線性代數(shù)新版教案

皖西學院教案2014-2015學年第2學期課程名稱線性代數(shù)14級合班授課教師汪軼講師教學單位金數(shù)學院教研室高數(shù)學期授課計劃說明課程類別必修總學分3總學時48本學期學時教學周次周學時學時分配48163講授實驗上機考查其他48教學目的要求教學目的通過本課程的教學，使學生掌握線性代數(shù)的基礎理論與方法，培養(yǎng)學生正確運用數(shù)學知識來解決實際問題的能力，并為進一步學習后續(xù)課程與相關課程打好基礎。基本要求通過本課程的教學，使學生系統(tǒng)地掌握行列式、矩陣、n維向量、線性方程組、特征值與特征向量、二次型的基本概念、基本理論及基本方法，具有比較熱練的運算能力、一定的邏輯推理能力和抽象思維能力，并且培養(yǎng)學生運用獲取的基本知識和基本理論去分析問題和解決問題的能力。教學重點難點教學重點線性方程組解的結(jié)構；線性變換應用。教學難點矩陣和向量組的秩及其性質(zhì)；線性無關概念。選用教材同濟大學應用數(shù)學系，《線性代數(shù)》（第五版），高等教育出版社，2007年主要參考資料[1]張禾瑞，郝炳新：《高等代數(shù)》（第四版），高等教育出版社，1999年；[2]胡金德，王飛燕：《線性代數(shù)》（第二版），清華大學出版社，1995年[3]李永樂：《線性代數(shù)輔導講義》，西安交大大學出版社，2010年備注單元教案知識單元主題第一章行列式學時10教學內(nèi)容（摘要）§1二階與三階行列式§2全排列及其逆序數(shù)§3階行列式的定義§4對換§5行列式的性質(zhì)§6行列式按行（列）展開§7克拉默法則教學目的要求1.會計算二階和三階行列式，了解階行列式的定義；2.理解代數(shù)余子式的定義及性質(zhì)；3.會利用行列式的性質(zhì)及按行（列）展開計算簡單的階行列式；4.掌握克拉默法則。教學重點難點重點：1.行列式的性質(zhì)及其計算；2.克拉默法則。難點：階行列式的定義；對換。教學方法手段多媒體課件教學輔以板書推演教學后記對n階行列式定義的理解有點困難，需要通過對二三階行列式展開式的特點逐漸引入.需適當加強學生對行列式計算技巧的訓練.分教案授課主題第一章§1-§3課次2教學方法手段多媒體課件教學輔以板書推演學時4教學目的要求會計算二階和三階行列式；會計算排列逆序數(shù)；了解階行列式的定義.教學重難點二三階行列式的對角線法則;階行列式的定義.教學內(nèi)容綱要備注§1二階與三階行列式一、二元線性方程組與二階行列式12二階行列式的定義二階行列式的值等于主對角元乘積減副對角元乘積．例13三階行列式例2計算三階行列式例3求解方程§2全排列及其逆序數(shù)一、全排列與逆序定義由個不同元素排成一列，稱為這個元素的一個全排列（或簡稱級排列)．個不同元素的所有不同的排列共有種．規(guī)定一個標準排列次序：稱為標準序。在1、2、……、所構成的任一排列中，若某兩個元素的排列次序與標準順序不同，就稱為一個逆序。一般地，個自然數(shù)的一個任意排列記作，若第個位置上的元素的左邊有個元素比大，就說元素的逆序是。一個排列中所有逆序的和，稱為這個排列的逆序數(shù)，記作．因此排列的逆序數(shù)就是：例1求排列32514的逆序數(shù)．例2求排列的逆序數(shù)解：級排列的標準序為排列的逆序數(shù)為．逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列，而逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列。例1中的排列就是一個奇排列；排列561423也是一個偶排列．易知：個不同的級排列中，奇排列和偶排列各占一半．§3階行列式的定義定義由個元素排成行列，構成的運算式稱為階行列式，簡記為，其中稱為行列式的元素，為的一個排列，為排列的逆序數(shù)．知識導入在中學，我們接觸過二元、三元等簡單的線性方程組.提問1在中學時我們已知要得到一個線性方程組的一組確定解的條件是什么提問2例1的方程組有幾個方程提問3用1、2、3三個數(shù)字，可以組成多少個沒有重復數(shù)字的三位數(shù)討論所有n級排列中逆序數(shù)最大的排列的逆序數(shù)是多少從上面定義可知，階行列式的運算式中，一般項由個位于不同行不同列的元素相乘而得，符號由排列的逆序數(shù)的奇偶性決定．特別規(guī)定，一階行列式．注意行列式記號不要與絕對值記號混淆．在行列式中，將所組成的對角線稱為的主對角線，這些元素稱為主對角元。而所組成的對角線則稱為的副對角線.除了主對角線元素外其它元素都為零的行列式稱為對角行列式.例5證明階對角行列式；稱主對角線以上（下）的元素全為零的行列式稱為下（上）三角形行列式.例6證明，．請同學們理解逆序數(shù)的求法課后作業(yè)P25-261,2.分教案授課主題第一章§4-§6課次2教學方法手段多媒體課件教學輔以板書推演學時4教學目的要求掌握行列式的性質(zhì)并利用性質(zhì)計算行列式.教學重難點行列式的性質(zhì)及計算教學內(nèi)容綱要備注§4對換1對換的概念定義4．1在一個排列中，將任意兩個元素對調(diào)，其余元素不動，這種作出新排列的手續(xù)叫做對換．若對換的是相鄰的兩個元素，則稱為相鄰對換．2對換的性質(zhì)定理1一個排列任意兩個元素對換，排列改變奇偶性．證先證相鄰對換的情形；再證一般對換的情形．推論奇排列調(diào)成標準排列的對換次數(shù)為奇數(shù)，偶排列調(diào)成標準排列的對換次數(shù)為偶數(shù)．證由定理知對換的次數(shù)就是排列奇偶性的變化次數(shù)，而標準排列是逆序數(shù)為零的偶排列，故推論成立。3定理2階行列式也可定義為，其中為排列的逆序數(shù).§5行列式的性質(zhì)一、行列式的基本性質(zhì)把行列式的行、列互換所得到的行列式稱為的轉(zhuǎn)置行列式，記作，若記則．性質(zhì)1行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等，即.證將的轉(zhuǎn)置行列式記作，則．由定義知于是由定理推出：．由性質(zhì)1可知，行列式中行與列具有對等的地位，對行成立的性質(zhì)，對列也成立，反之亦然。以下我們僅討論行的性質(zhì)，然后引申到列即可．