重難點專題14 導數(shù)壓軸小題十四大題型匯總（解析版）-決戰(zhàn)2024年高考數(shù)學重難點題型突破（新高考通用）

題型1恒成立問題之直接求導型 1題型2恒成立問題之分離參數(shù)型 7題型3恒成立問題之隱零點型 題型4恒成立問題之洛必達法則 ◆類型1同變量型 ◆類型2不同變量型 ◆類型3函數(shù)相等型 題型10函數(shù)凹凸性問題 題型11倍函數(shù)問題 題型13嵌套函數(shù)問題 題型1恒成立問題之直接求導型無論大題小題，分類討論求參是導數(shù)基礎，也是復習訓練重點之一：無論大題小題，分類討論求參是導數(shù)基礎，也是復習訓練重點之一：1.移項含參討論是所有導數(shù)討論題的基礎，也是學生日常訓練的,若關于x的不等式f(x)≥0在x∈R上恒成立，則a的取值范且當xo=1時，0=lna-2?a=e2x0+7x3+07,,所以的最大值為則m(a)<m(2)=e2-3e=e(e-3)<題型2恒成立問題之分離參數(shù)型【詳解】不等式xe*+1-x≥1nx+2m+3對Vx∈(0,+o)恒成立，即xe*+1-x-lnx≥A.AB.BC.CD.DA.AC.CBBDD12,解決.故h(x)=2x2e2x+lnx在(0,+o)上單調遞增，且h(1)=2e2>0,,故m+2≤2,解得m≤0.題型3恒成立問題之隱零點型劃重點劃重點【例題3】(2023·河南鄭州·統(tǒng)考模擬預測)已知函數(shù),g(x)=【答案】[0,+],【詳解】解：設f(x)=ex-a-lnx-a(x>0),則f(x)≥0對一切正實數(shù)x恒成立，即范圍.題意.所以m(x)>m(0)=0,即e×>x+1,,(1)恒成立：Vx∈D,f(x)>0?f(x)min>0;Vx∈D,f(x)<max(2)能成立：3x∈D,f(x)>0?f(x)max>0;3x∈D,f(x)<0?f(x)min<0.(2)能成立：a>f(x)?a>f(x)min;a<f(x)?a<f(x)max.2,g'(x)≥0,則g(x)在[1,+]上單調遞增,令h(x)=x3-x-2xlnx,可得h'(x)=3x2-1-2lnx-2=3x2-2lnx-3,【解析】將條件(a-1)x2+1<e×-x對Vx>0恒成立轉化為對Vx>0有【詳解】將條件(a-1)x2+1<e×-x對Vx>0恒成立轉化為是()g(x)>0,g(x)在(0,單調遞增，劃重點劃重點(3)若3x?∈[a,b],3x?∈[c,d],◆類型1同變量型則m'(x)=e*-1,,其中x>0,取m=e2∈(7,8),φ(e2)=8-e2>0,(2.7<e<2.8,∴7<2.72<e2<2.82<8),.和>1討論，利用【詳解】因,所以f'(x)=ax2+bx+c,f"(x)=2ax+b,即g(x)=2ax+b.(b-2a)x+c-b≥0恒成立，所以△=(b-2a)2-4a(c-b)≤0且a>0,即b2≤4ac-類型2不同變量型小值為(),即xo=-lnx?).,利用,(x>0),令f'(x)>0,解得0<x<e;令f'(x)<0,解得x>e,故答案為：[2,+]所以有-a>a+1,得,故a的取值范圍類型3函數(shù)相等型51A.0,B.DD(-1,+0),則a=0,圖象對稱軸,在x>0C.CD.D,滿足條A.f(x?)<g(x?)B.2x?Inx令h(x)=e*-x-1(x>0),則h(2x?)=2h(Inx?),且h'(x)=e×-1>0在(0,+)上恒成所以h(2x1)=2h(Inx?)>h(Inx?),即h(2x1)>Inxx2+2x+a-8ln(x+1),x∈(0,3),題目條件可轉化為函數(shù)p(x)在(0,3)上有兩個零故選B項.題型6恒成立問題之構造函數(shù)劃重點劃重點數(shù)值的大小，CDCDa的取值范圍是(-9,+o).則實數(shù)a的取值范圍是()..A.B...∵f(2021)>0,·設0<a<2021<b,題型7零點問題劃重點劃重點鍵【變式7-1】1.(2023·安徽黃山·屯溪一中校考模擬預測)已知函數(shù)f(x)=,若函數(shù)g(x)=f(x)-k|x+2|有三個零點，則實數(shù)k的取值范圍是()k的值，利用數(shù)形結合思想可求得k的取值范圍.如圖所示，(3)導數(shù)即為切線斜率的幾何應用；(4)數(shù)形結合的思想的應用.A.1,eeB.ee,eeC.ee,+00D.ee,+oo范圍.,其中x>0,所以,a2+b2的最小值之間的距離，利用導數(shù)求函數(shù)的最值，考查數(shù)學運算，數(shù)形結合等數(shù)學思想. 