高中數(shù)學(xué)知識點易錯點梳理八解析幾何

PAGEPAGE6高中數(shù)學(xué)知識點易錯點梳理八解析幾何第18題（解幾綜合題）——從平幾中尋突破到解幾中找關(guān)系解析幾何：近幾年江蘇高考對解析幾何內(nèi)容的考查主要集中在如下幾個類型：1、求曲線方程，適當(dāng)關(guān)注點的軌跡問題，尤其是一些根據(jù)定義求解的簡單問題；2、位置問題(含切線問題)；3、定點定值問題、最值問題；4、范圍問題，以上這些問題由于綜合性較強，所以備受高考命題者的青睞，常用來考察學(xué)生在數(shù)形結(jié)合、等價轉(zhuǎn)化、分類討論、邏輯推理等方面的能力．解析幾何復(fù)習(xí)中要以直線和圓、圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為重點，要重視體現(xiàn)解析幾何基本思想的問題的學(xué)習(xí)，重視以橢圓為背景的圓的問題的學(xué)習(xí)．另外，解析幾何的運算量很大，忌諱不利用定義、圖形的幾何特征瞎算．18.1、圓錐曲線中的精要結(jié)論：1.焦半徑：(1)橢圓：；（左“+”右“-”）；(2)拋物線：2.弦長公式：；【注】：(1)焦點弦長：=1\*romani．橢圓：；=2\*romanii．拋物線：＝；(2)通徑（最短弦）：=1\*romani．橢圓、雙曲線：；=2\*romanii．拋物線：.3.過兩點的橢圓、雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程可設(shè)為：（同時大于0時表示橢圓，時表示雙曲線）；4.橢圓中的結(jié)論：(1)內(nèi)接矩形最大面積：；(2)P，Q為橢圓上任意兩點，且，則；(3)橢圓焦點三角形：，（）；(4)當(dāng)點與橢圓短軸頂點重合時最大；(5)共離心率的橢圓系的方程：橢圓的離心率是，方程是大于0的參數(shù)，的離心率也是，我們稱此方程為共離心率的橢圓系方程．5.雙曲線中的結(jié)論：(1)雙曲線（）的漸近線：；(2)共漸近線的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為為參數(shù)，≠0）；(3)雙曲線焦點三角形：，（）；(4)等軸雙曲線：雙曲線稱為等軸雙曲線，其漸近線方程為(漸近線互相垂直)，離心率．(5)共漸近線的雙曲線系方程：的漸近線方程為如果雙曲線的漸近線為時，它的雙曲線方程可設(shè)為．(6)雙曲線一個焦點到一條漸近線的距離等于b．6.拋物線中的結(jié)論：(1)拋物線的焦點弦性質(zhì)：=1\*romani．；；=2\*romanii．；=3\*romaniii．以為直徑的圓與準(zhǔn)線相切；=4\*romaniv．以（或）為直徑的圓與軸相切；=5\*romanv．.(2)拋物線內(nèi)結(jié)直角三角形的性質(zhì)：=1\*romani．；=2\*romanii．恒過定點；=3\*romaniii．中點軌跡方程：；=4\*romaniv．，則軌跡方程為：；=5\*romanv．.(3)拋物線，對稱軸上一定點，則：=1\*romani．當(dāng)時，頂點到點距離最小，最小值為；=2\*romanii．當(dāng)時，拋物線上有關(guān)于軸對稱的兩點到點距離最小，最小值為.18.2、兩個常見的曲線系方程(1)過曲線,的交點的曲線系方程是(為參數(shù)).(2)共焦點的有心圓錐曲線系方程,其中.當(dāng)時,表示橢圓；當(dāng)時,表示雙曲線.18.3、解析幾何與向量綜合時可能出現(xiàn)的向量內(nèi)容：（1）；在中，給出，則是中邊的中線；（2）給出，即已知是的中點；（3）給出以下情形之一：①；②存在實數(shù)；③若存在實數(shù)，等于已知三點共線.