地基梁的彈性分布分析

地基梁的彈性分布分析

0彈性地基梁的計算根據(jù)winker模型，點的壓力強(qiáng)度與點的沉降成正比。由于彈性地基梁模型概念清晰,求解方便,并且其計算結(jié)果在一定條件下(比如砂類土地基)與實際工程接近,因此應(yīng)用非常廣泛。其應(yīng)用領(lǐng)域主要有基礎(chǔ)工程、邊坡支護(hù)、基坑工程、樁基礎(chǔ)、格式梁基礎(chǔ)等。目前,對彈性地基梁的計算大致包括解析方法、和數(shù)值方法。解析方法從梁的微分方程出發(fā),利用邊界條件和平衡方程得出位移曲線,進(jìn)而得到轉(zhuǎn)角、彎矩和剪力等。解析方法簡單易行,能很快給出結(jié)果,但既有的解析方法存在比較明顯的缺點。這些不足主要包括:無法考慮梁的自重;難以在基礎(chǔ)上施加多種類型荷載等。本文從Winkler地基上無限長梁和有限長梁經(jīng)典解答入手,給出了任意分布荷載作用下有限長梁解答。該解答可以與Hetenyi解答進(jìn)行疊加,以解決多種荷載類型作用下Winkler地基梁的求解問題。1梁受彎力的固結(jié)條件Winkler地基模型表述為任意一點的壓力強(qiáng)度p與該點的沉降量s成正比,即其中k為基床系數(shù)。圖1所示為作用在Winkler地基上的無限長梁,該梁寬b,抗彎剛度為EI,受集中力F作用。梁長方向為x,梁位移方向為w。根據(jù)梁和地基的變形協(xié)調(diào)條件得到定義6個函數(shù)集中力作用下,作用點正方向的解答為這里θ、M、V分別為梁上任意截面的轉(zhuǎn)角、以及受到的彎矩和剪力;為柔度特征值。在集中荷載作用點負(fù)方向,以x的絕對值代入式(3),計算結(jié)果為w和M時符號不變,計算θ和V時則需取相反符號,便可以得到相應(yīng)的量。以無限長梁Ⅱ代替梁Ⅰ,如果能滿足梁Ⅱ在A、B兩截面彎矩和剪力全部為0的條件,即滿足梁Ⅰ兩端自由的邊界條件,則梁Ⅱ中AB段的內(nèi)力和變形就是梁Ⅰ的內(nèi)力和變形。在梁Ⅱ的A、B截面外側(cè),各施加邊界條件力FA、MA和FB、MB,則在集中力F和4個邊界條件力作用下,A、B截面的彎矩和剪力必須為0,因此邊界條件力分別為Al、Bl、Cl、Dl、El、Fl分別為式(3)在x=l處的值。MAF、VAF和MBF、VBF分別為集中荷載F在梁Ⅱ截面A和截面B產(chǎn)生的彎矩和剪力,這里定義為虛擬彎矩和虛擬剪力。因此,集中載荷作用下Winkler地基梁的計算,等于無限長梁在該集中荷載和4個邊界條件力共同作用下相應(yīng)區(qū)段的解答疊加。2分布荷載作用下的k任意分布荷載作用下Winkler地基梁的計算需要借助于疊加原理,計算簡圖如圖3所示。設(shè)梁長為l,在x1～x2范圍內(nèi)作用有任意分布荷載q(x)。在分布荷載作用范圍內(nèi)取一微段dx,則該微段的荷載可以近似為等效集中力q(x)dx荷載,在此等效集中力作用下,虛擬彎矩dMAx、dMBx和虛擬剪力dVAx、dMBx可以由式(4c)和式(4d)得到因此,在分布荷載q(x)作用下,有將式(7)得到的虛擬彎矩和虛擬剪力代入式(5),可以得到在分布荷載作用下的4個邊界條件力。因此,分布荷載作用下Winkler地基梁上任意一點P(xk)的位移w、轉(zhuǎn)角θ、彎矩M和剪力V的計算,可以等效為對應(yīng)無限長梁相應(yīng)梁段兩部分效應(yīng)的疊加。第一部分是在式(7)得到的4個邊界條件力作用下對應(yīng)無限長梁的位移w1、轉(zhuǎn)角θ1、彎矩M1和剪力V1;第二部分是在分布荷載作用下對應(yīng)無限長梁的位移w2、轉(zhuǎn)角θ2、彎矩M2和剪力V2。第一部分可由式(4)得到,下面討論第二部分。圖3所示微段荷載引起等效無限長梁上任意一點P(xk)的位移、轉(zhuǎn)角、彎矩和剪力(點P(xk)位于微段左側(cè))分別為當(dāng)點P(xk)位于微段右側(cè)時有因此,在分布荷載q(x)作用下,對應(yīng)無限長梁上任意一點P(xk)的位移w2、轉(zhuǎn)角θ2、彎矩M2和剪力V2可以由式(8)和式(9)積分得到,即所以,在任意分布荷載作用下,Winkler地基梁上各點的位移w、轉(zhuǎn)角θ、彎矩M和剪力V為由于s=w,所以將式(11a)代入式(1),可以得到地基中任意一點的地基反力。n個分布荷載共同作用時,可以將各分布荷載作用下的相應(yīng)作用后果疊加,從而得到最終結(jié)果。也可以根據(jù)式(6)、式(7)和式(5),計算出各分布荷載共同作用下總的邊界條件力,然后分別計算在總邊界條件力和各分布荷載共同作用下的響應(yīng),最后將二者疊加。3分布荷載作用下的動力特性某梁A,如圖4。寬b=1m、高h(yuǎn)=0.5m、彈性模量E=3×1010Pa、長10m。擱置在Winkler地基上,地基基床系數(shù)k=15MN·m-3,分布荷載為分布荷載作用范圍為(x1,x2)=(3,9)。求梁身各點的沉降、轉(zhuǎn)角、彎矩和剪力。在此分布荷載作用下,地基的沉降s或地基梁的位移w、地基梁的轉(zhuǎn)角θ、地基梁的彎矩M以及剪力V分別如圖5(a)、5(b)、5(c)、5(d)所示。其中w1、θ1、M1和V1分別為在邊界條件力作用下,對應(yīng)無限長梁相應(yīng)梁段上的分量;w2、θ2、M2和V2分別為在分布荷載作用下,對應(yīng)無限長梁相應(yīng)梁段上的分量。二者之和等于分布荷載作用下,梁A的位移、轉(zhuǎn)角和受到的彎矩和剪力。從沉降曲線看,分布荷載作用時的沉降與集中荷載作用下的沉降形狀大致相似,但要平緩得多;彎矩曲線和剪力曲線滿足邊界條件要求;同樣,分布荷載作用下的彎矩比集中荷載作用下的彎矩平緩;在分布荷載左右邊界(3m和9m處),地基梁的剪力曲線出現(xiàn)明顯的轉(zhuǎn)折點。4無限長梁的求解運用疊加原理,給出了在任意形式的分布荷載作用下,彈性基礎(chǔ)梁在Winkler地基上的計算方法。首先,將待求梁轉(zhuǎn)化為無限長梁,并求解出對應(yīng)的邊界條件力;然后,求解此無限長梁在分布荷載及相應(yīng)的邊界條件力作用下的