線性代數(shù)新版教案

皖西學(xué)院教案2014-2015學(xué)年第2學(xué)期課程名稱線性代數(shù)14級(jí)合班授課教師汪軼講師教學(xué)單位金數(shù)學(xué)院教研室高數(shù)學(xué)期授課計(jì)劃說(shuō)明課程類(lèi)別必修總學(xué)分3總學(xué)時(shí)48本學(xué)期學(xué)時(shí)教學(xué)周次周學(xué)時(shí)學(xué)時(shí)分配48163講授實(shí)驗(yàn)上機(jī)考查其他48教學(xué)目的要求教學(xué)目的通過(guò)本課程的教學(xué)，使學(xué)生掌握線性代數(shù)的基礎(chǔ)理論與方法，培養(yǎng)學(xué)生正確運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，并為進(jìn)一步學(xué)習(xí)后續(xù)課程與相關(guān)課程打好基礎(chǔ)?；疽笸ㄟ^(guò)本課程的教學(xué)，使學(xué)生系統(tǒng)地掌握行列式、矩陣、n維向量、線性方程組、特征值與特征向量、二次型的基本概念、基本理論及基本方法，具有比較熱練的運(yùn)算能力、一定的邏輯推理能力和抽象思維能力，并且培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用獲取的基本知識(shí)和基本理論去分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)線性方程組解的結(jié)構(gòu)；線性變換應(yīng)用。教學(xué)難點(diǎn)矩陣和向量組的秩及其性質(zhì)；線性無(wú)關(guān)概念。選用教材同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系，《線性代數(shù)》（第五版），高等教育出版社，2007年主要參考資料[1]張禾瑞，郝炳新：《高等代數(shù)》（第四版），高等教育出版社，1999年；[2]胡金德，王飛燕：《線性代數(shù)》（第二版），清華大學(xué)出版社，1995年[3]李永樂(lè)：《線性代數(shù)輔導(dǎo)講義》，西安交大大學(xué)出版社，2010年備注單元教案知識(shí)單元主題第一章行列式學(xué)時(shí)10教學(xué)內(nèi)容（摘要）§1二階與三階行列式§2全排列及其逆序數(shù)§3階行列式的定義§4對(duì)換§5行列式的性質(zhì)§6行列式按行（列）展開(kāi)§7克拉默法則教學(xué)目的要求1.會(huì)計(jì)算二階和三階行列式，了解階行列式的定義；2.理解代數(shù)余子式的定義及性質(zhì)；3.會(huì)利用行列式的性質(zhì)及按行（列）展開(kāi)計(jì)算簡(jiǎn)單的階行列式；4.掌握克拉默法則。教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：1.行列式的性質(zhì)及其計(jì)算；2.克拉默法則。難點(diǎn)：階行列式的定義；對(duì)換。教學(xué)方法手段多媒體課件教學(xué)輔以板書(shū)推演教學(xué)后記對(duì)n階行列式定義的理解有點(diǎn)困難，需要通過(guò)對(duì)二三階行列式展開(kāi)式的特點(diǎn)逐漸引入.需適當(dāng)加強(qiáng)學(xué)生對(duì)行列式計(jì)算技巧的訓(xùn)練.分教案授課主題第一章§1-§3課次2教學(xué)方法手段多媒體課件教學(xué)輔以板書(shū)推演學(xué)時(shí)4教學(xué)目的要求會(huì)計(jì)算二階和三階行列式；會(huì)計(jì)算排列逆序數(shù)；了解階行列式的定義.教學(xué)重難點(diǎn)二三階行列式的對(duì)角線法則;階行列式的定義.教學(xué)內(nèi)容綱要備注§1二階與三階行列式一、二元線性方程組與二階行列式12二階行列式的定義二階行列式的值等于主對(duì)角元乘積減副對(duì)角元乘積．例13三階行列式例2計(jì)算三階行列式例3求解方程§2全排列及其逆序數(shù)一、全排列與逆序定義由個(gè)不同元素排成一列，稱為這個(gè)元素的一個(gè)全排列（或簡(jiǎn)稱級(jí)排列)．個(gè)不同元素的所有不同的排列共有種．規(guī)定一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)排列次序：稱為標(biāo)準(zhǔn)序。在1、2、……、所構(gòu)成的任一排列中，若某兩個(gè)元素的排列次序與標(biāo)準(zhǔn)順序不同，就稱為一個(gè)逆序。一般地，個(gè)自然數(shù)的一個(gè)任意排列記作，若第個(gè)位置上的元素的左邊有個(gè)元素比大，就說(shuō)元素的逆序是。一個(gè)排列中所有逆序的和，稱為這個(gè)排列的逆序數(shù)，記作．因此排列的逆序數(shù)就是：例1求排列32514的逆序數(shù)．例2求排列的逆序數(shù)解：級(jí)排列的標(biāo)準(zhǔn)序?yàn)榕帕械哪嫘驍?shù)為．逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列，而逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列。例1中的排列就是一個(gè)奇排列；排列561423也是一個(gè)偶排列．易知：個(gè)不同的級(jí)排列中，奇排列和偶排列各占一半．§3階行列式的定義定義由個(gè)元素排成行列，構(gòu)成的運(yùn)算式稱為階行列式，簡(jiǎn)記為，其中稱為行列式的元素，為的一個(gè)排列，為排列的逆序數(shù)．知識(shí)導(dǎo)入在中學(xué)，我們接觸過(guò)二元、三元等簡(jiǎn)單的線性方程組.提問(wèn)1在中學(xué)時(shí)我們已知要得到一個(gè)線性方程組的一組確定解的條件是什么提問(wèn)2例1的方程組有幾個(gè)方程提問(wèn)3用1、2、3三個(gè)數(shù)字，可以組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)討論所有n級(jí)排列中逆序數(shù)最大的排列的逆序數(shù)是多少?gòu)纳厦娑x可知，階行列式的運(yùn)算式中，一般項(xiàng)由個(gè)位于不同行不同列的元素相乘而得，符號(hào)由排列的逆序數(shù)的奇偶性決定．特別規(guī)定，一階行列式．注意行列式記號(hào)不要與絕對(duì)值記號(hào)混淆．在行列式中，將所組成的對(duì)角線稱為的主對(duì)角線，這些元素稱為主對(duì)角元。而所組成的對(duì)角線則稱為的副對(duì)角線.除了主對(duì)角線元素外其它元素都為零的行列式稱為對(duì)角行列式.例5證明階對(duì)角行列式；稱主對(duì)角線以上（下）的元素全為零的行列式稱為下（上）三角形行列式.例6證明，．請(qǐng)同學(xué)們理解逆序數(shù)的求法課后作業(yè)P25-261,2.分教案授課主題第一章§4-§6課次2教學(xué)方法手段多媒體課件教學(xué)輔以板書(shū)推演學(xué)時(shí)4教學(xué)目的要求掌握行列式的性質(zhì)并利用性質(zhì)計(jì)算行列式.教學(xué)重難點(diǎn)行列式的性質(zhì)及計(jì)算教學(xué)內(nèi)容綱要備注§4對(duì)換1對(duì)換的概念定義4．1在一個(gè)排列中，將任意兩個(gè)元素對(duì)調(diào)，其余元素不動(dòng)，這種作出新排列的手續(xù)叫做對(duì)換．若對(duì)換的是相鄰的兩個(gè)元素，則稱為相鄰對(duì)換．2對(duì)換的性質(zhì)定理1一個(gè)排列任意兩個(gè)元素對(duì)換，排列改變奇偶性．證先證相鄰對(duì)換的情形；再證一般對(duì)換的情形．推論奇排列調(diào)成標(biāo)準(zhǔn)排列的對(duì)換次數(shù)為奇數(shù)，偶排列調(diào)成標(biāo)準(zhǔn)排列的對(duì)換次數(shù)為偶數(shù)．證由定理知對(duì)換的次數(shù)就是排列奇偶性的變化次數(shù)，而標(biāo)準(zhǔn)排列是逆序數(shù)為零的偶排列，故推論成立。3定理2階行列式也可定義為，其中為排列的逆序數(shù).