函數(shù)隱性零點(diǎn)的解決策略 論文

函數(shù)隱性零點(diǎn)的解決策略摘要：最近幾年以來，高考、平時(shí)模擬壓軸題中，往往一類函數(shù)的零點(diǎn)不能直接求出，我們只能根據(jù)零點(diǎn)的存在性定理或者函數(shù)的圖像，大致判斷該零點(diǎn)所在的區(qū)間，這類零點(diǎn)我們稱之為隱性零點(diǎn).學(xué)生對(duì)之沒有充分的認(rèn)知，很難駕馭它.下面筆者從具體事例，對(duì)其基本特征，進(jìn)一步梳理、歸納和概括.關(guān)鍵詞：零點(diǎn)的范圍；整體代換；轉(zhuǎn)化一、函數(shù)的隱性零點(diǎn)在平時(shí)模擬中扮演壓軸角色例1（淮南一中創(chuàng)新班周練1第14題）設(shè)函數(shù)f(x)=ax,其中a30.ex(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(2)對(duì)任意x?),f(x)￡xa的取值范圍.解：（1）略.x(2)記g(x)=ax-x-1，則g'(x)=-(axa)-exex ex記h(x)(axa)-ex，則h'(x)a-ex恒成立，故h(x)￡h(0)-2①0a2時(shí)，h(x)￡h(0)-2￡0恒成立，即g'(x)￡0恒成立所以g(x)在[0,)上單調(diào)遞減，故g(x)￡g(0)，0a2②a時(shí)，h(0)-2，1-e1所以h(x)在上有唯一零點(diǎn)由-2,-1?e

(0,1)使得)\?，則g(x)在(0,)上單調(diào)遞增\

g(x0)>g(0)，不合題意.綜上所述：實(shí)數(shù)a的取值范圍[0,2]例2（淮南一中創(chuàng)新班周練3第14題）已知f(x)ln(x2)，g(x)ex1．（1）討論f(x)的單調(diào)性；（2）當(dāng)b0時(shí)，對(duì)x2,解：（1）略.

g(x)3 g(x)3 ax成立，求實(shí)數(shù) 的最大值.(2)當(dāng)b時(shí)，f(x)a，g(x)ex1，對(duì)"x?2,)，

g(x)3f(x)x成立，\a￡(x2ex-)-n(x2(x-2)令g(x)(x2ex-)-n(x2(x-2)，只需a￡g(x)

ex-1,? ?

? x÷j x=ex-1

j￠x

è ?=ex+ 1 T又 x2，T

\x.令 ()

x

() 2(x

， \j

(x)在2,)單調(diào)遞增，又j1-1，j=e=

(0)=1，\$唯一2?2,)使0j(0)0，即(02e 0T0n(02)0.g(x)0T

x；T-2<x.\

g(x)在2,)單調(diào) 遞 減 ， 在

(0,￥)單 調(diào) 遞 增 ，() ( ) (

) ( ) ( )0\gx0

=gxmin

=

e -1

-ln

=e -20n(02?-1\

a￡-1，即a￡g(x) 1.in通過上面兩例，我們無法求出零點(diǎn)時(shí)，可以先逐步分析零點(diǎn)所在所存在的范圍和滿in二、函數(shù)的隱性零點(diǎn)在全國卷壓軸題中也經(jīng)常出現(xiàn)例3（2016全國卷Ⅱ第21題）（1）討論函數(shù)f(x)=x-2ex的單調(diào)性，并證明當(dāng)x0時(shí)，(x-2exx20；xa?g(x)=

ex-ax-ax2

(x>0)有最小值h(a)，求函數(shù)h(a)的值域.解：（1）略.￠

x

f(x)

Q"a?

（2）

g(x)= 3x

(f(x)+a)，由（1）知， 單調(diào)遞增， ，f(0)1+a，f(2)30，\$唯一的?2)使f(x0).T

x,T

0<x.\

g(x)在,0)單調(diào)遞減在(0,￥)單調(diào)遞增.0xe0+0-2e0(x0xx() ( )

e0-a(x

x2

e0 ( ),gx =gx =

0 = 0

= 0<x￡20 0x2

x2 x0 0 0x令 h(x)=ex<x￡2)，

ex(x-ex2

ex(x= 2<x￡2)，\

h(x)在x

(x(x22]單調(diào)遞增，\1=h(0)<h(x)￡h(2)=e2，故h(a)的值域?yàn)?

e2ù, 2 4例4（2016全國卷Ⅱ第21題）已知函數(shù)f(x)=ex-ln(x

è24?（1）設(shè)x是f(x)的極值點(diǎn)，求m，并討論f(x)的單調(diào)性；（2）當(dāng)m￡2時(shí)，證明：f(x).解：（1）略.（2）當(dāng)m￡2時(shí)，ln(x+m)￡ln(xm)，只需證m時(shí)，f(x)成立即可.當(dāng)m時(shí)，

f=ex-1 在x在2,)單調(diào)遞增，又

f1-1，=e=f

1，2\$唯一?0)使

f.fT

x,fT-2<x,\

f(x)在2,)單 調(diào) 遞 減 ， 在

(0,￥)上 單 調(diào) 遞 增 ，f(x)

=f(x

)e0-n(x2)= 1，00 x00\f(x)3

f(x)min，\

m￡2時(shí)，f(x)成立.x0，而應(yīng)借助f(0)0者f(0)a等進(jìn)行整體代換，根據(jù)所求問題導(dǎo)向，進(jìn)而解決.一般情況下，我們發(fā)現(xiàn)隱性零點(diǎn)，到解決隱性零點(diǎn)需要遵循三點(diǎn)：①第一個(gè)步驟確定隱性零點(diǎn)的范圍是