方與余弦值的平方和是1，以及sinα/cosα=tanα,再加上題中隱含的銳角三角形的條件，可以得到。5.利用托底法簡(jiǎn)化表達(dá)式。上述所講的方法是針對(duì)一些簡(jiǎn)單題型而言的，當(dāng)面對(duì)一些復(fù)雜題型的時(shí)候，我們可以使用托底法將題型簡(jiǎn)化，進(jìn)而求得結(jié)果。比如有這樣一道題：已知tanα=3，求sinα-3cosα/2sinα+cosα的值。在這道題中，只有把表達(dá)式化簡(jiǎn)為包含tanα的形式，才能利用已知條件計(jì)算得出答案。根據(jù)求解表達(dá)式特點(diǎn)，可以將其分子和分母同時(shí)除以cosα，將其轉(zhuǎn)化為tanα-3/2tanα+1，代入已知條件后，可以快速求解出，sinα-3cosα/2sinα+cosα=0.這種方法是針對(duì)題型比較復(fù)雜的情況，解題的方法不是一成不變的，而是需要在具體的情況中進(jìn)行變通，盡量做到化繁為簡(jiǎn)、化難為易，節(jié)省做題的時(shí)間。6.建立運(yùn)動(dòng)觀點(diǎn)體系。在三角函數(shù)題目中有一種常見的出題形式，即函數(shù)圖像中有一個(gè)點(diǎn)P，經(jīng)過一定的運(yùn)動(dòng)時(shí)間后，求P與另一個(gè)點(diǎn)Q之間的距離。有的時(shí)候也會(huì)要求解出兩個(gè)函數(shù)終點(diǎn)的距離。若是遇到此類題目，教師可以引導(dǎo)學(xué)生們建立運(yùn)動(dòng)觀點(diǎn)體系來解題。比如，函數(shù)f(x)=sinx，函數(shù)g(x)=x2，函數(shù)f(x)圖像上有點(diǎn)P，最初位置為（0，0），函數(shù)g(x)圖像上有點(diǎn)Q，最初位置為（0，0），將PQ兩點(diǎn)連接起來。P在f(x)圖像上按照速率v運(yùn)動(dòng)，Q在g(x)圖像上按照速率V運(yùn)動(dòng)，要求解出經(jīng)過一定運(yùn)動(dòng)后t時(shí)段P、Q兩點(diǎn)之間的長(zhǎng)度L的值。拿到題目后，應(yīng)首先進(jìn)行仔細(xì)的分析，了解P、Q兩點(diǎn)的運(yùn)行軌跡，并畫出函數(shù)圖像，再解出t時(shí)的值。實(shí)際上，學(xué)生在求解這類題目時(shí)也可以通過設(shè)置假設(shè)點(diǎn)了解不同點(diǎn)之間的關(guān)系。除此之外，三角函數(shù)題目中還有一種較為常見的出題形式，即平移問題，也可以借助運(yùn)動(dòng)觀點(diǎn)來解答。學(xué)生可以先設(shè)置函數(shù)圖像的對(duì)稱點(diǎn)或?qū)ΨQ軸，可以選擇坐標(biāo)原點(diǎn)或y軸，接著確定平移方向，將對(duì)稱點(diǎn)或?qū)ΨQ軸進(jìn)行移動(dòng)就可以得出結(jié)果。7.注意總結(jié)方法規(guī)律。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)注重習(xí)題的練習(xí)，但練習(xí)并不指的是采用題海戰(zhàn)術(shù)，而是有針對(duì)性的選擇有代表性的題型去練習(xí)，尤其是具有典型特征的題目應(yīng)當(dāng)多去練習(xí)，總結(jié)其中的規(guī)律，否則如果是盲目、沒有針對(duì)性的練習(xí)不僅不會(huì)有所提高，還會(huì)增加學(xué)習(xí)的負(fù)擔(dān)。其次，要進(jìn)行針對(duì)性的練習(xí)，三角函數(shù)的題型分為很多種，每一種三角函數(shù)的題型都有一套獨(dú)特的解題方式，學(xué)生在進(jìn)行練習(xí)的時(shí)候，可以根據(jù)類型的不同進(jìn)行分類型訓(xùn)練，發(fā)現(xiàn)并總結(jié)其中的方法規(guī)律，從而真正掌握其中的解題技巧，當(dāng)以后再次面對(duì)這類型的題的時(shí)候就能輕松解決。三角函數(shù)的解題方法有很多種，除了上述所說的數(shù)形結(jié)合法、特殊值代入法、轉(zhuǎn)化法等以外，還有簡(jiǎn)化法、排除法等多種方法，學(xué)生在平時(shí)做題的過程中一定要注意多去總結(jié)方法和規(guī)律，從而學(xué)習(xí)各種各樣的解題技巧，這樣有助于提升解題的效率。結(jié)束語綜上所述，高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)部分的知識(shí)是繁雜的，對(duì)高中生來說是有一定難度