高等數(shù)學(xué)同濟(jì)第五版(下)微分方程課件

第十二章—積分問題—微分方程問題

推廣一階微分方程高階微分方程高等數(shù)學(xué)同濟(jì)第五版(下)微分方程微分方程的基本概念第一節(jié)微分方程的基本概念引例幾何問題物理問題

第十二章高等數(shù)學(xué)同濟(jì)第五版(下)微分方程引例1.一曲線通過點(1,2),在該曲線上任意點處的解:

設(shè)所求曲線方程為y=y(x),則有如下關(guān)系式:①(C為任意常數(shù))由②得C=1,因此所求曲線方程為②由①得切線斜率為2x,求該曲線的方程.高等數(shù)學(xué)同濟(jì)第五版(下)微分方程引例2.列車在平直路上以的速度行駛,制動時獲得加速度求制動后列車的運(yùn)動規(guī)律.解:設(shè)列車在制動后

t

秒行駛了s

米,已知由前一式兩次積分,可得利用后兩式可得因此所求運(yùn)動規(guī)律為即求

s

=s(t).高等數(shù)學(xué)同濟(jì)第五版(下)微分方程常微分方程偏微分方程含未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的方程叫做微分方程

.方程中所含未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)叫做微分方程(本章內(nèi)容)(n

階顯式微分方程)微分方程的基本概念一般地,n

階常微分方程的形式是的階.分類或高等數(shù)學(xué)同濟(jì)第五版(下)微分方程引例2—

使方程成為恒等式的函數(shù).通解—

解中所含獨立的任意常數(shù)的個數(shù)與方程—

確定通解中任意常數(shù)的條件.n階方程的初始條件(或初值條件):的階數(shù)相同.特解引例1

通解:特解:微分方程的解—不含任意常數(shù)的解,定解條件其圖形稱為積分曲線.高等數(shù)學(xué)同濟(jì)第五版(下)微分方程線性：未知函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)都是一次的。高等數(shù)學(xué)同濟(jì)第五版(下)微分方程第二節(jié)

第十二章一階微分方程一、可分離變量微分方程二、齊次方程三、全微分方程（數(shù)一）四、一階線性微分方程高等數(shù)學(xué)同濟(jì)第五版(下)微分方程一、可分離變量微分方程轉(zhuǎn)化

解分離變量方程可分離變量方程高等數(shù)學(xué)同濟(jì)第五版(下)微分方程分離變量方程的解法:設(shè)y＝

(x)

是方程①的解,兩邊積分,得①則有恒等式②當(dāng)G(y)與F(x)可微且G’(y)＝g(y)≠0時,說明由②確定的隱函數(shù)y＝

(x)是①的解.則有稱②為方程①的隱式通解,或通積分.同樣,當(dāng)F’(x)=f(x)≠0時,上述過程可逆,由②確定的隱函數(shù)x＝

(y)也是①的解.高等數(shù)學(xué)同濟(jì)第五版(下)微分方程例1.求微分方程的通解.解:

分離變量得兩邊積分得即(C

為任意常數(shù))或說明:

在求解過程中每一步不一定是同解變形,因此可能增、減解.(此式含分離變量時丟失的解y=0)高等數(shù)學(xué)同濟(jì)第五版(下)微分方程例2.解初值問題解:

分離變量得兩邊積分得即由初始條件得C=1,(C

為任意常數(shù))故所求特解為高等數(shù)學(xué)同濟(jì)第五版(下)微分方程例3.

求下述微分方程的通解:解:

令則故有即解得(C為任意常數(shù))所求通解:高等數(shù)學(xué)同濟(jì)第五版(下)微分方程練習(xí):解法1分離變量即(C<0

)解法2故有積分(C

為任意常數(shù))所求通解:高等數(shù)學(xué)同濟(jì)第五版(下)微分方程二、齊次方程一、齊次方程二、可化為齊次方程高等數(shù)學(xué)同濟(jì)第五版(下)微分方程一、齊次方程形如的方程叫做齊次方程

.令代入原方程得兩邊積分,得積分后再用代替u,便得原方程的通解.解法:分離變量:高等數(shù)學(xué)同濟(jì)第五版(下)微分方程例1.解微分方程解:代入原方程得分離變量兩邊積分得故原方程的通解為(

