附錄A-平面圖形的幾何性質(zhì)

附錄A平面圖形的幾何性質(zhì)幾何性質(zhì)的定義平面圖形的幾何性質(zhì)

——反映平面圖形的形狀與尺寸的幾何量如：本章介紹：平面圖形幾何性質(zhì)的定義、計(jì)算方法和性質(zhì)1.在軸向拉（壓）中：2.在扭轉(zhuǎn)中：第一頁(yè)第二頁(yè)，共42頁(yè)。附錄A平面圖形的幾何性質(zhì)§A.1形心和靜矩（目錄）§A.1

形心和靜矩一、靜矩二、形心三、組合圖形的靜矩和形心四、靜矩的性質(zhì)第二頁(yè)第三頁(yè)，共42頁(yè)?！霢.1

形心和靜矩一、靜矩一、靜矩整個(gè)圖形

A

對(duì)

x

軸的靜矩：整個(gè)圖形

A

對(duì)

y

軸的靜矩：ydA——微面積dA對(duì)

x

軸的靜矩xdA——微面積dA對(duì)

y

軸的靜矩定義：（面積矩）其值：+、-、0

單位：m3第三頁(yè)第四頁(yè)，共42頁(yè)?！霢.1

形心和靜矩二、形心二、形心（各分力對(duì)任一軸的力矩之和等于其合力對(duì)同一軸的力矩）有

則

xdA

和

ydA

相當(dāng)于力矩由合力矩定理

將微面積

dA

看作是力第四頁(yè)第五頁(yè)，共42頁(yè)。§A.1

形心和靜矩三、組合圖形的靜矩和形心（組合圖形）三、組合圖形的靜矩和形心

組合圖形——由幾個(gè)簡(jiǎn)單圖形（如矩形、圓形等）

組成的平面圖形如：第五頁(yè)第六頁(yè)，共42頁(yè)?！霢.1

形心和靜矩三、組合圖形的靜矩和形心（1.靜矩；2.形心）1.靜矩2.形心三、組合圖形的靜矩和形心第六頁(yè)第七頁(yè)，共42頁(yè)?！霢.1

形心和靜矩四、靜矩的性質(zhì)（性質(zhì)1）四、靜矩的性質(zhì)形心軸圖形對(duì)形心軸的靜矩為零

——通過圖形形心的反之，圖形對(duì)某軸的靜矩為零，則該軸必為形心軸

性質(zhì)1：

坐標(biāo)軸若第七頁(yè)第八頁(yè)，共42頁(yè)?！霢.1

形心和靜矩例1例1

確定圖示圖形的形心坐標(biāo)解：

取參考坐標(biāo)系xy

性質(zhì)2：對(duì)稱軸必為形心軸第八頁(yè)第九頁(yè)，共42頁(yè)。附錄A平面圖形的幾何性質(zhì)§A.2慣性矩慣性積慣性半徑（目錄）§A.2

慣性矩慣性積慣性半徑一、慣性矩與慣性積二、慣性矩與極慣性矩的關(guān)系三、慣性積的性質(zhì)四、慣性半徑第九頁(yè)第十頁(yè)，共42頁(yè)?！霢.2

慣性矩慣性積慣性半徑一、慣性矩與慣性積（1.慣性矩）一、慣性矩與慣性積整個(gè)圖形

A

對(duì)x

軸的慣性矩整個(gè)圖形

A

對(duì)

y

軸的慣性矩y2dA——微面積dA對(duì)

x

軸的慣性矩x2dA——微面積dA對(duì)

y

軸的慣性矩定義：其值：+

單位：m41.慣性矩第十頁(yè)第十一頁(yè)，共42頁(yè)?！霢.2

慣性矩慣性積慣性半徑一、慣性矩與慣性積（1.慣性積）整個(gè)圖形

A

對(duì)

x

軸和

y

軸的慣性積定義：

xydA——微面積

dA

對(duì)

x

軸和

y

軸的慣性積的坐標(biāo)軸其值：+、-、0

單位：m4假設(shè)：

x

軸和

y

軸為一對(duì)相互垂直一、慣性矩與慣性積2.慣性積第十一頁(yè)第十二頁(yè)，共42頁(yè)。§A.2

慣性矩慣性積慣性半徑二、慣性矩與極慣性矩的關(guān)系（性質(zhì)2）二、慣性矩與極慣性矩的關(guān)系即：平面圖形對(duì)任意一點(diǎn)的極慣性矩等于該圖形對(duì)通過該點(diǎn)的任意一對(duì)相互垂直的坐標(biāo)軸的慣性矩之和性質(zhì)2：若