§5行列式的性質(zhì)一、行列式的基本性質(zhì)把行列式的行、列互換所得到的行列式稱為的轉(zhuǎn)置行列式，記作，若記則．性質(zhì)1行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等，即.證將的轉(zhuǎn)置行列式記作，則．由定義知于是由定理推出：．由性質(zhì)1可知，行列式中行與列具有對(duì)等的地位，對(duì)行成立的性質(zhì)，對(duì)列也成立，反之亦然。以下我們僅討論行的性質(zhì)，然后引申到列即可．性質(zhì)2行列式兩行（列）互換，行列式的值變號(hào)．以表示第行，表示第列，則表示交換兩行，表示交換兩列．由性質(zhì)2即可得到下面的推論推論若行列式中有兩行（列）元素對(duì)應(yīng)相等，則的值為零．性質(zhì)3用數(shù)乘以行列式，等于將數(shù)乘到的某一行（列）中所有的元素上。證按定義，，則．推論1行列式某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式符號(hào)的外面.第行（列）乘以，記為（）；第行（列）提出公因子，記為（或）。推論2若行列式有一行（列）的元素全為零，則其值為零.性質(zhì)4若行列式有兩行元素對(duì)應(yīng)成比例，則其值為零.下面的性質(zhì)稱為“拆行”：性質(zhì)5若的某一行（列）的元素都可表為兩數(shù)之和，則以下等式成立：證按定義，=．性質(zhì)5把行列式某一行（列）的各元素倍加到另一行的對(duì)應(yīng)元素上去，行列式的值不變．．行列式性質(zhì)2、3、5涉及到行列式的三種運(yùn)算：換行（列）、倍乘、倍加，即，，和，，。二、運(yùn)用性質(zhì)計(jì)算行列式利用行列式的性質(zhì)可有效地簡(jiǎn)化行列式的計(jì)算．如利用性質(zhì)把行列式化成上三角行列式，便可直接得到行列式的值。例7計(jì)算．對(duì)于元素排列有某些明顯規(guī)律的行列式，可根據(jù)其特點(diǎn)采用一些計(jì)算技巧，常用的如建立遞推公式和用數(shù)學(xué)歸納法等．計(jì)算行列式．計(jì)算行列式例10設(shè)，，，證明．證對(duì)作運(yùn)算，把化為下三角形行列式：，對(duì)作運(yùn)算，把化為下三角形行列式：，于是，對(duì)的前行作運(yùn)算，再對(duì)后列作運(yùn)算，就可把化為下三角形行列式故．例11計(jì)算階行列式§6行列式按行（列）展開(kāi)一、余子式與代數(shù)余子式定義1在階行列式中任取一個(gè)元素，劃去所在的第行、第列，剩下來(lái)的階行列式稱為元素的余子式，記作；記稱為元素的代數(shù)余子式．例如在中，元素的余子式是，而它的代數(shù)余子式是．引理如果階行列式的第行除外的其余元素都為零，則這個(gè)行列式等于與其代數(shù)余子式的乘積，即黑板演示一般的對(duì)換可以通過(guò)一系列的相鄰對(duì)換來(lái)實(shí)現(xiàn),且為奇數(shù)次鄰換實(shí)現(xiàn)提問(wèn)n元排列共有n!個(gè)，其中奇、偶排列的個(gè)數(shù)相等，各有多少個(gè)提問(wèn)如何計(jì)算行列式討論具有怎樣特點(diǎn)的行列式可用定義計(jì)算討論適用遞推和數(shù)歸法計(jì)算的行列式具有什么特點(diǎn)提問(wèn)行列式中各項(xiàng)的元素如何取得的。證先證最簡(jiǎn)單的情況：設(shè)，這是例10中時(shí)的情況，由例的結(jié)論，即有．又因，故得．再證一般的情況，設(shè)的第行除外的其余元素都為零：將的第行依次與上面的行逐行對(duì)換，再將第列依次與左面的列逐列對(duì)調(diào)，共經(jīng)次對(duì)調(diào)，將調(diào)到了第1行第1列的位置上，所得的行列式記為，則，而在中的余子式仍然是在中的余子式。利用已證的結(jié)果有，因此．定理3階行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積之和，即，或．證任選的第行，把該行元素都寫(xiě)作個(gè)數(shù)之和：++，由引理即得。按第列展開(kāi)可類(lèi)似證明．這個(gè)定理稱為行列式按一行（列）展開(kāi)法則．它為行列式計(jì)算提供了又一種思路：將階行列式的計(jì)算轉(zhuǎn)化為階行列式的計(jì)算，這稱為降階．按定理3計(jì)算例7例12證明范德蒙行列式其中記號(hào)表示全體同類(lèi)因子的乘積．推論行列式某一行（列）元素與另一行（列）對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零．即或注例13設(shè)元的余子式和代數(shù)余子式依次記作,求討論此處證明為何不作2次的對(duì)調(diào)實(shí)現(xiàn)課后作業(yè)P26-284（2）（4）、5（4）、7(2)(4)(6)分教案授課主題第一章§7課次1教學(xué)方法手段多媒體課件教學(xué)輔以板書(shū)推演學(xué)時(shí)2教學(xué)目的要求掌握克拉默法則教學(xué)重難點(diǎn)克拉默法則及其逆否命題教學(xué)內(nèi)容綱要備注§4克萊默（Cramer）法則一Cramer法則（法則）設(shè)線性方程組，其系數(shù)行列式，用常數(shù)向量替換的第列所得的階行列式記作，即,（）．若，則線性方程組存在唯一解：例14解線性方程組例15設(shè)曲線，試求系數(shù)．解將在四個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入得，關(guān)于的線性方程組其系數(shù)行列式是，轉(zhuǎn)置得，是一個(gè)四階范得蒙行列式，得．于是由克萊默法則知，方程組有唯一解，再分別計(jì)算：，，，故于是所求曲線方程為提問(wèn)何謂齊次線性方程組。（法則）的逆否命題是：定理4如果線性方程組（1）的系數(shù)行列式,則（1）一定有唯一解．定理如果線性方程組（1）無(wú)解或有兩個(gè)不同的解，則它的系數(shù)行列式一定為零．二、齊次線性方程組如果線性方程組（1）的常數(shù)項(xiàng)都等于零，即稱為齊次線性方程組。利用克萊默法則容易得到下面的定理：定理5若齊次方程組（2）的系數(shù)行列式，則它只有零解。其逆否命題是：定理6若齊次方程組（2）有非零解，則它的系數(shù)行列式一定為零．事實(shí)上，齊次線性方程組（2）有非零解它的系數(shù)行列式為零．例16問(wèn)取何值時(shí)，齊次線性方程組有非零解Cramer法則只能應(yīng)用于方形的方程組，且系數(shù)行列式不能為零．在計(jì)算時(shí)需要計(jì)算個(gè)階的行列式，當(dāng)較大時(shí)計(jì)算量通常很大。因此Cramer法則的主要意義是在理論上，它明確指出了方程組的解與系數(shù)之間的關(guān)系，并給出了一種新穎的“塊狀處理”的模式．討論命題與逆否命題等價(jià)問(wèn)題課后作業(yè)P2810（1）、11單元教案知識(shí)單元主題第二章矩陣及其運(yùn)算學(xué)時(shí)10教學(xué)內(nèi)容（摘要）§1矩陣§2矩陣的運(yùn)算§3逆矩陣§4矩陣分塊法教學(xué)目的要求1、理解矩陣的概念，了解零矩陣、對(duì)角矩陣、單位矩陣、對(duì)稱矩陣等矩陣的特點(diǎn)。2、熟練掌握矩陣的線性運(yùn)算、矩陣與矩陣的乘法、矩陣的轉(zhuǎn)置、方陣的行列式以及它們的運(yùn)算規(guī)律。3、理解可逆矩陣的概念、性質(zhì)、以及矩陣可逆的重要條件，理解伴隨矩陣的概念和性質(zhì)，會(huì)用伴隨矩陣求矩陣的逆陣。4、知道分塊矩陣及其運(yùn)算規(guī)律，掌握分塊對(duì)角矩陣的計(jì)算。教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)1.矩陣的計(jì)算2.矩陣的按行，列分塊難點(diǎn)：逆矩陣的求法；分塊矩陣的運(yùn)算教學(xué)方法手段多媒體課件教學(xué)輔以板書(shū)推演教學(xué)后記對(duì)一般分塊矩陣只做了解，只掌握分塊對(duì)角矩陣的計(jì)算，其它可弱化分教案授課主題第一章§1-§2課次2教學(xué)方法手段多媒體課件教學(xué)輔以板書(shū)推演學(xué)時(shí)4教學(xué)目的要求1、理解矩陣的概念，了解零矩陣、對(duì)角矩陣、單位矩陣、對(duì)稱矩陣等矩陣的特點(diǎn)。