當(dāng)C=0

時,

y=0

也是方程的解)(C

為任意常數(shù))高等數(shù)學(xué)同濟(jì)第五版(下)微分方程例2.解微分方程解:則有分離變量積分得代回原變量得通解即說明:

顯然

x=0,y=0,y=x

也是原方程的解,但在(C

為任意常數(shù))求解過程中丟失了.高等數(shù)學(xué)同濟(jì)第五版(下)微分方程(h,k

為待二、可化為齊次方程的方程(數(shù)一)作變換原方程化為令,解出h,k

(齊次方程)定常數(shù)),高等數(shù)學(xué)同濟(jì)第五版(下)微分方程求出其解后,即得原方程的解.原方程可化為令(可分離變量方程)注:

上述方法可適用于下述更一般的方程高等數(shù)學(xué)同濟(jì)第五版(下)微分方程例4.

求解解:令得再令Y＝X

u,得令積分得代回原變量,得原方程的通解:高等數(shù)學(xué)同濟(jì)第五版(下)微分方程得C=1,故所求特解為思考:

若方程改為如何求解?提示:高等數(shù)學(xué)同濟(jì)第五版(下)微分方程三、一階線性微分方程一、一階線性微分方程二、伯努利方程高等數(shù)學(xué)同濟(jì)第五版(下)微分方程一、一階線性微分方程一階線性微分方程標(biāo)準(zhǔn)形式:若Q(x)

0,若Q(x)

0,稱為非齊次方程

.1.解齊次方程分離變量兩邊積分得故通解為稱為齊次方程

;高等數(shù)學(xué)同濟(jì)第五版(下)微分方程對應(yīng)齊次方程通解齊次方程通解非齊次方程特解2.解非齊次方程用常數(shù)變易法:則故原方程的通解即即作變換兩端積分得高等數(shù)學(xué)同濟(jì)第五版(下)微分方程例1.解方程解:先解即積分得即用常數(shù)變易法求特解.令則代入非齊次方程得解得故原方程通解為高等數(shù)學(xué)同濟(jì)第五版(下)微分方程例2、解：高等數(shù)學(xué)同濟(jì)第五版(下)微分方程例3.

求方程的通解.解:注意x,y

同號,由一階線性方程通解公式

,得故方程可變形為所求通解為這是以為因變量,y為

自變量的一階線性方程高等數(shù)學(xué)同濟(jì)第五版(下)微分方程例4、解微分方程解：方程變形為令方程化為高等數(shù)學(xué)同濟(jì)第五版(下)微分方程二、伯努利(Bernoulli)方程（數(shù)一）伯努利方程的標(biāo)準(zhǔn)形式:令求出此方程通解后,除方程兩邊,得換回原變量即得伯努利方程的通解.解法:(線性方程)高等數(shù)學(xué)同濟(jì)第五版(下)微分方程例4.求方程的通解.解:令則方程變形為其通解為將代入,得原方程通解:高等數(shù)學(xué)同濟(jì)第五版(下)微分方程內(nèi)容小結(jié)1.一階線性方程方法1先解齊次方程,再用常數(shù)變易法.方法2用通解公式化為線性方程求解.2.伯努利方程高等數(shù)學(xué)同濟(jì)第五版(下)微分方程思考與練習(xí)判別下列方程類型:提示:

可分離變量方程齊次方程線性方程線性方程伯努利方程高等數(shù)學(xué)同濟(jì)第五版(下)微分方程1.

求一連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)使其滿足下列方程:提示:令則有利用公式可求出高等數(shù)學(xué)同濟(jì)第五版(下)微分方程2.設(shè)有微分方程其中試求此方程滿足初始條件的連續(xù)解.解:1)先解定解問題利用通解公式,得利用得故有高等數(shù)學(xué)同濟(jì)第五版(下)微分方程2)再解定解問題此齊次線性方程的通解為利用銜接條件得因此有3)原問題的解為高等數(shù)學(xué)同濟(jì)第五版(下)微分方程四、全微分方程（數(shù)一）高等數(shù)學(xué)同濟(jì)第五版(下)微分方程判別:P,Q

