第六章 信號的矢量空間分析

第六章信號的矢量空間分析§6.1引言信號表示式與多維矢量之間存在許多形式上的類似，信號用多維矢量描述便于對信號的性能、信號分析與處理進行更深入的研究。本章主要內(nèi)容利用矢量空間方法研究信號理論的基本概念；信號的正交函數(shù)分解；相關函數(shù)；能量譜和功率譜；相關、正交概念的應用：匹配濾波器，碼分復用技術?！?.2

信號矢量空間的基本概念一．線性空間定義：是這樣一種集合，其中任意兩元素相加可構(gòu)成此集合內(nèi)的另一元素，任意元素與任意數(shù)（可以是實數(shù)也可以是復數(shù)）相乘后得到此集合內(nèi)的另一元素。例:二．范數(shù)

常用范數(shù)這里sup表示信號的最小上界，對于定義在閉區(qū)間內(nèi)的信號，sup表示其幅度值。(3)常用的范數(shù)可見，一階范數(shù)表示信號作用的強度。一階范數(shù)物理意義：二階范數(shù)的平方表示信號的能量。二階范數(shù)三．內(nèi)積直角坐標平面內(nèi)兩矢量相對位置關系利用范數(shù)符號，將矢量長度分別寫作于是上式表明：給定的矢量長度，標量乘積式反映了兩矢量之間相對位置的“校準”情況。即多維三維推廣信號空間對于L空間或l空間，信號x與其自身的內(nèi)積運算為內(nèi)的兩連續(xù)信號的內(nèi)積四．柯西－施瓦茨不等式Cauchy-Schwarz不等式§6.3信號的正交函數(shù)分解將任意信號分解為單元信號之和，從而考查信號的特性。簡化系統(tǒng)分析與運算，總響應=單元響應之和。信號分解的目的誤差矢量系數(shù)兩矢量正交怎樣分解，能得到最小的誤差分量？方式不是惟一的：一．矢量的正交分解正交分解空間中任一矢量可分解為x,y,z三方向矢量。

平面中任一矢量可分解為x,y二方向矢量。一個三維空間矢量，必須用三個正交的矢量來表示，如果用二維矢量表示就會出現(xiàn)誤差：

二．正交函數(shù)誤差系數(shù)三．正交函數(shù)集任意信號f(t)可表示為n維正交函數(shù)之和：原函數(shù)近似函數(shù)r=0,1,2,...n基底函數(shù)分解原則是誤差函數(shù)方均值最小

理解正交函數(shù)集規(guī)定：

所有函數(shù)應兩兩正交。

不能因一個函數(shù)集中某幾個函數(shù)相互正交就說該函數(shù)集是正交函數(shù)。是相互獨立的，互不影響，計算時先抽取哪一個都可以，非正交函數(shù)就無此特性。此公式是個通式，適合于任何正交函數(shù)集。兩周期信號在同一周期內(nèi)(同區(qū)間內(nèi))正交的條件是c12=0，即：

總結(jié)兩個信號不正交，就有相關關系，必能分解出另一信號。對一般信號在給定區(qū)間正交，而在其他區(qū)間不一定滿足正交。四.復變函數(shù)的正交特性則此復變函數(shù)集為正交函數(shù)集?！?.4完備正交函數(shù)集、

帕塞瓦爾定理定義1：

定義2：

一．完備正交函數(shù)集二．帕塞瓦爾定理物理意義：

一個信號所含有的能量（功率）恒等于此信號在完備正交函數(shù)集中各分量能量（功率）之和。信號的能量基底信號的能量各信號分量的能量數(shù)學本質(zhì)：矢量空間信號正交變換的范數(shù)不變性。

§6.5相關在一個周期內(nèi)，R消耗的能量平均功率可表示為設i(t)為流過電阻R的電流，v(t)為R上的電壓瞬時功率為一．能量信號和功率信號定義討論上述兩個式子，只可能出現(xiàn)兩種情況：

(有限值)

(有限值) 滿足式的稱為能量信號，滿足

式稱功率信號。定義：一般說來，能量總是與某一物理量的平方成正比。令R=1，則在整個時間域內(nèi)，實信號f(t)的平均功率能量一般規(guī)律

一般周期信號為功率信號。

非周期信號，在有限區(qū)間有值，為能量信號。

還有一些非周期信號，也是非能量信號。如u(t)是功率信號；而tu(t)為非功率非能量信號;δ(t)是無定義的非功率非能量信號。數(shù)學本質(zhì):相關系數(shù)是信號矢量空間內(nèi)積與范數(shù)特征的具體表現(xiàn)。物理本質(zhì):相關與信號能量特征有著密切聯(lián)系。

1．相關系數(shù)由兩個信號的內(nèi)積所決定：二．相關系數(shù)與相關函數(shù)由柯西－施瓦爾茨不等式，得所以2．相關函數(shù)f1(t)與f2(t)是能量有限信號f1(t)與f2(t)為實函數(shù)f1(t)與f2(t)為