2024屆上海市控江中學高三上學期9月月考數(shù)學試題（解析版）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁第Page\*MergeFormat1頁共NUMPAGES\*MergeFormat13頁2024屆上海市控江中學高三上學期9月月考數(shù)學試題一、填空題1．設(shè)集合，集合，則.【答案】【分析】利用交集的定義可計算出集合.【詳解】集合，集合，因此，.故答案為：.【點睛】本題考查交集的計算，熟悉交集的定義是解題的關(guān)鍵，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.2．不等式的解集是.【答案】【分析】將分式不等式化為整式不等式，利用二次不等式的求解方法，即可求得結(jié)果.【詳解】.故答案為：【點睛】本題考查了分式不等式的解法，一元二次不等式的解法，考查了轉(zhuǎn)化的思想.屬于基礎(chǔ)題.3．已知復數(shù)滿足（是虛數(shù)單位），則【答案】【解析】根據(jù)復數(shù)的運算法則進行化簡，即可求解.【詳解】因為，所以，所以.故答案為：.4．已知冪函數(shù)的圖象過點，則.【答案】【分析】設(shè)，代入點求解即可.【詳解】設(shè)冪函數(shù)，因為的圖象過點，所以，解得所以，故答案為：5．已知角的頂點為坐標原點，始邊為軸的正半軸，終邊經(jīng)過點，則.【答案】【解析】利用三角函數(shù)定義求出、的值，結(jié)合誘導公式可求得所求代數(shù)式的值.【詳解】由三角函數(shù)的定義可得，，因此，.故答案為：.6．從甲?乙?丙?丁4名同學中選2名同學參加志愿者服務(wù)，則甲?乙兩人都沒有被選到的概率為(用數(shù)字作答).【答案】【解析】先計算出從4名同學中選2名同學的情況，再計算出甲?乙兩人都沒有被選到的情況，即可求出概率.【詳解】解：從4名同學中選2名同學共有種,甲?乙兩人都沒有被選到有種，甲?乙兩人都沒有被選到的概率為.7．某圓錐體的底面圓的半徑長為，其側(cè)面展開圖是圓心角為的扇形，則該圓錐體的體積是.【答案】【分析】先求出圓錐的母線長，再求出圓錐的高，由此求出該圓錐體的體積.【詳解】因為圓錐體的底面圓的半徑長為，其側(cè)面展開圖是圓心角為的扇形，圓錐的母線長圓錐的高圓錐的體積故答案為：【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查圓錐的體積的求法，利用扇形的弧長公式求出扇形的半徑及圓錐的母線長是解題的關(guān)鍵，考查學生的運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.8．已知平面向量，滿足，且向量，的夾角為，則在方向上的數(shù)量投影為.【答案】【分析】先求出數(shù)量積，再根據(jù)數(shù)量積的幾何意義求解即可.【詳解】因為，且向量，的夾角為，所以，所以在方向上的數(shù)量投影為.故答案為：.9．總體由編號為、、、、的個個體組成，利用隨機數(shù)表從中抽取個個體，下面提供隨機數(shù)表的第行到第行：若從表中第行第列開始向右依次讀取，則抽取的第個個體的編號是.【答案】【分析】根據(jù)隨機數(shù)表法可得出結(jié)果.【詳解】由題意，結(jié)合隨機數(shù)表法可知，從中抽取個個體的編號依次為：、、、、，故答案為：.10．已知函數(shù)，對任意，都有（為常數(shù)），且當時，，則.【答案】【分析】根據(jù)可得出的值，推導出函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，結(jié)合周期性可求得的值.【詳解】對任意，都有（為常數(shù)），當時，，則，，則，所以，，所以，且，所以，，故函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，則，故答案為：.11．已知平面向量，，常數(shù).向量，且對任意，總有成立，則實數(shù)的取值范圖是.【答案】,,【分析】由已知可得，，，求出的夾角正余弦值，再結(jié)合向量，由向量的坐標運算得向量它們的終點共線；最后結(jié)合的幾何意義，構(gòu)造出的不等式即可．【詳解】因為，所以，，，令，則，所以，故．過點，的直線的方程為：，即．又，故對應的點落在直線上，，其幾何意義為點到點的距離．對任意，總有成立，只需，即為點到直線的距離，故，即，所以，或．故答案為：,,．12．已知常數(shù)，函數(shù)，若關(guān)于的方程在上有解，則的最小值為.【答案】【分析】根據(jù)題干得到，再根據(jù)，將式子展開，根據(jù)均值不等式和函數(shù)的單調(diào)性得到最終結(jié)果即可.【詳解】，則，所以，其中，，根據(jù)均值不等式得到，當且僅當時成立，設(shè)，該函數(shù)在上為增函數(shù)，當時取得最小值，此時，此時兩個等號可以同時成立，故得到，結(jié)合可得到：當且僅當時等號成立.故答案為：.二、單選題13．若,則下列不等式恒成立的是A． B． C． D．【答案】D【詳解】∵∴設(shè)代入可知均不正確對于，根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)即可判斷正確故選D14．在中，若，則的形狀一定是（