在某單連通域D內(nèi)有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù),①為全微分方程則求解步驟:方法1湊微分法;方法2利用積分與路徑無關(guān)的條件.1.求原函數(shù)

u(x,y)2.由du=0知通解為

u(x,y)=C.一、全微分方程則稱為全微分方程.①高等數(shù)學(xué)同濟(jì)第五版(下)微分方程例1.求解解:因為故這是全微分方程.則有因此方程的通解為高等數(shù)學(xué)同濟(jì)第五版(下)微分方程例2.求解解:∴這是一個全微分方程.用湊微分法求通解.將方程改寫為即故原方程的通解為或高等數(shù)學(xué)同濟(jì)第五版(下)微分方程可降階高階微分方程第三節(jié)一、型的微分方程二、型的微分方程三、型的微分方程（數(shù)一、數(shù)二）高等數(shù)學(xué)同濟(jì)第五版(下)微分方程一、令因此即同理可得依次通過

n

次積分,可得含

n

個任意常數(shù)的通解.型的微分方程

高等數(shù)學(xué)同濟(jì)第五版(下)微分方程例1.解:

高等數(shù)學(xué)同濟(jì)第五版(下)微分方程型的微分方程

設(shè)原方程化為一階方程設(shè)其通解為則得再一次積分,得原方程的通解二、高等數(shù)學(xué)同濟(jì)第五版(下)微分方程例3.求解解:代入方程得分離變量積分得利用于是有兩端再積分得利用因此所求特解為高等數(shù)學(xué)同濟(jì)第五版(下)微分方程三、型的微分方程

令故方程化為設(shè)其通解為即得分離變量后積分,得原方程的通解高等數(shù)學(xué)同濟(jì)第五版(下)微分方程例4.求解代入方程得兩端積分得(一階線性齊次方程)故所求通解為解:高等數(shù)學(xué)同濟(jì)第五版(下)微分方程例5.解初值問題解:

令代入方程得積分得利用初始條件,根據(jù)積分得故所求特解為得高等數(shù)學(xué)同濟(jì)第五版(下)微分方程為曲邊的曲邊梯形面積上述兩直線與x

軸圍成的三角形面例6.二階可導(dǎo),且上任一點P(x,y)

作該曲線的切線及x軸的垂線,區(qū)間[0,x]上以解:于是在點P(x,y)處的切線傾角為

,滿足的方程.積記為(99考研)高等數(shù)學(xué)同濟(jì)第五版(下)微分方程再利用y(0)=1得利用得兩邊對x

求導(dǎo),得定解條件為方程化為利用定解條件得得故所求曲線方程為高等數(shù)學(xué)同濟(jì)第五版(下)微分方程內(nèi)容小結(jié)可降階微分方程的解法——降階法逐次積分令令高等數(shù)學(xué)同濟(jì)第五版(下)微分方程第四節(jié)

第十二章高階微分方程1、高階微分方程解的結(jié)構(gòu)2、常系數(shù)齊次線性微分方程3、常系數(shù)非齊次線性微分方程高等數(shù)學(xué)同濟(jì)第五版(下)微分方程一、高階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)一、線性齊次方程解的結(jié)構(gòu)二、線性非齊次方程解的結(jié)構(gòu)

高等數(shù)學(xué)同濟(jì)第五版(下)微分方程n

階線性微分方程的一般形式為為二階線性微分方程.時,稱為非齊次方程;時,稱為齊次方程.復(fù)習(xí):

一階線性方程通解:非齊次方程特解齊次方程通解Y高等數(shù)學(xué)同濟(jì)第五版(下)微分方程證畢一、線性齊次方程解的結(jié)構(gòu)是二階線性齊次方程的兩個解,也是該方程的解.證:代入方程左邊,得(疊加原理)

定理1.高等數(shù)學(xué)同濟(jì)第五版(下)微分方程說明:不一定是所給二階方程的通解.例如,是某二階齊次方程的解,也是齊次方程的解并不是通解但是則為解決通解的判別問題,下面引入函數(shù)的線性相關(guān)與線性無關(guān)概念.高等數(shù)學(xué)同濟(jì)第五版(下)微分方程定義:是定義在區(qū)間I

