2024屆上海市控江中學(xué)高三上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)試題（解析版）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁第Page\*MergeFormat1頁共NUMPAGES\*MergeFormat13頁2024屆上海市控江中學(xué)高三上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)試題一、填空題1．設(shè)集合，集合，則.【答案】【分析】利用交集的定義可計(jì)算出集合.【詳解】集合，集合，因此，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查交集的計(jì)算，熟悉交集的定義是解題的關(guān)鍵，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.2．不等式的解集是.【答案】【分析】將分式不等式化為整式不等式，利用二次不等式的求解方法，即可求得結(jié)果.【詳解】.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了分式不等式的解法，一元二次不等式的解法，考查了轉(zhuǎn)化的思想.屬于基礎(chǔ)題.3．已知復(fù)數(shù)滿足（是虛數(shù)單位），則【答案】【解析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則進(jìn)行化簡(jiǎn)，即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，所?故答案為：.4．已知冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則.【答案】【分析】設(shè)，代入點(diǎn)求解即可.【詳解】設(shè)冪函數(shù)，因?yàn)榈膱D象過點(diǎn)，所以，解得所以，故答案為：5．已知角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為軸的正半軸，終邊經(jīng)過點(diǎn)，則.【答案】【解析】利用三角函數(shù)定義求出、的值，結(jié)合誘導(dǎo)公式可求得所求代數(shù)式的值.【詳解】由三角函數(shù)的定義可得，，因此，.故答案為：.6．從甲?乙?丙?丁4名同學(xué)中選2名同學(xué)參加志愿者服務(wù)，則甲?乙兩人都沒有被選到的概率為(用數(shù)字作答).【答案】【解析】先計(jì)算出從4名同學(xué)中選2名同學(xué)的情況，再計(jì)算出甲?乙兩人都沒有被選到的情況，即可求出概率.【詳解】解：從4名同學(xué)中選2名同學(xué)共有種,甲?乙兩人都沒有被選到有種，甲?乙兩人都沒有被選到的概率為.7．某圓錐體的底面圓的半徑長(zhǎng)為，其側(cè)面展開圖是圓心角為的扇形，則該圓錐體的體積是.【答案】【分析】先求出圓錐的母線長(zhǎng)，再求出圓錐的高，由此求出該圓錐體的體積.【詳解】因?yàn)閳A錐體的底面圓的半徑長(zhǎng)為，其側(cè)面展開圖是圓心角為的扇形，圓錐的母線長(zhǎng)圓錐的高圓錐的體積故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查圓錐的體積的求法，利用扇形的弧長(zhǎng)公式求出扇形的半徑及圓錐的母線長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.8．已知平面向量，滿足，且向量，的夾角為，則在方向上的數(shù)量投影為.【答案】【分析】先求出數(shù)量積，再根據(jù)數(shù)量積的幾何意義求解即可.【詳解】因?yàn)?，且向量，的夾角為，所以，所以在方向上的數(shù)量投影為.故答案為：.9．總體由編號(hào)為、、、、的個(gè)個(gè)體組成，利用隨機(jī)數(shù)表從中抽取個(gè)個(gè)體，下面提供隨機(jī)數(shù)表的第行到第行：若從表中第行第列開始向右依次讀取，則抽取的第個(gè)個(gè)體的編號(hào)是.【答案】【分析】根據(jù)隨機(jī)數(shù)表法可得出結(jié)果.【詳解】由題意，結(jié)合隨機(jī)數(shù)表法可知，從中抽取個(gè)個(gè)體的編號(hào)依次為：、、、、，故答案為：.10．已知函數(shù)，對(duì)任意，都有（為常數(shù)），且當(dāng)時(shí)，，則.【答案】【分析】根據(jù)可得出的值，推導(dǎo)出函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，結(jié)合周期性可求得的值.【詳解】對(duì)任意，都有（為常數(shù)），當(dāng)時(shí)，，則，，則，所以，，所以，且，所以，，故函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，則，故答案為：.11．已知平面向量，，常數(shù).