（4）給出，等于已知，即是直角，給出，等于已知是鈍角，給出，等于已知是銳角；（5）給出，等于已知是的平分線；（6）在平行四邊形中，給出，等于已知是菱形；（7）在平行四邊形中，給出，等于已知是矩形；（8）在中，給出，則通過的內(nèi)心；18.4、解題規(guī)律盤點1、交點①直線與圓錐曲線交于不同的兩點：直線與二次曲線聯(lián)立，當(dāng)二次項系數(shù)不為0時，，與二次曲線聯(lián)立，；②直線與圓錐曲線相切：直線與二次曲線聯(lián)立，③直線與二次曲線有一個公共點：二次項系數(shù)為0，表示平行于漸近線的兩條直線；二次項系數(shù)為0，△=0二次項系數(shù)為0，表示平行于對稱軸的一條直線；二次曲線不為0，△=0(2)定點處理思路；(3)①設(shè)參數(shù)方程；橢圓的參數(shù)方程是：；圓的參數(shù)方程：以簡化計算.2、直線(1)設(shè)直線方程分斜率存在、不存在兩種情況討論．如果什么信息也沒有：討論斜率不存在情形，當(dāng)斜率存在時，往往設(shè)為斜截式：；巧設(shè)直線方程回避討論及運算等問題當(dāng)直線過定點時，若設(shè)成有時會出現(xiàn)下列情況：(=1\*romani)容易忽視斜率不存在的情形；(=2\*romanii)運算較繁，有時還會陷入僵局.(2)過軸上一點的直線一般設(shè)為可以避免對斜率是否存在的討論圓外一點引兩條長度相等的割線，割線長度不等于直徑圓外一點引切線（斜率不存在）(3)兩解問題：圓外一點引兩條長度相等的割線，割線長度不等于直徑圓外一點引切線（斜率不存在）截得平行線的弦長是定值截得平行線的弦長是定值相等（斜率不存在）3、角(1)余弦定理;(2)向量的夾角公式4、直線與圓錐曲線(1)直線與圓錐曲線問題解法：1.直接法（通法）：聯(lián)立直線與圓錐曲線方程，構(gòu)造一元二次方程求解.【運算規(guī)律】：直線與圓錐曲線位置關(guān)系運算程式【后話】:聯(lián)立直線與圓錐曲線方程，構(gòu)造一元二次方程求解時，注意以下問題：①聯(lián)立的關(guān)于“”還是關(guān)于“”的一元二次方程？②二次項系數(shù)系數(shù)為0的情況討論了嗎？③直線斜率不存在時考慮了嗎？④判別式驗證了嗎？2.設(shè)而不求（點差法）——處理弦中點與直線斜率問題步驟如下：已知曲線，①設(shè)點、中點為，②作差得；；對拋物線有.【細(xì)節(jié)盤點】*1.用直線和圓錐曲線方程消元得二次方程后，注意用判別式、韋達定理、弦長公式；注意對參數(shù)分類討論和數(shù)形結(jié)合、設(shè)而不求思想的運用；注意焦點弦可用焦半徑公式，其它用弦長公式.*2.在直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題中，常與“弦”相關(guān)，“平行弦”問題的關(guān)鍵是“斜率”、“中點弦”問題關(guān)鍵是“韋達定理”或“小小直角三角形”或“點差法”、“長度(弦長)”問題關(guān)鍵是長度(弦長)公式或“小小直角三角形”.*3.在直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題中，涉及到“交點”時，轉(zhuǎn)化為函數(shù)有解問題；先驗證因所設(shè)直線斜率存在，造成交點漏解情況，接著聯(lián)立方程組，然后考慮消元建立關(guān)于的方程還是的方程，接著討論方程二次項系數(shù)為零的情況，再對二次方程判別式進行分析，即時，直線與曲線相切，……*4.求解直線與圓錐曲線的“弦長”、“交點”問題時，必要條件（注意判別式失控情況）是他們構(gòu)成的方程組有實數(shù)解，當(dāng)出現(xiàn)一元二次方程時，務(wù)必先有“”.求解直線與圓錐曲線的其它問題時，如涉及到二次方程問題，必須優(yōu)先考慮“二次項系數(shù)”與“判別式”問題.