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第8章經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ?/p>

【考試內(nèi)容】

8.1數(shù)據(jù)類型

完整數(shù)據(jù)非完整數(shù)據(jù)

8.2完整數(shù)據(jù)情況下的經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)估計(jì)

個(gè)體數(shù)據(jù)分組數(shù)據(jù)

8.3非完整數(shù)據(jù)情況下的經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)估計(jì)

風(fēng)險(xiǎn)集

Kaplan-Meier乘積極限估計(jì)危險(xiǎn)率函數(shù)的Nelson-Aalen估計(jì)

8.4核密度估計(jì)

核函數(shù)與核密度估計(jì)常見的核函數(shù)帶寬對(duì)估計(jì)的影晌

8.5大樣本數(shù)據(jù)下的經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)估計(jì)

Kaplan-Meier近似多元衰減表

【要點(diǎn)詳解】

§8.1數(shù)據(jù)類型

1．完整數(shù)據(jù)

完整數(shù)據(jù)：能夠?qū)Ω怕史植嫉娜我恻c(diǎn)收集數(shù)據(jù)，并且能夠記錄每個(gè)觀測(cè)值。

完整個(gè)體數(shù)據(jù)：得到每個(gè)觀測(cè)值本質(zhì)上的精確值。

分組數(shù)據(jù)：當(dāng)個(gè)體數(shù)據(jù)量過多，對(duì)觀測(cè)值進(jìn)行分組，只記錄觀測(cè)值所屬的分組，得到的數(shù)據(jù)。

2．非完整數(shù)據(jù)

非完整數(shù)據(jù)產(chǎn)生的原因有兩種：刪失或截?cái)唷?/p>

刪失數(shù)據(jù)：通常情況下對(duì)屬于某一范圍內(nèi)的數(shù)據(jù)記錄其精確值，如果對(duì)超出該范圍的數(shù)據(jù)只記錄其所屬的范圍而得到的數(shù)據(jù)。

截?cái)鄶?shù)據(jù)：對(duì)超出該范圍的數(shù)據(jù)不作記錄而得到的數(shù)據(jù)。

左刪失數(shù)據(jù)：只知道觀測(cè)值在某個(gè)給定值之下而不知道其具體值；

右刪失數(shù)據(jù)：只知道觀測(cè)值在某個(gè)給定值之上不知道其具體值。

左截?cái)鄶?shù)據(jù)：對(duì)低于某個(gè)給定值的觀測(cè)值不作記錄；

右截?cái)鄶?shù)據(jù)：對(duì)高于某個(gè)給定值的觀測(cè)值不作記錄。

§8.2完整數(shù)據(jù)情況下的經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)估計(jì)

1．個(gè)體數(shù)據(jù)

（1）經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)

①數(shù)據(jù)依賴型分布：是一種非參數(shù)分布，它的復(fù)雜程度至少與產(chǎn)生它的數(shù)據(jù)或者其他信息相當(dāng)，并且其參數(shù)個(gè)數(shù)會(huì)隨著數(shù)據(jù)點(diǎn)或者信息量的增加而增加。如經(jīng)驗(yàn)分布。

②經(jīng)驗(yàn)分布研究某總體分布函數(shù)，從中抽取一個(gè)樣本量為n的數(shù)據(jù)集，假設(shè)每個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)的概率為l/n，觀測(cè)值xi中可能包括相同的數(shù)值，記其中有k個(gè)不同的數(shù)值，y1<y2<…<yk，并且記sj=#{xi：xi=yi}表示取值yi的觀測(cè)值的個(gè)數(shù)，則得到經(jīng)驗(yàn)分布：其中：I(?)為示性函數(shù)，#A表示集合A中元素的個(gè)數(shù)。

③經(jīng)驗(yàn)分布概率函數(shù)pn(x)定義為取值x的觀測(cè)值的個(gè)數(shù)，則并且pn(x)和Fn(x)的關(guān)系為：

（2）風(fēng)險(xiǎn)集與經(jīng)驗(yàn)生存函數(shù)

