第十章 動(dòng)能定理(第二版)

第十章動(dòng)能定理1第十章動(dòng)能定理§10.1力的功§10.2質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能§10.3動(dòng)能定理§10.4功率·功率方程·機(jī)械效率§10.5勢(shì)力場(chǎng)·勢(shì)能·機(jī)械能守恒定律§10.6普遍定理的綜合應(yīng)用舉例2一、常力的功功是代數(shù)量，在國際單位制中，功的單位為J（焦耳）?！?0.1力的功3力在無限小位移dr中作的功稱為元功：二、變力的功力F從M1到M2的過程所作的功在直角坐標(biāo)系中，i，j，k為三坐標(biāo)軸的單位矢量，則上兩式也可寫成以下矢量點(diǎn)乘形式：力在全路程上作的功等于元功之和：4根據(jù)質(zhì)心坐標(biāo)公式，有三、幾種常見力的功1．重力的功重力作功為對(duì)于質(zhì)點(diǎn)系，設(shè)質(zhì)點(diǎn)i

的質(zhì)量為mi，運(yùn)動(dòng)始末的高度差為（zi1-zi2），則全部重力作功之和為：重力在直角坐標(biāo)軸上的投影為所以5點(diǎn)A

由A1到A2時(shí)，彈性力作功為2．彈性力的功彈性范圍內(nèi)，彈性力大小為k為彈簧剛度系數(shù)彈性力6如果剛體上作用一力偶，則力偶所作的功仍可用上式計(jì)算，其中Mz為力偶對(duì)轉(zhuǎn)軸z的矩，也等于力偶矩矢M在軸上的投影。3．作用于轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上的力和力偶的功力F在切線上的投影為剛體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)力F的元功為Ft

R等于F對(duì)于轉(zhuǎn)軸z的力矩Mz，于是71.理想約束反力的功（1）光滑固定面約束約束反力元功為零或元功之和為零的約束稱為理想約束。（2）活動(dòng)鉸支座、固定鉸支座和向心軸承四、理想約束及內(nèi)力的功8（5）柔性約束（不可伸長的繩索）（4）聯(lián)接剛體的光滑鉸鏈（中間鉸）（3）剛體沿固定面作純滾動(dòng)92.質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)力的功只要A、B兩點(diǎn)間距離保持不變,內(nèi)力的元功和就等于零。不變質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)力的功之和等于零。剛體的內(nèi)力的功之和等于零。不可伸長的繩索內(nèi)力的功之和等于零。10

一、質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能設(shè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為m，速度為v，則質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能為動(dòng)能是標(biāo)量，恒取正值。在國際單位制中動(dòng)能的單位也為J。二、質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的算術(shù)和稱為質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能，即§10.2質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能112．轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)能1.平移剛體的動(dòng)能123.平面運(yùn)動(dòng)剛體的動(dòng)能點(diǎn)C:質(zhì)心，點(diǎn)P:某瞬時(shí)的瞬心，ω:角速度13一、質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理取質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程的矢量形式因得上式稱為質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理的微分形式:即質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的增量等于作用在質(zhì)點(diǎn)上力的元功?！?0.3動(dòng)能定理14上式稱為質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理的積分形式：在質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的某個(gè)過程中，質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的改變量等于作用于質(zhì)點(diǎn)的力作的功。二、質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)有n個(gè)質(zhì)點(diǎn)，任一質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量為mi，速度為vi，有式中δWi為作用于這個(gè)質(zhì)點(diǎn)上的力Fi作的元功。15上式稱為質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理的積分形式：質(zhì)點(diǎn)系在某一段運(yùn)動(dòng)過程中，起點(diǎn)和終點(diǎn)的動(dòng)能的改變量，等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的全部力在這段過程中所作功的和。將n個(gè)方程相加，得：上式稱為質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理的微分形式：質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能的增量等于作用于質(zhì)點(diǎn)系全部力所作的元功的和。上式積分，得：16例1圖示的均質(zhì)桿OA的質(zhì)量為30kg，桿在鉛垂位置時(shí)彈簧處于自然狀態(tài)。設(shè)彈簧常數(shù)為k=3kN/m，為使桿能由鉛直位置OA轉(zhuǎn)到水平位置OA’，在鉛直位置時(shí)的角速度至少應(yīng)為多大？解：取OA桿為研究對(duì)象得由17【例2】均質(zhì)圓盤A：m，r；滑塊B：m；桿AB：質(zhì)量不計(jì)，平行于斜面。斜面傾角