性質(zhì)2行列式兩行（列）互換，行列式的值變號．以表示第行，表示第列，則表示交換兩行，表示交換兩列．由性質(zhì)2即可得到下面的推論推論若行列式中有兩行（列）元素對應相等，則的值為零．性質(zhì)3用數(shù)乘以行列式，等于將數(shù)乘到的某一行（列）中所有的元素上。證按定義，，則．推論1行列式某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式符號的外面.第行（列）乘以，記為（）；第行（列）提出公因子，記為（或）。推論2若行列式有一行（列）的元素全為零，則其值為零.性質(zhì)4若行列式有兩行元素對應成比例，則其值為零.下面的性質(zhì)稱為“拆行”：性質(zhì)5若的某一行（列）的元素都可表為兩數(shù)之和，則以下等式成立：證按定義，=．性質(zhì)5把行列式某一行（列）的各元素倍加到另一行的對應元素上去，行列式的值不變．．行列式性質(zhì)2、3、5涉及到行列式的三種運算：換行（列）、倍乘、倍加，即，，和，，。二、運用性質(zhì)計算行列式利用行列式的性質(zhì)可有效地簡化行列式的計算．如利用性質(zhì)把行列式化成上三角行列式，便可直接得到行列式的值。例7計算．對于元素排列有某些明顯規(guī)律的行列式，可根據(jù)其特點采用一些計算技巧，常用的如建立遞推公式和用數(shù)學歸納法等．計算行列式．計算行列式例10設，，，證明．證對作運算，把化為下三角形行列式：，對作運算，把化為下三角形行列式：，于是，對的前行作運算，再對后列作運算，就可把化為下三角形行列式故．例11計算階行列式§6行列式按行（列）展開一、余子式與代數(shù)余子式定義1在階行列式中任取一個元素，劃去所在的第行、第列，剩下來的階行列式稱為元素的余子式，記作；記稱為元素的代數(shù)余子式．例如在中，元素的余子式是，而它的代數(shù)余子式是．引理如果階行列式的第行除外的其余元素都為零，則這個行列式等于與其代數(shù)余子式的乘積，即黑板演示一般的對換可以通過一系列的相鄰對換來實現(xiàn),且為奇數(shù)次鄰換實現(xiàn)提問n元排列共有n!個，其中奇、偶排列的個數(shù)相等，各有多少個提問如何計算行列式討論具有怎樣特點的行列式可用定義計算討論適用遞推和數(shù)歸法計算的行列式具有什么特點提問行列式中各項的元素如何取得的。證先證最簡單的情況：設，這是例10中時的情況，由例的結(jié)論，即有．又因，故得．再證一般的情況，設的第行除外的其余元素都為零：將的第行依次與上面的行逐行對換，再將第列依次與左面的列逐列對調(diào)，共經(jīng)次對調(diào)，將調(diào)到了第1行第1列的位置上，所得的行列式記為，則，而在中的余子式仍然是在中的余子式。利用已證的結(jié)果有，因此．定理3階行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對應的代數(shù)余子式的乘積之和，即，或．證任選的第行，把該行元素都寫作個數(shù)之和：++，由引理即得。按第列展開可類似證明．這個定理稱為行列式按一行（列）展開法則．它為行列式計算提供了又一種思路：將階行列式的計算轉(zhuǎn)化為階行列式的計算，這稱為降階．按定理3計算例7例12證明范德蒙行列式其中記號表示全體同類因子的乘積．推論行列式某一行（列）元素與另一行（列）對應元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零．即或注例13設元的余子式和代數(shù)余子式依次記作,求討論此處證明為何不作2次的對調(diào)實現(xiàn)課后作業(yè)P26-284（2）（4）、5（4）、7(2)(4)(6)分教案授課主題第一章§7課次1教學方法手段多媒體課件教學輔以板書推演學時2教學目的要求掌握克拉默法則教學重難點克拉默法則及其逆否命題教學內(nèi)容綱要備注§4克萊默（Cramer）法則一Cramer法則（法則）設線性方程組，其系數(shù)行列式，用常數(shù)向量替換的第列所得的階行列式記作，即,（）．若，則線性方程組存在唯一解：例14解線性方程組例15設曲線，試求系數(shù)．解將在四個點的坐標代入得，關于的線性方程組其系數(shù)行列式是，轉(zhuǎn)置得，是一個四階范得蒙行列式，得．于是由克萊默法則知，方程組有唯一解，再分別計算：，，，故于是所求曲線方程為提問何謂齊次線性方程組。（法則）的逆否命題是：定理4如果線性方程組（1）的系數(shù)行列式,則（1）一定有唯一解．定理如果線性方程組（1）無解或有兩個不同的解，則它的系數(shù)行列式一定為零．二、齊次線性方程組如果線性方程組（1）的常數(shù)項都等于零，即稱為齊次線性方程組。利用克萊默法則容易得到下面的定理：定理5若齊次方程組（2）的系數(shù)行列式，則它只有零解。其逆否命題是：定理6若齊次方程組（2）有非零解，則它的系數(shù)行列式一定為零．事實上，齊次線性方程組（2）有非零解它的系數(shù)行列式為零．例16問取何值時，齊次線性方程組有非零解Cramer法則只能應用于方形的方程組，且系數(shù)行列式不能為零．在計算時需要計算個階的行列式，當較大時計算量通常很大。因此Cramer法則的主要意義是在理論上，它明確指出了方程組的解與系數(shù)之間的關系，并給出了一種新穎的“塊狀處理”的模式．討論命題與逆否命題等價問題課后作業(yè)P2810（1）、11單元教案知識單元主題第二章矩陣及其運算學時10教學內(nèi)容（摘要）§1矩陣§2矩陣的運算§3逆矩陣§4矩陣分塊法教學目的要求1、理解矩陣的概念，了解零矩陣、對角矩陣、單位矩陣、對稱矩陣等矩陣的特點。2、熟練掌握矩陣的線性運算、矩陣與矩陣的乘法、矩陣的轉(zhuǎn)置、方陣的行列式以及它們的運算規(guī)律。3、理解可逆矩陣的概念、性質(zhì)、以及矩陣可逆的重要條件，理解伴隨矩陣的概念和性質(zhì)，會用伴隨矩陣求矩陣的逆陣。4、知道分塊矩陣及其運算規(guī)律，掌握分塊對角矩陣的計算。教學重點難點1.矩陣的計算2.矩陣的按行，列分塊難點：逆矩陣的求法；分塊矩陣的運算教學方法手段多媒體課件教學輔以板書推演教學后記對一般分塊矩陣只做了解，只掌握分塊對角矩陣的計算，其它可弱化分教案授課主題第一章§1-§2課次2教學方法手段多媒體課件教學輔以板書推演學時4教學目的要求1、理解矩陣的概念，了解零矩陣、對角矩陣、單位矩陣、對稱矩陣等矩陣的特點。