向量，且對(duì)任意，總有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圖是.【答案】,,【分析】由已知可得，，，求出的夾角正余弦值，再結(jié)合向量，由向量的坐標(biāo)運(yùn)算得向量它們的終點(diǎn)共線；最后結(jié)合的幾何意義，構(gòu)造出的不等式即可．【詳解】因?yàn)椋?，，，令，則，所以，故．過點(diǎn)，的直線的方程為：，即．又，故對(duì)應(yīng)的點(diǎn)落在直線上，，其幾何意義為點(diǎn)到點(diǎn)的距離．對(duì)任意，總有成立，只需，即為點(diǎn)到直線的距離，故，即，所以，或．故答案為：,,．12．已知常數(shù)，函數(shù)，若關(guān)于的方程在上有解，則的最小值為.【答案】【分析】根據(jù)題干得到，再根據(jù)，將式子展開，根據(jù)均值不等式和函數(shù)的單調(diào)性得到最終結(jié)果即可.【詳解】，則，所以，其中，，根據(jù)均值不等式得到，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立，設(shè)，該函數(shù)在上為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)取得最小值，此時(shí)，此時(shí)兩個(gè)等號(hào)可以同時(shí)成立，故得到，結(jié)合可得到：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故答案為：.二、單選題13．若,則下列不等式恒成立的是A． B． C． D．【答案】D【詳解】∵∴設(shè)代入可知均不正確對(duì)于，根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)即可判斷正確故選D14．在中，若，則的形狀一定是（

）A．等邊三角形 B．直角三角形C．等腰三角形 D．等腰直角三角形【答案】B【分析】先利用數(shù)量積運(yùn)算化簡(jiǎn)得到，再利用余弦定理化簡(jiǎn)得解.【詳解】因?yàn)椋?，所以，所以，所以，所以三角形是直角三角?故選：B15．已知函數(shù)的圖象與直線的三個(gè)相鄰交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別是1，2，4，下列區(qū)間是函數(shù)的增區(qū)間的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先根據(jù)已知條件得到，再求其單調(diào)增區(qū)間即可.【詳解】由題知函數(shù)的周期，解得．由知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，∴，解得，∴，令，解得，，∴當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間是．故選：D16．已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑵M足對(duì)任意，恒有，若函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為有限的個(gè)，則的最大值為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】若的零點(diǎn)為，結(jié)合題設(shè)得，結(jié)合，即可知的最大值.【詳解】令，則有，故，∴，若，則開口向上，對(duì)稱軸為且，，∴在上有兩個(gè)零點(diǎn)，即函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)最多有2個(gè).故選：B三、解答題17．已知（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值．【答案】(Ⅰ)（Ⅱ）．【詳解】解：(Ⅰ)由得，即，又，所以為所求．（Ⅱ）====．18．如圖，已知平面，，直線與平面所成的角為，且.(1)求三棱錐的體積；(2)設(shè)為的中點(diǎn)，求異面直線與所成角的大小.（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）【答案】(1)(2)【分析】（1）由題目條件可得BD，后可由三棱錐體積公式得答案；（2）取中點(diǎn)，連接，則，即為異面直線與所成角，后可由余弦定理得答案.【詳解】（1）因?yàn)槠矫?，所以即為直線與平面所成的角，所以，所以，所以三棱錐的體積；（2）取中點(diǎn)，連接，則，所以即為異面直線與所成角，又平面，平面，則，得..則在中，，所以，所以異面直線與所成角的大小為.19．如圖所示，，兩處各有一個(gè)垃圾中轉(zhuǎn)站，在的正東方向18km處，的南面為居民生活區(qū).為了妥善處理生活垃圾，政府決定在的北面處建一個(gè)發(fā)電廠，利用垃圾發(fā)電.要求發(fā)電廠到兩個(gè)垃圾中轉(zhuǎn)站的距離（單位：km）與它們每天集中的生活垃圾量（單位：噸）成反比，現(xiàn)估測(cè)得，兩處中轉(zhuǎn)站每天集中的生活垃圾量分別約為40噸和50噸.