，摩擦系數(shù)f，圓盤作純滾動(dòng)，系統(tǒng)初始靜止。求：滑塊的加速度。解：取整體為研究對(duì)象上式兩邊對(duì)ｔ求導(dǎo)，得由動(dòng)能定理，18

【例3】圖示系統(tǒng)中,均質(zhì)圓盤A、B各重P，半徑均為R,兩盤中心線為水平線,盤A上作用矩為M(常量)的一力偶；重物D重Q。問下落距離h時(shí)重物的速度與加速度。(繩重不計(jì)，繩不可伸長，盤B作純滾動(dòng)，初始時(shí)系統(tǒng)靜止)解：取系統(tǒng)為研究對(duì)象19上面(1)式求導(dǎo)得：(1)20【例4】行星齒輪傳動(dòng)機(jī)構(gòu),放在水平面內(nèi)。動(dòng)齒輪半徑r,重P,視為均質(zhì)圓盤；曲柄重Q,長l,作用一力偶,矩為M(常量),曲柄由靜止開始轉(zhuǎn)動(dòng)；求曲柄的角速度(以轉(zhuǎn)角

的函數(shù)表示)和角加速度。解：取整個(gè)系統(tǒng)為研究對(duì)象21根據(jù)動(dòng)能定理T2-T1=W12，得(*)將(*)

式對(duì)t求導(dǎo)數(shù)，得22【例5】兩根均質(zhì)直桿組成的機(jī)構(gòu)及尺寸如圖示；OA桿質(zhì)量是AB桿質(zhì)量的兩倍，各處摩擦不計(jì)，如機(jī)構(gòu)在圖示位置從靜止釋放，求當(dāng)OA桿轉(zhuǎn)到鉛垂位置時(shí)，AB桿B端的速度。解：取整個(gè)系統(tǒng)為研究對(duì)象23一、功率單位時(shí)間內(nèi)力所做的功稱為功率，以P表示。功率等于切向力與力作用點(diǎn)速度的乘積。作用在轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上的力的功率為式中Mz是力對(duì)轉(zhuǎn)軸z的矩，ω是角速度。即作用于轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上的力的功率等于該力對(duì)轉(zhuǎn)軸的矩與角速度的乘積。§10.4功率功率方程機(jī)械效率24二、功率方程

取質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理的微分形式，兩端除以dt，得上式稱為功率方程，即質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的所有力的功率的代數(shù)和。每部機(jī)器的功率可分為三部分：輸入功率、無用功率（或耗損功率）、有用功率（或輸出功率）。在一般情況下，功率方程可寫成：或25三、機(jī)械效率有效功率=機(jī)械效率η表示機(jī)器對(duì)輸入功率的有效利用程度，它是評(píng)定機(jī)器質(zhì)量好壞的指標(biāo)之一。顯然，如一部機(jī)器有n級(jí)傳動(dòng)，設(shè)各級(jí)的效率分別為η1、η2、…、ηn,則總效率為，機(jī)械效率用η表示，即26

【例6】

車床的電動(dòng)機(jī)功率為5.4

kW。由于傳動(dòng)零件之間的摩擦耗損功率占輸入功率的30%。如工件的直徑d=100mm，轉(zhuǎn)速n

=42

r/min，問允許切削力的最大值為多少？若工件的轉(zhuǎn)速改為n’=112r/min，問允許切削力的最大值為多少？解：由題意知：當(dāng)工件勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，動(dòng)能不變，則設(shè)切削力為F，切削速度為v，則27當(dāng)n=112r/min時(shí)，允許的最大切削力為當(dāng)n=42r/min時(shí)，允許的最大切削力為28

【例7】

電動(dòng)機(jī)車質(zhì)量為m，由靜止以勻加速度a沿水平軌道行駛，如電動(dòng)機(jī)車所受的運(yùn)動(dòng)阻力等于kmg(其中k是常數(shù))。求電動(dòng)機(jī)車的功率。解：設(shè)電動(dòng)機(jī)車行駛距離s時(shí)的速度為v，發(fā)動(dòng)機(jī)所做的功為W，由動(dòng)能定理得：將上式對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，并注意及得電機(jī)車的功率將代入上式，得：29