2、熟練掌握矩陣的線性運(yùn)算、矩陣與矩陣的乘法、矩陣的轉(zhuǎn)置、方陣的行列式以及它們的運(yùn)算規(guī)律。教學(xué)重難點(diǎn)矩陣與矩陣的乘法教學(xué)內(nèi)容綱要備注第二章矩陣及其運(yùn)算前一章討論的Cramer法則，對(duì)于線性方程組不是方形的或其系數(shù)行列式等于零，便不能用了，但它的那種集成化處理的思想方法還是可以借鑒的。由此可以引向線性代數(shù)更重要的概念——矩陣。矩陣是許多學(xué)科使用頻率很高的一個(gè)集成化的數(shù)學(xué)工具，凡涉及到多個(gè)方面相互關(guān)聯(lián)的多元數(shù)量關(guān)系，往往可用矩陣來(lái)進(jìn)行整體描述和處理。本章主要學(xué)習(xí)矩陣的基本代數(shù)運(yùn)算——加法、數(shù)乘、乘法、轉(zhuǎn)置、（方陣）取行列式、（可逆矩陣）求逆，以及矩陣的分塊及分塊矩陣的基本代數(shù)運(yùn)算?！?矩陣一、矩陣的定義定義由個(gè)數(shù)排成行、列，并加上括號(hào)，這樣排成的數(shù)表：稱為一個(gè)行列矩陣，簡(jiǎn)稱矩陣，通常記為或。有時(shí)也記作或，其中稱為矩陣的(第行、第列的)元素。二、一些常用的特殊矩陣個(gè)元素全為零的矩陣稱為零矩陣，記為.只有一行的矩陣稱為行矩陣：.只有一列的矩陣稱為列矩陣:，行數(shù)等于列數(shù)（即）的矩陣稱為階方陣。下面是幾種特殊的方陣：若時(shí)，即,則稱為階下三角矩陣．若時(shí)，即，則稱為階上三角矩陣．若時(shí)，即則稱它為對(duì)角矩陣．它既是上三角陣，也是下三角陣，可以記作。若為階對(duì)角矩陣，且主對(duì)角元素全相等，即，則稱為階純量矩陣。特別地，若，即，則稱為階單位矩陣．當(dāng)且僅當(dāng)，是同型矩陣（即行數(shù)相等、列數(shù)也相等）、且它們的對(duì)應(yīng)元素相等（即）時(shí)，則稱矩陣與矩陣相等，記作．§2矩陣的運(yùn)算一、矩陣的加法定義設(shè)矩陣和，那么矩陣與的和記作，規(guī)定其和為根據(jù)定義容易驗(yàn)證矩陣的加法滿足下列運(yùn)算律（都是同型矩陣）：（1）交換律：；（2）結(jié)合律：；若，則存在矩陣，滿足．稱為的負(fù)矩陣．由此可以定義矩陣的減法為。二、數(shù)與矩陣相乘（“數(shù)乘”）：定義設(shè)矩陣，是一個(gè)數(shù)，規(guī)定與矩陣的乘積為矩陣的數(shù)乘滿足下列運(yùn)算律（設(shè)為同型矩陣，為數(shù)）：（1）交換律：；（2）結(jié)合律：；（3）第一分配律：；（4）第二分配律：.矩陣的加減運(yùn)算以及數(shù)乘統(tǒng)稱為矩陣的線性運(yùn)算．例1設(shè)，，求．三、矩陣的乘法定義設(shè)是一個(gè)矩陣，是一個(gè)矩陣，則規(guī)定矩陣A和矩陣B的乘積是一個(gè)矩陣，其中上述定義表明，乘積矩陣的第行第列元素，是的第行的個(gè)元素與的第列的個(gè)元素一一對(duì)應(yīng)相乘的乘積之和。因此只有當(dāng)左邊矩陣的列數(shù)等于右邊矩陣的行數(shù)時(shí)，這兩個(gè)矩陣才可乘，我們稱為左乘，或右乘。例2設(shè)，，求.矩陣的乘法應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：1.任意兩個(gè)矩陣未必可乘，應(yīng)首先考察矩陣的規(guī)格，以確定是否可乘以及乘積的規(guī)格．2.交換律一般不成立．一般來(lái)說(shuō)；即使是同階矩陣相乘，交換律一般也不成立。例如設(shè)，B=，容易驗(yàn)證。而如果成立，則說(shuō)矩陣與可交換。3.消去律一般不成立，即由，不能斷定或。例如，因此，即使，一般由也不能推出．但矩陣的乘法仍滿足以下運(yùn)算律（假設(shè)運(yùn)算都可行）：（1）結(jié)合律：；（2）左分配律：；右分配律：；（3）與數(shù)乘可交換：。對(duì)單位矩陣E，容易驗(yàn)證，可見(jiàn)單位矩陣E在矩陣乘法的運(yùn)算中的作用類(lèi)似于數(shù)的運(yùn)算中“1”的作用。由于數(shù)量矩陣故當(dāng)它乘方陣時(shí)便有和．利用矩陣的乘法，可以將線性方程組表示成矩陣形式并簡(jiǎn)記為，其中，，。即為線性方程組的系數(shù)矩陣，稱X為未知數(shù)（變?cè)┫蛄?，為常?shù)向量．而矩陣稱為線性方程組的增廣矩陣．例3若A，B，C都為同階的對(duì)角矩陣，，容易驗(yàn)證ABC仍為對(duì)角矩陣，且ABC=．推廣之，有限個(gè)同階對(duì)角矩陣的乘積還是對(duì)角矩陣，其主對(duì)角元就是各個(gè)對(duì)角矩陣對(duì)應(yīng)的主對(duì)角元相乘積。有了矩陣的乘法，可以定義階方陣的冪：定義設(shè)是階方陣，當(dāng)為正整數(shù)時(shí)，的冪運(yùn)算規(guī)定為：．．從定義知，就是個(gè)的連乘，顯然只有方陣才有冪。由于矩陣乘法符合結(jié)合律，所以方陣的冪滿足以下運(yùn)算律（其中為正整數(shù)）：，，注對(duì)兩個(gè)階方陣、來(lái)說(shuō)，一般．因此，一些熟知的的乘法公式一般不再成立，如、，等等。但只要與可交換，則這些公式就都成立了。例4設(shè)，求（為正整數(shù)）。解：逐次相乘==，==，……………………于是猜測(cè)：=下用數(shù)學(xué)歸納法證明之：當(dāng)，上已見(jiàn)結(jié)論成立。假設(shè)時(shí)結(jié)論成立，則時(shí)：==所以對(duì)任意的的正整數(shù)，均有=。四、矩陣的轉(zhuǎn)置定義把矩陣的行、列互換，得到一個(gè)矩陣，稱為的轉(zhuǎn)置，記為，即：．轉(zhuǎn)置也是矩陣的一種代數(shù)運(yùn)算，滿足下述運(yùn)算律（設(shè)運(yùn)算是可行的）：（1）；（2）；（3），(是數(shù))；（4）。證：我們僅證明（4）：設(shè)，記，，，則有，，。故．若，即有，則稱為對(duì)稱矩陣；若，即有，則稱為反對(duì)稱矩陣；對(duì)稱矩陣的元素以主對(duì)角線為對(duì)稱軸對(duì)應(yīng)相等，而反對(duì)稱矩陣的主對(duì)角線上所有元素均為零，其余元素以主對(duì)角線為對(duì)稱軸對(duì)應(yīng)相反．例5設(shè)列矩陣滿足為階單位矩陣，，證明是對(duì)稱矩陣，且．五、方陣的行列式定義由n階方陣的元素所構(gòu)成的行列式（各元素的位置不變），稱為方陣的行列式，記作或det。對(duì)方陣取行列式，是施加于方陣的一種運(yùn)算，且滿足下列運(yùn)算律（、為階方陣，為數(shù)）：（1）；（2）；（3）。例6設(shè)，其中是行列式中元素的代數(shù)余子．試證證：記，據(jù)第一章的性質(zhì)8，有：，（），故，類(lèi)似地亦可證有．本例中的方陣，是由方陣所唯一確定的，稱為的伴隨矩陣．六、共軛矩陣設(shè)稱為的共軛矩陣．提問(wèn)矩陣與行列式的本質(zhì)區(qū)別提問(wèn)對(duì)角線上的元素行列標(biāo)特點(diǎn)提問(wèn)數(shù)乘行列式如何乘的說(shuō)明為何稱為矩陣的線性運(yùn)算提問(wèn)同學(xué)們所學(xué)的運(yùn)算還有哪種不滿足交換律提醒同學(xué)注意此處公式2，再次強(qiáng)調(diào)數(shù)乘行列式和矩陣的區(qū)別.課后作業(yè)P53－563、4（4）、7、9分教案授課主題第二章§3-§4課次2教學(xué)方法手段多媒體課件教學(xué)輔以板書(shū)推演學(xué)時(shí)4教學(xué)目的要求1、理解可逆矩陣的概念、性質(zhì)、以及矩陣可逆的重要條件，理解伴隨矩陣的概念和性質(zhì)，會(huì)用伴隨矩陣求矩陣的逆陣。2、知道分塊矩陣及其運(yùn)算規(guī)律，掌握分塊對(duì)角矩陣的計(jì)算。教學(xué)重難點(diǎn)分塊矩陣及其運(yùn)算規(guī)律教學(xué)內(nèi)容綱要備注§3逆矩陣1、可逆矩陣的概念定義對(duì)于階方陣，若存在一個(gè)同階方陣，能使，則稱方陣可逆，稱是的逆矩陣．的逆矩陣記為．注1若方陣可逆，則的逆矩陣是唯一的．事實(shí)上，若、都是的逆矩陣，由、，便可推出，所以的逆矩陣唯一．2、矩陣可逆的充要條件以及求逆陣的公式定理方陣可逆的充分必要條件是．證：必要性：設(shè)可逆，即存在，由，知．充分性：設(shè)，由例知有．因，便可導(dǎo)出，于是由定義知可逆，且得求逆公式：．