函數(shù)與極限習(xí)題課

（一）函數(shù)的定義（二）極限的概念（三）連續(xù)的概念一、主要內(nèi)容第一頁第二頁，共70頁。函數(shù)的定義反函數(shù)反函數(shù)與直接函數(shù)之間關(guān)系基本初等函數(shù)復(fù)合函數(shù)初等函數(shù)函數(shù)的性質(zhì)單值與多值奇偶性單調(diào)性有界性周期性雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)第二頁第三頁，共70頁。1、函數(shù)的定義第三頁第四頁，共70頁。函數(shù)的分類函數(shù)初等函數(shù)非初等函數(shù)(分段函數(shù),有無窮多項(xiàng)等函數(shù))代數(shù)函數(shù)超越函數(shù)有理函數(shù)無理函數(shù)有理整函數(shù)(多項(xiàng)式函數(shù))有理分函數(shù)(分式函數(shù))第四頁第五頁，共70頁。(1)單值性與多值性:2、函數(shù)的性質(zhì)第五頁第六頁，共70頁。(2)函數(shù)的奇偶性:偶函數(shù)奇函數(shù)yxo第六頁第七頁，共70頁。(3)函數(shù)的單調(diào)性:

設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，區(qū)間ID，如果對(duì)于區(qū)間I上任意兩點(diǎn)及，當(dāng)時(shí)，恒有：(1),則稱函數(shù)在區(qū)間I上是單調(diào)增加的；或(2),則稱函數(shù)在區(qū)間I上是單調(diào)遞減的；單調(diào)增加和單調(diào)減少的函數(shù)統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù)。第七頁第八頁，共70頁。(4)函數(shù)的有界性:第八頁第九頁，共70頁。設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，如果存在一個(gè)不為零的數(shù)l,使得對(duì)于任一,有.且f(x+l)=f(x)恒成立,則稱f(x)為周期函數(shù),l稱為f(x)的周期.（通常說周期函數(shù)的周期是指其最小正周期）.(5)函數(shù)的周期性:oyx第九頁第十頁，共70頁。3、反函數(shù)4、隱函數(shù)第十頁第十一頁，共70頁。5、反函數(shù)與直接函數(shù)之間的關(guān)系第十一頁第十二頁，共70頁。6、基本初等函數(shù)1）冪函數(shù)2）指數(shù)函數(shù)3）對(duì)數(shù)函數(shù)4）三角函數(shù)5）反三角函數(shù)第十二頁第十三頁，共70頁。7、復(fù)合函數(shù)8、初等函數(shù)由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算和有限次的函數(shù)復(fù)合步驟所構(gòu)成并可用一個(gè)式子表示的函數(shù),稱為初等函數(shù).第十三頁第十四頁，共70頁。9、雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)雙曲函數(shù)常用公式第十四頁第十五頁，共70頁。第十五頁第十六頁，共70頁。左右極限兩個(gè)重要極限求極限的常用方法無窮小的性質(zhì)極限存在的充要條件判定極限存在的準(zhǔn)則無窮小的比較極限的性質(zhì)數(shù)列極限函數(shù)極限等價(jià)無窮小及其性質(zhì)唯一性無窮小兩者的關(guān)系無窮大第十六頁第十七頁，共70頁。1、極限的定義第十七頁第十八頁，共70頁。第十八頁第十九頁，共70頁。左極限右極限第十九頁第二十頁，共70頁。無窮小:極限為零的變量稱為無窮小.絕對(duì)值無限增大的變量稱為無窮大.無窮大:在同一過程中,無窮大的倒數(shù)為無窮小;恒不為零的無窮小的倒數(shù)為無窮大.無窮小與無窮大的關(guān)系2、無窮小與無窮大第二十頁第二十一頁，共70頁。定理1在同一過程中,有限個(gè)無窮小的代數(shù)和仍是無窮小.定理2有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.推論1在同一過程中,有極限的變量與無窮小的乘積是無窮小.推論2常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.推論3有限個(gè)無窮小的乘積也是無窮小.無窮小的運(yùn)算性質(zhì)第二十一頁第二十二頁，共70頁。定理推論1推論23、極限的性質(zhì)第二十二頁第二十三頁，共70頁。4、求極限的常用方法a.多項(xiàng)式與分式函數(shù)代入法求極限;b.消去零因子法求極限;c.無窮小因子分出法求極限;d.利用無窮小運(yùn)算性質(zhì)求極限;e.利用左右極限求分段函數(shù)極限.f.通分法;g.有理化方法;h.代數(shù)方法.第二十三頁第二十四頁，共70頁。5、判定極限存在的準(zhǔn)則(夾逼準(zhǔn)則)第二十四頁第二十五頁，共70頁。(1)(2)6、兩個(gè)重要極限第二十五頁第二十六頁，共70頁。定義:7、無窮小的比較第二十六頁第二十七頁，共70頁。定理(等價(jià)無窮小替換定理)8、等價(jià)無窮小的性質(zhì)9、極限的唯一性第二十七頁第二十八頁，共70頁。左右連續(xù)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)初等函數(shù)的連續(xù)性間斷點(diǎn)定義連續(xù)定義連續(xù)的充要條件連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)非初等函數(shù)的連續(xù)性振蕩間斷點(diǎn)無窮間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn)第一類第二類第二十八頁第二十九頁，共70頁。1、連續(xù)的定義第二十九頁第三十頁，共70頁。定理3、連續(xù)的充要條件2、單側(cè)連續(xù)第三十頁第三十一頁，共70頁。4、間斷點(diǎn)的定義第三十一頁第三十二頁，共70頁。(1)跳躍間斷點(diǎn)(2)可去間斷點(diǎn)5、間斷點(diǎn)的分類第三十二頁第三十三頁，共70頁。跳躍間斷點(diǎn)與可去間斷點(diǎn)統(tǒng)稱為第一類間斷點(diǎn).特點(diǎn):可去型第一類間斷點(diǎn)跳躍型0yx0yx第三十三頁第三十四頁，共70頁。0yx無窮型振蕩型第二類間斷點(diǎn)0yx第二類間斷點(diǎn)第三十四頁第三十五頁，共70頁。6、閉區(qū)間的連續(xù)性7、連續(xù)性的運(yùn)算性質(zhì)定理第三十五頁第三十六頁，共70頁。定理1

嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)函數(shù)必有嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)反函數(shù).定理28、初等函數(shù)的連續(xù)性定理3第三十六頁第三十七頁，共70頁。定理4基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的.定理5一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的.定義區(qū)間是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)間.9、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)定理1(最大值和最小值定理)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定有最大值和最小值.第三十七頁第三十八頁，共70頁。定理2(有界性定理)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定在該區(qū)間上有界.第三十八頁第三十九頁，共70頁。推論在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值M與最小值m之間的任何值.第三十九頁第四十頁，共70頁。二、典型例題例1解第四十頁第四十一頁，共70頁。例2.設(shè)函數(shù)求解:第四十一頁第四十二頁，共70頁。例3解利用函數(shù)表示法的無關(guān)特性代入原方程得代入上式得第四十二頁第四十三頁，共70頁。解聯(lián)立方程組第四十三頁第四十四頁，共70頁。例4解將分子、分母同乘以因子(1-x),則第四十四頁第四十五頁，共70頁。例5解解法討論第四十五頁第四十六頁，共70頁。第四十六頁第四十七頁，共70頁。令例6第四十七頁第四十八頁，共70頁?！珓t有復(fù)習(xí):若例7第四十八頁第四十九頁，共70頁。例8解第四十九頁第五十頁，共70頁。例19.

確定常數(shù)a,b,

使解:原式故于是而第五十頁第五十一頁，共70頁。例10

設(shè)函數(shù)在x=0連續(xù),則a=

,b=

.提示:第五十一頁第五十二頁，共70頁。例11.

設(shè)

f(x)

定義在區(qū)間上,,若f(x)在連續(xù),提示:且對(duì)任意實(shí)數(shù)證明f(x)

對(duì)一切

x

都連續(xù).第五十二頁第五十三頁，共70頁。例12解第五十三頁第五十四頁，共70頁。第五十四頁第五十五頁，共70頁。例13.當(dāng)時(shí),是的幾階無窮小?解:設(shè)其為的階無窮小,則因故第五十五頁第五十六頁，共70頁。例14.求解:

令則利用夾逼準(zhǔn)則可知第五十六頁第五十七頁，共70頁。有無窮間斷點(diǎn)及可去間斷點(diǎn)解:為無窮間斷點(diǎn),所以為可去間斷點(diǎn),極限存在例15.設(shè)函數(shù)試確定常數(shù)a及b.第五十七頁第五十八頁，共70頁。例16.求的間斷點(diǎn),并判別其類型.解:

x=–1為第一類可去間斷點(diǎn)

x=1為第二類無窮間斷點(diǎn)

x=0為第一類跳躍間斷點(diǎn)第五十八頁第五十九頁，共70頁。例17證明討論:第五十九頁第六十頁，共70頁。由零點(diǎn)定理知,綜上,