實(shí)驗(yàn)三 最佳分?jǐn)?shù)近似值

./數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)姓名：康萍學(xué)號(hào)：4老師：貴倉(cāng)班級(jí)：2013級(jí)〔3班時(shí)間：2016年4月19日實(shí)驗(yàn)三最佳分?jǐn)?shù)近似值實(shí)驗(yàn)?zāi)康谋緦?shí)驗(yàn)是要研究怎樣用分?jǐn)?shù)近似值去對(duì)給定的無理數(shù)做最佳逼近。而"最佳"就是指既要誤差小,又要分母小。我們首先需要對(duì)"最佳"定出具體而明確的標(biāo)準(zhǔn),通過比較各種方法,最終尋找一個(gè)求最佳分?jǐn)?shù)近似值的簡(jiǎn)單易行的算法。二、實(shí)驗(yàn)環(huán)境基于Windows環(huán)境下的Mathematica7.0軟件。實(shí)驗(yàn)的基本理論和方法、分?jǐn)?shù)對(duì)無理數(shù)的最佳逼近設(shè)是給定的無理數(shù),是分?jǐn)?shù),如果有一個(gè)分?jǐn)?shù)的分母并且誤差,或者分母且誤差,那么就是比更佳的分?jǐn)?shù)近似值,就不能是"最佳"。反過來,如果的誤差比起分母不超過Q的其他分?jǐn)?shù)近似值都小,也就是對(duì)所有的以及且成立,就稱給出了的最佳逼近。比如,對(duì),分母為1最接近的分?jǐn)?shù)近似值,是最佳分?jǐn)?shù)逼近〔因?yàn)楦揪蜎]有比他分母更小的分?jǐn)?shù)。分母為2最接近的分?jǐn)?shù)近似值,他的分母比1大,但誤差不比小,是比更差的分?jǐn)?shù)近似值,不是最佳。我們也可以將誤差小、分母小這兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)綜合起來,以誤差與分母的乘積為標(biāo)準(zhǔn)來判定分?jǐn)?shù)近似值的優(yōu)劣,越小,越優(yōu)。還可以進(jìn)一步強(qiáng)化"分母小"這一要求,用做衡量標(biāo)準(zhǔn),值越小越優(yōu)。實(shí)數(shù)的連分?jǐn)?shù)展開仍以為例。先找它的分母為1的最佳近似值,也就是最佳整數(shù)近似值,顯然是3.在尋找比3的誤差更小〔當(dāng)然分母更大的分?jǐn)?shù)近似值時(shí)并不需要依次考慮分母為的分?jǐn)?shù)。因?yàn)檫@時(shí)已經(jīng)有了整數(shù)近似值3,則。其中是3的誤差,。只要能找到的最佳分?jǐn)?shù)近似值,再加3就得到的最佳分?jǐn)?shù)近似值。為了尋找與接近的分?jǐn)?shù),先尋找接近的整數(shù),顯然是7.于是〔1這就是祖沖之的約率。為了尋找比誤差更小的分?jǐn)?shù)近似值,只需尋找比整數(shù)7更接近的分?jǐn)?shù)來作為的近似值。由于,其中。先找的最佳整數(shù)近似值,顯然是16.于是〔2這就得到祖沖之的密率。如果還要進(jìn)一步提高精確度,就應(yīng)當(dāng)再考慮的整數(shù)近似值16的誤差。取的整數(shù)近似值294,取用代替〔1式中的分母16得到的更好的近似值〔3這個(gè)過程可以無限進(jìn)行下去,得到的越來越精確的分?jǐn)?shù)近似值。為了避免上面的分?jǐn)?shù)表達(dá)式〔2中出現(xiàn)減號(hào),在取的整數(shù)近似值時(shí)不取過剩近似值16而取不足近似值15.這樣得到的的分?jǐn)?shù)近似值〔然后再對(duì)的誤差的倒數(shù)取整數(shù)近似值。這樣的過程可以無窮的進(jìn)行下去,將表示成下面的形式：其中？代表的都是正整數(shù)。一般地,對(duì)任何一個(gè)正整數(shù),都可以用同樣的方法進(jìn)行展開；取設(shè)。當(dāng)時(shí)算法終止,此時(shí)。否則.<2>一般地,設(shè)已經(jīng)算出了非負(fù)整數(shù),正整數(shù)及實(shí)數(shù)使〔4為了書寫的方便,將表達(dá)式〔4的右邊的分式簡(jiǎn)寫為的形式,于是表達(dá)式〔4簡(jiǎn)寫為〔5下一步取。當(dāng)時(shí)算法終止,〔5式成為的這個(gè)表達(dá)式稱為有限連分?jǐn)?shù)。當(dāng)時(shí)仍可取的近似值,從而得到一個(gè)有限連分?jǐn)?shù)作為a的近似值：〔另一方面,此時(shí)可取代入〔5式得〔6如果是無理數(shù),則以上過程可以無限進(jìn)行下去,被展開成無限連分?jǐn)?shù)：每個(gè)稱為的一個(gè)漸近分?jǐn)?shù)。