2、熟練掌握矩陣的線性運算、矩陣與矩陣的乘法、矩陣的轉(zhuǎn)置、方陣的行列式以及它們的運算規(guī)律。教學重難點矩陣與矩陣的乘法教學內(nèi)容綱要備注第二章矩陣及其運算前一章討論的Cramer法則，對于線性方程組不是方形的或其系數(shù)行列式等于零，便不能用了，但它的那種集成化處理的思想方法還是可以借鑒的。由此可以引向線性代數(shù)更重要的概念——矩陣。矩陣是許多學科使用頻率很高的一個集成化的數(shù)學工具，凡涉及到多個方面相互關聯(lián)的多元數(shù)量關系，往往可用矩陣來進行整體描述和處理。本章主要學習矩陣的基本代數(shù)運算——加法、數(shù)乘、乘法、轉(zhuǎn)置、（方陣）取行列式、（可逆矩陣）求逆，以及矩陣的分塊及分塊矩陣的基本代數(shù)運算。§1矩陣一、矩陣的定義定義由個數(shù)排成行、列，并加上括號，這樣排成的數(shù)表：稱為一個行列矩陣，簡稱矩陣，通常記為或。有時也記作或，其中稱為矩陣的(第行、第列的)元素。二、一些常用的特殊矩陣個元素全為零的矩陣稱為零矩陣，記為.只有一行的矩陣稱為行矩陣：.只有一列的矩陣稱為列矩陣:，行數(shù)等于列數(shù)（即）的矩陣稱為階方陣。下面是幾種特殊的方陣：若時，即,則稱為階下三角矩陣．若時，即，則稱為階上三角矩陣．若時，即則稱它為對角矩陣．它既是上三角陣，也是下三角陣，可以記作。若為階對角矩陣，且主對角元素全相等，即，則稱為階純量矩陣。特別地，若，即，則稱為階單位矩陣．當且僅當，是同型矩陣（即行數(shù)相等、列數(shù)也相等）、且它們的對應元素相等（即）時，則稱矩陣與矩陣相等，記作．§2矩陣的運算一、矩陣的加法定義設矩陣和，那么矩陣與的和記作，規(guī)定其和為根據(jù)定義容易驗證矩陣的加法滿足下列運算律（都是同型矩陣）：（1）交換律：；（2）結(jié)合律：；若，則存在矩陣，滿足．稱為的負矩陣．由此可以定義矩陣的減法為。二、數(shù)與矩陣相乘（“數(shù)乘”）：定義設矩陣，是一個數(shù)，規(guī)定與矩陣的乘積為矩陣的數(shù)乘滿足下列運算律（設為同型矩陣，為數(shù)）：（1）交換律：；（2）結(jié)合律：；（3）第一分配律：；（4）第二分配律：.矩陣的加減運算以及數(shù)乘統(tǒng)稱為矩陣的線性運算．例1設，，求．三、矩陣的乘法定義設是一個矩陣，是一個矩陣，則規(guī)定矩陣A和矩陣B的乘積是一個矩陣，其中上述定義表明，乘積矩陣的第行第列元素，是的第行的個元素與的第列的個元素一一對應相乘的乘積之和。因此只有當左邊矩陣的列數(shù)等于右邊矩陣的行數(shù)時，這兩個矩陣才可乘，我們稱為左乘，或右乘。例2設，，求.矩陣的乘法應注意以下幾點：1.任意兩個矩陣未必可乘，應首先考察矩陣的規(guī)格，以確定是否可乘以及乘積的規(guī)格．2.交換律一般不成立．一般來說；即使是同階矩陣相乘，交換律一般也不成立。例如設，B=，容易驗證。而如果成立，則說矩陣與可交換。3.消去律一般不成立，即由，不能斷定或。例如，因此，即使，一般由也不能推出．但矩陣的乘法仍滿足以下運算律（假設運算都可行）：（1）結(jié)合律：；（2）左分配律：；右分配律：；（3）與數(shù)乘可交換：。對單位矩陣E，容易驗證，可見單位矩陣E在矩陣乘法的運算中的作用類似于數(shù)的運算中“1”的作用。由于數(shù)量矩陣故當它乘方陣時便有和．利用矩陣的乘法，可以將線性方程組表示成矩陣形式并簡記為，其中，，。即為線性方程組的系數(shù)矩陣，稱X為未知數(shù)（變元）向量，為常數(shù)向量．而矩陣稱為線性方程組的增廣矩陣．例3若A，B，C都為同階的對角矩陣，，容易驗證ABC仍為對角矩陣，且ABC=．推廣之，有限個同階對角矩陣的乘積還是對角矩陣，其主對角元就是各個對角矩陣對應的主對角元相乘積。有了矩陣的乘法，可以定義階方陣的冪：定義設是階方陣，當為正整數(shù)時，的冪運算規(guī)定為：．．從定義知，就是個的連乘，顯然只有方陣才有冪。由于矩陣乘法符合結(jié)合律，所以方陣的冪滿足以下運算律（其中為正整數(shù)）：，，注對兩個階方陣、來說，一般．因此，一些熟知的的乘法公式一般不再成立，如、，等等。但只要與可交換，則這些公式就都成立了。例4設，求（為正整數(shù)）。解：逐次相乘==，==，……………………于是猜測：=下用數(shù)學歸納法證明之：當，上已見結(jié)論成立。假設時結(jié)論成立，則時：==所以對任意的的正整數(shù)，均有=。四、矩陣的轉(zhuǎn)置定義把矩陣的行、列互換，得到一個矩陣，稱為的轉(zhuǎn)置，記為，即：．轉(zhuǎn)置也是矩陣的一種代數(shù)運算，滿足下述運算律（設運算是可行的）：（1）；（2）；（3），(是數(shù))；（4）。證：我們僅證明（4）：設，記，，，則有，，。故．若，即有，則稱為對稱矩陣；若，即有，則稱為反對稱矩陣；對稱矩陣的元素以主對角線為對稱軸對應相等，而反對稱矩陣的主對角線上所有元素均為零，其余元素以主對角線為對稱軸對應相反．例5設列矩陣滿足為階單位矩陣，，證明是對稱矩陣，且．五、方陣的行列式定義由n階方陣的元素所構成的行列式（各元素的位置不變），稱為方陣的行列式，記作或det。對方陣取行列式，是施加于方陣的一種運算，且滿足下列運算律（、為階方陣，為數(shù)）：（1）；（2）；（3）。例6設，其中是行列式中元素的代數(shù)余子．試證證：記，據(jù)第一章的性質(zhì)8，有：，（），故，類似地亦可證有．本例中的方陣，是由方陣所唯一確定的，稱為的伴隨矩陣．六、共軛矩陣設稱為的共軛矩陣．提問矩陣與行列式的本質(zhì)區(qū)別提問對角線上的元素行列標特點提問數(shù)乘行列式如何乘的說明為何稱為矩陣的線性運算提問同學們所學的運算還有哪種不滿足交換律提醒同學注意此處公式2，再次強調(diào)數(shù)乘行列式和矩陣的區(qū)別.課后作業(yè)P53－563、4（4）、7、9分教案授課主題第二章§3-§4課次2教學方法手段多媒體課件教學輔以板書推演學時4教學目的要求1、理解可逆矩陣的概念、性質(zhì)、以及矩陣可逆的重要條件，理解伴隨矩陣的概念和性質(zhì)，會用伴隨矩陣求矩陣的逆陣。2、知道分塊矩陣及其運算規(guī)律，掌握分塊對角矩陣的計算。