上的

n個函數(shù),使得則稱這

n個函數(shù)在I

上線性相關(guān),否則稱為線性無關(guān).例如在(,)上都有故它們在任何區(qū)間I

上都線性相關(guān);又如，若在某區(qū)間

I

上則根據(jù)二次多項式至多只有兩個零點,必需全為0,可見在任何區(qū)間

I

上都線性無關(guān).若存在不全為

0

的常數(shù)高等數(shù)學(xué)同濟(jì)第五版(下)微分方程兩個函數(shù)在區(qū)間I

上線性相關(guān)與線性無關(guān)的充要條件:線性相關(guān)存在不全為0的使(無妨設(shè)線性無關(guān)常數(shù)思考:中有一個恒為0,則必線性相關(guān)線性無關(guān)高等數(shù)學(xué)同濟(jì)第五版(下)微分方程定理2.是二階線性齊次方程的兩個線性無關(guān)特解,則數(shù))是該方程的通解.例如,方程有特解且常數(shù),故方程的通解為推論.是

n

階齊次方程的n

個線性無關(guān)解,則方程的通解為高等數(shù)學(xué)同濟(jì)第五版(下)微分方程二、線性非齊次方程解的結(jié)構(gòu)

是二階非齊次方程的一個特解,Y(x)是相應(yīng)齊次方程的通解,定理3.則是非齊次方程的通解.證:

將代入方程①左端,得②①高等數(shù)學(xué)同濟(jì)第五版(下)微分方程是非齊次方程的解,又Y中含有兩個獨立任意常數(shù),例如,

方程有特解對應(yīng)齊次方程有通解因此該方程的通解為證畢因而②也是通解.高等數(shù)學(xué)同濟(jì)第五版(下)微分方程定理4、若是二階非齊次方程的特解,則是齊次方程的解。證明：兩式相減高等數(shù)學(xué)同濟(jì)第五版(下)微分方程定理5.分別是方程的特解,是方程的特解.(非齊次方程之解的疊加原理)

定理3,定理4均可推廣到n

階線性非齊次方程.高等數(shù)學(xué)同濟(jì)第五版(下)微分方程定理6.是對應(yīng)齊次方程的n

個線性無關(guān)特解,給定n

階非齊次線性方程是非齊次方程的特解,則非齊次方程的通解為齊次方程通解非齊次方程特解高等數(shù)學(xué)同濟(jì)第五版(下)微分方程常數(shù),則該方程的通解是().設(shè)線性無關(guān)函數(shù)都是二階非齊次線性方程的解,是任意例1.提示:都是對應(yīng)齊次方程的解,二者線性無關(guān).(反證法可證)(89考研)高等數(shù)學(xué)同濟(jì)第五版(下)微分方程例2.

已知微分方程個解求此方程滿足初始條件的特解.解:是對應(yīng)齊次方程的解,且常數(shù)因而線性無關(guān),故原方程通解為代入初始條件故所求特解為有三高等數(shù)學(xué)同濟(jì)第五版(下)微分方程例3、（10、二、三）設(shè)是一階線性齊次微分方程的兩個特解，若常數(shù)使的解，則（）是該方程是該方程對應(yīng)的齊次方程的解，A.

B.

C.

D.

高等數(shù)學(xué)同濟(jì)第五版(下)微分方程二、常系數(shù)齊次線性微分方程基本思路:求解常系數(shù)線性齊次微分方程求特征方程(代數(shù)方程)之根轉(zhuǎn)化高等數(shù)學(xué)同濟(jì)第五版(下)微分方程二階常系數(shù)齊次線性微分方程:和它的導(dǎo)數(shù)只差常數(shù)因子,代入①得稱②為微分方程①的特征方程,1.當(dāng)時,②有兩個相異實根方程有兩個線性無關(guān)的特解:因此方程的通解為(r

為待定常數(shù)),①所以令①的解為②則微分其根稱為特征根.高等數(shù)學(xué)同濟(jì)第五版(下)微分方程2.當(dāng)時,

特征方程有兩個相等實根則微分方程有一個特解設(shè)另一特解(u(x)待定)代入方程得:是特征方程的重根取u=x,則得因此原方程的通解為高等數(shù)學(xué)同濟(jì)第五版(下)微分方程3.當(dāng)時,