經(jīng)驗(yàn)生存函數(shù)Sn(x)：對(duì)生存時(shí)間大于x的概率的估計(jì)，即大于x的觀測(cè)值占總體數(shù)據(jù)集的比例。定義為在觀測(cè)值yj處的風(fēng)險(xiǎn)集：指不小于yj的觀測(cè)值組成的集合，記做：

（3）經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)的統(tǒng)計(jì)分析

①經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)Fn(x)的相合性由于從而因此：，經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)Fn(x)是對(duì)總體分布F(x)函數(shù)的無偏一致估計(jì)量。方差的估計(jì)為：

②經(jīng)驗(yàn)生存函數(shù)的相合性即經(jīng)驗(yàn)生存函數(shù)是相合的。方差的估計(jì)：

③概率p的估計(jì)概率p的經(jīng)驗(yàn)估計(jì)為，從而，即估計(jì)量是相合的。近似地服從正態(tài)分布：近似置信區(qū)間為：

例題8.1~8.2的條件如下：從t=0開始觀察一個(gè)由8人組成的團(tuán)體，直到他們?nèi)克劳觯瑑H記錄發(fā)生死亡的時(shí)間（以天為單位）。假設(shè)t=0的初始事件發(fā)生在一天的中點(diǎn)，死亡事件也發(fā)生在那天的中點(diǎn)，那么，所有的生存期限均為整數(shù)。所觀察的生存期限為3，4，5，5，7，10，10，12。So(t)是觀察的樣本空間的經(jīng)驗(yàn)生存函數(shù)。

【例題8.1】利用So(t)估計(jì)S(t)，則S(5)、S(12)的估計(jì)量分別為（）。

A．0.125，0

B．0.125，0.125

C．0.375，0

D．0.375，0.125

E．0.500，0

【答案】E

【解析】由于So(t)是右連續(xù)的，t=5時(shí)，，而t8=12是最后一次死亡事件發(fā)生的時(shí)間，則So(12)=0。So(t)的圖形如下圖所示。

【例題8.2】（1）若樣本的生存分布為區(qū)間(0，15]上的均勻分布，則Var[So(6)]=

；（2）若沒有均勻分布的假設(shè)，則估計(jì)值Var[So(6)]=

。（）

A．0.03，0.03125

B．0.03，0.045

C．0.03125，0.03

D．0.03125，0.045

E．0.045，0.03125

【答案】A

【解析】（1）隨機(jī)變量T在區(qū)間(0，15]上服從均勻分布，則，故：（2）由樣本的觀察值得：So(6)=0.5，故：

【例題8.3】數(shù)據(jù)集收集了2009~2011年間94935個(gè)駕駛員每人每年出現(xiàn)交通事故數(shù)的數(shù)據(jù)，如下表所示。基于數(shù)據(jù)集可計(jì)算得到p(2)的經(jīng)驗(yàn)估計(jì)及該估計(jì)量的方差分別為(

)。Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．Ｅ．

【答案】C

【解析】的經(jīng)驗(yàn)估計(jì)為其方差的估計(jì)值為

2．分組數(shù)據(jù)

（1）卵形線和直方圖

經(jīng)驗(yàn)分布光滑曲線（簡(jiǎn)稱卵形線）：為了計(jì)算分布函數(shù)在任意觀測(cè)處的取值，采用線性插值法，得到的估計(jì)值。計(jì)算公式為：

直方圖：人為定義的右連續(xù)的密度函數(shù)。計(jì)算公式為：

（2）密度估計(jì)的性質(zhì)

①觀測(cè)值個(gè)數(shù)

?分布設(shè)Nj表示落在cj-1和cj之間的觀測(cè)值個(gè)數(shù)。N1，N2，…，Nk服從聯(lián)合多項(xiàng)分布，其聯(lián)合概率函數(shù)為：從而其邊際分布為二項(xiàng)分布：

?期望和方差在時(shí)刻cj-1前死亡的總?cè)藬?shù)的分布為：因此

②分布函數(shù)的期望和方差由式知

③密度函數(shù)期望和方差由式知的估計(jì)值為：

【例題8.4】下表是一組普通責(zé)任保險(xiǎn)保單的227例賠案的賠付額的觀測(cè)值，則S(10000)和f(10000)的估計(jì)值以及這兩個(gè)估計(jì)值的方差分別為（）。Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．Ｅ．