教學重難點分塊矩陣及其運算規(guī)律教學內(nèi)容綱要備注§3逆矩陣1、可逆矩陣的概念定義對于階方陣，若存在一個同階方陣，能使，則稱方陣可逆，稱是的逆矩陣．的逆矩陣記為．注1若方陣可逆，則的逆矩陣是唯一的．事實上，若、都是的逆矩陣，由、，便可推出，所以的逆矩陣唯一．2、矩陣可逆的充要條件以及求逆陣的公式定理方陣可逆的充分必要條件是．證：必要性：設可逆，即存在，由，知．充分性：設，由例知有．因，便可導出，于是由定義知可逆，且得求逆公式：．若，稱為非奇異的，即“可逆”等價于“非奇異”．推論設、是同階方陣，若有（或），則、皆可逆，且、互為逆矩陣．3、逆矩陣的性質(zhì)（1）若可逆，則亦可逆，且；（2）若可逆，數(shù)，則亦可逆，且；（3）若、同階且皆可逆，則亦可逆，且；（4）若可逆，則亦可逆，且；注2若可逆，則由可推出；即對可逆矩陣，消去律成立．當時，定義：，（其中為正整數(shù)）當、為整數(shù)（正或負）時、均成立．例1求二階矩陣的逆矩陣．例2設，求．例3設求矩陣使其滿足例4設求．結(jié)合加法、數(shù)乘和乘法三種運算，可定義方陣的多項式：設有階方陣和關于的次多項式，定義矩陣的次多項式為，易見仍是一個階方陣．矩陣的任意兩個多項式是可交換的，即．的計算方法：（1）如果，從而．（2）如果為對角矩陣，則從而例5若方陣A滿足，證明可逆，并求其逆。證由及與可交換得：，即，由定理2.推論知，可逆，且有．§4矩陣分塊法把一個規(guī)格較大的矩陣劃分成若干小塊，用分塊方式來處理，把大矩陣的運算轉(zhuǎn)化為小矩陣的運算，不僅能使運算較為簡明，更重要的是使運用微型計算機組合來計算大矩陣成為可能。一、矩陣的分塊定義用一些縱、橫虛線將矩陣分割成若干小矩陣，以這些小矩陣為元素的矩陣稱為分塊矩陣，各個小矩陣稱為的子塊．例如其中，，，．也可以按行分塊：，或按列分塊：．二、分塊矩陣的運算對分塊矩陣進行運算時，可以把每一個子塊當作矩陣的一個元素來處理，但應保證運算的可行．1、分塊矩陣的加法、數(shù)乘和轉(zhuǎn)置設矩陣、是兩個同型矩陣，且分塊法一致，即：，其中每一與的規(guī)格都對應相同，則規(guī)定加法為；設為數(shù)，則規(guī)定數(shù)乘為；規(guī)定轉(zhuǎn)置為．2.、分塊矩陣的乘法設是矩陣，是矩陣．若將分為個子塊，將分為個子塊，且的列與的行分塊法一致，則規(guī)定與的乘法為其中，．例1設，，求．三、分塊對角陣設是階矩陣，若的一個分塊矩陣只有在主對角線上有非零子塊，即，其中是階小方陣（階數(shù)可不同），，，而其余的非主對角子塊都為零矩陣，那么稱為的分塊對角矩陣．例如：若記，則，，．注1分塊對角陣有以下性質(zhì)（1）若，則；（2）若每一，則有．證由知存在，由便得．例2設，求．例3設，其中皆為可逆方陣（不必同階），求證可逆，并求．對矩陣分塊時，應特別重視按行和按列分塊：矩陣按行分塊，矩陣按列分塊注1．例4設．線性方程組簡記為，其中，，．也可記為．四、克拉默法則的證明課題引入：矩陣與數(shù)相仿，有加、減、乘三種運算，矩陣的乘法是否也和數(shù)一樣有逆運算呢提醒:類比記憶此處公式3和矩陣乘積轉(zhuǎn)置公式.板書：對C=AB相應矩陣進行按行列分法，及左行右列口訣.課后作業(yè)P53－5611（3）、12（4）、13（2）26、28、29（1）、30（2）單元教案知識單元主題第三章矩陣的初等變換與線性方程組學時8教學內(nèi)容（摘要）§1矩陣的初等變換§2矩陣的秩§3線性方程組的解教學目的要求1、掌握矩陣的初等變換，并會用初等行變換求矩陣的逆；2、理解矩陣的秩的概念，知道初等變換不改變矩陣秩的原理，掌握用初等變換求矩陣秩的方法，知道矩陣的秩與標準形關系；3、掌握齊次與非齊次線性方程組有解的條件；4、熟練掌握用矩陣的初等行變換求解線性方程組的方法。教學重點難點矩陣的初等變換；用初等行變換求矩陣的逆；矩陣的秩，初等變換求矩陣的秩；用矩陣的初等行變換解線性方程組。難點：矩陣的初等變換；矩陣秩的概念；線性方程組有解的條件教學方法手段多媒體課件教學輔以板書推演教學后記加強初等變換矩陣乘法關系這一部分內(nèi)容的教學。部分同學對初等（行）變換求逆矩陣的原理理解不夠.分教案授課主題第三章§1課次2教學方法手段多媒體課件教學輔以板書推演學時4教學目的要求掌握矩陣的初等變換，初等矩陣；理解初等變換與矩陣乘法關系.教學重難點理解初等變換與矩陣乘法關系，部分學生對初等（行）變換求逆矩陣的原理理解不夠.教學內(nèi)容綱要備注第三章矩陣的初等變換與線性方程組§1矩陣的初等變換一、分析用消元法解線性方程組的過程方程組（1）的增廣矩陣二、初等變換的概念定義下面三種變換稱為矩陣的初等行變換：（1）對調(diào)兩行（對調(diào)、兩行，記為），稱為對調(diào)變換；（2）用數(shù)乘某一行中所有元素（第行乘記為），稱為倍乘變換；（3）把某一行所有元素的倍加到另一行的對應元素上（第行的倍加到第行上記為），稱為倍加變換．將定義中的“行”換成“列”，即得到矩陣的初等列變換的定義（將記號換成）．矩陣的初等行變換與矩陣的初等列變換，統(tǒng)稱為矩陣的初等變換．初等變換都存在著逆變換，如變換的逆變換就是其本身；變換的逆變換為；變換的逆變換為；定義如果矩陣經(jīng)有限次初等行變換變成矩陣，則稱矩陣與行等價．記為；如果矩陣經(jīng)有限次初等列變換變成矩陣，則稱矩陣與列等價．記為；如果矩陣經(jīng)有限次初等變換變成矩陣，則稱矩陣與等價．記為．注1等價關系具有下面三條性質(zhì)：反身性：；對稱性：若有，則必有；傳遞性：若有、，則必有．容易驗證矩陣之間的初等變換滿足上面等價關系的三條性質(zhì)。三、利用初等行變換解線性方程組（行階梯形矩陣）（行最簡形矩陣）上面矩陣對應方程組，取為自由未知量，并令，即得其中是任意常數(shù)．行階梯形矩陣的特點：可劃一條階梯線，線的下方全為零；每個臺階只有一行，臺階數(shù)即是非零行的行數(shù)，階梯線的豎線后面的第一個元素為非零元，稱為非零首元．行最簡形矩陣的特點：行階梯形，非零首元為1，且非零首元所在的列的其他元素都為0．注2對于任何矩陣總可以經(jīng)過有限次初等行變換把它變?yōu)樾须A梯形矩陣和行最簡形矩陣．初等變換的主要作用是化簡矩陣而保持其等價性(這在用矩陣解線性方程組中很重要)。化簡矩陣的主要過程是：首先通過初等行變換把化成行階梯形矩陣，然后繼續(xù)用初等行變換把化成行最簡形矩陣。