）A．等邊三角形 B．直角三角形C．等腰三角形 D．等腰直角三角形【答案】B【分析】先利用數(shù)量積運算化簡得到，再利用余弦定理化簡得解.【詳解】因為，所以，所以，所以，所以，所以三角形是直角三角形.故選：B15．已知函數(shù)的圖象與直線的三個相鄰交點的橫坐標分別是1，2，4，下列區(qū)間是函數(shù)的增區(qū)間的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先根據(jù)已知條件得到，再求其單調(diào)增區(qū)間即可.【詳解】由題知函數(shù)的周期，解得．由知，當時，函數(shù)取得最大值，∴，解得，∴，令，解得，，∴當時，的增區(qū)間是．故選：D16．已知函數(shù)的定義域為，滿足對任意，恒有，若函數(shù)的零點個數(shù)為有限的個，則的最大值為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】若的零點為，結(jié)合題設(shè)得，結(jié)合，即可知的最大值.【詳解】令，則有，故，∴，若，則開口向上，對稱軸為且，，∴在上有兩個零點，即函數(shù)的零點個數(shù)最多有2個.故選：B三、解答題17．已知（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值．【答案】(Ⅰ)（Ⅱ）．【詳解】解：(Ⅰ)由得，即，又，所以為所求．（Ⅱ）====．18．如圖，已知平面，，直線與平面所成的角為，且.(1)求三棱錐的體積；(2)設(shè)為的中點，求異面直線與所成角的大小.（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）【答案】(1)(2)【分析】（1）由題目條件可得BD，后可由三棱錐體積公式得答案；（2）取中點，連接，則，即為異面直線與所成角，后可由余弦定理得答案.【詳解】（1）因為平面，所以即為直線與平面所成的角，所以，所以，所以三棱錐的體積；（2）取中點，連接，則，所以即為異面直線與所成角，又平面，平面，則，得..則在中，，所以，所以異面直線與所成角的大小為.19．如圖所示，，兩處各有一個垃圾中轉(zhuǎn)站，在的正東方向18km處，的南面為居民生活區(qū).為了妥善處理生活垃圾，政府決定在的北面處建一個發(fā)電廠，利用垃圾發(fā)電.要求發(fā)電廠到兩個垃圾中轉(zhuǎn)站的距離（單位：km）與它們每天集中的生活垃圾量（單位：噸）成反比，現(xiàn)估測得，兩處中轉(zhuǎn)站每天集中的生活垃圾量分別約為40噸和50噸.

(1)當時，求的值；(2)發(fā)電廠盡量遠離居民區(qū)，也即要求的面積最大，問此時發(fā)電廠與垃圾中轉(zhuǎn)站的距離為多少?【答案】(1)(2)選址方案滿足，．【分析】（1）由題意可求得，利用余弦定理可求的值，進而可求的值；（2）設(shè)，則，利用余弦定理可求，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可得，進而可求到距離，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）由題意，，可得，可得，所以．（2），設(shè)，則，可得，可得，到距離，當，即，取得最大值為，因此選址方案滿足，．20．已知.(1)求圖像的對稱中心；(2)如果的三邊，，滿足，求邊所對的角的取值范圍，用區(qū)間表示；(3)如果的定義域?。?）中的結(jié)果，求此時的值域.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）運用二倍角公式和兩角和的正弦公式，由正弦函數(shù)的對稱中心，解方程可得所求；（2）運用三角形的余弦定理和基本不等式，可得，即可得到結(jié)果.（3）由正弦型函數(shù)的值域，即可得到結(jié)果.【詳解】（1），令，，解得，，所以函數(shù)的圖像的對稱中心為．（2）因為，由余弦定理可得，即，且，即，由余弦函數(shù)圖像可知，，即.（3）

由（2）可知，，即，則，結(jié)合正弦函數(shù)的圖像可得，，則，所以的值域為.21．若函數(shù)與滿足：對任意的，總存在唯一的，使成立，則稱是在區(qū)間上的“階伴隨函數(shù)”；當時，則稱為區(qū)間上的“m階自伴函數(shù)”.(1)判斷是否為區(qū)間上的“2階自伴函數(shù)”？并說明理由；(2)若函數(shù)為區(qū)間上的“1階自伴函數(shù)”，求的值；(3)若是在區(qū)間上的“2階伴隨函數(shù)”，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)不是區(qū)間上的“2階自伴函數(shù)”(2)(3)【分析】（1）當，得，而在沒有實數(shù)解，根據(jù)函數(shù)的新定義，即可得出結(jié)論；（2）由題意得任意，總存在唯一的使得，進而得對任意，總存在唯一的使得,，即,,，進而求得的值；（3）求得函數(shù)在區(qū)間,的值域為,，故在,區(qū)間上的值域必定包含區(qū)間,，進而結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，分類討論即可求解．【詳解】（1），當時，，再由，得，，故根據(jù)“2階自伴函數(shù)”定義得，不是區(qū)間上的“2階自伴函數(shù)”．（2）由函數(shù)為區(qū)間上的“1階自伴函數(shù)”，所以，且對任意，總存在唯一的使得成立；所以對任意，總存在唯一的使得，因為函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，所以對任意，總存在唯一的使得，，所以,，所以,,，所以，則，故；（3）由函數(shù)在區(qū)間,的值域為,，因為是在區(qū)間,上的“2階伴隨函數(shù)”，則對任意的,，總存在唯一的,時，使得成立，所以，即在,區(qū)間上的值域必定包含區(qū)間,，且的值域在,對應的自變量是唯一的，又因為函數(shù)開口向上，對稱軸為，當時，在,區(qū)間上單調(diào)遞增，則必有：，解得：；當時，在,區(qū)間上單調(diào)遞減，則必有：，解得；當