【答案】B

【解析】S(10000)和f(10000)的點(diǎn)估計(jì)分別為方差估計(jì)分別為

§8.3非完整數(shù)據(jù)情況下的經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)估計(jì)

1．風(fēng)險(xiǎn)集

（1）對(duì)于個(gè)體數(shù)據(jù)，必須考慮的兩個(gè)因素是：

①數(shù)據(jù)觀測(cè)值的截?cái)帱c(diǎn)，用dj表示，如果沒有截?cái)喟l(fā)生，則dj=0。

②數(shù)據(jù)觀測(cè)值本身。如果該數(shù)據(jù)是刪失值，將其值記為uj，否則記為xj。（2）風(fēng)險(xiǎn)集：由那些在指定年齡仍處于被觀察狀態(tài)的個(gè)體構(gòu)成。

?在觀測(cè)值yi時(shí)刻的風(fēng)險(xiǎn)集包括：

①死亡時(shí)間在yj或yj以后的個(gè)體；

②刪失時(shí)間在yj或yj以后的個(gè)體。

?風(fēng)險(xiǎn)集大小的計(jì)算對(duì)于在yj以后才首次被觀測(cè)到的個(gè)體，認(rèn)為其在時(shí)刻yj并沒有處于被觀測(cè)狀態(tài)。因此，風(fēng)險(xiǎn)集大小的計(jì)算公式為：

或者遞推公式：其中規(guī)定r0=0。

2．Kaplan-Meier乘積極限估計(jì)

（1）Kaplan-Meier估計(jì)的推導(dǎo)

Kaplan-Meier乘積極限公式：對(duì)于個(gè)體在yk以前被刪失，在yk以后的生存函數(shù)無法估計(jì)的情況有三種解決方法：

①取最后得到的函數(shù)值作為S(t)的估計(jì)這種方法得到的估計(jì)量是有偏的，而且當(dāng)sk<rk時(shí)，利用生存函數(shù)求取分布的矩時(shí)所作的廣義積分發(fā)散；

②規(guī)定在yk以后的所有取值都為0這種方法得到的估計(jì)量也是有偏的，但是可以用于計(jì)算各階矩；

③選擇一條指數(shù)函數(shù)衰減的曲線去擬合yk以后的生存函數(shù)由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，此時(shí)的經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)對(duì)各階矩的積分都是收斂的。

（2）方差估計(jì)

①Kaplan-Meier公式本質(zhì)上分為如下兩個(gè)步驟：

?將生存函數(shù)分解成一系列條件概率的乘積，再對(duì)每個(gè)條件概率進(jìn)行估計(jì)，即：

?構(gòu)造每一個(gè)條件概率的無偏估計(jì)同時(shí)在指定的死亡時(shí)刻yj處的生存概率估計(jì)值Sn(yj)是無偏的，在沒有死亡事件發(fā)生的時(shí)刻，生存概率S(t)的估計(jì)值是有偏的，偏誤為：

②計(jì)算在死亡時(shí)刻yj處估計(jì)量的方差需要用到的兩個(gè)性質(zhì)：

?設(shè)X1，X2，…，Xn是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，E(Xi)=μi，Var(Xi)=σi2。則有

?若ai，i=1，2，…，n相對(duì)于某一常數(shù)p均為高階無窮小，ai~o(p)，則

③方差計(jì)算由以上兩條性質(zhì)，近似計(jì)算方差：由于是的估計(jì)，得到Greenwood近似公式拓展到一般時(shí)刻t的情形：

對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)換的置信區(qū)間估計(jì)的S(t)的置信區(qū)間端點(diǎn)為：使得到的區(qū)間總在(0，1)之內(nèi)。

【例題8.5】觀察由10名100歲的老人組成的研究對(duì)象，觀察到在時(shí)間2有1人死亡，在時(shí)間4.5有1人死亡，在時(shí)間4有x人退出，若用乘積估計(jì)法估計(jì)