此后如果再用初等列變換，還可將進一步化成標準形.注3對于任何矩陣總可以經(jīng)過有限次初等變換（行變換和列變換）把它化為標準形此標準形由三個數(shù)完全確定，其中就是行階梯形矩陣的非零行的行數(shù)．所有與等價的矩陣組成的一個集合，稱為一個等價類，標準形是這個等價類中形狀最簡單的一個．例1設，把化成行最簡形．二初等矩陣一、初等矩陣的概念定義 單位矩陣經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣稱為初等矩陣．三種初等變換對應著三種初等矩陣（初等方陣）．1、對調(diào)兩行或?qū)φ{(diào)兩列由單位矩陣的第、j行（列）對調(diào)而得到的初等矩陣，記作2、以數(shù)乘某行或某列由單位矩陣第行（列）乘而得到的倍乘初等矩陣，記作；3、倍加變換得倍加初等矩陣由單位矩陣的第行的k倍加到第行而得到（也就是由單位矩陣E的第列的k倍加到第列而得到）的初等矩陣，記作（）（）注1初等矩陣皆可逆，且它們的逆陣仍為同類初等陣。由于，。二、初等矩陣的應用容易驗證：導致的第，行對調(diào)；導致的第，列對調(diào)；導致的第行乘；導致的第列乘；導致的第行的倍加到第行；導致的第列的倍加到第列。定理1設是一個矩陣，對進行一次初等行變換，相當于在的左邊乘一個相應的階初等矩陣；對進行一次初等列變換，相當于在的右邊乘一個相應的階初等矩陣。定理2矩陣可逆的充分必要條件是存在有限個初等矩陣，使得.推論1方陣可逆推論2矩陣存在階可逆矩陣及階可逆矩陣，使得.(此推論證明留給讀者)注2對可逆矩陣和同階單位矩陣作同樣的初等行變換，則把變成單位矩陣的同時，單位矩陣也就變成了．證由定理2知，若，則（其中為初等矩陣，）由此推得．于是．所以對和施行相同的初等變換，則變成了,變成了．例1設，求．注意：用初等行變換求的逆矩陣（或求解線性方程組）時，不必驗證是否可逆，如果作變換時左邊子塊出現(xiàn)了全零行，則表明不可逆，此時需要另行討論了。對于個未知數(shù)個方程的線性方程組，若可逆，則線性方程組的解為．由知：利用矩陣的初等行變換當將變成時，就變成，此即方程組的解．例2設,，求線性方程組的解．例3求解矩陣方程,其中.分析學生思考：如何求對矩陣作初等列變換，使即可得.或者改為對作初等行變換，使即可得,從而求得．課題引入：對用消元法解線性方程組的三個手續(xù)抽象為對矩陣的初等變換.并從解方程的角度說明非零數(shù)乘的必要性.課后作業(yè)P79－813（2）、4（1）、5分教案授課主題第三章§2-§3課次2教學方法手段多媒體課件教學輔以板書推演學時4教學目的要求理解矩陣的秩，掌握線性方程組的解.教學重難點矩陣的秩，線性方程組解的判定定理教學內(nèi)容綱要備注§2矩陣的秩一、矩陣秩的概念給定矩陣，它的標準形由數(shù)完全確定，這個數(shù)就是行階梯形矩陣的非零行的行數(shù)，便是本節(jié)要討論的矩陣的秩．定義在矩陣中，任取行與列,位于這些行列交叉處的個元素，不改變它們在中所處的位置次序而得的階行列式，稱為矩陣的階子式．．定義設在矩陣中有一個階子式，且所有階子式（如果存在的話）全等于，那么稱為矩陣的最高階非零階子式，數(shù)稱為矩陣的秩．記作.注1（1）規(guī)定零矩陣的秩等于0．（2）在中當所有階子式全為0時，則所有高于階的子式也全為0．（3）若中有某個階子式不為0，則；若中所有階子式全為0，則．（4）若為矩陣，則．（5）.對于階矩陣,當時，，當時，，故可逆矩陣又稱為滿秩矩陣，不可逆矩陣又稱降秩矩陣．例1例2二、矩陣秩的求法定理3若，則.定理3為我們提供了一個十分便捷的求秩方法：對于給定的矩陣，只要用初等變換把它變成行階梯形矩陣，行階梯形矩陣的非零行的行數(shù)即是矩陣的秩．例3并求的一個最高階非零子式．例4，求矩陣及矩陣的秩．例5已知，求的值．三、矩陣秩的性質(zhì)（歸納總結(jié)）1、若為矩陣，則．2、.3、若，則．4、若可逆，則.5、,特別地，.6.設與可加，則有．7．設與可乘，則．8．9．若為階可逆陣，則．10．若是分塊對角陣：，則有．例6設為階矩陣，證明．§3線性方程組的解一、線性方程組的三種形式線性方程組的一般形式是這種形式稱為聯(lián)列方程形式．根據(jù)向量的線性運算，上述形式還可以寫作：并進一步記作它表達了一組向量之間的線性表示關系，因此這種形式稱為方程組的向量形式．根據(jù)矩陣分塊運算的法則，式又可進一步寫作：并進而記為：上式就是一個矩陣方程，故稱為矩陣形式．這三種形式，所記的是同一個對象，只是所用工具不同、表達視角不同而已。通過這三種形式，矩陣、向量組、方程組三者互相溝通了，這便于我們從不同的角度、運用不同的工具來剖析線性方程組的內(nèi)涵。例如若方程組的聯(lián)列方程形式為，則其向量形式為，矩陣形式為．二、線性方程組的求解線性方程組的系數(shù)矩陣為記稱為方程組的增廣矩陣．定理4.元線性方程組（1）無解；（2）有唯一解；（3）有無窮多解．定理的證明過程給出了解方程組的步驟．例1求解齊次線性方程組例2求解非齊次線性方程組解對其增廣矩陣作行初等變換，由此可知，，故此方程組無解．例3求解非齊次線性方程組例4設有線性方程組，問取何值時，方程組有唯一解；無解；有無窮多個解并在有無限多解時求其通解．解法一這是方形的方程組，考慮克萊默法則常常較方便因此，當時，方程組有唯一解．當時，,此時，故方程組無解．當時，，此時，故方程組有無窮多個解，且其通解為解法二對增廣矩陣作初等行變換，此時應小心防止出現(xiàn)增根或失根．，于是當且時，方程組有唯一解；而當時方程組無解；當方程組有無窮多個解．如解法一．三、線性方程組解的存在性理論定理定理5線性方程組有解．定理6元齊次線性方程組有非零解．定理7矩陣方程有解．定理8設，則．定理9矩陣方程只有零解．概念辨析：子快，子式，余子式課后作業(yè)P79－809（3）、11、15、20、21單元教案知識單元主題第四章向量組的線性相關性學時10教學內(nèi)容（摘要）§1向量組及其線性組合§2向量組的線性相關性§3向量組的秩§4線性方程組的解的結(jié)構§5向量空間教學目的要求1、理解維向量、向量組的概念，掌握向量組與矩陣對應關系。2、理解向量組的線性組合、線性相關性、兩向量組等價等概念。3、理解向量組的最大無關組與秩的概念，會用矩陣的初等變換求向量組的秩和最大無關組。