人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) （最短路徑問(wèn)題）軸對(duì)稱教育教學(xué)課件

課題學(xué)習(xí)最短路徑問(wèn)題

講授新課牧人飲馬問(wèn)題一“兩點(diǎn)的所有連線中，線段最短”“連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短”等的問(wèn)題，我們稱之為最短路徑問(wèn)題.

現(xiàn)實(shí)生活中經(jīng)常涉及到選擇最短路徑問(wèn)題，本節(jié)將利用數(shù)學(xué)知識(shí)探究數(shù)學(xué)史的著名的“牧馬人飲馬問(wèn)題”.AB①②③PlABCD已知：如圖，A，B在直線L的兩側(cè)，在L上求一點(diǎn)P，使得PA+PB最小。

連接AB,線段AB與直線L的交點(diǎn)P，就是所求ABlP為什么？問(wèn)題1

相傳，古希臘亞歷山大里亞城里有一位久負(fù)盛名的學(xué)者，名叫海倫．有一天，一位將軍專程拜訪海倫，求教一個(gè)百思不得其解的問(wèn)題：從圖中的A地出發(fā)，到一條筆直的河邊l飲馬，然后到B地．到河邊什么地方飲馬可使他所走的路線全程最短？探索新知BAl精通數(shù)學(xué)、物理學(xué)的海倫稍加思索，利用軸對(duì)稱的知識(shí)回答了這個(gè)問(wèn)題．這個(gè)問(wèn)題后來(lái)被稱為“將軍飲馬問(wèn)題”．你能將這個(gè)問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題嗎？BAl

這是一個(gè)實(shí)際問(wèn)題，你打算首先做什么？將A，B兩地抽象為兩個(gè)點(diǎn)，將河l抽象為一條直線．B··Al（1）從A地出發(fā)，到河邊l飲馬，然后到B地；

（2）在河邊飲馬的地點(diǎn)有無(wú)窮多處，把這些地點(diǎn)與A，B連接起來(lái)的兩條線段的長(zhǎng)度之和，就是從A地到飲馬地點(diǎn)，再回到B地的路程之和；

追問(wèn)2

你能用自己的語(yǔ)言說(shuō)明這個(gè)問(wèn)題的意思，并把它抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題嗎？B··Al追問(wèn)2

你能用自己的語(yǔ)言說(shuō)明這個(gè)問(wèn)題的意思，并把它抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題嗎？（3）現(xiàn)在的問(wèn)題是怎樣找出使兩條線段長(zhǎng)度之和為最短的直線l上的點(diǎn)．設(shè)C為直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，上面的問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為：當(dāng)點(diǎn)C在l的什么位置時(shí)，AC與CB的和最?。ㄈ鐖D）．

BAlC

你能利用軸對(duì)稱的有關(guān)知識(shí)，找到上問(wèn)中符合條件的點(diǎn)B′嗎？

如圖，點(diǎn)A，B在直線l的同側(cè)，點(diǎn)C是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)C在l的什么位置時(shí)，AC與CB的和最??？B·lA·作法：（1）作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B′；（2）連接AB′，與直線l相交于點(diǎn)C．則點(diǎn)C即為所求．

如圖，點(diǎn)A，B在直線l的同側(cè)，點(diǎn)C是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)C在l的什么位置時(shí)，AC與CB的和最??？B·lA·B′C1、如圖,直線l表示一條河,點(diǎn)A、B表示兩個(gè)村莊,想在直線l上的某點(diǎn)P處修建一個(gè)水泵站向A、B兩個(gè)村莊供水.現(xiàn)有如圖所示的四種鋪設(shè)管道的方案(圖中實(shí)線表示鋪設(shè)的管道),則鋪設(shè)的管道最短的()課堂練習(xí)D2、如圖所示，M、N是△ABC邊AB與AC上兩定點(diǎn)，在BC邊上求作一點(diǎn)P，使△PMN的周長(zhǎng)最小。M’P課堂課堂第一步：作點(diǎn)M關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)M'；第二步：連接M'N，與直線BC交于點(diǎn)P。第三步：連接MN、MP、NP。3.如圖，∠AOB=30°，∠AOB內(nèi)有一定點(diǎn)P，且OP=10．在OA上有一點(diǎn)Q，OB上有一點(diǎn)R．若△PQR周長(zhǎng)最小，則最小周長(zhǎng)是（）A．10B．15C．20D．30A變量與函數(shù)第1課時(shí)

1．能正確認(rèn)識(shí)變量與常量，會(huì)用式子表示變量間的關(guān)系.2．用含有一個(gè)變量的式子表示另一個(gè)變量.人們?cè)谡J(rèn)識(shí)和描述某一事物時(shí)，經(jīng)常會(huì)用“量”來(lái)具體表達(dá)事物的某些特征，如:速度、時(shí)間、路程、面積等.請(qǐng)你再寫出三個(gè)“量”:_________________________；同時(shí)用“數(shù)”來(lái)表示“量”的大小.周長(zhǎng)、溫度、體積問(wèn)題1汽車以60km/h的速度勻速行駛，行駛路程為skm，行駛時(shí)間為th．填表，并回答問(wèn)題：t/h12345s/km思考下面幾個(gè)問(wèn)題：601201802403001.在以上這個(gè)過(guò)程中，變化的量是_____________，不變的量是____________.2.根據(jù)表格可以看出，s的值隨t的值的變化而變化.時(shí)間t、路程s速度60km/h問(wèn)題2電影票的售價(jià)為10元/張.第一場(chǎng)售出150張票，第二場(chǎng)售出205張票，第三場(chǎng)售出310張票，三場(chǎng)電影的票房收人各多少元？設(shè)一場(chǎng)電影售出x張票，票房收入為y元，y的值隨x的值的變化而變化嗎？根據(jù)題意，可以得出三場(chǎng)電影的票房收入分別為1500元，2050元，3100元.得出結(jié)論：票房收入y的值隨售出電影票張數(shù)x

的值的變化而變化.

