人教高中數學A版必修一 （三角函數的應用）三角函數教學課件(第1課時)

三角函數的應用第1課時

整體感知問題1你能列舉一些生活中具有周期性現象的例子嗎？前面已經用三角函數模型刻畫過哪些周期性現象？答案：生活中周期性現象的例子大致有三種類型：（1）勻速圓周運動．如水流量穩(wěn)定條件下的筒車運動，鐘表指針的轉動，摩天輪的運動等；（2）物理學中的周期性現象．如彈簧振子運動，交變電流等；（3）生活中的周期性現象．如潮汐變化，一天當中的氣溫變化，四季變化，生物鐘，波浪，音樂等．已經用三角函數模型刻畫過勻速圓周運動．例如筒車運動、摩天輪的運動、鐘表指針的轉動等．新知探究1．問題研究1——簡諧運動問題2

觀看彈簧振子的運動視頻，振子運動過程中有哪些周期性現象？可以利用哪些變量之間的函數關系來刻畫振子運動過程中的周期性現象？彈簧振子的運動（如圖）．新知探究1．問題研究1——簡諧運動答案：振子離開中心位置的位移隨著時間呈周期性變化；振子所受的回復力隨著時間呈周期性變化．所以可以用振子離開中心位置的位移s與時間t之間的函數關系，也可以用振子所受的回復力F與時間t之間的函數關系來刻畫其運動過程中周期性現象．1．問題研究1——簡諧運動

例1

某個彈簧振子在完成一次全振動的過程中，時間t（單位：s）與位移y（單位：mm）之間的對應數據如表所示．試根據這些數據確定這個振子的位移關于時間的函數解析式．新知探究2．建模解模新知探究問題3例1中沒有給出振子的位移關于時間的函數模型，根據以往的數學建模經驗，我們應該按照什么樣的流程完成這個建模過程？

答案：

搜集數據，畫散點圖——觀察散點圖并進行函數擬合，選擇函數模型——利用數據信息，求解函數模型．

活動：

教師或者學生畫出散點圖．2．建模解模新知探究問題4觀察畫出的散點圖，你認為可以用怎樣的函數模型進行刻畫位移y隨時間t的變化規(guī)律？

答案：

根據散點圖，分析得出可以用y=Asin(ωt+φ)這個函數模型進行刻畫．問題5由數據表和散點圖，你將如何求出函數的解析式？

答案：

依據數據表和散點圖，可得A=20，T=60s，求得ω=

，然后將點（0，－20）的坐標代入解析式y=20sin(

t+φ)，解得φ=－

+2kπ，k∈Z，所以函數的解析式為y=20sin(

t－

)，t∈[0，+∞)．2．建模解模新知探究

教師補充：現實生活中存在大量類似彈簧振子的運動，如鐘擺的擺動，水中浮標的上下浮動，琴弦的震動，等等．這些都是物體在某一中心位置附近循環(huán)往復的運動．在物理學中，把物體受到的力（總是指向平衡位置）正比于它離開平衡位置的距離的運動稱為“簡諧運動”．可以證明，在適當的坐標系下，簡諧運動可以用函數y=Asin(ωx+φ)，x∈[0，+∞)表示，其中A>0，ω>0．描述簡諧運動的物理量，如振幅、周期和頻率等都與這個解析式中的常數有關：A就是這個簡諧運動的振幅，它是作簡諧運動的物體離開平衡位置的最大距離；2．建模解模新知探究ωx+φ稱為相位；x=0時的相位φ稱為初相.簡諧運動的周期是

，它是作簡諧運動的物體往復運動一次所需要的時間；

簡諧運動的頻率是

，它是作簡諧運動的物體在單位時間內往復運動的次數；2．建模解模新知探究

問題6例1中簡諧運動的振幅、周期與頻率各是多少？相位、初相分別是什么？

答案：振幅A＝20mm，周期T＝

s，頻率f＝

次，相位為

t－

，

初相為－

．3．問題研究2——交變電流新知探究例2如圖3（1）所示的是某次實驗測得的交變電流i（單位：A）隨時間t（單位：s）變化的圖象．將測得的圖象放大，得到圖3（2）．（1）求電流i隨時間t變化的函數解析式；（2）當