所有這些漸進(jìn)分?jǐn)?shù)都是的最佳分?jǐn)?shù)近似值。當(dāng)是有理數(shù)時(shí),以上過程一定在某一步終止,被展開為有限連分?jǐn)?shù)但所有的仍稱為的漸近分?jǐn)?shù),他們都是的最佳分?jǐn)?shù)近似值。而這種求連分?jǐn)?shù)展開式的遞推方法適宜用計(jì)算機(jī)進(jìn)行。如果用手工進(jìn)行,則遞推過程中由求商,但我們真正的目的并不是求商,而只是求他的整數(shù)部分,而對(duì)于手工筆算來說,求比求容易得多,就是1除以作帶余除法的商,帶余的除法的定義如下：帶余除法設(shè)是實(shí)數(shù),是正實(shí)數(shù),是使的最大整數(shù),,則稱用對(duì)作帶余除法得到商和余數(shù)。〔注：兩個(gè)整數(shù)相除的帶余除法是眾所周知的,這里只是把它推廣到兩個(gè)實(shí)數(shù)相除而已。帶余除法的商就是準(zhǔn)確的商的整數(shù)部分。在求的連分?jǐn)?shù)展開式的時(shí)候。第一步求很容易。而且可以認(rèn)為分別是除以1的整數(shù)商和余數(shù)。下一步是求的整數(shù)部分。我們用1除以作帶余除法,求出整數(shù)商和余數(shù)則當(dāng)時(shí),又可得到再將除以做帶余除法,得到整數(shù)商和余數(shù)于是又有當(dāng),這個(gè)過程可按照下面的遞推法則進(jìn)行下去；輾轉(zhuǎn)相除法約定,對(duì)每個(gè)非負(fù)整數(shù),設(shè)已經(jīng)得到了和整數(shù)。當(dāng)時(shí),用除以做帶余除法,得到整數(shù)商和余數(shù)遞推過程終止。已經(jīng)求得之后,如何求各個(gè)漸近分?jǐn)?shù)有以下遞推算法：約定。對(duì)每個(gè),有遞推關(guān)系式二元一次不定方程的整數(shù)解設(shè)是整數(shù),求二元一次方程的整數(shù)解。不妨設(shè)都不為0,否則方程很容易解。必要時(shí)交換未知數(shù),可化為.利用輾轉(zhuǎn)相除法,可以得到余數(shù)數(shù)列和商數(shù)列使的商為,余數(shù)為,〔約定由于是逐步減少的正整數(shù),必然有某個(gè),余數(shù)數(shù)列和商數(shù)列終止。最后一個(gè)非零的就是的最大公約數(shù)。而分?jǐn)?shù)被展開成有限連分?jǐn)?shù)去掉這個(gè)連分?jǐn)?shù)的最后一項(xiàng),再將所得的連分?jǐn)?shù)化成普通的既約分?jǐn)?shù),則是的漸近分?jǐn)?shù)近似值：誤差于是。如果c不被d整除,則原方程無整數(shù)解。否則是整數(shù),。設(shè)。則是方程的一組整數(shù)解。方程的通解為其中取遍所有整數(shù)。四、實(shí)驗(yàn)容與步驟及得到的結(jié)果分析實(shí)驗(yàn)一分?jǐn)?shù)對(duì)無理數(shù)的最佳逼近實(shí)驗(yàn)容讓分母q依次取遍1到1000的所有自然數(shù),對(duì)每個(gè)分母q,取p=[q*Pi+0.5]得到一個(gè)最接近Pi的分?jǐn)?shù)p/q,并將所有的這樣的分?jǐn)?shù)列出來,同時(shí)列出與Pi的誤差。實(shí)驗(yàn)步驟在Mathematica中輸入語句如下：3實(shí)驗(yàn)結(jié)果結(jié)果分析可見,在1到1000之,在給定的近似誤差下,最好的一個(gè)分?jǐn)?shù)近似值就是祖沖之所找到的密率355/113。實(shí)驗(yàn)二實(shí)數(shù)的連分?jǐn)?shù)展開實(shí)驗(yàn)容2、實(shí)驗(yàn)步驟在Mathematica中輸入語句如下：3、實(shí)驗(yàn)結(jié)果4、結(jié)果分析我們所得的結(jié)果已經(jīng)比較接近,如果將此過程繼續(xù)往下做,所得的近似值會(huì)越來越接近。實(shí)驗(yàn)三二元一次不定方程的整數(shù)解1、實(shí)驗(yàn)容求二元一次方程的最小整數(shù)解。2、實(shí)驗(yàn)步驟在Mathematica中輸入語句如下：3、實(shí)驗(yàn)結(jié)果4、結(jié)果分析實(shí)驗(yàn)四"密率"與"約率"的比較1、實(shí)驗(yàn)容編程比較"密率"與"約率"的大小實(shí)驗(yàn)步驟在Mathematica中輸入語句如下：實(shí)驗(yàn)結(jié)果4、結(jié)果分析分?jǐn)?shù)355/113幾乎與足夠接近,而22