若，稱為非奇異的，即“可逆”等價(jià)于“非奇異”．推論設(shè)、是同階方陣，若有（或），則、皆可逆，且、互為逆矩陣．3、逆矩陣的性質(zhì)（1）若可逆，則亦可逆，且；（2）若可逆，數(shù)，則亦可逆，且；（3）若、同階且皆可逆，則亦可逆，且；（4）若可逆，則亦可逆，且；注2若可逆，則由可推出；即對(duì)可逆矩陣，消去律成立．當(dāng)時(shí)，定義：，（其中為正整數(shù)）當(dāng)、為整數(shù)（正或負(fù)）時(shí)、均成立．例1求二階矩陣的逆矩陣．例2設(shè)，求．例3設(shè)求矩陣使其滿足例4設(shè)求．結(jié)合加法、數(shù)乘和乘法三種運(yùn)算，可定義方陣的多項(xiàng)式：設(shè)有階方陣和關(guān)于的次多項(xiàng)式，定義矩陣的次多項(xiàng)式為，易見(jiàn)仍是一個(gè)階方陣．矩陣的任意兩個(gè)多項(xiàng)式是可交換的，即．的計(jì)算方法：（1）如果，從而．（2）如果為對(duì)角矩陣，則從而例5若方陣A滿足，證明可逆，并求其逆。證由及與可交換得：，即，由定理2.推論知，可逆，且有．§4矩陣分塊法把一個(gè)規(guī)格較大的矩陣劃分成若干小塊，用分塊方式來(lái)處理，把大矩陣的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為小矩陣的運(yùn)算，不僅能使運(yùn)算較為簡(jiǎn)明，更重要的是使運(yùn)用微型計(jì)算機(jī)組合來(lái)計(jì)算大矩陣成為可能。一、矩陣的分塊定義用一些縱、橫虛線將矩陣分割成若干小矩陣，以這些小矩陣為元素的矩陣稱為分塊矩陣，各個(gè)小矩陣稱為的子塊．例如其中，，，．也可以按行分塊：，或按列分塊：．二、分塊矩陣的運(yùn)算對(duì)分塊矩陣進(jìn)行運(yùn)算時(shí)，可以把每一個(gè)子塊當(dāng)作矩陣的一個(gè)元素來(lái)處理，但應(yīng)保證運(yùn)算的可行．1、分塊矩陣的加法、數(shù)乘和轉(zhuǎn)置設(shè)矩陣、是兩個(gè)同型矩陣，且分塊法一致，即：，其中每一與的規(guī)格都對(duì)應(yīng)相同，則規(guī)定加法為；設(shè)為數(shù)，則規(guī)定數(shù)乘為；規(guī)定轉(zhuǎn)置為．2.、分塊矩陣的乘法設(shè)是矩陣，是矩陣．若將分為個(gè)子塊，將分為個(gè)子塊，且的列與的行分塊法一致，則規(guī)定與的乘法為其中，．例1設(shè)，，求．三、分塊對(duì)角陣設(shè)是階矩陣，若的一個(gè)分塊矩陣只有在主對(duì)角線上有非零子塊，即，其中是階小方陣（階數(shù)可不同），，，而其余的非主對(duì)角子塊都為零矩陣，那么稱為的分塊對(duì)角矩陣．例如：若記，則，，．注1分塊對(duì)角陣有以下性質(zhì)（1）若，則；（2）若每一，則有．證由知存在，由便得．例2設(shè)，求．例3設(shè)，其中皆為可逆方陣（不必同階），求證可逆，并求．對(duì)矩陣分塊時(shí)，應(yīng)特別重視按行和按列分塊：矩陣按行分塊，矩陣按列分塊注1．例4設(shè)．線性方程組簡(jiǎn)記為，其中，，．也可記為．四、克拉默法則的證明課題引入：矩陣與數(shù)相仿，有加、減、乘三種運(yùn)算，矩陣的乘法是否也和數(shù)一樣有逆運(yùn)算呢提醒:類(lèi)比記憶此處公式3和矩陣乘積轉(zhuǎn)置公式.板書(shū)：對(duì)C=AB相應(yīng)矩陣進(jìn)行按行列分法，及左行右列口訣.課后作業(yè)P53－5611（3）、12（4）、13（2）26、28、29（1）、30（2）單元教案知識(shí)單元主題第三章矩陣的初等變換與線性方程組學(xué)時(shí)8教學(xué)內(nèi)容（摘要）§1矩陣的初等變換§2矩陣的秩§3線性方程組的解教學(xué)目的要求1、掌握矩陣的初等變換，并會(huì)用初等行變換求矩陣的逆；2、理解矩陣的秩的概念，知道初等變換不改變矩陣秩的原理，掌握用初等變換求矩陣秩的方法，知道矩陣的秩與標(biāo)準(zhǔn)形關(guān)系；3、掌握齊次與非齊次線性方程組有解的條件；4、熟練掌握用矩陣的初等行變換求解線性方程組的方法。教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)矩陣的初等變換；用初等行變換求矩陣的逆；矩陣的秩，初等變換求矩陣的秩；用矩陣的初等行變換解線性方程組。難點(diǎn)：矩陣的初等變換；矩陣秩的概念；線性方程組有解的條件教學(xué)方法手段多媒體課件教學(xué)輔以板書(shū)推演教學(xué)后記加強(qiáng)初等變換矩陣乘法關(guān)系這一部分內(nèi)容的教學(xué)。部分同學(xué)對(duì)初等（行）變換求逆矩陣的原理理解不夠.分教案授課主題第三章§1課次2教學(xué)方法手段多媒體課件教學(xué)輔以板書(shū)推演學(xué)時(shí)4教學(xué)目的要求掌握矩陣的初等變換，初等矩陣；理解初等變換與矩陣乘法關(guān)系.教學(xué)重難點(diǎn)理解初等變換與矩陣乘法關(guān)系，部分學(xué)生對(duì)初等（行）變換求逆矩陣的原理理解不夠.教學(xué)內(nèi)容綱要備注第三章矩陣的初等變換與線性方程組§1矩陣的初等變換一、分析用消元法解線性方程組的過(guò)程方程組（1）的增廣矩陣二、初等變換的概念定義下面三種變換稱為矩陣的初等行變換：（1）對(duì)調(diào)兩行（對(duì)調(diào)、兩行，記為），稱為對(duì)調(diào)變換；（2）用數(shù)乘某一行中所有元素（第行乘記為），稱為倍乘變換；（3）把某一行所有元素的倍加到另一行的對(duì)應(yīng)元素上（第行的倍加到第行上記為），稱為倍加變換．將定義中的“行”換成“列”，即得到矩陣的初等列變換的定義（將記號(hào)換成）．矩陣的初等行變換與矩陣的初等列變換，統(tǒng)稱為矩陣的初等變換．初等變換都存在著逆變換，如變換的逆變換就是其本身；變換的逆變換為；變換的逆變換為；定義如果矩陣經(jīng)有限次初等行變換變成矩陣，則稱矩陣與行等價(jià)．記為；如果矩陣經(jīng)有限次初等列變換變成矩陣，則稱矩陣與列等價(jià)．記為；如果矩陣經(jīng)有限次初等變換變成矩陣，則稱矩陣與等價(jià)．記為．注1等價(jià)關(guān)系具有下面三條性質(zhì)：反身性：；對(duì)稱性：若有，則必有；傳遞性：若有、，則必有．容易驗(yàn)證矩陣之間的初等變換滿足上面等價(jià)關(guān)系的三條性質(zhì)。三、利用初等行變換解線性方程組（行階梯形矩陣）（行最簡(jiǎn)形矩陣）上面矩陣對(duì)應(yīng)方程組，取為自由未知量，并令，即得其中是任意常數(shù)．行階梯形矩陣的特點(diǎn)：可劃一條階梯線，線的下方全為零；每個(gè)臺(tái)階只有一行，臺(tái)階數(shù)即是非零行的行數(shù)，階梯線的豎線后面的第一個(gè)元素為非零元，稱為非零首元．行最簡(jiǎn)形矩陣的特點(diǎn)：行階梯形，非零首元為1，且非零首元所在的列的其他元素都為0．注2對(duì)于任何矩陣總可以經(jīng)過(guò)有限次初等行變換把它變?yōu)樾须A梯形矩陣和行最簡(jiǎn)形矩陣．初等變換的主要作用是化簡(jiǎn)矩陣而保持其等價(jià)性(這在用矩陣解線性方程組中很重要)?；?jiǎn)矩陣的主要過(guò)程是：首先通過(guò)初等行變換把化成行階梯形矩陣，然后繼續(xù)用初等行變換把化成行最簡(jiǎn)形矩陣。此后如果再用初等列變換，還可將進(jìn)一步化成標(biāo)準(zhǔn)形.注3對(duì)于任何矩陣總可以經(jīng)過(guò)有限次初等變換（行變換和列變換）把它化為標(biāo)準(zhǔn)形此標(biāo)準(zhǔn)形由三個(gè)數(shù)完全確定，其中就是行階梯形矩陣的非零行的行數(shù)．所有與等價(jià)的矩陣組成的一個(gè)集合，稱為一個(gè)等價(jià)類(lèi)，標(biāo)準(zhǔn)形是這個(gè)等價(jià)類(lèi)中形狀最簡(jiǎn)單的一個(gè)．例1設(shè)，把化成行最簡(jiǎn)形．二初等矩陣一、初等矩陣的概念定義 單位矩陣經(jīng)過(guò)一次初等變換得到的矩陣稱為初等矩陣．三種初等變換對(duì)應(yīng)著三種初等矩陣（初等方陣）．