4、掌握齊次線性方程組的基礎解系的求法，非齊次線性方程組通解的構造，系數(shù)矩陣秩與解向量集合秩之間的聯(lián)系。教學重點難點向量組的線性相關性；用矩陣的初等變換求向量組的秩和最大無關組；齊次線性方程組的基礎解系的求法.難點：向量組的線性相關性；向量組的最大無關組的求法教學方法手段多媒體課件教學輔以板書推演教學后記講這一部分內(nèi)容概念較多，要充分理解各概念間的聯(lián)系，多留時間給學生思考分教案授課主題第四章§1-§2課次2教學方法手段多媒體課件教學輔以板書推演學時4教學目的要求1、理解維向量、向量組的概念，掌握向量組與矩陣對應關系.2、理解向量組的線性組合、線性相關性、兩向量組等價等概念.教學重難點向量組的線性相關性教學內(nèi)容綱要備注§1向量組及其線性組合一、維向量1．維向量的概念定義由個有次序的數(shù)所組成的數(shù)組稱為維向量，其中稱為向量的第個分量．個分量都是實數(shù)的向量稱為維實向量，分量是復數(shù)的向量稱為維復向量．本課程一般只討論實向量．2、維向量的表示方法向量寫成一行，稱為行向量，通常記作或．全體維實向量的集合記作．向量寫成一列，稱為列向量，通常記為、、等．行的形式和列的形式不能混寫．3、維向量的運算向量也是矩陣，規(guī)定行(列)向量按矩陣的運算規(guī)律進行運算．二．向量組的線性組合若干個同維數(shù)的列向量(或行向量)所組成的集合叫做向量組．注1一個矩陣對應一個維列向量組也對應一個維行向量組．定義給定向量組，對于任何一組實數(shù)線性組合．稱為這個線性組合的系數(shù)．給定向量組和向量，如果存在一組實數(shù)，使則向量是向量組的線性組合．也稱向量能由向量組線性表示．易知：向量能由向量組線性表示有解．定理1向量能由向量組線性表示的充要條件是三．向量組的等價性定義設有兩個向量組及，若中每一個向量都能由向量組線性表示，則稱向量組能由向量組線性表示．若向量組與向量組能相互線性表示，則稱這兩個向量組等價．向量組中的每個向量都能由向量組線性表示即對每個有數(shù)，使，從而這里，矩陣稱為這一線性表示的系數(shù)矩陣．注2若，則（1）的列向量組可由的列向量組線性表示,為這一表示的系數(shù)矩陣.（2）的行向量組可由的行向量組線性表示,為這一表示的系數(shù)矩陣.注3矩陣與行(列)等價，則的行(列)向量組的行(列)向量組等價.向量組能由向量組線性表示就是矩陣方程有解．定理2向量組能由向量組線性表示的充分必要條件是,即.推論向量組與向量組等價的充要條件例1例2．定理3向量組能由向量組線性表示，則.證法一：向量組能由向量組線性表示，則存在矩陣,使.而,所以，即證法二：根據(jù)定理2有，而,因此注意向量組能由向量組線性表示，有矩陣,使.矩陣方程有解．例3證明維單位坐標向量組能由維向量組線性表示的充要條件是．§2向量組的線性相關性一、線性相關性的概念上一節(jié)依據(jù)向量的線性運算，定義了向量的線性組合和線性表示的概念，這使向量集中的向量相互之間具有了一種關系．這種立足于線性運算和線性表示基礎上的關系，稱為線性關系．定義給定向量組，如果存在不全為零的數(shù)使，則稱向量組線性相關的，否則稱它線性無關．注1(1)含零向量的向量組必線性相關.(2)一個向量線性相關．(3)兩個非零向量線性相關．（4）能由其余個向量線性表示．（5）向量組線性無關當且僅當時有．向量組是否線性相關，就是齊次線性方程組是否有非零解．二、線性相關性的判定定理4向量組線性相關向量組線性無關．例4試討論維單位坐標向量組的線性相關性．例5試討論向量組及向量組的線性相關性例6已知向量組線性無關，試證向量組線性無關．三、線性相關性的性質(zhì)定理5(1)若向量組線性相關則向量組也線性相關；反之,若向量組線性無關則向量組也線性無關.部分組線性相關該向量組線性相關.向量組線性無關任何部分組線性無關.(2)個維向量組成的向量組當維數(shù)小于向量個數(shù)時一定線性相關．特別地，個維向量一定線性相關．(3)設向量組線性無關而向量組線性相關則向量必能由向量組線性表示且表示式是唯一的.例7設向量組線性相關向量組線性無關,證明(1)能由線性表示；(2)不能由線性表示．復習：矩陣的線性運算.矩陣按行列分塊和左行右列口訣課后作業(yè)P108－1123、4分教案授課主題第四章§3-§4課次2教學方法手段多媒體課件教學輔以板書推演學時4教學目的要求理解向量組的最大無關組與秩的概念，會用矩陣的初等變換求向量組的秩和最大無關組;掌握齊次線性方程組的基礎解系的求法，非齊次線性方程組通解的構造，系數(shù)矩陣秩與解向量集合秩之間的聯(lián)系.教學重難點向量組的最大無關組的求法.教學內(nèi)容綱要備注§3向量組的秩秩是線性代數(shù)中最深刻的概念之一．向量組的秩，標示了它的“檔次”，秩越大的向量組，功能就越強．一、向量組的最大無關組及向量組秩的概念定理5（1）指出：線性無關向量組的任何部分組必無關，但一個線性相關向量組的部分組可能無關，也可能相關．例如向量組中，線性相關，線性無關．由于單獨一個非零向量是線性無關的，因此一個向量組只要不全是零向量，就必定含有無關的部分組．問題在于：它最多可以含有幾個線性無關的向量定義設有向量組，如果在向量組中能選出個向量滿足(1)向量組線性無關；(2)向量組中任意個向量（如果存在個向量的話）都線性相關．那么向量組稱為向量組的一個最大線性無關向量組（簡稱最大無關組）,最大無關組所含向量的個數(shù)稱為向量組的秩,記作.注1只含零向量的向量組沒有最大無關組，規(guī)定其秩為0．二、向量組的最大無關組及向量組秩的求法定理6矩陣的秩等于它的列向量組的秩也等于它的行向量組的秩．注2向量組的矩陣的最高階非零子式所在的列是的列向量組的一個最大無關組,所在的行是的行向量組的一個最大無關組.三、最大無關組的性質(zhì)（1）不唯一性：向量組的最大無關組一般不是唯一的．（2）等量性：一個向量組的所有最大無關組所含向量的個數(shù)必相等（唯一確定的）．（3）等價性：一個向量組與它的任一最大無關組等價，并且它的不同最大無關組之間亦彼此等價．例1全體維向量構成的向量組記作，求的一個最大無關組及的秩．四、最大無關組的等價定義推論（定理3的推論）設有向量組是向量組的一個部分組，且滿足(1)向量組線性無關；(2)向量組的任一向量都能由向量組線性表示；那么向量組便是向量組的一個最大無關組．例1設齊次線性方程組的全體解向量構成的向量組為，求的秩．