x

、

y

軸為一對(duì)正交坐標(biāo)軸第十二頁(yè)第十三頁(yè)，共42頁(yè)?！霢.2

慣性矩慣性積慣性半徑二、慣性矩與極慣性矩的關(guān)系（1.矩形截面的慣性矩）1.矩形截面常用圖形的慣性矩：第十三頁(yè)第十四頁(yè)，共42頁(yè)?！霢.2

慣性矩慣性積慣性半徑二、慣性矩與極慣性矩的關(guān)系（2.圓形與環(huán)形截面的慣性矩）2.圓形截面由對(duì)稱性3.環(huán)形截面常用圖形的慣性矩：第十四頁(yè)第十五頁(yè)，共42頁(yè)?！霢.2

慣性矩慣性積慣性半徑三、慣性積的性質(zhì)（性質(zhì)3）三、慣性積的性質(zhì)當(dāng)

x

、

y

軸中有一軸為對(duì)稱軸在一對(duì)正交軸中，只要有一個(gè)對(duì)稱軸，則該圖形對(duì)這對(duì)軸的慣性積為零。性質(zhì)3：第十五頁(yè)第十六頁(yè)，共42頁(yè)?！霢.2

慣性矩慣性積慣性半徑三、慣性積的性質(zhì)（特別指出）慣性矩——對(duì)某一軸而言極

慣

性

矩——對(duì)某一點(diǎn)而言特別指出：慣性積——對(duì)某一對(duì)正交軸而言第十六頁(yè)第十七頁(yè)，共42頁(yè)?！霢.2

慣性矩慣性積慣性半徑四、慣性半徑——圖形對(duì)

x

軸的慣性半徑

單位：m四、慣性半徑在力學(xué)計(jì)算中，有時(shí)把慣性矩寫成即：——圖形對(duì)

y

軸的慣性半徑第十七頁(yè)第十八頁(yè)，共42頁(yè)。§A.2

慣性矩慣性積慣性半徑四、慣性半徑（注意）注意：試問：即：四、慣性半徑第十八頁(yè)第十九頁(yè)，共42頁(yè)。附錄A平面圖形的幾何性質(zhì)§A.3平行軸定理（目錄）§A.3

平行軸定理一、定理推導(dǎo)二、應(yīng)用第十九頁(yè)第二十頁(yè)，共42頁(yè)?！霢.3

平行軸定理一、定理推導(dǎo)一、定理推導(dǎo)即：第二十頁(yè)第二十一頁(yè)，共42頁(yè)?！霢.3

平行軸定理一、定理推導(dǎo)（性質(zhì)4）顯然：性質(zhì)4：在平面圖形對(duì)所有相互平行的坐標(biāo)軸的慣性矩中，以對(duì)形心軸的慣性矩為最小。同理——慣性矩和慣性積的平行軸定理一、定理推導(dǎo)第二十一頁(yè)第二十二頁(yè)，共42頁(yè)?！霢.3