1、對(duì)調(diào)兩行或?qū)φ{(diào)兩列由單位矩陣的第、j行（列）對(duì)調(diào)而得到的初等矩陣，記作2、以數(shù)乘某行或某列由單位矩陣第行（列）乘而得到的倍乘初等矩陣，記作；3、倍加變換得倍加初等矩陣由單位矩陣的第行的k倍加到第行而得到（也就是由單位矩陣E的第列的k倍加到第列而得到）的初等矩陣，記作（）（）注1初等矩陣皆可逆，且它們的逆陣仍為同類(lèi)初等陣。由于，。二、初等矩陣的應(yīng)用容易驗(yàn)證：導(dǎo)致的第，行對(duì)調(diào)；導(dǎo)致的第，列對(duì)調(diào)；導(dǎo)致的第行乘；導(dǎo)致的第列乘；導(dǎo)致的第行的倍加到第行；導(dǎo)致的第列的倍加到第列。定理1設(shè)是一個(gè)矩陣，對(duì)進(jìn)行一次初等行變換，相當(dāng)于在的左邊乘一個(gè)相應(yīng)的階初等矩陣；對(duì)進(jìn)行一次初等列變換，相當(dāng)于在的右邊乘一個(gè)相應(yīng)的階初等矩陣。定理2矩陣可逆的充分必要條件是存在有限個(gè)初等矩陣，使得.推論1方陣可逆推論2矩陣存在階可逆矩陣及階可逆矩陣，使得.(此推論證明留給讀者)注2對(duì)可逆矩陣和同階單位矩陣作同樣的初等行變換，則把變成單位矩陣的同時(shí)，單位矩陣也就變成了．證由定理2知，若，則（其中為初等矩陣，）由此推得．于是．所以對(duì)和施行相同的初等變換，則變成了,變成了．例1設(shè)，求．注意：用初等行變換求的逆矩陣（或求解線性方程組）時(shí)，不必驗(yàn)證是否可逆，如果作變換時(shí)左邊子塊出現(xiàn)了全零行，則表明不可逆，此時(shí)需要另行討論了。對(duì)于個(gè)未知數(shù)個(gè)方程的線性方程組，若可逆，則線性方程組的解為．由知：利用矩陣的初等行變換當(dāng)將變成時(shí)，就變成，此即方程組的解．例2設(shè),，求線性方程組的解．例3求解矩陣方程,其中.分析學(xué)生思考：如何求對(duì)矩陣作初等列變換，使即可得.或者改為對(duì)作初等行變換，使即可得,從而求得．課題引入：對(duì)用消元法解線性方程組的三個(gè)手續(xù)抽象為對(duì)矩陣的初等變換.并從解方程的角度說(shuō)明非零數(shù)乘的必要性.課后作業(yè)P79－813（2）、4（1）、5分教案授課主題第三章§2-§3課次2教學(xué)方法手段多媒體課件教學(xué)輔以板書(shū)推演學(xué)時(shí)4教學(xué)目的要求理解矩陣的秩，掌握線性方程組的解.教學(xué)重難點(diǎn)矩陣的秩，線性方程組解的判定定理教學(xué)內(nèi)容綱要備注§2矩陣的秩一、矩陣秩的概念給定矩陣，它的標(biāo)準(zhǔn)形由數(shù)完全確定，這個(gè)數(shù)就是行階梯形矩陣的非零行的行數(shù)，便是本節(jié)要討論的矩陣的秩．定義在矩陣中，任取行與列,位于這些行列交叉處的個(gè)元素，不改變它們?cè)谥兴幍奈恢么涡蚨玫碾A行列式，稱為矩陣的階子式．．定義設(shè)在矩陣中有一個(gè)階子式，且所有階子式（如果存在的話）全等于，那么稱為矩陣的最高階非零階子式，數(shù)稱為矩陣的秩．記作.注1（1）規(guī)定零矩陣的秩等于0．（2）在中當(dāng)所有階子式全為0時(shí)，則所有高于階的子式也全為0．（3）若中有某個(gè)階子式不為0，則；若中所有階子式全為0，則．（4）若為矩陣，則．（5）.對(duì)于階矩陣,當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故可逆矩陣又稱為滿秩矩陣，不可逆矩陣又稱降秩矩陣．例1例2二、矩陣秩的求法定理3若，則.定理3為我們提供了一個(gè)十分便捷的求秩方法：對(duì)于給定的矩陣，只要用初等變換把它變成行階梯形矩陣，行階梯形矩陣的非零行的行數(shù)即是矩陣的秩．例3并求的一個(gè)最高階非零子式．例4，求矩陣及矩陣的秩．例5已知，求的值．三、矩陣秩的性質(zhì)（歸納總結(jié)）1、若為矩陣，則．2、.3、若，則．4、若可逆，則.5、,特別地，.6.設(shè)與可加，則有．7．設(shè)與可乘，則．8．9．若為階可逆陣，則．10．若是分塊對(duì)角陣：，則有．例6設(shè)為階矩陣，證明．§3線性方程組的解一、線性方程組的三種形式線性方程組的一般形式是這種形式稱為聯(lián)列方程形式．根據(jù)向量的線性運(yùn)算，上述形式還可以寫(xiě)作：并進(jìn)一步記作它表達(dá)了一組向量之間的線性表示關(guān)系，因此這種形式稱為方程組的向量形式．根據(jù)矩陣分塊運(yùn)算的法則，式又可進(jìn)一步寫(xiě)作：并進(jìn)而記為：上式就是一個(gè)矩陣方程，故稱為矩陣形式．這三種形式，所記的是同一個(gè)對(duì)象，只是所用工具不同、表達(dá)視角不同而已。通過(guò)這三種形式，矩陣、向量組、方程組三者互相溝通了，這便于我們從不同的角度、運(yùn)用不同的工具來(lái)剖析線性方程組的內(nèi)涵。例如若方程組的聯(lián)列方程形式為，則其向量形式為，矩陣形式為．二、線性方程組的求解線性方程組的系數(shù)矩陣為記稱為方程組的增廣矩陣．定理4.元線性方程組（1）無(wú)解；（2）有唯一解；（3）有無(wú)窮多解．定理的證明過(guò)程給出了解方程組的步驟．例1求解齊次線性方程組例2求解非齊次線性方程組解對(duì)其增廣矩陣作行初等變換，由此可知，，故此方程組無(wú)解．例3求解非齊次線性方程組例4設(shè)有線性方程組，問(wèn)取何值時(shí)，方程組有唯一解；無(wú)解；有無(wú)窮多個(gè)解并在有無(wú)限多解時(shí)求其通解．解法一這是方形的方程組，考慮克萊默法則常常較方便因此，當(dāng)時(shí)，方程組有唯一解．當(dāng)時(shí)，,此時(shí)，故方程組無(wú)解．當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，故方程組有無(wú)窮多個(gè)解，且其通解為解法二對(duì)增廣矩陣作初等行變換，此時(shí)應(yīng)小心防止出現(xiàn)增根或失根．，于是當(dāng)且時(shí)，方程組有唯一解；而當(dāng)時(shí)方程組無(wú)解；當(dāng)方程組有無(wú)窮多個(gè)解．如解法一．三、線性方程組解的存在性理論定理定理5線性方程組有解．定理6元齊次線性方程組有非零解．定理7矩陣方程有解．定理8設(shè)，則．定理9矩陣方程只有零解．概念辨析：子快，子式，余子式課后作業(yè)P79－809（3）、11、15、20、21單元教案知識(shí)單元主題第四章向量組的線性相關(guān)性學(xué)時(shí)10教學(xué)內(nèi)容（摘要）§1向量組及其線性組合§2向量組的線性相關(guān)性§3向量組的秩§4線性方程組的解的結(jié)構(gòu)§5向量空間教學(xué)目的要求1、理解維向量、向量組的概念，掌握向量組與矩陣對(duì)應(yīng)關(guān)系。2、理解向量組的線性組合、線性相關(guān)性、兩向量組等價(jià)等概念。3、理解向量組的最大無(wú)關(guān)組與秩的概念，會(huì)用矩陣的初等變換求向量組的秩和最大無(wú)關(guān)組。4、掌握齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系的求法，非齊次線性方程組通解的構(gòu)造，系數(shù)矩陣秩與解向量集合秩之間的聯(lián)系。教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)向量組的線性相關(guān)性；用矩陣的初等變換求向量組的秩和最大無(wú)關(guān)組；齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系的求法.難點(diǎn)：向量組的線性相關(guān)性；向量組的最大無(wú)關(guān)組的求法教學(xué)方法手段多媒體課件教學(xué)輔以板書(shū)推演教學(xué)后記講這一部分內(nèi)容概念較多，要充分理解各概念間的聯(lián)系，多留時(shí)間給學(xué)生思考分教案授課主題第四章§1-§2課次2教學(xué)方法手段多媒體課件教學(xué)輔以板書(shū)推演學(xué)時(shí)4教學(xué)目的要求1、理解維向量、向量組的概念，掌握向量組與矩陣對(duì)應(yīng)關(guān)系.2、理解向量組的線性組合、線性相關(guān)性、兩向量組等價(jià)等概念.教學(xué)重難點(diǎn)向量組的線性相關(guān)性教學(xué)內(nèi)容綱要備注§1向量組及其線性組合一、維向量1．