例2設矩陣,求矩陣的列向量組的一個最大無關組，并把不屬于最大無關組的列向量用最大無關組線性表示．五、向量組秩的有關定理定理1設向量組含有個向量，則向量組是線性無關組的充要條件．定理2記,向量組能由向量組線性表示的充要條件是定理3若向量組可以由向量組線性表示，則.推論等價的向量組等秩．例3設向量組能由向量組線性表示,且它們的秩相等,證明向量組與向量組等價.§4線性方程組的解的結(jié)構當線性方程組相容時它有解，將它的所有解組成的集合記作稱為這個方程組的解集．本節(jié)討論其結(jié)構．一、齊次線性方程組設有齊次線性方程組若為的解，則稱為方程組的解向量．1、齊次線性方程組解向量的性質(zhì)性質(zhì)1若為（1）的解，則也是（2）的解．性質(zhì)2若為（1）的解，為實數(shù)，則也是（2）的解．2、齊次線性方程組解的結(jié)構設是齊次線性方程組解的集合，是的一個最大無關組那么：（1）方程的任一解都可由線性表示；（2）的任何線性組合都是方程的解；因此就是方程的通解．定義齊次線性方程組（1）的解集的最大無關組稱為它的基礎解系．（1）由通解求基礎解系設齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為，不妨設的前個列向量線性無關．于是，可得方程組（1）的通解，，而（2）由基礎解系寫出通解在得到的方程組以后，令自由未知數(shù)取以下個數(shù)組：由（2）依次可得,.合并起來即得的基礎解系：.定理7設矩陣的秩,則元齊次線性方程組的解集的秩.例1求齊次線性方程組的基礎解系與通解.例2解線性方程組例3設，證明．例4設元齊次線性方程組與同解，證明．例5證明．二、非齊次線性方程組若，便是非齊次的，稱與之對應的齊次方程組為導出方程組（“導出組”）．1、非齊次線性方程組的解與其導出組的解的關系（1）非齊次線性方程組的任意兩個解之差是導出組的解；（2）非齊次線性方程組任一解與其導出組任一解之和仍是非齊次方程組的解．證（1）設為的任意兩個解，則，由于，故是的解．（2）設任取分別滿足：，則，所以是的解．注給定線性方程組，設，是其任一解，它的導出組的基礎解系為，則的通解為．例6已知3元非齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為2，是它的三個解，其中、，求的通解．解由條件知方程組相容，且有，，記，易見，故線性無關．由知：是導出組的解．又，故可作的基礎解系，于是的通解為例7求解方程組課后作業(yè)P108－11213(1)、14(2)、1522(1)、28(2)、29分教案授課主題第四章§5課次1教學方法手段多媒體課件教學輔以板書推演學時2教學目的要求了解向量空間.教學重難點向量空間的定義.教學內(nèi)容綱要備注§5向量空間前面討論了中向量的線性運算、向量組的線性相關性等，而對向量關系更廣泛地討論和應用常需要完備的向量組，這就是本節(jié)所要討論的——向量空間．一、向量空間的概念定義設為的一個非空子集，如果滿足：（1）對加法運算是封閉的，即（2）對數(shù)乘運算是封閉的，即；則稱集合為（關于向量的線性運算構成實數(shù)域上的）向量空間．向量集合對加法和數(shù)乘運算封閉常常稱它滿足完備性．容易驗證以前所提及的向量集合、、和都是向量空間．例1集合關于中的線性運算構成向量空間．例2集合不是向量空間．例3齊次線性方程組的解集是一個向量空間（稱為齊次線性方程組的解空間）．例4非齊次線性方程組的解集不是向量空間．例5設為兩個已知的維向量，集合是一個向量空間．這個向量空間稱為由向量所生成的向量空間．一般地，由向量組所生成的向量空間為．例6設向量組與向量組等價，記，，證明.二、子空間定義設是向量空間的一個子集,如果關于中的線性運算，也能構成向量空間，則稱是的一個子空間．三、向量空間的基與維數(shù)定義設是一個向量空間，是中的一組向量，如果滿足：(1)線性無關；(2)中的向量都可以由線性表示；則稱向量組是的一個基，稱為向量空間的維數(shù)，并稱為維向量空間，記作．注(1)如果向量空間沒有基,那么的維數(shù)為，維向量空間只含一個向量0．(2)若把向量空間看作向量組則向量空間的基就是向量組的最大無關組向量空間的維數(shù)就是向量組的秩.(3)若向量組是向量空間的一個基，則可表示為四、向量坐標如果在向量空間中取定一個基，那么中任一向量可唯一地表示為數(shù)組稱為向量在基中的坐標．在維向量空間中取單位坐標向量組為基則向量可表示為，可見向量在基中的坐標就是該向量的分量．向量組叫做中的自然基．例7設例8在中取定一個基,再取一個新基，設，．求用表示的表示式(基變換公式)，并求向量在兩個基中的坐標之間的關系式(坐標變換公式)．可再次解釋線性運算慨念課后作業(yè)P108－11239、40單元教案知識單元主題第五章相似矩陣及二次型學時12教學內(nèi)容（摘要）§1向量的內(nèi)積、長度及正交性§2方陣的特征值與特征向量§3相似矩陣§4對稱矩陣的對角化§5二次型及其標準型§6用配方法化二次型成標準型§7正定二次型教學目的要求1.理解向量內(nèi)積、矩陣特征值、特征向量的概念，理解矩陣相似的概念，掌握相似矩陣的性質(zhì)，了解矩陣可對角化的充要條件.2.掌握實對稱矩陣的特征值和特征向量的性質(zhì)，了解二次型及二次型的秩、標準型、規(guī)范形等概念，會用矩陣表示二次型，會用正交變換法和配方法化二次型為標準型.3.了解慣性定理，理解正定二次型、正定矩陣、合同矩陣的概念，掌握正定矩陣的性質(zhì)及其判別法.教學重點難點求解方陣的特征值和特征向量；二次型的正定性的判定.難點：向量的施密特正交化；相似矩陣的對角化；二次型正定性的判定.教學方法手段多媒體課件教學輔以板書推演教學后記在二次型及其標準型方面要引導學生自己去找規(guī)律，加強同上一節(jié)課的聯(lián)系.分教案授課主題第五章§1-§2課次2教學方法手段多媒體課件教學輔以板書推演學時4教學目的要求理解向量內(nèi)積、矩陣特征值、特征向量的概念.教學重難點矩陣特征值、特征向量的概念;向量的施密特正交化.教學內(nèi)容綱要備注第五章相似矩陣及二次型§1向量的內(nèi)積、長度及正交性我們規(guī)定此后所有的向量都專指列向量，行向量作為列向量的轉(zhuǎn)置．一、內(nèi)積的定義及性質(zhì)定義設有維向量，，令．稱為向量與的內(nèi)積．