《高等數(shù)學(xué)（上冊(cè)）》（陽平華）645-4教案 第五章 第22課 微分方程的應(yīng)用舉例

22第22第課微分方程的應(yīng)用舉例微分方程的應(yīng)用舉例微分方程的應(yīng)用舉例第課22PAGE8 PAGE8PAGE9 PAGE9微分方程的應(yīng)用舉例微分方程的應(yīng)用舉例第課22

課題微分方程的應(yīng)用舉例課時(shí)2課時(shí)（90min）教學(xué)目標(biāo)知識(shí)技能目標(biāo)：掌握微分方程的實(shí)際應(yīng)用。思政育人目標(biāo)：通過學(xué)習(xí)微分方程的應(yīng)用，使學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)是源于生活的，是對(duì)實(shí)際問題的抽象產(chǎn)生的，不是脫離實(shí)際生活的；引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成獨(dú)立思考和深度思考的良好習(xí)慣；培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維、辯證思維和創(chuàng)新思維能力；樹立學(xué)生實(shí)事求是、一絲不茍的科學(xué)精神；引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)揭示生活中的奧秘，在實(shí)踐中深化認(rèn)識(shí)，達(dá)到學(xué)以致用的目的。教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：微分方程的應(yīng)用教學(xué)難點(diǎn)：利用微分方程解決實(shí)際問題教學(xué)方法講授法、問答法、討論法、演示法、實(shí)踐法教學(xué)用具電腦、投影儀、多媒體課件、教材教學(xué)設(shè)計(jì)第1節(jié)課：第2節(jié)課：知識(shí)講解（20min）→課堂小結(jié)（5min）教學(xué)過程主要教學(xué)內(nèi)容及步驟設(shè)計(jì)意圖第一節(jié)課考勤

（2min）【教師】清點(diǎn)上課人數(shù)，記錄好考勤【學(xué)生】班干部報(bào)請(qǐng)假人員及原因培養(yǎng)學(xué)生的組織紀(jì)律性，掌握學(xué)生的出勤情況知識(shí)講解