平行軸定理二、應(yīng)用二、應(yīng)用第二十二頁(yè)第二十三頁(yè)，共42頁(yè)。§A.3

平行軸定理例2（求IXC）解：例2

求和而第二十三頁(yè)第二十四頁(yè)，共42頁(yè)?！霢.3

平行軸定理例2（求IyC）解：例2

求和第二十四頁(yè)第二十五頁(yè)，共42頁(yè)。附錄A平面圖形的幾何性質(zhì)§A.4轉(zhuǎn)軸公式主慣性矩（目錄）§A.4

轉(zhuǎn)軸公式主慣性矩一、公式推導(dǎo)二、主慣性矩第二十五頁(yè)第二十六頁(yè)，共42頁(yè)。§A.4

轉(zhuǎn)軸公式主慣性矩一、公式推導(dǎo)（兩坐標(biāo)系之間的關(guān)系）一、公式推導(dǎo)規(guī)定：

角逆時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)?/p>

+

兩組坐標(biāo)系之間的關(guān)系：代入第二十六頁(yè)第二十七頁(yè)，共42頁(yè)?！霢.4

轉(zhuǎn)軸公式主慣性矩一、公式推導(dǎo)（轉(zhuǎn)軸公式）一、公式推導(dǎo)規(guī)定：

角逆時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)?/p>

+

兩組坐標(biāo)系之間的關(guān)系：第二十七頁(yè)第二十八頁(yè)，共42頁(yè)?！霢.4

轉(zhuǎn)軸公式主慣性矩一、公式推導(dǎo)顯然一、公式推導(dǎo)第二十八頁(yè)第二十九頁(yè)，共42頁(yè)。§A.4

轉(zhuǎn)軸公式主慣性矩一、公式推導(dǎo)（性質(zhì)5）性質(zhì)5：平面圖形對(duì)通過一點(diǎn)的任意一對(duì)正交軸的兩個(gè)慣性矩之和為常數(shù)，且等于圖形對(duì)該點(diǎn)的極慣性矩。一、公式推導(dǎo)顯然第二十九頁(yè)第三十頁(yè)，共42頁(yè)?！霢.4

轉(zhuǎn)軸公式主慣性矩二、主慣性矩（1.定義，性質(zhì)6）二、主慣性矩1.定義主慣性軸——慣性積為零的一對(duì)坐標(biāo)軸，簡(jiǎn)稱主軸主慣性矩——圖形對(duì)主慣性軸的慣性矩形心主慣性軸——通過圖形形心的主慣性軸形心主慣性矩——圖形對(duì)形心主慣性軸的慣性矩性質(zhì)6：圖形的對(duì)稱軸是形心主慣性軸

試問：圖形的主慣性軸是否是唯一的？第三十頁(yè)第三十一頁(yè)，共42頁(yè)?！霢.4

轉(zhuǎn)軸公式主慣性矩二、主慣性矩（2.主慣性軸的方位）2.主慣性軸的方位

設(shè)主慣性軸的方位為

0，對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)軸為

x0、y0令得到二、主慣性矩第三十一頁(yè)第三十二頁(yè)，共42頁(yè)?！霢.4

轉(zhuǎn)軸公式主慣性矩二、主慣性矩（3.主慣性矩）3.

主慣性矩因故有二、主慣性矩第三十二頁(yè)第三十三頁(yè)，共42頁(yè)?！霢.4

轉(zhuǎn)軸公式主慣性矩二、主慣性矩（4.主慣性矩的性質(zhì)，性質(zhì)7）4.主慣性矩的性質(zhì)

當(dāng)Ix1取極值時(shí)，對(duì)應(yīng)的方位為

1

得到即：性質(zhì)7：主慣性矩為極值慣性矩，其中一個(gè)為極大慣性

矩Imax，另一個(gè)為極小慣性矩Imin。令

二、主慣性矩第三十三頁(yè)第三十四頁(yè)，共42頁(yè)。§A.4

轉(zhuǎn)軸公式主慣性矩例3（1.確定形心位置）解：例3

求圖示圖形的形心主慣性矩。

1.確定形心位置第三十四頁(yè)第三十五頁(yè)，共42頁(yè)?！霢.4

轉(zhuǎn)軸公式主慣性矩例3（2.求慣性矩和慣性積—求IXC）

2.求、和解：例3

求圖示圖形的形心主慣性矩。而第三十五頁(yè)第三十六頁(yè)，共42頁(yè)?！霢.4

轉(zhuǎn)軸公式主慣性矩例3（2.求慣性矩和慣性積—求IyC）

2.求、和解：例3

求圖示圖形的形心主慣性矩。第三十六頁(yè)第三十七頁(yè)，共42頁(yè)?！霢.4

轉(zhuǎn)軸公式主慣性矩例3（2.求慣性矩和慣性積—求IXCyC）

2.求、和解：例3

求圖示圖形的形心主慣性矩。第三十七頁(yè)第三十八頁(yè)，共42頁(yè)?！霢.4

轉(zhuǎn)軸公式主慣性矩例3（3.求形心主慣性軸的方位）

2.求、和解：例3

求圖示圖形的形心主慣性矩。3.求形心主慣性軸的方位即：或第三十八頁(yè)第三十九頁(yè)，共42頁(yè)?！霢.4

轉(zhuǎn)軸公式主慣性矩例3（4.求形心主慣性矩）