淺析重積分在變量變換問題中的應(yīng)用

淺析重積分在變量變換問題中的應(yīng)用工業(yè)設(shè)計(jì)1301班史家奇201348422014-6-10淺析重積分在變量變換問題中的應(yīng)用1概要重積分在數(shù)學(xué)分析中占有比較重要的地位，是數(shù)學(xué)分析中重要的一部分，也是數(shù)學(xué)分析學(xué)習(xí)的難點(diǎn)之一，由于重積分的題型十分多，因而方法靈活，技巧性強(qiáng)且解題對于學(xué)習(xí)者來說是十分困難的。由于重積分的解法可分為多種情況。比如：利用對稱性計(jì)算重積分，利用換元法計(jì)算重積分，利用分部積分法計(jì)算重積分等等。而本選題則是學(xué)習(xí)關(guān)于利用變量變換計(jì)算重積分。在所找的文獻(xiàn)中，有關(guān)于重積分的基本定義以及利用變量變換來計(jì)算重積分的技巧，并對這種技巧有很好的總結(jié)。但是這些還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，理論的東西和實(shí)際的應(yīng)用還存在著很大的差距。理論研究后，在應(yīng)用于生產(chǎn)實(shí)際中時，還會出現(xiàn)許多新的問題，這時考慮的問題就和理論是不一樣了。僅僅研究理論時，對待某些問題，我們還需要更加深入得去了解。因此，重積分計(jì)算式變量變換的技巧還有待我們更深入的去研究。2基本概念2.1二重積分的定義設(shè)f（x?y）是定義在可求面積的有界閉區(qū)域D上的函數(shù)。J是一個確定的數(shù)，若對任給的正數(shù)ε，總存在某個正數(shù)δ，使對于D的任何分割T，當(dāng)它的細(xì)度‖T‖<δ時，屬于T的所有積分和都有則稱f（x?y）在D上可積，數(shù)J稱為函數(shù)f（x?y）在D上的二重積分，記作其中f（x?y）稱為二重積分的被積函數(shù)，x，y稱為積分變量，D稱為積分區(qū)域。2.2二重積分的性質(zhì)：若f（x?y）在區(qū)域D上可積，k為常數(shù)，則kf（x?y）在D上也可積，且若f（x?y），g（x，y）在D上可積，則f（x?y）g（x，y）在D上也可積，且若f（x?y）在與無公共內(nèi)點(diǎn)，則f（x?y）在∪上可積，且=若f（x?y）與g（x，y）在D上可積，f（x?y）≤g（x，y），（x，y）?D則（5）若f（x?y）在D上可積，則函數(shù)在D上可積，且（6）若f（x?y）在D上可積，且則這里是積分區(qū)域D的面積（7）若f（x?y）在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，則存在（ξ，η）?D，使得，這里是積分區(qū)域D的面積。2.3二重積分的變量變換公式：2.3.1定理：設(shè)f（x，y）在有界閉區(qū)域D上可積，變換T：x=x（u，v），y=y（u，v）將uv平面由按段光滑封閉曲線所圍成的閉區(qū)域?一對一地映成xy平面上的閉區(qū)域D，函數(shù)x（u，v）,y(u，v)在內(nèi)分別具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)且它們的函數(shù)行列式?則證明：用曲線網(wǎng)把?分成n個小區(qū)域，在變換T作用下，區(qū)域D也相應(yīng)地被分成n個小區(qū)域。記及的面積為及（=1,2,3…,n）.由引理及二重積分中值定理，有，其中（=1,2，…,n）.令=x，=y，則（，）?（=1,2,3…,n）.作二重積分的積分和=.上式右邊的和式是?上可積f（x（u，v），y（u，v））|J(u,v)|的積分和.有由變換T的連續(xù)性可知，當(dāng)區(qū)域?的分割的細(xì)度‖‖→0時，區(qū)域D相應(yīng)的分割的細(xì)度‖‖也趨于零.因此得到2.3.2二重積分的變量代換公式為設(shè)f(x,y)在平面的有界閉區(qū)域D上連續(xù)且(1)連續(xù)可微函數(shù)x=x(u,v),y=y(u,v)把D雙方單值地變到區(qū)域(2)雅可比行列式在上成立，則2.4用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分2.4.1當(dāng)積分區(qū)域是圓域或圓域的一部分，或者被積函數(shù)的形式為時，采用極坐標(biāo)變換（1）2.4.2結(jié)論：設(shè)f（x，y）滿足定理2.3.1的條件，且在極坐標(biāo)變換（1）下，xy平面上有界閉區(qū)域D與?θ平面上區(qū)域?對應(yīng)，則成立2.5三重積分的概念2.5.1定義：設(shè)f（x，y，z）為定義在三維空間可求體積的有界閉區(qū)域V上的函數(shù)，J是一個確定的數(shù)。若對任給的正數(shù)ε，總存在某一個正數(shù)δ，使得對于V的任何分割T，只要‖T‖<δ，屬于分割T的所有積分和都有則稱f（x，y，z）在V上可積，數(shù)J稱為函數(shù)f（x，y，z）在V上的三重積分，記作或，其中f（x，y，z）稱為被積函數(shù)，x，y，z稱為積分變量，V稱為積分區(qū)域。2.5.2性質(zhì)：（1）有界閉區(qū)域V上的連續(xù)函數(shù)必可積；（2）如果有界閉區(qū)域V上的有界函數(shù)f（x，y，z）的間斷點(diǎn)集中在有限多個零體積的曲面上，則f（x，y，z）在V上必可積。2.5.3定理若函數(shù)f（x，y，z）在長方體V=【a，b】*【c，d】*【e，h】上的三重積分存在，且對任何x?【a，b】，二重積分I（x）=存在，其中D=【c，d】*【e，h】，則積分也存在，且（1）證明：用平行于坐標(biāo)面的平面網(wǎng)T作分割，它把V分成有限個小長方體設(shè)，分別為f（x，y，z）在上的上，下確界.對于上任一點(diǎn)，在上有現(xiàn)按下標(biāo)j，k相加，則有及上述不等式兩邊是分割T的下和與上和.由于f（x，y，z）在V上可積，當(dāng)‖T‖→0時，下和與上和具有相同的極限，所以由上式的I（x）在【a，b】上可積，且若把（1）式右邊的二重積分可化為累次積分來計(jì)算，于是我們就能把（1）式左邊的三重