維向量的概念定義由個(gè)有次序的數(shù)所組成的數(shù)組稱為維向量，其中稱為向量的第個(gè)分量．個(gè)分量都是實(shí)數(shù)的向量稱為維實(shí)向量，分量是復(fù)數(shù)的向量稱為維復(fù)向量．本課程一般只討論實(shí)向量．2、維向量的表示方法向量寫(xiě)成一行，稱為行向量，通常記作或．全體維實(shí)向量的集合記作．向量寫(xiě)成一列，稱為列向量，通常記為、、等．行的形式和列的形式不能混寫(xiě)．3、維向量的運(yùn)算向量也是矩陣，規(guī)定行(列)向量按矩陣的運(yùn)算規(guī)律進(jìn)行運(yùn)算．二．向量組的線性組合若干個(gè)同維數(shù)的列向量(或行向量)所組成的集合叫做向量組．注1一個(gè)矩陣對(duì)應(yīng)一個(gè)維列向量組也對(duì)應(yīng)一個(gè)維行向量組．定義給定向量組，對(duì)于任何一組實(shí)數(shù)線性組合．稱為這個(gè)線性組合的系數(shù)．給定向量組和向量，如果存在一組實(shí)數(shù)，使則向量是向量組的線性組合．也稱向量能由向量組線性表示．易知：向量能由向量組線性表示有解．定理1向量能由向量組線性表示的充要條件是三．向量組的等價(jià)性定義設(shè)有兩個(gè)向量組及，若中每一個(gè)向量都能由向量組線性表示，則稱向量組能由向量組線性表示．若向量組與向量組能相互線性表示，則稱這兩個(gè)向量組等價(jià)．向量組中的每個(gè)向量都能由向量組線性表示即對(duì)每個(gè)有數(shù)，使，從而這里，矩陣稱為這一線性表示的系數(shù)矩陣．注2若，則（1）的列向量組可由的列向量組線性表示,為這一表示的系數(shù)矩陣.（2）的行向量組可由的行向量組線性表示,為這一表示的系數(shù)矩陣.注3矩陣與行(列)等價(jià)，則的行(列)向量組的行(列)向量組等價(jià).向量組能由向量組線性表示就是矩陣方程有解．定理2向量組能由向量組線性表示的充分必要條件是,即.推論向量組與向量組等價(jià)的充要條件例1例2．定理3向量組能由向量組線性表示，則.證法一：向量組能由向量組線性表示，則存在矩陣,使.而,所以，即證法二：根據(jù)定理2有，而,因此注意向量組能由向量組線性表示，有矩陣,使.矩陣方程有解．例3證明維單位坐標(biāo)向量組能由維向量組線性表示的充要條件是．§2向量組的線性相關(guān)性一、線性相關(guān)性的概念上一節(jié)依據(jù)向量的線性運(yùn)算，定義了向量的線性組合和線性表示的概念，這使向量集中的向量相互之間具有了一種關(guān)系．這種立足于線性運(yùn)算和線性表示基礎(chǔ)上的關(guān)系，稱為線性關(guān)系．定義給定向量組，如果存在不全為零的數(shù)使，則稱向量組線性相關(guān)的，否則稱它線性無(wú)關(guān)．注1(1)含零向量的向量組必線性相關(guān).(2)一個(gè)向量線性相關(guān)．(3)兩個(gè)非零向量線性相關(guān)．（4）能由其余個(gè)向量線性表示．（5）向量組線性無(wú)關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)有．向量組是否線性相關(guān)，就是齊次線性方程組是否有非零解．二、線性相關(guān)性的判定定理4向量組線性相關(guān)向量組線性無(wú)關(guān)．例4試討論維單位坐標(biāo)向量組的線性相關(guān)性．例5試討論向量組及向量組的線性相關(guān)性例6已知向量組線性無(wú)關(guān)，試證向量組線性無(wú)關(guān)．三、線性相關(guān)性的性質(zhì)定理5(1)若向量組線性相關(guān)則向量組也線性相關(guān)；反之,若向量組線性無(wú)關(guān)則向量組也線性無(wú)關(guān).部分組線性相關(guān)該向量組線性相關(guān).向量組線性無(wú)關(guān)任何部分組線性無(wú)關(guān).(2)個(gè)維向量組成的向量組當(dāng)維數(shù)小于向量個(gè)數(shù)時(shí)一定線性相關(guān)．特別地，個(gè)維向量一定線性相關(guān)．(3)設(shè)向量組線性無(wú)關(guān)而向量組線性相關(guān)則向量必能由向量組線性表示且表示式是唯一的.例7設(shè)向量組線性相關(guān)向量組線性無(wú)關(guān),證明(1)能由線性表示；(2)不能由線性表示．復(fù)習(xí)：矩陣的線性運(yùn)算.矩陣按行列分塊和左行右列口訣課后作業(yè)P108－1123、4分教案授課主題第四章§3-§4課次2教學(xué)方法手段多媒體課件教學(xué)輔以板書(shū)推演學(xué)時(shí)4教學(xué)目的要求理解向量組的最大無(wú)關(guān)組與秩的概念，會(huì)用矩陣的初等變換求向量組的秩和最大無(wú)關(guān)組;掌握齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系的求法，非齊次線性方程組通解的構(gòu)造，系數(shù)矩陣秩與解向量集合秩之間的聯(lián)系.教學(xué)重難點(diǎn)向量組的最大無(wú)關(guān)組的求法.教學(xué)內(nèi)容綱要備注§3向量組的秩秩是線性代數(shù)中最深刻的概念之一．向量組的秩，標(biāo)示了它的“檔次”，秩越大的向量組，功能就越強(qiáng)．一、向量組的最大無(wú)關(guān)組及向量組秩的概念定理5（1）指出：線性無(wú)關(guān)向量組的任何部分組必?zé)o關(guān)，但一個(gè)線性相關(guān)向量組的部分組可能無(wú)關(guān)，也可能相關(guān)．例如向量組中，線性相關(guān)，線性無(wú)關(guān)．由于單獨(dú)一個(gè)非零向量是線性無(wú)關(guān)的，因此一個(gè)向量組只要不全是零向量，就必定含有無(wú)關(guān)的部分組．問(wèn)題在于：它最多可以含有幾個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量定義設(shè)有向量組，如果在向量組中能選出個(gè)向量滿足(1)向量組線性無(wú)關(guān)；(2)向量組中任意個(gè)向量（如果存在個(gè)向量的話）都線性相關(guān)．那么向量組稱為向量組的一個(gè)最大線性無(wú)關(guān)向量組（簡(jiǎn)稱最大無(wú)關(guān)組）,最大無(wú)關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)稱為向量組的秩,記作.注1只含零向量的向量組沒(méi)有最大無(wú)關(guān)組，規(guī)定其秩為0．二、向量組的最大無(wú)關(guān)組及向量組秩的求法定理6矩陣的秩等于它的列向量組的秩也等于它的行向量組的秩．注2向量組的矩陣的最高階非零子式所在的列是的列向量組的一個(gè)最大無(wú)關(guān)組,所在的行是的行向量組的一個(gè)最大無(wú)關(guān)組.三、最大無(wú)關(guān)組的性質(zhì)（1）不唯一性：向量組的最大無(wú)關(guān)組一般不是唯一的．（2）等量性：一個(gè)向量組的所有最大無(wú)關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)必相等（唯一確定的）．（3）等價(jià)性：一個(gè)向量組與它的任一最大無(wú)關(guān)組等價(jià)，并且它的不同最大無(wú)關(guān)組之間亦彼此等價(jià)．例1全體維向量構(gòu)成的向量組記作，求的一個(gè)最大無(wú)關(guān)組及的秩．四、最大無(wú)關(guān)組的等價(jià)定義推論（定理3的推論）設(shè)有向量組是向量組的一個(gè)部分組，且滿足(1)向量組線性無(wú)關(guān)；(2)向量組的任一向量都能由向量組線性表示；那么向量組便是向量組的一個(gè)最大無(wú)關(guān)組．例1設(shè)齊次線性方程組的全體解向量構(gòu)成的向量組為，求的秩．例2設(shè)矩陣,求矩陣的列向量組的一個(gè)最大無(wú)關(guān)組，并把不屬于最大無(wú)關(guān)組的列向量用最大無(wú)關(guān)組線性表示．五、向量組秩的有關(guān)定理定理1設(shè)向量組含有個(gè)向量，則向量組是線性無(wú)關(guān)組的充要條件．定理2記,向量組能由向量組線性表示的充要條件是定理3若向量組可以由向量組線性表示，則.