時，求電流i．圖3（1）圖3（2）新知探究問題7觀察圖象，交變電流i隨時間t的變化滿足怎樣的函數模型？其中每個參數的物理意義是什么？問題8

根據圖象3（2），你能說出電流的的最大值A，周期T，初始狀態(tài)（t=0）的電流嗎？由這些值，你能進一步完成例2的解答嗎？4．建模解模

答案：由交變電流的產生原理可知，電流i隨時間t的變化規(guī)律可以用i=Asin(ωt+φ)，t∈[0，+∞)來刻畫．其中A為振幅，

為周期，ωt+φ為相位，φ為初相．

答案：

由圖可知，A=5，T=

s，初始狀態(tài)的電流為4.33A．新知探究解：由圖3（2）可知，電流最大為5A，因此A=5；4．建模解模

所以電流i隨時間t變化的函數解析式是

電流變化的周期T=

s，即

=

s，解得ω=100π；再由初始狀態(tài)（t=0）的電流約為4.33A，可得sinφ=0.866，因此φ約為

．

．

當

時，

；

當

時，

；

當

時，

；

當

時，

；

當

時，

．新知探究4．建模解模練習1如圖，一根絕對剛性且長度不變、質量可忽略不計的線，一端固定，另一端懸掛一個沙漏．讓沙漏在偏離平衡位置一定角度（最大偏角）后在重力作用下鉛錘面內做周期擺動．若線長lcm，沙漏擺動時離開平衡位置的位移為s（單位：cm）與時間t（單位：s）的函數關系是（1）當l=25時，求沙漏的最大偏角（精確到0.0001rad）；（2）已知g=9.8m/s2，要使沙漏擺動的周期是1s，線的長度應當是多少（精確到0.1cm）?新知探究4．建模解模答：當l=25時，沙漏的最大偏角為0.1203rad．解：（1）∵

，∴可得s的最大值為3．設偏角為θ，可得最大偏角滿足sinθ=

．利用計算器計算可得θ=0.1203rad．（2）沙漏擺動的周期為

，解得

，故

．答：要使沙漏擺動的周期是1s，線的長度l應當為24.8cm．新知探究4．應用性質練習2一臺發(fā)電機產生的電流是正弦式電流，電壓和時間之間的關系如圖所示．由圖象說出它的周期、頻率和電壓的最大值，并求出電壓U（單位：V）關于時間t（單位：s）的函數解析式．解：設電壓U關于時間t的函數是U=Asin(ωt+φ)，t∈[0，+∞)，根據圖象可得振幅A=311，周期T=0.02s，根據T=

，解得ω=100π．根據圖象過點（0.005，311），代入U=311sin(100πt+φ)，可得φ=2kπ，k∈Z．所以U=311sin(100πt)，t∈[0，+∞)．歸納小結問題9對于一個周期性現象，你該如何利用三角函數來刻畫？在本節(jié)課中，涉及哪些數學思想？答案：利用三角函數刻畫周期性現象，就是要找出這一現象中哪兩個變量滿足“當其中一個變量增加相同的常數時，另一個變量的值重復出現”，然后通過數學建模，求出這兩個變量之間滿足的三角函數關系．在本節(jié)課的學習中，涉及到數形結合思想和數學建模思想．三角函數的應用第2課時

整體感知問題1勻速圓周運動、簡諧運動和交變電流都是理想化的運動變化現象，可以用三角函數模型準確地描述它們的運動變化規(guī)律，其中分別是通過什么方法構建得到其中的函數模型？答案：勻速圓周運動是依據三角函數定義，直接推理得出變量之間的關系，得到函數模型；簡諧運動和交變電流是通過收集數據——畫散點圖——選擇函數模型——求解函數模型的方法建立函數模型．在現實生活中還有大量運動變化現象，僅在一定范圍內呈現出近似于周期變化的特點，這些現象也可以借助三角函數近似的描述．1．問題研究1——氣溫變化新知探究例1

如圖，某地一天從6～14時的溫度變化曲線近似滿足函數y=Asin(ωx+φ)+b.（1）求這一天6～14時的最大溫差；（2）寫出這段曲線的函數解析式．問題2如何根據溫度變化曲線得到這一天6～14時的最大溫差？答案：曲線在自變量為6～14時，圖形中的最高點的縱坐標減去最低點的縱坐標就是這一天6～14時的最大溫差,觀察圖形得出這段時間的最大溫差為20°C.新知探究2．求解模型問題3如何根據圖象求溫度隨時間的變化滿足的函數關系y=Asin(ωx+φ)+b中A，ω，φ，b的值？為什么？答案：若A>0時，可得ymax=A+b，ymin=－A+b，A=

(ymax－ymin)，b=

(ymax+ymin)；若A<0時，可得ymax=－A+b，ymin=A+b，A=

(ymin－ymax)，b=

(ymax+ymin).總之，|A|=

(ymin－ymax)，b=

(ymax+ymin)；ω可以利用周期公式

求得結果；φ可以利用代入特殊點的坐標求得．新知探究2．求解模型追問例1中A與ω的正負未知，那么所求的函數解析式是不是不唯一？（經過分類討論，完成例1解答后回答這個問題）解：由圖可以看出，從6～14時的圖象是函數的半個周期的圖象，所以|A|=