，則x=（）。

A．2

B．3

C．4

D．5

E．6

【答案】B

【解析】依題意作下圖所示劃分，其中向下箭頭表退出，×表示死亡。死亡、退出示意圖則有：

，解得：x=3。

【例題8.6】在0到1年的區(qū)間中，面對(duì)死亡威脅的個(gè)體數(shù)(r)為15，身故個(gè)體數(shù)(s)為3；在1到2年的區(qū)間中，面對(duì)死亡威脅的個(gè)體數(shù)和身故個(gè)體數(shù)分別為80和24；在2到3年的區(qū)間中，這2個(gè)量分別為25和5；在3到4年的區(qū)間中，這2個(gè)量變成60和6；在4到5年的區(qū)間中，這2個(gè)量是10和3，則用Greenwood近似公式計(jì)算的方差為（）。Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．Ｅ．

【答案】D

【解析】本題風(fēng)險(xiǎn)集計(jì)算如下表所示。利用乘積極限公式，有則利用Greenwood公式計(jì)算的方差為：

3．危險(xiǎn)率函數(shù)的Nelson-Aalen估計(jì)

?累積危險(xiǎn)率函數(shù)H(t)的Nelson-Aalen估計(jì)值：

?生存函數(shù)的Nelson-Aalen估計(jì)值為：

?對(duì)一般的時(shí)間t，Nelson-Aalen估計(jì)的方差為：

?H(t)的線性置信區(qū)間為：

其對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)換的置信區(qū)間為：

【例題8.7】在完整數(shù)據(jù)研究中，恰在第2次死亡之后的累積危險(xiǎn)率函數(shù)H(t)的Nelson-Aalen估計(jì)量為11/30，則恰在第4次死亡后的H(t)的估計(jì)量為（）。

A．0.37

B．0.60

C．0.63

D．0.95

E．0.98

【答案】D

【解析】在第2次死亡后，，其中n為初始樣本容量，由已知條件得，即

11n2－71n+30=0，解得：n=6（其中n=5/11舍去）。

故。

【例題8.8】在一完整數(shù)據(jù)研究中，初始樣本容量n=10，S(12)的乘積極限估計(jì)為，并且每次死亡均發(fā)生在不同的時(shí)點(diǎn)上，則S(12)的Nelson-Aalen估計(jì)量為（）。

A．0.28546

B．0.33611

C．0.62157

D．0.66389

E．0.71454

【答案】E

【解析】因?yàn)槭峭暾麛?shù)據(jù)，則S(12)的乘積極限估計(jì)為，所以在t=12時(shí)，有7個(gè)生存者。即t=12以前發(fā)生了3次死亡，于是H(12)的Nelson-Aalen估計(jì)量為：故。

§8.4核密度估計(jì)

1．核函數(shù)與核密度估計(jì)

?核密度估計(jì)的估計(jì)量假設(shè)完整的數(shù)據(jù)集為{x1，x2,，…，xn}，其中包括不同的數(shù)值為y1<y2<…<yk，記sj=#{xi：xi=yj}表示取值yj的觀察值的個(gè)數(shù)。

核密度估計(jì)法使用連續(xù)隨機(jī)變量來替代每個(gè)離散的點(diǎn)，使用核函數(shù)k(?)進(jìn)行核密度估計(jì)的估計(jì)量是：其中h是帶寬，是尺度變換后的核函數(shù)。

?核密度估計(jì)的估計(jì)量的另一種表達(dá)式如果用y1<y2<…<yk來表示，上式也可寫做：。使得成為密度函數(shù)的充要條件是用于加權(quán)的核函數(shù)kh(·)是一個(gè)密度函數(shù)。

?分布函數(shù)的核密度估計(jì)由密度函數(shù)的核密度估計(jì)，可以得到分布函數(shù)的核密度估計(jì)。當(dāng)k(?)是對(duì)稱分布時(shí)，其中，Kh(·)是密度函數(shù)kh(·)對(duì)應(yīng)的分布函數(shù)：。

【例題8.9】下面是10個(gè)觀察者的死亡年齡：38、40、46、46、48、50、56、58、60、62，使用帶寬為10的均勻核函數(shù)，則活過51歲的概率的核密度估計(jì)為（）。