*5.解決直線與圓的關(guān)系問題時，要充分發(fā)揮圓的平面幾何性質(zhì)的作用(如半徑、半弦長、弦心距構(gòu)成直角三角形，切線長定理、割線定理、弦切角定理等等).*6.韋達定理在解幾中的應(yīng)用：①求弦長；②判定曲線交點的個數(shù)；③求弦中點坐標(biāo)；④求曲線的方程.(2)直線與圓錐曲線相交的弦長公式:或【注】：弦端點A，由方程消去y得到，,為直線的傾斜角，為直線的斜率，.(3)拋物線的切線方程①拋物線上一點處的切線方程是.②過拋物線外一點所引兩條切線的切點弦方程是.③拋物線與直線相切的條件是.5、幾何定值、極值問題幾何極值問題實際上就是以幾何條件出現(xiàn)的極值問題，通常運用幾何中的有關(guān)不等式和定理解決，有時運用“對角”變換及局部調(diào)整法，有時運用三角方法，如有關(guān)三角函數(shù)性質(zhì)、正弦定理、三角形面積公式等轉(zhuǎn)化為三角極值問題解決.有關(guān)面積與周長的極值問題除了運用有關(guān)面積的幾何知識外，常常需要用如下結(jié)論：①周長一定的三角形中，以正三角形的面積最大；②周長一定的矩形中，以正方形面積最大；③面積一定的三角形中，以正三角形的周長最?。虎苤荛L一定的平面曲線中，圓所圍成的面積最大；⑤在面積一定的閉曲線中，圓的周長最?。虎拊谶呴L分別相等的多邊形中，以圓內(nèi)接多邊形的面積最大；⑦在等周長的邊形中，以圓內(nèi)接多邊形的面積最大；⑧在面積一定的邊形中，正邊形的周長最小.幾何定值問題主要是研究和解決變動的圖形中某些幾何元素的幾何量保持不變，或幾何元素的和諧幾何性質(zhì)或位置保持不變等問題.常見的幾何定值中的定量問題為定角、定長（線段長、周長、距離之和等）、定比（線段比、面積比）、定積（面積、線段積）等.常見的幾何定值中的定位問題為過定點、過定直線等.幾何定值問題可以分為兩類：一類是絕對的定值問題，即需要證明的定值為一確定的常數(shù).這種定值為所給圖形的位置、大小、形狀無關(guān)；另一類是相對定值問題，即要證明的定值與題設(shè)圖形中的某些定量有關(guān)，這種定值是隨題設(shè)圖形的位置、大小和形狀的變化而改變的，因此，只有相對的意義，也就是證明題推斷的幾何量可以用題設(shè)已知量的某種確定的關(guān)系來表示.解決定值問題常用的處理思路和方法：（1）利用綜合法證明時，需要改變題目的形式，把一般定值題轉(zhuǎn)化為特殊情況，因此，常作輔助圖形；其次要明確圖形中哪些元素是固定元素，哪些量是定量，分析問題時要圍繞著固定元素和定量進行，把定值固定在已知量上；（2）利用參數(shù)法證明時，要根據(jù)題設(shè)的條件，選取適當(dāng)?shù)膮?shù)，然后將所要證明的定值用參數(shù)表示出來，最后消去參數(shù)，便求得用常量表示的定值；（3）利用計算法證明時，通常借助于正、余弦定理或坐標(biāo)法將有關(guān)量用某些特定的量表示出來，再通過計算證明所求的式子的值為定值；（4）綜合運用幾何、代數(shù)、三角知識證題.6、求軌跡方程的常用方法：⑴直接法：直接通過建立、之間的關(guān)系，構(gòu)成，是求軌跡的最基本的方法.⑵待定系數(shù)法：可先根據(jù)條件設(shè)所求曲線的方程，再由條件確定其待定系數(shù)，代回所列的方程即可.⑶代入法(相關(guān)點法或轉(zhuǎn)移法).⑷定義法：如果能夠確定動點的軌跡滿足某已知曲線的定義，則可由曲線的定義直接寫出方程.⑸交軌法(參數(shù)法)：當(dāng)動點坐標(biāo)之間的關(guān)系不易直接找到，也沒有相關(guān)動點可用時，可考慮將、均用一中間變量(參數(shù))表示，得參數(shù)方程，再消去參數(shù)得普通方程.7、定義解題①橢圓：第一定義：平面上一動點P到平面上兩個定點F1