說明：內(nèi)積是一種運算，其結(jié)果是一個實數(shù),它是向量數(shù)量積的推廣.若都是列向量,.內(nèi)積的性質(zhì)():；；；；二、向量的長度（范數(shù)）及性質(zhì)定義令長度（或范數(shù)）．當時，稱為單位向量．向量長度具有的性質(zhì)（1）非負性（2）齊次性；（3）三角不等式．三、正交向量組的概念及求法1正交向量組．若一非零向量組中的向量兩兩正交，則稱該向量組為正交向量組．定理1則線性無關．例1已知三維向量空間中兩個向量正交，試求一個非零向量兩兩正交．2.向量空間的規(guī)范正交基定義3設維向量是向量空間的一個基，如果兩兩正交且都是單位向量，則稱規(guī)范正交基．例如和都是的一個規(guī)范正交基．注，它是向量在規(guī)范正交基中的坐標的計算公式．3求規(guī)范正交基的方法（施密特正交化）一組兩兩正交的，這樣一個問題，稱為把．：取……再單位化就是的一個規(guī)范正交基．注,稱為施密特正交化的過程.向量組例2試用施密特正交化過程把這個向量組規(guī)范正交化.,使兩兩正交.四、正交矩陣與正交變換正交不僅是向量空間的一種度量關系，而且與矩陣的性質(zhì)也有密切關系．定義如果階矩陣滿足（即），則稱為正交矩陣，簡稱正交陣．正交陣的性質(zhì)：（1）正交陣可逆，其逆陣即其轉(zhuǎn)置，且仍為正交陣；（2）正交陣的行列式為；（3）正交陣之積仍為正交陣；（4）若階方陣為正交陣，則的行（列）向量組構成的規(guī)范正交基．證（1）、（2）、（3）的證明都很容易，留給讀者作為練習．下證（4）：設為階正交陣，將的列向量記為：，則．由正交陣的定義得：則有，故是的一個正交規(guī)范基．對的行向量類似可證．例4驗證矩陣是正交矩陣．定義若為正交矩陣，則線性變換稱為正交變換．正交變換的性質(zhì)：正交變換保持向量的長度不變．§2方陣的特征值與特征向量一、方陣的特征值、特征向量的概念及其計算定義設是階方陣，若有數(shù)和非零列向量，滿足等式則稱為方陣的特征值，為的對應于特征值的特征向量．為求的特征值和特征向量，將（1）式寫成這是關于的齊次線性方程組，它有非零解的充要條件是其系數(shù)行列式即（3）式的左端展開是一個關于的次多項式，稱為的特征多項式，記作，（3）式是關于的次方程，稱為的特征方程．據(jù)代數(shù)基本定理，這個方程在復數(shù)域上有且僅有個根，稱為特征根，記作，它們就是所求的矩陣的特征值．由此可知階方陣在復數(shù)范圍內(nèi)有且僅有個特征值．求出特征值以后，將這些特征值逐一代入齊次方程（2），解出的非零解向量，就是屬于該特征值對應的全部特征向量．即對任一特征值，解齊次方程，所有的非零解都是屬于的特征向量．例1求的特征值和特征向量．解的特征多項式，解得的特征值為．下面分別求特征向量：當時，解齊次方程，得基礎解系，因此屬于的全部特征向量為．當時，解齊次方程，得基礎解系，因此屬于的全部特征向量為．例2求矩陣的特征值和特征向量．例3求矩陣的特征值和特征向量．解的特征多項式為，所以的特征值為（二重根）．當時，解方程，由，得基礎解系，則對應于的全部特征向量為．當時，解方程，由，得基礎解系，則對應于的全部特征向量為（不同時為零）．二、特征值和特征向量的性質(zhì)1、若的特征值為，則有（1）；（2）．2、設是方陣的任一特征值，是對應于的任一特征向量，則有（1），是的特征值，是的屬于的特征向量；（2），是的特征值，是的屬于的特征向量；（3）若是的多項式，則是的特征值，是的屬于的特征向量；（4）若可逆，當時，則是的特征值，是的屬于的特征向量；（5）若可逆，當時，則是的特征值，是的屬于的特征向量；（6）也是的特征值．證明下面證明（2）、（4）、（6），將（1）、（3）、（5）留給讀者作為練習．（2）因，所以，即時結(jié)論成立．假設對于有成立，則由歸納原理推得對有．（4）設可逆，由知所有特征值非零．在兩端左乘得：，由便得，知命題為真．（6）由于，可見與有相同的特征多項式，因而有相同的特征值．注意的特征向量是齊次方程的解，它與一般不同解，故未必還是的特征向量．3、設是的任一特征值，若都是屬于的特征向量，則的任意非零線性組合仍是屬于的特征向量．這由線性運算封閉性可知（證明留作練習）．例4設3階矩陣的特征值為1,1,2,求例5設的特征值為1、2、3，，則不可逆．證易見，由性質(zhì)2（3）知的特征值為．以為1、2、3分別代入，得的特征值為0、1、2，再由定理的（2）得，從而知不可逆．定理2方陣的個各不相等的特征值所對應的特征向量（屬于不同特征值的特征向量線性無關）．例6設是矩陣的兩個不同的特征值，對應的特征向量依次為和，證明不是的特征向量．復習：三維向量的內(nèi)積.課后作業(yè)P137－1401（1）（2）、3、5（1）（3）、11。分教案授課主題第五章§3-§4課次2教學方法手段多媒體課件教學輔以板書推演學時4教學目的要求掌握相似矩陣的性質(zhì)，了解矩陣可對角化的充要條件;掌握實對稱矩陣的特征值和特征向量的性質(zhì).教學重難點矩陣可對角化的充要條件.教學內(nèi)容綱要備注§3相似矩陣一、相似矩陣與相似變換的概念定義1則稱是的相似矩陣，或者說矩陣與相似．可逆矩陣稱為把變成的相似變換矩陣．二、相似矩陣與相似變換的性質(zhì)1、等價關系（1）反身性：與相似；（2）對稱性：若與相似，則與相似；（3）傳遞性：若與相似，與相似，則與相似．2、．3、（定理3）若階矩陣與相似，則與的特征多項式相同，從而與的特征值亦相同．推論若階矩陣與對角矩陣相似，則是矩陣的個特征值．結(jié)論設是矩陣的特征多項式，則．這個結(jié)論證明比較困難，但若與對角矩陣相似，則容易證明此結(jié)論．三、利用相似變換將方陣對角化把方陣對角化．定理4階矩陣與對角矩陣相似(即可對角化)的充要條件是有個線性無關的特征向量.推論如果階矩陣的個特征值互不相等，則與對角矩陣相似.說明如果的特征方程有重根，此時不一定有個線性無關的特征向量，從而矩陣不一定能對角化，但如果能找到個線性無關的特征向量，還是能對角化．例1判斷下列實矩陣能否化為對角陣例2設問能否對角化若能對角化，求出可逆矩陣使為對角矩陣．解由解之得基礎解系因，所以線性無關，故可對角化．令則有．注意矩陣的列向量和對角矩陣中的特征值的位置要相互對應．例如：則有例3，問為何值時，矩陣能對角化§4對稱矩陣的對角化一個階方陣可以對角化的充要條件是有個線性無關的特征向量而并非所有階方陣都能