上有2個解，取得極大值，也是最大值，,求導,令φ'(x)=0,解得x=e由圖象可知，滿足條件，【點睛】方法點睛：分離參數(shù)法基本步驟為：式的性質將參數(shù)分離出來，得到一個一端是參數(shù)，另一端是變量表達式的不等式，第二步：先求出含變量一邊的式子的最值，通常使用導函數(shù)或基第三步：由此推出參數(shù)的取值范圍即可得到結論.劃重點劃重點②比商型，如ea<b可以同構,進而構造函Inb'CC所以函數(shù)f(x)=x·3*在(0,+)為增函數(shù)，A.-1B.范圍為()可知該函數(shù)在R上為增函數(shù)，由此可得出lna≥ln(t-1)-t,利用導數(shù)求出h(x)=,利用導數(shù),題型9整數(shù)解問題A.AB.BC.)D.f(1)<g(1)f(3)≥g(3),且f(6)=f(2),答案.【詳解】解法1(全分離):解法2(半分離):故選D,由g'(x)=0,可(舍),A.ACCB.BDx>e時g'(x)<0,即g(x)遞減，值域為(0,;題型10函數(shù)凹凸性問題劃重點,所22,,,此題無解，,,lnm-e"≥m-n-2,1nm-m≥e"題型11倍函數(shù)問題劃重點劃重點范圍為(),,即實數(shù)L的取值范圍f(x)=ex+3x是k倍值函數(shù)，則實數(shù)k的取值范圍kx的兩個根，轉化為13有兩個根，,用導數(shù)法求解.【詳解】因為f(x)=ex+3x是定義域R上的增函數(shù)，所以a,b是方程e×+3x=kx的兩個根，顯然x=0不是方程的根，,所以實數(shù)k的取值范圍是(e+3,+oo),【變式11-1】2.(2022·全國·高三專題練習)如果存在x?,x?∈[a,b]且x?≠x?,使,(減函數(shù))是否有解.【詳解】①函數(shù)f(x)=x2(x≥0)為增函數(shù)，若函數(shù)f(x)=x2(x≥0)存在“倍值區(qū)則則,(參考公式及數(shù)據(jù)：12+22+32+…+n2= =(3×12-3×1+1)+(3×22-方法一：同理有c1o>C??>Ciz>…,小王最想購買第10層住宅.,(x≥1),.題型12二次型函數(shù)問題劃重點【例題12】(2023·江蘇南京·南京市第一中學?？寄M預測)已知函數(shù)f(x)=tttttttt,令f(x)=t,要想關于x的方程有6個不同的實數(shù)解，函數(shù)值為負，據(jù)此轉化為只需f(x)=t,t有兩個不同的符合條件的值，可使得原方程有64個根，其次方程t2-2nt+=0要有兩個位于4方程系數(shù)進行分析得出n的范圍是第二個關鍵點.方程[f(x)]2+af(x)-1=0有3個不同的實數(shù)根，則a的取值范圍為有3個不同的實數(shù)根，轉化為t2+at-1=0必有時，設h(m)=m2+am-1,則h(3)<0,得所以,解得4又因為5,所以整數(shù)m的值為5,,,,或對應，取-1<t?<0,,有y∈(-,-4),題型13嵌套函數(shù)問題劃重點劃重點即h'(x)>0=即h'(x)>0=或b=0,有2個根，在t>1時，有1個根；0<t≤1時，有2個根，,有2個根，,有1個根，當A.(4-2ln2,+)B.[1+√e,+o]C.[4-2ln2,1+√e]D.得范圍.實數(shù)解.圖3再作出直線y=a,則方程f(f(x))=a有兩個不等實根，當且僅當直線y=a與函數(shù)y=且x?+1=ee?-1且x?+1=ee?-1,In2≤x<1,題型14切線放縮法【例題14】(2022高三專題練習)已知a,b∈R,若關于x的不等式2x-alnx+a-b≥0恒即得所求.當a=0時不等式為2x≥b對于x>0恒成立，需要b≤0,此時ab=0,x3∴g(a)max=g2ez=2e3,綜上，ab的最大值為：2e3故答案為：2e3.,再構造函數(shù)，利用導數(shù)求最大值.立，則ab的最大值是【分析】由a≠0,x>0,原不等式可化.再利用導數(shù)研究函數(shù)f(x)=到答案.x∈(e2,+o),f'(x)<0,f(x)遞所以，f(x)在x=e2處取得極大值，且為最大由此推得"的最小值a(4)若Vx∈[a,b],使得f(x)>k成立，則f(x)max>kA.[-o,1]B.[-o,e2-1]C