【例8】均質(zhì)圓輪半徑r，質(zhì)量為m，受到輕微擾動(dòng)后，在半徑為R的圓弧上往復(fù)滾動(dòng)，如圖所示。設(shè)表面足夠粗糙，使圓輪在滾動(dòng)時(shí)無滑動(dòng)。求質(zhì)心C的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。解：取輪為研究對(duì)象，均質(zhì)圓輪作平面運(yùn)動(dòng)，其動(dòng)能為只有重力作功,重力的功率為4530應(yīng)用功率方程：得當(dāng)θ很小時(shí)sinθ≈θ,于是得質(zhì)心C的運(yùn)動(dòng)微分方程為31一、勢(shì)力場(chǎng)如果一物體在某空間任一位置都受到一個(gè)大小和方向完全由所在位置確定的力作用，則這部分空間稱為力場(chǎng)。例：重力場(chǎng)，太陽引力場(chǎng)等等。如果物體在力場(chǎng)內(nèi)運(yùn)動(dòng)，作用于物體的力所作的功只與力作用點(diǎn)的初始位置和終了位置有關(guān)，而與該點(diǎn)的軌跡形狀無關(guān)，這種力場(chǎng)稱為勢(shì)力場(chǎng)（或保守力場(chǎng)）。在勢(shì)力場(chǎng)中，物體受到的力稱為有勢(shì)力（或保守力）。例：重力場(chǎng)、彈性力場(chǎng)都是勢(shì)力場(chǎng)，重力、彈性力、萬有引力都是有勢(shì)力?！?0.5勢(shì)力場(chǎng)勢(shì)能機(jī)械能守恒定律32二、勢(shì)能在勢(shì)力場(chǎng)中，質(zhì)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到任選的點(diǎn)M0

，有勢(shì)力所作的功稱為質(zhì)點(diǎn)在點(diǎn)M相對(duì)于點(diǎn)M0的勢(shì)能。以V表示為點(diǎn)M0

稱為零勢(shì)能點(diǎn)。在勢(shì)力場(chǎng)中，勢(shì)能的大小是相對(duì)零勢(shì)能點(diǎn)而言的。零勢(shì)能點(diǎn)M0可以任意選取，對(duì)于不同的零勢(shì)能點(diǎn)，在勢(shì)力場(chǎng)中同一位置的勢(shì)能可有不同的數(shù)值。幾種常見勢(shì)能的計(jì)算331．重力場(chǎng)中的勢(shì)能質(zhì)點(diǎn)重力mg在各軸上的投影為取Mo為零勢(shì)能點(diǎn)，則質(zhì)點(diǎn)在點(diǎn)M的勢(shì)能為質(zhì)點(diǎn)系重力勢(shì)能其中m為質(zhì)點(diǎn)系全部質(zhì)量，zc為質(zhì)心的z坐標(biāo)，zc0為零勢(shì)能位置質(zhì)心z坐標(biāo)。342．彈性力場(chǎng)中的勢(shì)能設(shè)彈簧的一端固定，另一端與物體連接。彈簧的剛度系數(shù)為k。取Mo為零勢(shì)能點(diǎn)，則物體在點(diǎn)M的勢(shì)能為如取彈簧的自然位置為零勢(shì)能點(diǎn)，則有δ0

=0，則35一質(zhì)量為m、長為l的均質(zhì)桿AB。A端鉸支，B端由無重彈簧拉住，并于水平位置平衡。此時(shí)彈簧已拉長δ0。如彈簧剛度系數(shù)為k，如質(zhì)點(diǎn)系受到多個(gè)有勢(shì)力的作用，各有勢(shì)力可有各自的零勢(shì)能點(diǎn)。質(zhì)點(diǎn)系中的各質(zhì)點(diǎn)都處于其零勢(shì)能點(diǎn)的一組位置，稱為質(zhì)點(diǎn)系的“零勢(shì)能位置”。質(zhì)點(diǎn)系從某位置到其“零勢(shì)能位置”的運(yùn)動(dòng)過程中，各有勢(shì)力作功的代數(shù)和稱為此質(zhì)點(diǎn)系在該位置的勢(shì)能。36(2)如取桿的平衡位置為系統(tǒng)的零勢(shì)能位置，桿于微小擺角φ處，勢(shì)能為(1)如重力以桿的水平位置為零勢(shì)能位置，彈簧以自然位置為零勢(shì)能點(diǎn)，則桿于微小擺角φ處勢(shì)能為注意可得37質(zhì)點(diǎn)系在勢(shì)能場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，有勢(shì)力的功可通過勢(shì)能計(jì)算。設(shè)某個(gè)有勢(shì)力的作用點(diǎn)在質(zhì)點(diǎn)系的運(yùn)動(dòng)過程中，從點(diǎn)