特征方程有一對共軛復(fù)根這時原方程有兩個復(fù)數(shù)解:

利用解的疊加原理,得原方程的線性無關(guān)特解:因此原方程的通解為高等數(shù)學(xué)同濟(jì)第五版(下)微分方程小結(jié):特征方程:實根特征根通解以上結(jié)論可推廣到高階常系數(shù)線性微分方程.高等數(shù)學(xué)同濟(jì)第五版(下)微分方程若特征方程含k

重復(fù)根若特征方程含k

重實根r,則其通解中必含對應(yīng)項則其通解中必含對應(yīng)項特征方程:推廣:高等數(shù)學(xué)同濟(jì)第五版(下)微分方程例1.的通解.解:

特征方程特征根:因此原方程的通解為例2.

求解初值問題解:

特征方程有重根因此原方程的通解為利用初始條件得于是所求初值問題的解為高等數(shù)學(xué)同濟(jì)第五版(下)微分方程例4.的通解.解:特征方程特征根:因此原方程通解為例5.解:

特征方程:特征根:原方程通解:(不難看出,原方程有特解高等數(shù)學(xué)同濟(jì)第五版(下)微分方程例6.解:特征方程:即其根為方程通解:高等數(shù)學(xué)同濟(jì)第五版(下)微分方程例7.解:

特征方程:特征根為則方程通解:高等數(shù)學(xué)同濟(jì)第五版(下)微分方程內(nèi)容小結(jié)特征根:(1)當(dāng)時,通解為(2)當(dāng)時,通解為(3)當(dāng)時,通解為可推廣到高階常系數(shù)線性齊次方程求通解.高等數(shù)學(xué)同濟(jì)第五版(下)微分方程為特解的4階常系數(shù)線性齊次微分方程,并求其通解.解:

根據(jù)給定的特解知特征方程有根:因此特征方程為即故所求方程為其通解為（小綜合）高等數(shù)學(xué)同濟(jì)第五版(下)微分方程三、常系數(shù)非齊次線性微分方程一、二、高等數(shù)學(xué)同濟(jì)第五版(下)微分方程二階常系數(shù)線性非齊次微分方程:根據(jù)解的結(jié)構(gòu)定理,其通解為非齊次方程特解齊次方程通解求特解的方法根據(jù)

f(x)的特殊形式,的待定形式,代入原方程比較兩端表達(dá)式以確定待定系數(shù).①—待定系數(shù)法高等數(shù)學(xué)同濟(jì)第五版(下)微分方程一、

為實數(shù),設(shè)特解為其中為待定多項式,代入原方程,得(1)若不是特征方程的根,則取從而得到特解形式為為m

次多項式.Q(x)為

m次待定系數(shù)多項式高等數(shù)學(xué)同濟(jì)第五版(下)微分方程(2)若是特征方程的單根

,為m

次多項式,故特解形式為(3)若

是特征方程的重根,是m

次多項式,故特解形式為小結(jié)對方程①,此結(jié)論可推廣到高階常系數(shù)線性微分方程.即即當(dāng)是特征方程的k重根時,可設(shè)特解高等數(shù)學(xué)同濟(jì)第五版(下)微分方程例1.的一個特解.解:

本題而特征方程為不是特征方程的根.設(shè)所求特解為代入方程:比較系數(shù),得于是所求特解為高等數(shù)學(xué)同濟(jì)第五版(下)微分方程例2.

的通解.

解:本題特征方程為其根為對應(yīng)齊次方程的通解為設(shè)非齊次方程特解為比較系數(shù),得因此特解為代入方程得所求通解為高等數(shù)學(xué)同濟(jì)第五版(下)微分方程例3.

求解定解問題解:本題特征方程為其根為設(shè)非齊次方程特解為代入方程得故故對應(yīng)齊次方程通解為原方程通解為由初始條件得高等數(shù)學(xué)同濟(jì)第五版(下)微分方程于是所求解為解得高等數(shù)學(xué)同濟(jì)第五版(下)微分方程二、第二步求出如下兩個方程的特解分析思路:第一步將f(x)轉(zhuǎn)化為第三步利用疊加原理求出原方程的特解第四步分析原方程特解的特點高等數(shù)學(xué)同濟(jì)第五版(下)微分方程對非齊次方程則可設(shè)特解:其中為特征方程的

k

重根(k=0,1),上述結(jié)論也可推廣到高階方程的情形.高等數(shù)學(xué)同濟(jì)第五版(下)微分方程例4.

