應(yīng)力約束下長懸臂桁架的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計

應(yīng)力約束下長懸臂桁架的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計

20世紀(jì)30年代以來，結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題引起了人們的廣泛關(guān)注。目前，主要采用數(shù)值優(yōu)化方法，但只有少數(shù)簡單問題的分析和回答，其中大部分是基于懸臂梁問題的[9、10、11、12、13、14]。從技術(shù)的角度來看，高度分散的綠色能源的類型，如電網(wǎng)塔和天線等，在工程中被廣泛使用。在長期的工程實踐中，人們發(fā)現(xiàn)了優(yōu)化設(shè)計的問題。例如，45的應(yīng)用是合理的結(jié)構(gòu)，但30-60的重量更小。結(jié)構(gòu)是否比30-60的重量小。結(jié)構(gòu)的最小邊界是，如果存在比30-60的結(jié)構(gòu)，即這種結(jié)構(gòu)的性質(zhì)，一般比理論上最優(yōu)的理論解類桿的連續(xù)體積的體積大于主體的體積。結(jié)構(gòu)優(yōu)化研究中的這個重要問題是，該方法采用分析方法，導(dǎo)出這些問題的答案。1腹桿長度n設(shè)桁架結(jié)構(gòu)由n節(jié)構(gòu)成,結(jié)構(gòu)等寬,每節(jié)的尺寸和形狀可以不一樣,如圖1所示.其結(jié)點和脫離體的受力分析,如圖2所示.兩種常見的懸臂梁桁架,如圖3所示.假設(shè)腹桿和上下弦桿的內(nèi)力分別為Ni(i=0,1,…,2n)和Ti(i=1,2,…,n).由圖2(a)中的A0點和圖2(b)中的C1點的平衡條件得Ν0cosα0=Ν1cosα1=F/2.(1)N0cosα0=N1cosα1=F/2.(1)由圖2(c)中的Ai點和圖2(d)中的Ci點的平衡條件得Ν2i-1cosα2i-1=Ν2icosα2i=Ν2i+1cosα2i+1.(2)N2i?1cosα2i?1=N2icosα2i=N2i+1cosα2i+1.(2)由式(1)可得Νi=F2cosαi,i=0,1,2,?,2n.(3)由圖2(e)關(guān)于Ai點力矩平衡條件,可得Τi=Fh2i-1Σj=0aj,i=1,2,?,n.(4)由幾何關(guān)系可知,腹桿的長度li(i=0,1,…,2n)和每節(jié)的長度ai(i=0,1,…,2n)分別為li=h2cosαi,ai=h2tanαi.}(5)2結(jié)構(gòu)的最優(yōu)設(shè)計單工況應(yīng)力約束靜定優(yōu)化結(jié)構(gòu)的各桿是滿應(yīng)力的,所以優(yōu)化的體積是V=2nΣi=0Νiσpli+22nΣi=1Τiσp(a2i-1+a2i),(6)式(6)中,σp是許用應(yīng)力.優(yōu)化問題可以表述為Find{n,ai,Νi(i=0,?,2n),Τj(j=1,?,n)},minV.(7)其約束條件:σi≤σp,2nΣi=1ai=L,平衡條件為式(1),(2).將式(3)～(5)帶入式(6),整理得V=2Fσph[(2n+1)h24+2nΣi=0a2i+nΣi=1(a2i-1+a2i)2i-1Σj=0aj].(8)懸臂梁長L應(yīng)滿足L=2nΣi=0ai.(9)為計算體積V的極值,利用Lagrange乘子引入式(9)的條件,構(gòu)造函數(shù)為f=2Fσph[(2n+1)h24+2nΣi=0a2i+nΣi=1(a2i-1+a2i)2i-1Σj=0aj]+λ[L-2nΣi=0ai],(10)其極值條件為?f?ai=2Fσph{[(2-(-1)i]ai+L}-λ=0,i=0,1,2,?,2n.(11)由式(11)可解得ai=λσph2F-L2-(-1)i,i=0,1,2,?,2n.(12)帶入式(9)中,可解得λ=4(2n+3)FL(4n+3)σph.(13)將式(13)帶入式(12)得到各結(jié)點的位置,即a2i-1=L4n+3,a2i=3L4n+3,i=0,1,2,?,n.