A．0.425

B．0.445

C．0.465

D．0.485

E．0.515

【答案】D

【解析】設(shè)觀察者的死亡年齡為X，則估計(jì)概率為對(duì)于估計(jì)，需要考慮38，40，46，48，50，56，58，60，且它們的權(quán)重函數(shù)分別為可得：

所以活過51歲的概率的核密度估計(jì)為。

2．常見的核函數(shù)

（1）均勻核函數(shù)一般的均勻核函數(shù)為：它對(duì)應(yīng)了[-h，h]上的均勻分布。相應(yīng)地，基于均勻核函數(shù)的密度函數(shù)的核密度估計(jì)為：

分布函數(shù)的核密度估計(jì)為：

（2）三角核函數(shù)一般的三角核函數(shù)為：它對(duì)應(yīng)了[-h，h]上的三角形分布。相應(yīng)地，（3）伽瑪拉函數(shù)伽瑪核函數(shù)是一種特殊的核函數(shù)，它的權(quán)重不是按照樣本點(diǎn)與待估計(jì)點(diǎn)的距離來定義的。對(duì)于每一個(gè)觀測(cè)值xi，用一個(gè)均值為xi的伽瑪分布Г(α，x/α)來代表，其密度函數(shù)為：任意待估計(jì)點(diǎn)x的密度可以通過這樣一族伽瑪分布的平均值得到：在這個(gè)核密度估計(jì)中，參數(shù)α是尺度參數(shù)，α越大對(duì)應(yīng)的估計(jì)越平滑。

【例題8.10】有5位患者從發(fā)病到死亡的時(shí)間的數(shù)據(jù)如下：2、3、3、7、8，用帶寬為1的三角核函數(shù)估計(jì)時(shí)間為2.5時(shí)的密度函數(shù)為（）。

A．0.15

B．0.2

C．0.25

D．0.3

E．0.35

【答案】D

【解析】為了計(jì)算，需要考慮的點(diǎn)是2，3。由一般的三角函數(shù)，其中，得到相應(yīng)的權(quán)重分別為因此。

【例題8.11】設(shè)某總體的分布函數(shù)是F(x)，給定下列樣本數(shù)據(jù)：2.0、3.3、3.3、4.0、4.0、4.7、4.7、4.7，使用帶寬為1.4的均勻核函數(shù)計(jì)算的F(4)的核密度估計(jì)為（）。

A．0.5536

B．0.53125

C．0.4578

D．0.3893

E．0.3557

【答案】B

【解析】對(duì)于，需要考慮的點(diǎn)有2，3.3，4，4.7，根據(jù)，計(jì)算它們的權(quán)重分別為因此。

3．帶寬對(duì)估計(jì)的影響

大的帶寬可以得到更加光滑的結(jié)果，而小的帶寬能夠反映出局部的密度變化。對(duì)于相同的帶寬，采用不同核函數(shù)估計(jì)的結(jié)果相差并不大。理論上，帶寬造成的漸進(jìn)偏差為O(h２)，而漸進(jìn)方差為，因此使估計(jì)偏誤最小的帶寬為，所以樣本量增大，相應(yīng)應(yīng)該選取較小的帶寬。

§8.5大樣本數(shù)據(jù)下的經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)估計(jì)

1．Kaplan-Meier近似

（1）基本假定給定區(qū)間的端點(diǎn)c0<c1<…<ck，令Dj=#{di：cj-1di<cj}是區(qū)間[cj-1，cj)中某個(gè)點(diǎn)的左截?cái)嗟挠^測(cè)值個(gè)數(shù)，Uj=#{ui：cj-1<uicj}表示區(qū)間(cj-1，cj]上某個(gè)點(diǎn)右刪失的觀測(cè)值的個(gè)數(shù)。記(cj-1，cj]中未刪失的觀測(cè)值數(shù)目為Xj。此時(shí)，樣本總量為。

（2）推導(dǎo)過程引入一個(gè)假定的值，并且假設(shè)所有未刪失事件都發(fā)生在cj*處。假設(shè)在[cj-1，cj*)上截?cái)嗟膫€(gè)體數(shù)占[cj-1，cj)上截?cái)鄠€(gè)