的一個特解

.解:本題特征方程故設(shè)特解為不是特征方程的根,代入方程得比較系數(shù),得于是求得一個特解高等數(shù)學(xué)同濟(jì)第五版(下)微分方程例5.

的通解.

解:特征方程為其根為對應(yīng)齊次方程的通解為比較系數(shù),得因此特解為代入方程:所求通解為為特征方程的單根,因此設(shè)非齊次方程特解為高等數(shù)學(xué)同濟(jì)第五版(下)微分方程例6.解:(1)特征方程有二重根所以設(shè)非齊次方程特解為(2)特征方程有根利用疊加原理,可設(shè)非齊次方程特解為設(shè)下列高階常系數(shù)線性非齊次方程的特解形式:高等數(shù)學(xué)同濟(jì)第五版(下)微分方程內(nèi)容小結(jié)

為特征方程的k(＝0,1,2)重根,則設(shè)特解為為特征方程的k(＝0,1)重根,則設(shè)特解為3.上述結(jié)論也可推廣到高階方程的情形.高等數(shù)學(xué)同濟(jì)第五版(下)微分方程第五節(jié)歐拉方程（數(shù)一）歐拉方程常系數(shù)線性微分方程

第十二章高等數(shù)學(xué)同濟(jì)第五版(下)微分方程歐拉方程的算子解法:

則計算繁!高等數(shù)學(xué)同濟(jì)第五版(下)微分方程則由上述計算可知:用歸納法可證于是歐拉方程轉(zhuǎn)化為常系數(shù)線性方程:高等數(shù)學(xué)同濟(jì)第五版(下)微分方程例1.解:則原方程化為亦即其根則①對應(yīng)的齊次方程的通解為特征方程①高等數(shù)學(xué)同濟(jì)第五版(下)微分方程①的通解為換回原變量,得原方程通解為設(shè)特解:代入①確定系數(shù),得高等數(shù)學(xué)同濟(jì)第五版(下)微分方程例2.解:

將方程化為(歐拉方程)

則方程化為即②特征根:設(shè)特解:代入②解得A=1,所求通解為高等數(shù)學(xué)同濟(jì)第五版(下)微分方程例3.解:

由題設(shè)得定解問題③則③化為特征根:設(shè)特解:④⑤代入⑤得A＝1高等數(shù)學(xué)同濟(jì)第五版(下)微分方程第六節(jié)差分方程(數(shù)三)高等數(shù)學(xué)同濟(jì)第五版(下)微分方程一、差分的概念設(shè)取非負(fù)整數(shù)，表示函數(shù)值是一個數(shù)列關(guān)于函數(shù)的一階差分例如：二階差分：記做高等數(shù)學(xué)同濟(jì)第五版(下)微分方程二、差分的性質(zhì)三、差分方程含未知函數(shù)及其差分的方程叫做差分方程

.—

使方程成為恒等式的函數(shù).通解—

解中所含獨立的任意常數(shù)的個數(shù)與方程的階數(shù)相同.特解差分方程的解—

不含任意常數(shù)的解,階：差分的最高階，即下標(biāo)最大最小值的差高等數(shù)學(xué)同濟(jì)第五版(下)微分方程例如：一階常系數(shù)線性差分方程解法：齊次非齊次齊次方程：特征方程即特征根為對應(yīng)的通解為高等數(shù)學(xué)同濟(jì)第五版(下)微分方程非齊次方程的通解=對應(yīng)的齊次方程的通解+特解(Ⅰ)令特解當(dāng)取當(dāng)取(Ⅱ)令特解當(dāng)取當(dāng)取(Ⅲ)令特解高等數(shù)學(xué)同濟(jì)第五版(下)微分方程例1、求差分方程滿足的特解。解：代入得，由初值條件高等數(shù)學(xué)同濟(jì)第五版(下)微分方程例2、求差分方程解：特征方程齊次的通解代入方程得所以，差分方程的通解為高等數(shù)學(xué)同濟(jì)第五版(下)微分方程微分方程應(yīng)用補(bǔ)充流程圖分析及例題高等數(shù)學(xué)同濟(jì)第五版(下)微分方程1.折線積分2.湊全微分3.定積分轉(zhuǎn)為z的一階線性關(guān)于u一階高等數(shù)學(xué)同濟(jì)第五版(下)微分方程二階變系數(shù)二階一階二階常系數(shù)解的結(jié)構(gòu)高等數(shù)學(xué)同濟(jì)第五版(下)微分方程P338P348高等數(shù)學(xué)同濟(jì)第五版(下)微分方程一、一階微分方程求解