推論等價(jià)的向量組等秩．例3設(shè)向量組能由向量組線性表示,且它們的秩相等,證明向量組與向量組等價(jià).§4線性方程組的解的結(jié)構(gòu)當(dāng)線性方程組相容時(shí)它有解，將它的所有解組成的集合記作稱為這個(gè)方程組的解集．本節(jié)討論其結(jié)構(gòu)．一、齊次線性方程組設(shè)有齊次線性方程組若為的解，則稱為方程組的解向量．1、齊次線性方程組解向量的性質(zhì)性質(zhì)1若為（1）的解，則也是（2）的解．性質(zhì)2若為（1）的解，為實(shí)數(shù)，則也是（2）的解．2、齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)設(shè)是齊次線性方程組解的集合，是的一個(gè)最大無(wú)關(guān)組那么：（1）方程的任一解都可由線性表示；（2）的任何線性組合都是方程的解；因此就是方程的通解．定義齊次線性方程組（1）的解集的最大無(wú)關(guān)組稱為它的基礎(chǔ)解系．（1）由通解求基礎(chǔ)解系設(shè)齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為，不妨設(shè)的前個(gè)列向量線性無(wú)關(guān)．于是，可得方程組（1）的通解，，而（2）由基礎(chǔ)解系寫(xiě)出通解在得到的方程組以后，令自由未知數(shù)取以下個(gè)數(shù)組：由（2）依次可得,.合并起來(lái)即得的基礎(chǔ)解系：.定理7設(shè)矩陣的秩,則元齊次線性方程組的解集的秩.例1求齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系與通解.例2解線性方程組例3設(shè)，證明．例4設(shè)元齊次線性方程組與同解，證明．例5證明．二、非齊次線性方程組若，便是非齊次的，稱與之對(duì)應(yīng)的齊次方程組為導(dǎo)出方程組（“導(dǎo)出組”）．1、非齊次線性方程組的解與其導(dǎo)出組的解的關(guān)系（1）非齊次線性方程組的任意兩個(gè)解之差是導(dǎo)出組的解；（2）非齊次線性方程組任一解與其導(dǎo)出組任一解之和仍是非齊次方程組的解．證（1）設(shè)為的任意兩個(gè)解，則，由于，故是的解．（2）設(shè)任取分別滿足：，則，所以是的解．注給定線性方程組，設(shè)，是其任一解，它的導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系為，則的通解為．例6已知3元非齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為2，是它的三個(gè)解，其中、，求的通解．解由條件知方程組相容，且有，，記，易見(jiàn)，故線性無(wú)關(guān)．由知：是導(dǎo)出組的解．又，故可作的基礎(chǔ)解系，于是的通解為例7求解方程組課后作業(yè)P108－11213(1)、14(2)、1522(1)、28(2)、29分教案授課主題第四章§5課次1教學(xué)方法手段多媒體課件教學(xué)輔以板書(shū)推演學(xué)時(shí)2教學(xué)目的要求了解向量空間.教學(xué)重難點(diǎn)向量空間的定義.教學(xué)內(nèi)容綱要備注§5向量空間前面討論了中向量的線性運(yùn)算、向量組的線性相關(guān)性等，而對(duì)向量關(guān)系更廣泛地討論和應(yīng)用常需要完備的向量組，這就是本節(jié)所要討論的——向量空間．一、向量空間的概念定義設(shè)為的一個(gè)非空子集，如果滿足：（1）對(duì)加法運(yùn)算是封閉的，即（2）對(duì)數(shù)乘運(yùn)算是封閉的，即；則稱集合為（關(guān)于向量的線性運(yùn)算構(gòu)成實(shí)數(shù)域上的）向量空間．向量集合對(duì)加法和數(shù)乘運(yùn)算封閉常常稱它滿足完備性．容易驗(yàn)證以前所提及的向量集合、、和都是向量空間．例1集合關(guān)于中的線性運(yùn)算構(gòu)成向量空間．例2集合不是向量空間．例3齊次線性方程組的解集是一個(gè)向量空間（稱為齊次線性方程組的解空間）．例4非齊次線性方程組的解集不是向量空間．例5設(shè)為兩個(gè)已知的維向量，集合是一個(gè)向量空間．這個(gè)向量空間稱為由向量所生成的向量空間．一般地，由向量組所生成的向量空間為．例6設(shè)向量組與向量組等價(jià)，記，，證明.二、子空間定義設(shè)是向量空間的一個(gè)子集,如果關(guān)于中的線性運(yùn)算，也能構(gòu)成向量空間，則稱是的一個(gè)子空間．三、向量空間的基與維數(shù)定義設(shè)是一個(gè)向量空間，是中的一組向量，如果滿足：(1)線性無(wú)關(guān)；(2)中的向量都可以由線性表示；則稱向量組是的一個(gè)基，稱為向量空間的維數(shù)，并稱為維向量空間，記作．注(1)如果向量空間沒(méi)有基,那么的維數(shù)為，維向量空間只含一個(gè)向量0．(2)若把向量空間看作向量組則向量空間的基就是向量組的最大無(wú)關(guān)組向量空間的維數(shù)就是向量組的秩.(3)若向量組是向量空間的一個(gè)基，則可表示為四、向量坐標(biāo)如果在向量空間中取定一個(gè)基，那么中任一向量可唯一地表示為數(shù)組稱為向量在基中的坐標(biāo)．在維向量空間中取單位坐標(biāo)向量組為基則向量可表示為，可見(jiàn)向量在基中的坐標(biāo)就是該向量的分量．向量組叫做中的自然基．例7設(shè)例8在中取定一個(gè)基,再取一個(gè)新基，設(shè)，．求用表示的表示式(基變換公式)，并求向量在兩個(gè)基中的坐標(biāo)之間的關(guān)系式(坐標(biāo)變換公式)．可再次解釋線性運(yùn)算慨念課后作業(yè)P108－11239、40單元教案知識(shí)單元主題第五章相似矩陣及二次型學(xué)時(shí)12教學(xué)內(nèi)容（摘要）§1向量的內(nèi)積、長(zhǎng)度及正交性§2方陣的特征值與特征向量§3相似矩陣§4對(duì)稱矩陣的對(duì)角化§5二次型及其標(biāo)準(zhǔn)型§6用配方法化二次型成標(biāo)準(zhǔn)型§7正定二次型教學(xué)目的要求1.理解向量?jī)?nèi)積、矩陣特征值、特征向量的概念，理解矩陣相似的概念，掌握相似矩陣的性質(zhì)，了解矩陣可對(duì)角化的充要條件.2.掌握實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值和特征向量的性質(zhì)，了解二次型及二次型的秩、標(biāo)準(zhǔn)型、規(guī)范形等概念，會(huì)用矩陣表示二次型，會(huì)用正交變換法和配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型.3.了解慣性定理，理解正定二次型、正定矩陣、合同矩陣的概念，掌握正定矩陣的性質(zhì)及其判別法.教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)求解方陣的特征值和特征向量；二次型的正定性的判定.難點(diǎn)：向量的施密特正交化；相似矩陣的對(duì)角化；二次型正定性的判定.教學(xué)方法手段多媒體課件教學(xué)輔以板書(shū)推演教學(xué)后記在二次型及其標(biāo)準(zhǔn)型方面要引導(dǎo)學(xué)生自己去找規(guī)律，加強(qiáng)同上一節(jié)課的聯(lián)系.分教案授課主題第五章§1-§2課次2教學(xué)方法手段多媒體課件教學(xué)輔以板書(shū)推演學(xué)時(shí)4教學(xué)目的要求理解向量?jī)?nèi)積、矩陣特征值、特征向量的概念.教學(xué)重難點(diǎn)矩陣特征值、特征向量的概念;向量的施密特正交化.教學(xué)內(nèi)容綱要備注第五章相似矩陣及二次型§1向量的內(nèi)積、長(zhǎng)度及正交性我們規(guī)定此后所有的向量都專指列向量，行向量作為列向量的轉(zhuǎn)置．一、內(nèi)積的定義及性質(zhì)定義設(shè)有維向量，，令．稱為向量與的內(nèi)積．說(shuō)明：內(nèi)積是一種運(yùn)算，其結(jié)果是一個(gè)實(shí)數(shù),它是向量數(shù)量積的推廣.若都是列向量,.