問(wèn)題3你見(jiàn)過(guò)水中漣漪嗎？在圓形水波慢慢地?cái)U(kuò)大這一過(guò)程中，當(dāng)圓的半徑r分別為10cm，20cm，30cm時(shí)，圓的面積S分別為多少？S的值隨r的值的變化而變化嗎？圓的面積S分別為100πcm2，400πcm2，900πcm2.得出結(jié)論：S的值隨r的值的變化而變化.問(wèn)題4用10m長(zhǎng)的繩子圍一個(gè)矩形.當(dāng)矩形的一邊長(zhǎng)x分別為3m，3.5m，4m，4.5m時(shí)，它的鄰邊長(zhǎng)y分別為多少？y的值隨x的值的變化而變化嗎？鄰邊長(zhǎng)

y分別為2m，1.5m，1m，0.5m.得出結(jié)論：y的值隨x的值的變化而變化.這些問(wèn)題反映了不同事物的變化過(guò)程.其中有些量的數(shù)值是變化的，例如時(shí)間t，路程s；售出票數(shù)x，票房收入y……有些量的數(shù)值是始終不變的，例如速度60km/h，票價(jià)10元/張……在一個(gè)變化過(guò)程中，我們稱數(shù)值發(fā)生變化的量為_(kāi)______，數(shù)值始終不變的量為_(kāi)_______.變量常量例1指出下列問(wèn)題中的常量與變量:(1)某水果店橘子的單價(jià)為5元／kg，買a

kg橘子的總價(jià)為m元，其中常量是

，變量是

；(2)周長(zhǎng)C與圓的半徑r之間的關(guān)系式是C＝2πr，其中常量是

，變量是

；(3)三角形的一邊長(zhǎng)是5cm，它的面積S(cm2)與這邊上的高h(yuǎn)(cm)的關(guān)系式中，其中常量是

，變量是

；5a，m2，πC，rS，h怎樣判斷一個(gè)量是常量還是變量？看在這個(gè)量所在的變化過(guò)程中，該量的值是否發(fā)生改變(或者說(shuō)是否會(huì)取不同的數(shù)值)，其中在變化過(guò)程中不變的量是常量,可以取不同數(shù)值的量是變量．思考問(wèn)題1~4中是否各有兩個(gè)變量？同一個(gè)問(wèn)題中的變量之間有什么聯(lián)系？在問(wèn)題1中，觀察填出的表格，可以發(fā)現(xiàn)：t和s是兩個(gè)變量，每當(dāng)t取定一個(gè)值時(shí)，s就有唯一確定的值與其對(duì)應(yīng).例如t＝1，則s＝60;t＝2,則s＝120……t＝5，則s＝300.在問(wèn)題2中，可以發(fā)現(xiàn)：x和y是兩個(gè)變量，每當(dāng)x取定一個(gè)值時(shí)，y就有唯一確定的值與其對(duì)應(yīng).例如，若x＝150,則y＝1500;若x＝205,則y＝2050;若x＝310，則y＝3100.在問(wèn)題3中，可以發(fā)現(xiàn)：r和S是兩個(gè)變量，每當(dāng)r取定一個(gè)值時(shí)，S

就有唯一確定的值與其對(duì)應(yīng).它們的關(guān)系式為S＝πr2.據(jù)此可以算出r分別為10cm，20cm，30cm時(shí)，S

分別為100π

cm2，400π

cm2，900π

cm2.在問(wèn)題4中，可以發(fā)現(xiàn)：x和y是兩個(gè)變量，每當(dāng)x取定一個(gè)值時(shí)，y就有唯一確定的值與其對(duì)應(yīng).它們的關(guān)系式為y＝5－x.據(jù)此可以算出x分別為3m，3.5m，4m，4.5m時(shí)，y

分別為2m，1.5m，1m，0.5m.上面每個(gè)問(wèn)題中的兩個(gè)變量互相聯(lián)系，當(dāng)其中一個(gè)變量取定一個(gè)值時(shí)，另一個(gè)變量就有唯一確定的值與其對(duì)應(yīng).1.以21m/s的速度向上拋一個(gè)小球，小球的高度h(m)與小球運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t(s)之間的關(guān)系是h＝21t－4.9t2.下列說(shuō)法正確的是(

)A．4.9是常量，21，t，h是變量B．21，4.9是常量，t，h是變量C．t，h是常量，21，4.9是變量D．t，h是常量，4.9是變量B2.下列說(shuō)法不正確的是(

)A．正方形的面積

S＝a2中有兩個(gè)變量

S，aB．圓的面積

S＝πR2中π是常量C．在一個(gè)關(guān)系式中用字母表示的量可能不是變量D．如果

x＝y(tǒng)，則x，y都是常量D3.(1)某報(bào)紙每份1.60元，請(qǐng)寫出購(gòu)買x份該報(bào)紙與所需錢數(shù)y