1.一階標(biāo)準(zhǔn)類型方程求解關(guān)鍵:辨別方程類型,掌握求解步驟2.一階非標(biāo)準(zhǔn)類型方程求解(1)變量代換法——代換自變量代換因變量代換某組合式(2)積分因子法——選積分因子,解全微分方程四個標(biāo)準(zhǔn)類型:

可分離變量方程,

齊次方程,

線性方程,

全微分方程機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束高等數(shù)學(xué)同濟(jì)第五版(下)微分方程例1.求下列方程的通解提示:(1)故為分離變量方程:通解機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束高等數(shù)學(xué)同濟(jì)第五版(下)微分方程方程兩邊同除以x

即為齊次方程,令y=ux,化為分離變量方程.調(diào)換自變量與因變量的地位,用線性方程通解公式求解.化為機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束高等數(shù)學(xué)同濟(jì)第五版(下)微分方程方法1

這是一個齊次方程.方法2

化為微分形式故這是一個全微分方程.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束高等數(shù)學(xué)同濟(jì)第五版(下)微分方程例2.求下列方程的通解:提示:(1)令u=xy,得(2)將方程改寫為(貝努里方程)(分離變量方程)原方程化為機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束高等數(shù)學(xué)同濟(jì)第五版(下)微分方程令y=ut(齊次方程)令t=x–1,則可分離變量方程求解化方程為機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束高等數(shù)學(xué)同濟(jì)第五版(下)微分方程變方程為兩邊乘積分因子用湊微分法得通解:機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束高等數(shù)學(xué)同濟(jì)第五版(下)微分方程例3.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束設(shè)F(x)＝f(x)g(x),其中函數(shù)f(x),g(x)在(－∞,+∞)內(nèi)滿足以下條件:(1)求F(x)所滿足的一階微分方程;(03考研)(2)求出F(x)的表達(dá)式.解:(1)所以F(x)滿足的一階線性非齊次微分方程:高等數(shù)學(xué)同濟(jì)第五版(下)微分方程機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束(2)由一階線性微分方程解的公式得于是高等數(shù)學(xué)同濟(jì)第五版(下)微分方程練習(xí)題:(題3只考慮方法及步驟)P353題2求以為通解的微分方程.提示:消去

C

得P353題3

求下列微分方程的通解:提示:

令u=xy,化成可分離變量方程:提示:

這是一階線性方程,其中P353題1，2，3(1),(2),(3),(4),(5),(9),(10)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束高等數(shù)學(xué)同濟(jì)第五版(下)微分方程提示:

可化為關(guān)于

x

的一階線性方程提示:

為貝努里方程,令提示:

為全微分方程,通解提示:可化為貝努里方程令微分倒推公式機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束高等數(shù)學(xué)同濟(jì)第五版(下)微分方程原方程化為,即則故原方程通解提示:令機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束高等數(shù)學(xué)同濟(jì)第五版(下)微分方程二、兩類二階微分方程的解法

1.可降階微分方程的解法—降階法令令逐次積分求解機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束高等數(shù)學(xué)同濟(jì)第五版(下)微分方程2.二階線性微分方程的解法

常系數(shù)情形齊次非齊次代數(shù)法

歐拉方程機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束高等數(shù)學(xué)同濟(jì)第五版(下)微分方程二階常系數(shù)齊次線性微分方程求通解的一般步驟:(1)寫出相應(yīng)的特征方程(2)求出特征方程的兩個根(3)根據(jù)特征方程的兩個根的不同情況,按照下列規(guī)則寫出微分方程的通解求解二階常系數(shù)線性方程高等數(shù)學(xué)同濟(jì)第五版(下)微分方程非齊通解齊次通解非齊特解難點：如何求特解？方法：待定系數(shù)法.高等數(shù)學(xué)同濟(jì)第五版(下)微分方程(3).上述結(jié)論也可推廣到高階方程的情形.高等數(shù)學(xué)同濟(jì)第五版(下)微分方程解答提示P353題2