內(nèi)積的性質(zhì)():；；；；二、向量的長(zhǎng)度（范數(shù)）及性質(zhì)定義令長(zhǎng)度（或范數(shù)）．當(dāng)時(shí)，稱為單位向量．向量長(zhǎng)度具有的性質(zhì)（1）非負(fù)性（2）齊次性；（3）三角不等式．三、正交向量組的概念及求法1正交向量組．若一非零向量組中的向量?jī)蓛烧唬瑒t稱該向量組為正交向量組．定理1則線性無(wú)關(guān)．例1已知三維向量空間中兩個(gè)向量正交，試求一個(gè)非零向量?jī)蓛烧唬?.向量空間的規(guī)范正交基定義3設(shè)維向量是向量空間的一個(gè)基，如果兩兩正交且都是單位向量，則稱規(guī)范正交基．例如和都是的一個(gè)規(guī)范正交基．注，它是向量在規(guī)范正交基中的坐標(biāo)的計(jì)算公式．3求規(guī)范正交基的方法（施密特正交化）一組兩兩正交的，這樣一個(gè)問(wèn)題，稱為把．：取……再單位化就是的一個(gè)規(guī)范正交基．注,稱為施密特正交化的過(guò)程.向量組例2試用施密特正交化過(guò)程把這個(gè)向量組規(guī)范正交化.,使兩兩正交.四、正交矩陣與正交變換正交不僅是向量空間的一種度量關(guān)系，而且與矩陣的性質(zhì)也有密切關(guān)系．定義如果階矩陣滿足（即），則稱為正交矩陣，簡(jiǎn)稱正交陣．正交陣的性質(zhì)：（1）正交陣可逆，其逆陣即其轉(zhuǎn)置，且仍為正交陣；（2）正交陣的行列式為；（3）正交陣之積仍為正交陣；（4）若階方陣為正交陣，則的行（列）向量組構(gòu)成的規(guī)范正交基．證（1）、（2）、（3）的證明都很容易，留給讀者作為練習(xí)．下證（4）：設(shè)為階正交陣，將的列向量記為：，則．由正交陣的定義得：則有，故是的一個(gè)正交規(guī)范基．對(duì)的行向量類(lèi)似可證．例4驗(yàn)證矩陣是正交矩陣．定義若為正交矩陣，則線性變換稱為正交變換．正交變換的性質(zhì)：正交變換保持向量的長(zhǎng)度不變．§2方陣的特征值與特征向量一、方陣的特征值、特征向量的概念及其計(jì)算定義設(shè)是階方陣，若有數(shù)和非零列向量，滿足等式則稱為方陣的特征值，為的對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量．為求的特征值和特征向量，將（1）式寫(xiě)成這是關(guān)于的齊次線性方程組，它有非零解的充要條件是其系數(shù)行列式即（3）式的左端展開(kāi)是一個(gè)關(guān)于的次多項(xiàng)式，稱為的特征多項(xiàng)式，記作，（3）式是關(guān)于的次方程，稱為的特征方程．據(jù)代數(shù)基本定理，這個(gè)方程在復(fù)數(shù)域上有且僅有個(gè)根，稱為特征根，記作，它們就是所求的矩陣的特征值．由此可知階方陣在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)有且僅有個(gè)特征值．求出特征值以后，將這些特征值逐一代入齊次方程（2），解出的非零解向量，就是屬于該特征值對(duì)應(yīng)的全部特征向量．即對(duì)任一特征值，解齊次方程，所有的非零解都是屬于的特征向量．例1求的特征值和特征向量．解的特征多項(xiàng)式，解得的特征值為．下面分別求特征向量：當(dāng)時(shí)，解齊次方程，得基礎(chǔ)解系，因此屬于的全部特征向量為．當(dāng)時(shí)，解齊次方程，得基礎(chǔ)解系，因此屬于的全部特征向量為．例2求矩陣的特征值和特征向量．例3求矩陣的特征值和特征向量．解的特征多項(xiàng)式為，所以的特征值為（二重根）．當(dāng)時(shí)，解方程，由，得基礎(chǔ)解系，則對(duì)應(yīng)于的全部特征向量為．當(dāng)時(shí)，解方程，由，得基礎(chǔ)解系，則對(duì)應(yīng)于的全部特征向量為（不同時(shí)為零）．二、特征值和特征向量的性質(zhì)1、若的特征值為，則有（1）；（2）．2、設(shè)是方陣的任一特征值，是對(duì)應(yīng)于的任一特征向量，則有（1），是的特征值，是的屬于的特征向量；（2），是的特征值，是的屬于的特征向量；（3）若是的多項(xiàng)式，則是的特征值，是的屬于的特征向量；（4）若可逆，當(dāng)時(shí)，則是的特征值，是的屬于的特征向量；（5）若可逆，當(dāng)時(shí)，則是的特征值，是的屬于的特征向量；（6）也是的特征值．證明下面證明（2）、（4）、（6），將（1）、（3）、（5）留給讀者作為練習(xí)．（2）因，所以，即時(shí)結(jié)論成立．假設(shè)對(duì)于有成立，則由歸納原理推得對(duì)有．（4）設(shè)可逆，由知所有特征值非零．在兩端左乘得：，由便得，知命題為真．（6）由于，可見(jiàn)與有相同的特征多項(xiàng)式，因而有相同的特征值．注意的特征向量是齊次方程的解，它與一般不同解，故未必還是的特征向量．3、設(shè)是的任一特征值，若都是屬于的特征向量，則的任意非零線性組合仍是屬于的特征向量．這由線性運(yùn)算封閉性可知（證明留作練習(xí)）．例4設(shè)3階矩陣的特征值為1,1,2,求例5設(shè)的特征值為1、2、3，，則不可逆．證易見(jiàn)，由性質(zhì)2（3）知的特征值為．以為1、2、3分別代入，得的特征值為0、1、2，再由定理的（2）得，從而知不可逆．定理2方陣的個(gè)各不相等的特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量（屬于不同特征值的特征向量線性無(wú)關(guān)）．例6設(shè)是矩陣的兩個(gè)不同的特征值，對(duì)應(yīng)的特征向量依次為和，證明不是的特征向量．復(fù)習(xí)：三維向量的內(nèi)積.課后作業(yè)P137－1401（1）（2）、3、5（1）（3）、11。分教案授課主題第五章§3-§4課次2教學(xué)方法手段多媒體課件教學(xué)輔以板書(shū)推演學(xué)時(shí)4教學(xué)目的要求掌握相似矩陣的性質(zhì)，了解矩陣可對(duì)角化的充要條件;掌握實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值和特征向量的性質(zhì).教學(xué)重難點(diǎn)矩陣可對(duì)角化的充要條件.教學(xué)內(nèi)容綱要備注§3相似矩陣一、相似矩陣與相似變換的概念定義1則稱是的相似矩陣，或者說(shuō)矩陣與相似．可逆矩陣稱為把變成的相似變換矩陣．二、相似矩陣與相似變換的性質(zhì)1、等價(jià)關(guān)系（1）反身性：與相似；（2）對(duì)稱性：若與相似，則與相似；（3）傳遞性：若與相似，與相似，則與相似．2、．3、（定理3）若階矩陣與相似，則與的特征多項(xiàng)式相同，從而與的特征值亦相同．推論若階矩陣與對(duì)角矩陣相似，則是矩陣的個(gè)特征值．結(jié)論設(shè)是矩陣的特征多項(xiàng)式，則．這個(gè)結(jié)論證明比較困難，但若與對(duì)角矩陣相似，則容易證明此結(jié)論．三、利用相似變換將方陣對(duì)角化把方陣對(duì)角化．定理4階矩陣與對(duì)角矩陣相似(即可對(duì)角化)的充要條件是有個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量.推論如果階矩陣的個(gè)特征值互不相等，則與對(duì)角矩陣相似.說(shuō)明如果的特征方程有重根，此時(shí)不一定有個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，從而矩陣不一定能對(duì)角化，但如果能找到個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，還是能對(duì)角化．例1判斷下列實(shí)矩陣能否化為對(duì)角陣?yán)?設(shè)問(wèn)能否對(duì)角化若能對(duì)角化，求出可逆矩陣使為對(duì)角矩陣．解由解之得基礎(chǔ)解系因，所以線性無(wú)關(guān)，故可對(duì)角化．令則有．注意矩陣的列向量和對(duì)角矩陣中的特征值的位置要相互對(duì)應(yīng)．例如：則有例3，問(wèn)為何值時(shí)，矩陣能對(duì)角化§4對(duì)稱矩陣的對(duì)角化一個(gè)階方陣可以對(duì)角化的充要條件是有個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量而并非所有階方陣都能