(30－10)=10，b=

(30+10)=20．因為

，所以|ω|=

．當A>0，ω>0時，將A=10，b=20，ω=

，x=6，y=10代入y=Asin(ωx+φ)+b，可得φ=2kπ+

，k∈Z．新知探究2．求解模型則所求解析式為y=10sin(

x+

)+20，x∈[6，14]．當A<0，ω>0時，所以A=

(10－30)=－10，b=

(30+10)=20．因為

，所以ω=

．將A=－10，b=20，ω=

，x=6，y=10代入y=Asin(ωx+φ)+b，可得φ=2kπ－

，k∈Z．則所求解析式為y=－10sin(

x－

)+20，x∈[6，14]．新知探究2．求解模型而y=－10sin(

x－

)+20=－10sin(

x+

－π)+20=10sin(

x+

)+20．同理，其他兩種情況的解析式也相同．答案：無論A與ω取正還是取負，求得函數的解析式都是相同的，所以只需選擇其一進行求解即可．新知探究3．問題研究2——港口水深例2海水受日月的引力，在一定時候發(fā)生漲落的現象叫潮．一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常的情況下，船在漲潮時駛進航道，靠近碼頭；卸貨后，在落潮時返回海洋．下表是某港口某天的時刻與水深關系的預報．（1）選用一個函數來近似描述這個港口的水深與時間的函數關系，給出整點時的水深的近似值（精確到0.001m）.新知探究3．問題研究2——港口水深（2）一條貨船的吃水深度（船底與水面的距離）為4m，安全條例規(guī)定至少要有1.5m的安全間隙（船底與海底的距離），該船何時能進入港口？在港口能呆多久？（3）若船的吃水深度為4m，安全間隙為1.5m，該船在兩點開始卸貨，吃水深度以0.3m/h的速度減少，那么該船在什么時間必修停止卸貨，將船駛向較深的水域？新知探究4．建模解模問題4我們知道數學建模的過程是：畫散點圖——選擇函數模型——求解函數模型，你能依據這個過程求出水深與時間符合的函數解析式嗎？請寫出解答過程并進而完成例2（1）的解答.解：（1）以時間x（單位：h）為橫坐標，水深y（單位：m）為縱坐標，在直角坐標系中畫出散點圖（如圖）．根據圖象，可以考慮用函數y=Asin(ωx+φ)+h刻畫水深與時間之間的對應關系．從數據和圖象可以得出：A=2.5，h=5，T=12.4，φ=0；由T=

=A=12.4，得ω=

．新知探究4．建模解模由上述關系式易得在整點時水深的近似值（表）：所以，這個港口的水深y與時間x的關系可以用函數

近似描述．新知探究5．模型應用問題5例2（2）中，貨船需要的安全深度是多少？轉化為數學問題，就是在函數的解析式中，哪個變量需要滿足什么條件，該船就可以進入港口？從圖象上看呢？答案：貨船需要的安全水深為4+1.5=5.5m．從函數的解析式來看，滿足y≥5.5，該船可以進入港口；從圖象上看，就是函數

的圖象在直線y=5.5上方時，該船可以進入港口．新知探究5．模型應用解：（2）貨船需要的安全水深為4+1.5=5.5m，所以當y≥5.5就可以進港．令

，

．由計算器可得sin0.2014≈0.2．畫出兩個函數的圖象如圖．新知探究5．模型應用解得xA≈0.3975，xB≈5.8025．由函數的周期性易得：在區(qū)間[0，12]內，函數

的圖象與直線y=5.5有兩個交點A，B，因此

，或

．xC≈12.4+0.3975=12.7975，xD≈12.4+5.8025=18.2025．因此，貨船可以在零時30分左右進港，早晨5時45分左右進港；或在下午13時左右進港，下午18時左右出港．每次可以在港口停留5小時左右．新知探究5．模型應用問題6可以將上述求得的點A，B，C，D的橫坐標作為進出港時間嗎？為什么？答案：事實上為了安全，進港時間要比算出的時間推后一些，出港時間要比算出的時間提前一些，這樣才能保證貨船始終在安全水域．例如，由模型解出的凌晨進港時間約等于0.3975時，如果考慮到安全因素，在稍后的0.5時，即0時30分進港是合適的.新知探究5．模型應用問題7

例2（3）中，如果設在xh時貨船的安全水深為ym，那么y與時間x滿足怎樣的函數關系？從解析式來看，兩個函數滿足什么條件時，該船必須停止卸貨？從圖象上看呢？答案：設在xh時貨船的安全水深為ym，那么y=5.5-0.3(x-2)(x≥2)．從函數的解析式來看，兩個函數需滿足

時，該船能夠進入港口；從圖象上看，就是函數

的圖象在直線

上方時，該船能夠進入港口．新知探究5．模型應用解：（3）設在xh時貨船的安全水深為ym，那么y