(1)當(dāng)時(shí)，求的值；(2)發(fā)電廠盡量遠(yuǎn)離居民區(qū)，也即要求的面積最大，問此時(shí)發(fā)電廠與垃圾中轉(zhuǎn)站的距離為多少?【答案】(1)(2)選址方案滿足，．【分析】（1）由題意可求得，利用余弦定理可求的值，進(jìn)而可求的值；（2）設(shè)，則，利用余弦定理可求，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可得，進(jìn)而可求到距離，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）由題意，，可得，可得，所以．（2），設(shè)，則，可得，可得，到距離，當(dāng)，即，取得最大值為，因此選址方案滿足，．20．已知.(1)求圖像的對(duì)稱中心；(2)如果的三邊，，滿足，求邊所對(duì)的角的取值范圍，用區(qū)間表示；(3)如果的定義域?。?）中的結(jié)果，求此時(shí)的值域.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）運(yùn)用二倍角公式和兩角和的正弦公式，由正弦函數(shù)的對(duì)稱中心，解方程可得所求；（2）運(yùn)用三角形的余弦定理和基本不等式，可得，即可得到結(jié)果.（3）由正弦型函數(shù)的值域，即可得到結(jié)果.【詳解】（1），令，，解得，，所以函數(shù)的圖像的對(duì)稱中心為．（2）因?yàn)椋捎嘞叶ɡ砜傻?，即，且，即，由余弦函?shù)圖像可知，，即.（3）

由（2）可知，，即，則，結(jié)合正弦函數(shù)的圖像可得，，則，所以的值域?yàn)?21．若函數(shù)與滿足：對(duì)任意的，總存在唯一的，使成立，則稱是在區(qū)間上的“階伴隨函數(shù)”；當(dāng)時(shí)，則稱為區(qū)間上的“m階自伴函數(shù)”.(1)判斷是否為區(qū)間上的“2階自伴函數(shù)”？并說明理由；(2)若函數(shù)為區(qū)間上的“1階自伴函數(shù)”，求的值；(3)若是在區(qū)間上的“2階伴隨函數(shù)”，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)不是區(qū)間上的“2階自伴函數(shù)”(2)(3)【分析】（1）當(dāng)，得，而在沒有實(shí)數(shù)解，根據(jù)函數(shù)的新定義，即可得出結(jié)論；（2）由題意得任意，總存在唯一的使得，進(jìn)而得對(duì)任意，總存在唯一的使得,，即,,，進(jìn)而求得的值；（3）求得函數(shù)在區(qū)間,的值域?yàn)?，故在,區(qū)間上的值域必定包含區(qū)間,，進(jìn)而結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，分類討論即可求解．【詳解】（1），當(dāng)時(shí)，，再由，得，，故根據(jù)“2階自伴函數(shù)”定義得，不是區(qū)間上的“2階自伴函數(shù)”．（2）由函數(shù)為區(qū)間上的“1階自伴函數(shù)”，所以，且對(duì)任意，總存在唯一的使得成立；所以對(duì)任意，總存在唯一的使得，因?yàn)楹瘮?shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，所以對(duì)任意，總存在唯一的使得，，所以,，所以,,，所以，則，故；（3）由函數(shù)在區(qū)間,的值域?yàn)?，因?yàn)槭窃趨^(qū)間,上的“2階伴隨函數(shù)”，則對(duì)任意的,，總存在唯一的,時(shí)，使得成立，所以，即在,區(qū)間上的值域必定包含區(qū)間,，且的值域在,對(duì)應(yīng)的自變量是唯一的，又因?yàn)楹瘮?shù)開口向上，對(duì)稱軸為，當(dāng)時(shí)，在,區(qū)間上單調(diào)遞增，則必有：，解得：；當(dāng)時(shí)，在,區(qū)間上單調(diào)遞減，則必有：，解得；當(dāng)