（43min）【教師】利用例題講解微分方程在實(shí)際問題中的應(yīng)用例1設(shè)曲線經(jīng)過點(diǎn)，且其上任一點(diǎn)的切線在軸的截距是切點(diǎn)縱坐標(biāo)的3倍，求此曲線方程．解設(shè)所求曲線方程為為其上任一點(diǎn)，則過點(diǎn)的切線方程為，其中是切線上的動(dòng)點(diǎn)，是曲線上任意固定的點(diǎn)．令，則切線在軸上的截距為，且由題設(shè)知，，即．這是一階線性微分方程，分離變量得，求得其通解為．又因?yàn)榍€過點(diǎn)，代入通解，得，所以所求曲線方程為．例2已知某商品的需求量對(duì)價(jià)格的彈性為，若該商品的最大需求量為（即當(dāng)時(shí)，），試求需求量與價(jià)格的函數(shù)關(guān)系，并求當(dāng)價(jià)格為2元時(shí)，對(duì)該商品的需求量．解由經(jīng)濟(jì)學(xué)需求理論，有，整理，分離變量得，兩邊積分得（為任意常數(shù)）．當(dāng)時(shí)，，代入上述方程得，所以．當(dāng)時(shí)，．例3設(shè)有化學(xué)物質(zhì)，且與反應(yīng)可以生成．已知是二級(jí)反應(yīng)，即反應(yīng)速度與兩種反應(yīng)物的濃度的乘積成正比．設(shè)開始時(shí)反應(yīng)物A，B的濃度分別是a，b，生成物的濃度是，求時(shí)刻的濃度．解設(shè)x，y，z分別為A，B，C在時(shí)刻的濃度，依題意，有．時(shí)刻反應(yīng)物A，B的濃度x，y分別為，，代入上式，可得微分方程．這是一個(gè)可分離變量的微分方程，下面分兩種情形求解．（1）當(dāng)時(shí)，此時(shí)通解為，因?yàn)?，所以，故特解為或，進(jìn)一步，解得時(shí)刻的濃度為．（2）當(dāng)時(shí)，通解為，因?yàn)?，所以，故時(shí)刻的濃度為．【學(xué)生】掌握微分方程在幾何圖形、商業(yè)和化學(xué)領(lǐng)域的應(yīng)用學(xué)習(xí)微分方程的實(shí)際應(yīng)用。邊做邊講，及時(shí)鞏固練習(xí)，實(shí)現(xiàn)教學(xué)做一體化課堂測(cè)驗(yàn)（20min）【教師】出幾道測(cè)試題目，測(cè)試一下大家的學(xué)習(xí)情況【學(xué)生】做測(cè)試題目【教師】公布題目正確答案，并演示解題過程【學(xué)生】核對(duì)自己的答題情況，對(duì)比答題思路，鞏固答題技巧通過測(cè)試，了解學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的掌握情況，加深學(xué)生對(duì)本節(jié)課知識(shí)的印象第二節(jié)課傳授新知（20min）【教師】利用例題講解微分方程在實(shí)際問題中的應(yīng)用例4某湖泊的水量為，每年排入湖泊內(nèi)的含污染物的污水量為，流出湖泊的污水量為．已知2017年底湖中的含量為，超出了國家規(guī)定指標(biāo)．為了治理污染，從2018年初起，限定排入湖中含的污水濃度不超過，問至多需多少年，湖中污染物的含量降至以內(nèi)？（注：設(shè)湖中的濃度是均勻的．）解設(shè)從2018年初（）起第年湖中污染物的總量用表示，濃度為，，分別表示第年污染物的排入與排出速度，則．而在時(shí)間間隔內(nèi)，排入湖中的量為，流出湖中的量為，因此，在內(nèi)污染物的改變量為，用分離變量法解此微分方程得，代入初始條件，可得，于是．令，得，即至多經(jīng)過年，湖中污染物的含量降至以內(nèi)．例5設(shè)降落傘從跳傘塔下落后，所受空氣阻力與速度成正比，并設(shè)降落傘離開跳傘塔時(shí)（）速度為零，求降落傘下落速度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系．分析物體下落過程中，僅受阻力和重力作用，可根據(jù)牛頓第二定律建立方程．解根據(jù)題意，如圖5-3所示建立坐標(biāo)系．設(shè)降落傘下落速度為，受到重力為，方向與相同，空氣阻力為(為阻力系數(shù))，方向與相反，因此降落傘所受外力為．根據(jù)牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律，有，因而得到微分方程該方程是可分離變量微分方程，分離變量得，兩端積分的，即．由初始條件，可解得，故所求速度函數(shù)為.由此可見，隨著時(shí)間的增大，速度逐漸接近于常數(shù)，且不會(huì)超過，也就是說，跳傘后的開始階段是加速運(yùn)動(dòng)，但以后逐漸接近于勻速運(yùn)動(dòng).圖5-3例6彈簧一端固定在頂板上，下端掛一質(zhì)量為的重物（見圖5-4），將重物自平衡位置O拉至處，然后給以速度，求彈簧的振動(dòng)方程．圖5-4分析當(dāng)重物處于平衡狀態(tài)是，彈簧因掛重物而產(chǎn)生的彈性恢復(fù)力與重物所受重力相抵消，所以在考慮重物相對(duì)平衡位置的振動(dòng)時(shí)，可以不考慮這兩個(gè)，而只考慮使重物回到平衡位置的那部分彈性力和重物在振動(dòng)過程所受的阻力．解取重物的平衡位置為原點(diǎn)，軸垂直向下．設(shè)在振動(dòng)過程中時(shí)刻，重物的位置為．彈性力：（：彈性系數(shù)，為常數(shù)，負(fù)號(hào)表示與位置移動(dòng)方向相反），阻力：（：阻力系數(shù)，阻力與運(yùn)動(dòng)速度成正比，方向與速度方向相反）．根據(jù)牛頓第二定律，可得振動(dòng)方程，整理得．設(shè)，于是方程變?yōu)?，?-33）這是一個(gè)二階常系數(shù)齊次線性微分方程，其特征方程為，特征根為，．下面分三種情況討論．（1）當(dāng)（大阻尼的情形）時(shí)，為不同的負(fù)實(shí)數(shù)，方程（5-33）通解為，可以看出，重物不做周期運(yùn)動(dòng)，且當(dāng)時(shí)，這說明重物隨時(shí)間無限增加而趨于平衡位置．（2）當(dāng)（臨界阻尼的情形）時(shí)，，方程（5-33）的通解為，與上述情況相同，重物也不做周期運(yùn)動(dòng)，且當(dāng)時(shí)，這說明重物隨時(shí)間無限增加而趨于平衡位置．（3）當(dāng)（小阻尼的情形）時(shí)，特征方程有一對(duì)共軛復(fù)根，方程（5-33）的通解為．設(shè)，其中

，則上式可寫成(其中)．及由物體振動(dòng)的初始條件決定，這時(shí)物體做振幅衰減振動(dòng)，當(dāng)時(shí)，振幅，即物體隨時(shí)間無限增加而趨于平衡位置．說明（1）以上三種情況下，物體都逐漸趨于平衡位置，但過程是不一樣的．情況（3）是振幅衰減的振動(dòng)，而情況（1），（2）都是至多經(jīng)過一次平衡位置．（2）如果忽略阻尼，即，那么，這時(shí)微分方程（5-33）變成，則通解為，這是一個(gè)周期性的振動(dòng)，稱為簡(jiǎn)諧振動(dòng)或無阻尼振動(dòng)．（3）如果在彈性力和阻力之外還有一個(gè)周期性外力，則這種振動(dòng)稱為強(qiáng)迫振動(dòng)，所滿足的方程為．（4）機(jī)械振動(dòng)方程可推廣到電磁振蕩中，在應(yīng)用上通常用電磁振蕩來模擬機(jī)械振蕩．【學(xué)生】掌握微分方程在幾何圖形、商業(yè)和化學(xué)領(lǐng)域的應(yīng)用學(xué)習(xí)微分方程的實(shí)際應(yīng)用。邊做邊講，及時(shí)鞏固練習(xí)，實(shí)現(xiàn)教學(xué)做一體化課堂測(cè)驗(yàn)（20min）【教師】出幾道測(cè)試題目，測(cè)試一下大家的學(xué)習(xí)情況【學(xué)生】做測(cè)試題目【教師】公布題目正確答案，并演示解題過程【學(xué)生】核對(duì)自己的答題情況，對(duì)比答題思路，鞏固答題技巧通過測(cè)試，了解學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的掌握情況，加深學(xué)生對(duì)本節(jié)課知識(shí)的印象課堂小結(jié)

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