M1到點(diǎn)M2，該力所作的功為W12。取點(diǎn)M0

為零勢(shì)能點(diǎn)，則因有勢(shì)力的功與軌跡形狀無關(guān)，從M1經(jīng)M2到M0即有勢(shì)力所作的功等于質(zhì)點(diǎn)系在運(yùn)動(dòng)過程中的初始和終了位置的勢(shì)能的差。38三、機(jī)械能守恒定律質(zhì)點(diǎn)系在某瞬間的動(dòng)能與勢(shì)能的代數(shù)和稱為機(jī)械能。質(zhì)點(diǎn)系如只有有勢(shì)力作功，則移項(xiàng)后即質(zhì)點(diǎn)系在運(yùn)動(dòng)的過程中，只有有勢(shì)力作功，其機(jī)械能保持不變。這種質(zhì)點(diǎn)系稱為保守系統(tǒng)。39如質(zhì)點(diǎn)系還受到非保守力的作用，稱為非保守系統(tǒng)，非保守系統(tǒng)的機(jī)械能是不守恒的。設(shè)保守力所作的功為W12，非保守力所作的功為W'12

，由動(dòng)能定理有因則如W'12為負(fù)功，質(zhì)點(diǎn)系在運(yùn)動(dòng)過程中機(jī)械能減小，稱為機(jī)械能耗散；如W'12為正功，質(zhì)點(diǎn)系在運(yùn)動(dòng)過程中機(jī)械能增加，這時(shí)外界對(duì)系統(tǒng)輸入了能量。40

【例9】

長為l，質(zhì)量為m的均質(zhì)直桿，初瞬時(shí)直立于光滑的桌面上。當(dāng)桿無初速度地傾倒后，求質(zhì)心的速度（用桿的傾角

和質(zhì)心的位置表達(dá)）。

解：取桿為研究對(duì)象，由于水平方向不受外力，且初始靜止，故質(zhì)心C鉛垂下降。由于只有重力作功,因此機(jī)械能守恒。取地面為零勢(shì)能面41由機(jī)械能守恒定律：將代入上式，化簡后得42

【例10】

兩根均質(zhì)桿AC和BC各重為P，長為l，在C處光滑鉸接，置于光滑水平面上；設(shè)兩桿軸線始終在鉛垂面內(nèi)，初始靜止，C點(diǎn)高度為h，求鉸C到達(dá)地面時(shí)的速度。43

解：取整體為研究對(duì)象：由于只有重力作功,因此機(jī)械能守恒。取地面為零勢(shì)能面由機(jī)械能守恒定律：44

【例11】均質(zhì)圓輪半徑r，質(zhì)量為m，受到輕微擾動(dòng)后，在半徑為R的圓弧上往復(fù)滾動(dòng)，如圖所示。設(shè)表面足夠粗糙，使圓輪在滾動(dòng)時(shí)無滑動(dòng)。求質(zhì)心C的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。解：取輪為研究對(duì)象，此系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，取質(zhì)心的最低位置O為重力場(chǎng)零勢(shì)能點(diǎn)，圓輪在任一位置的勢(shì)能為同一瞬時(shí)的動(dòng)能為由機(jī)械能守恒，有2945把V和T的表達(dá)式代入，取導(dǎo)數(shù)后得于是得因θ很小因46它們從不同方面建立了質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系運(yùn)動(dòng)量（動(dòng)量、動(dòng)量矩、動(dòng)能）的變化與力的作用量（沖量、力矩、力的功）之間的關(guān)系。質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的普遍定理包括動(dòng)量定理、動(dòng)量矩定理和動(dòng)能定理。動(dòng)量定理和動(dòng)量矩定理是矢量形式，動(dòng)能定理是標(biāo)量形式，他們都用于研究機(jī)械運(yùn)動(dòng)，而動(dòng)能定理還可用于研究機(jī)械運(yùn)動(dòng)與其它運(yùn)動(dòng)形式有能量轉(zhuǎn)化的問題。應(yīng)用動(dòng)量定理或動(dòng)量矩定理時(shí)，質(zhì)點(diǎn)系的內(nèi)力不能改變系統(tǒng)的動(dòng)量和動(dòng)量矩，只需考慮質(zhì)點(diǎn)系所受的外力。應(yīng)用動(dòng)能定理時(shí)，要考慮約束力和內(nèi)力作不作功。§10.6普遍定理的綜