(14)因此,可得a2i-1a2i=1/3,i=1,2,?,n.(15)中間結(jié)點位于各節(jié)的1/4位置.將式(14)帶入式(8),并記ˉL=L/h,可得結(jié)構(gòu)體積為V(n,ˉL)=Fh2σp(4ˉL22n+34n+3+2n+1).(16)不同節(jié)數(shù)時,體積關(guān)于桿長的變化規(guī)律如圖4所示.式(16)取極小值的條件是?V?n=phσp[1-12ˉL2(4n+3)2]=0.(17)?2V?n2=96FhˉL2σp(4n+3)3>0.(18)式(18)顯然成立,所以式(16)關(guān)于節(jié)數(shù)n有最小值.由式(17)求解得n=(2√3ˉL-3)/4.(19)當(dāng)然,式(19)不一定是整數(shù).對于圖3(b)結(jié)構(gòu),有α2i-1=30°,α2i=60°,i=0,1,2,?,n.(20)將式(5)帶入式(9)也可以得到式(19).因此,當(dāng)n取整數(shù)時即為圖3(b)結(jié)構(gòu).這也就證明了圖3(b)結(jié)構(gòu)就是最小重量的拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)構(gòu).如果式(19)不是整數(shù),需要選擇一個適當(dāng)?shù)恼麛?shù).為此,作如下分析.對于一個確定的節(jié)數(shù)n,有對應(yīng)的ˉL范圍使得結(jié)構(gòu)體積最小.當(dāng)長度超過某個臨界值ˉLc(n)時,節(jié)數(shù)就應(yīng)該增加到n+1.而在這個臨界值位置,兩個不同節(jié)數(shù)的體積應(yīng)相等,即V(n+1,ˉLc)=V(n,ˉLc),(21)由式(21)解得臨界值為ˉLc(n)=12√(4n+3)(4n-1)3.(22)如上所述,當(dāng)桁架分成n節(jié)并滿足ˉLc(n)<ˉL<ˉLc(n+1)(23)時,體積最小.將式(22)帶入式(23)解得n≤2√3ˉL2+1-14≤n+1?(24)則取n=int[2√3ˉL2+1-14]?(25)式(25)中,int[.]表示向下取整.將式(25)帶入式(16)即得到最小的結(jié)構(gòu)體積.3懸臂梁無限長時的最優(yōu)結(jié)構(gòu)由式(16)可以計算出,當(dāng)ˉL=3時,ˉV=13.9545.文給出的對應(yīng)的類桁架體積ˉV=13.5972,相對誤差為2.6%.這表明類桁架連續(xù)體與對應(yīng)的離散桁架的體積差別不大.這一事實也支持了先構(gòu)造類桁架連續(xù)體,再離散化為桁架的拓?fù)鋬?yōu)化方法的可行性.由式(14)可以計算得腹桿的角度,有α2i-1=arctana2i-1h/2=arctan2ˉL4n+3,i=0,1,2,?,n,α2i=arctana2ih/2=arctan6ˉL4n+3,i=0,1,2,?,n.}(26)腹桿角度關(guān)于桁架長度的變化規(guī)律,如圖5所示.從式(14),(26)可以看出,各節(jié)的長度相同,所有腹桿的角度也相同.因此,結(jié)合式(3)還可以看出,所有腹桿的軸力也相同,但弦桿的軸力與相對自由端的距離成正比.當(dāng)ˉL→∞時,由式(25)可知,ˉn→√3ˉL2.帶入式(26)可得α2i-1→π6,α2i→π3,i=0,1,2,?,n.(27)因此,當(dāng)懸臂梁趨于無限長時,結(jié)構(gòu)趨于圖3(b)桁架.本文拓?fù)鋬?yōu)化桁架與圖3(a)桁架的體積比較結(jié)果,如圖6所示.V45=Fhσp(ˉL2+2ˉL-14),V30=Fhσp(ˉL2+√3ˉL-14).(28)式(28)與文中給出的對應(yīng)的體積公式不同,修正了文中的一個錯誤.從圖6可以看出,兩種桁架的體積區(qū)別不大.計算結(jié)果表明,當(dāng)ˉL=5.5,10.5和15.5時,優(yōu)化結(jié)構(gòu)的體積比圖3(a)的桁架大3.7%,2.2%和1.6%.圖6中的圖3(a)桁架僅計算了幾個離散點的體積值.4桁架的結(jié)構(gòu)本文討論了應(yīng)力約束的自由端受橫向集中力作用下,最小重量(體積)