求以為通解的微分方程

.提示:

由通解式可知特征方程的根為故特征方程為因此微分方程為P353題3

求下列微分方程的通解提示:(6)令則方程變?yōu)闄C(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束高等數(shù)學(xué)同濟(jì)第五版(下)微分方程特征根:齊次方程通解:令非齊次方程特解為代入方程可得思考若(7)中非齊次項改為提示:原方程通解為特解設(shè)法有何變化?機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束高等數(shù)學(xué)同濟(jì)第五版(下)微分方程P354題4(2)

求解提示:

令則方程變?yōu)榉e分得利用再解并利用定常數(shù)思考若問題改為求解則求解過程中得問開方時正負(fù)號如何確定?機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束高等數(shù)學(xué)同濟(jì)第五版(下)微分方程P354題8

設(shè)函數(shù)在

r>0內(nèi)滿足拉普拉斯方程二階可導(dǎo),且試將方程化為以r為自變量的常微分方程,并求f(r).提示:利用對稱性,即(歐拉方程)原方程可化為機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束高等數(shù)學(xué)同濟(jì)第五版(下)微分方程解初值問題:則原方程化為通解:

利用初始條件得特解:機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束高等數(shù)學(xué)同濟(jì)第五版(下)微分方程特征根

:例1.求微分方程提示:故通解為滿足條件解滿足處連續(xù)且可微的解.設(shè)特解

:代入方程定A,B,得得機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束高等數(shù)學(xué)同濟(jì)第五版(下)微分方程處的銜接條件可知,解滿足故所求解為其通解:定解問題的解:機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束高等數(shù)學(xué)同濟(jì)第五版(下)微分方程例2.且滿足方程提示:

則問題化為解初值問題:最后求得機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束高等數(shù)學(xué)同濟(jì)第五版(下)微分方程思考:

設(shè)提示:

對積分換元

,則有解初值問題:

答案:機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束高等數(shù)學(xué)同濟(jì)第五版(下)微分方程的解.例3.設(shè)函數(shù)內(nèi)具有連續(xù)二階導(dǎo)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束(1)試將x＝x(y)所滿足的微分方程

變換為y＝y(tǒng)(x)所滿足的微分方程;(2)求變換后的微分方程滿足初始條件

數(shù),且解:上式兩端對

x

求導(dǎo),得:(1)由反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式知(03考研)高等數(shù)學(xué)同濟(jì)第五版(下)微分方程機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束代入原微分方程得

①(2)方程①的對應(yīng)齊次方程的通解為設(shè)①的特解為代入①得A＝0,從而得①的通解:

高等數(shù)學(xué)同濟(jì)第五版(下)微分方程題目錄上頁下頁返回結(jié)束由初始條件

得故所求初值問題的解為高等數(shù)學(xué)同濟(jì)第五版(下)微分方程例4.解:欲向宇宙發(fā)射一顆人造衛(wèi)星,為使其擺脫地球

引力,

初始速度應(yīng)不小于第二宇宙速度,試計算此速度.設(shè)人造地球衛(wèi)星質(zhì)量為m,地球質(zhì)量為M,

衛(wèi)星的質(zhì)心到地心的距離為h,

由牛頓第二定律得:

②(G

為引力系數(shù))則有初值問題:又設(shè)衛(wèi)星的初速度機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束③高等數(shù)學(xué)同濟(jì)第五版(下)微分方程代入原方程②,得兩邊積分得利用初始條件③,得因此注意到機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束高等數(shù)學(xué)同濟(jì)第五版(下)微分方程為使因為當(dāng)h=R(在地面上)時,引力=重力,即④代入④即得這說明第二宇宙速度為機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束高等數(shù)學(xué)同濟(jì)第五版(下)微分方程求質(zhì)點的運(yùn)動規(guī)例5.上的力F

所作的功與經(jīng)過的時間t

成正比(比例系數(shù)提