20140420等差數(shù)列的性質(zhì)總結(jié)

PAGEPAGE6等差數(shù)列的性質(zhì)總結(jié)1.等差數(shù)列的定義：（d為常數(shù)）（）；2．等差數(shù)列通項(xiàng)公式：，首項(xiàng):，公差:d，末項(xiàng):推廣：．從而；3．等差中項(xiàng)（1）如果，，成等差數(shù)列，那么叫做與的等差中項(xiàng)．即：或（2）等差中項(xiàng)：數(shù)列是等差數(shù)列4．等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：（其中A、B是常數(shù)，所以當(dāng)d≠0時(shí)，Sn是關(guān)于n的二次式且常數(shù)項(xiàng)為0）特別地，當(dāng)項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)時(shí)，是項(xiàng)數(shù)為2n+1的等差數(shù)列的中間項(xiàng)（項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列的各項(xiàng)和等于項(xiàng)數(shù)乘以中間項(xiàng)）5．等差數(shù)列的判定方法（1）定義法：若或(常數(shù))是等差數(shù)列．（2）等差中項(xiàng)：數(shù)列是等差數(shù)列．⑶數(shù)列是等差數(shù)列（其中是常數(shù)）。（4）數(shù)列是等差數(shù)列,（其中A、B是常數(shù)）。6．等差數(shù)列的證明方法定義法：若或(常數(shù))是等差數(shù)列．7.提醒：（1）等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前和公式中，涉及到5個(gè)元素：、、、及，其中、稱作為基本元素。只要已知這5個(gè)元素中的任意3個(gè)，便可求出其余2個(gè)，即知3求2。（2）設(shè)項(xiàng)技巧：①一般可設(shè)通項(xiàng)②奇數(shù)個(gè)數(shù)成等差，可設(shè)為…，…（公差為）；③偶數(shù)個(gè)數(shù)成等差，可設(shè)為…，,…（注意；公差為2）8..等差數(shù)列的性質(zhì)：（1）當(dāng)公差時(shí)，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是關(guān)于的一次函數(shù)，且斜率為公差；前和是關(guān)于的二次函數(shù)且常數(shù)項(xiàng)為0.（2）若公差，則為遞增等差數(shù)列，若公差，則為遞減等差數(shù)列，若公差，則為常數(shù)列。（3）當(dāng)時(shí),則有，特別地，當(dāng)時(shí)，則有.注：，（4）若、為等差數(shù)列，則都為等差數(shù)列(5)若{}是等差數(shù)列，則，…也成等差數(shù)列（6）數(shù)列為等差數(shù)列,每隔k(k)項(xiàng)取出一項(xiàng)()仍為等差數(shù)列（7）設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列，d為公差，是奇數(shù)項(xiàng)的和，是偶數(shù)項(xiàng)項(xiàng)的和，是前n項(xiàng)的和1.當(dāng)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)時(shí)，2、當(dāng)項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)時(shí)，則（其中是項(xiàng)數(shù)為2n+1的等差數(shù)列的中間項(xiàng)）．（8）、的前和分別為、，且，則.（9）等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，前m項(xiàng)和，則前m+n項(xiàng)和(10)求的最值法一：因等差數(shù)列前項(xiàng)和是關(guān)于的二次函數(shù)，故可轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值，但要注意數(shù)列的特殊性。法二：（1）“首正”的遞減等差數(shù)列中，前項(xiàng)和的最大值是所有非負(fù)項(xiàng)之和即當(dāng)由可得達(dá)到最大值時(shí)的值．（2）“首負(fù)”的遞增等差數(shù)列中，前項(xiàng)和的最小值是所有非正項(xiàng)之和。即當(dāng)由可得達(dá)到最小值時(shí)的值．或求中正負(fù)分界項(xiàng)法三：直接利用二次函數(shù)的對(duì)稱性：由于等差數(shù)列前n項(xiàng)和的圖像是過(guò)原點(diǎn)的二次函數(shù)，故n取離二次函數(shù)對(duì)稱軸最近的整數(shù)時(shí)，取最大值（或最小值）。若Sp=Sq則其對(duì)稱軸為注意：解決等差數(shù)列問(wèn)題時(shí)，通?？紤]兩類(lèi)方法：①基本量法：即運(yùn)用條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于和的方程；②巧妙運(yùn)用等差數(shù)列的性質(zhì)，一般地運(yùn)用性質(zhì)可以化繁為簡(jiǎn)，減少運(yùn)算量．［例1］在等差數(shù)列{an}中，（1）已知a2＋a5＋a12＋a15＝36，求S16（2）已知a6＝20，求S11.［例2］有一項(xiàng)數(shù)為2n＋1的等差數(shù)列，求它的奇數(shù)項(xiàng)之和與偶數(shù)項(xiàng)之和的比.［例3］若兩個(gè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和之比是（7n＋1）∶(4n＋27)，試求它們的第11項(xiàng)之比.［例4］等差數(shù)列{an}的前m項(xiàng)和為30，前2m項(xiàng)和為100，則它的前3A.30 B.170C.210 [例5]在a，b之間插入10個(gè)數(shù)，使它們同這兩個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，求這10個(gè)數(shù)的和.［例6］在凸多邊形中，已知它的內(nèi)角度數(shù)組成公差為5°的等差數(shù)列，且最小角是120°，試問(wèn)它是幾邊形？［例7］求集合M＝{m｜m＝7n，n∈N*，且m＜100}的元素個(gè)數(shù)，并求這些元素的和.［例8］已知一個(gè)等差數(shù)列的前10項(xiàng)的和是310，前20項(xiàng)的和是1220，由此可以確定求其前n項(xiàng)和的公式嗎?［例9］已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)和.求證：S6，S12－S6，S18－S12成等差數(shù)列，設(shè)其k∈N*，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k成等差數(shù)列嗎?［例10］已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，a1＞0，S9＝S17，試問(wèn)n為何值時(shí)，數(shù)列的前n項(xiàng)和最大？最大值為多少？［例11］在數(shù)列{an}中，a1＝1，an+1＝eq\f(2an,an＋2)，求數(shù)列{anan+1}的前n項(xiàng)和.［例12］設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a3＝12，S12＞0，S13＜0.(1)求公差d的取值范圍；（2）指出S1，S2，…，S12中哪一個(gè)值最大？并說(shuō)明理由.［例13］首項(xiàng)為正數(shù)的等差數(shù)列{an}，它的前三項(xiàng)之和與前十一項(xiàng)之和相等，問(wèn)此數(shù)列前多少項(xiàng)之和最大？［例14］數(shù)列{an}是等差數(shù)列，a1＝50，d＝－0.6.(1)求從第n項(xiàng)開(kāi)始有an<0；(2)求此數(shù)列的前n項(xiàng)和的最大值.二、經(jīng)典例題導(dǎo)講等差數(shù)列：[例1]已知數(shù)列1，4，7，10，…，3n+7,其中后一項(xiàng)比前一項(xiàng)大3.（1）指出這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）指出1+4+…+（3n－5）是該數(shù)列的前幾項(xiàng)之和.[例2]已知數(shù)列的前n項(xiàng)之和為①②求數(shù)列的通項(xiàng)公式。[例3]已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)之和記為Sn，S10=10，S30=70，則S40等于。[例4]等差數(shù)列、的前n項(xiàng)和為Sn、Tn.若求；[例5]已知一個(gè)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an=25