廣東省東莞市東莞外國語學校2021-2022學年高一下學期期中數學試題

…………○…………內…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________…………○…………外…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○……○…………內…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________…………○…………外…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁…………○…………內…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………※※請※※不※※要※※在※※裝※※訂※※線※※內※※答※※題※※…………○…………外…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○……○…………內…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………※※請※※不※※要※※在※※裝※※訂※※線※※內※※答※※題※※…………○…………外…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁絕密★啟用前廣東省東莞市東莞外國語學校2021-2022學年高一下學期期中數學試題試卷副標題考試范圍：xxx；考試時間：100分鐘；命題人：xxx題號一二三四總分得分注意事項：1．答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息2．請將答案正確填寫在答題卡上第I卷（選擇題）請點擊修改第I卷的文字說明評卷人得分一、單選題1．設復數滿足，則（

）A． B．4 C． D．2．已知?是平面內所有向量的一組基底，則下列四組向量中，不能作為基底的一組是（

）A．和 B．和C．和 D．和3．已知直線和平面，下列說法正確的是（

）A．若//，//，則// B．若//，，則//C．若//，，，則// D．若//，//，則//4．已知某圓錐的母線長為2，其軸截面為直角三角形，則圓錐的體積為（

）A． B． C． D．5．如圖，是水平放置的的直觀圖，，，則的面積為（

）A． B．C． D．6．邊長為5，7，8的三角形的最大角與最小角的和是（

）A．150° B．105° C．135° D．120°7．在三棱錐中，，則三棱錐外接球的表面積是（

）A． B． C． D．8．如圖，扇形的半徑為1，且，點C在弧上運動，若，則的最大值是（

）A． B． C．1 D．2評卷人得分二、多選題9．下列結論正確的有（

）A．若存在實數，使得，則B．若，則若存在實數，使得C．，為非零向量，若，則與方向相同D．已知長度相等的三個非零向量、、滿足，則是等邊三角形．10．在復數范圍內，有下列命題，則其中真命題的有（

）A．若，是兩個復數，則一定是實數B．“”是“”的充分不必要條件C．方程的根是D．11．如圖，已知正方體的棱長為2，則下列四個結論正確的是（

）A．直線與為異面直線B．平面C．D．三棱錐的體積為12．在棱長為3的正方體中，M是的中點，N在該正方體的棱上運動，則下列說法正確的是（

）A．存在點N，使得B．三棱錐M—的體積等于C．有且僅有兩個點N，使得平面D．有且僅有三個點N，使得N到平面的距離為第II卷（非選擇題）請點擊修改第II卷的文字說明評卷人得分三、填空題13．已知向量，且，則和的值_________14．已知圓錐的高為，體積為，則以該圓錐的母線為半徑的球的表面積為______________.15．如圖，空間四邊形ABCD的對角線AC＝8，BD＝6，M、N分別為AB、CD的中點，并且異面直線AC與BD所成的角為90°，則MN＝________.16．如圖，在直三棱柱中，是邊長為2的正三角形，，M為的中點，P為線段上的動點（不包含端點），則下列說法正確的是_______（填寫序號）①平面

②三棱錐的體積的取值范圍為③與為異面直線

④存在點P，使得與垂直評卷人得分四、解答題17．如圖為長方體與半球拼接的組合體，已知長方體的長、寬、高分別為10，8，15（單位：cm），球的直徑為5cm，求該組合體的體積和表面積18．已知向量.(1)若，求；(2)若向量與的夾角是鈍角，求實數k的取值范圍.19．已知復數和它的共軛復數滿足．(1)求z；(2)若z是關于x的方程的一個根，求復數的模．20．已知的內角、、的對邊分別是、、，且.(1)求；(2)若，求的面積的最大值.21．在三棱錐中，底面ABE，AB⊥AE，，D是AE的中點，C是線段BE上的一點，且，連接PC，PD，CD.(1)求證：平面PAB；(2)求點E到平面PCD的距離.22．重慶育才中學學生小王和小李星期天一同返校進入校門，如圖所示，背對著校門站在陶行知雕像前點，小李沿著行知大道（正西方向）走27米后到達點.小王以垂直于小李的路線向正南方向行走若干米后到達陶行知紀念館點，后又沿著南偏西的方向行走到達國旗桿下點，經過測量發(fā)現.設，如圖所示.(1)設國旗桿底點到行知大道的最短距離為，請用表示的解析式；(2)求小王走過的路程的最大值.答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁參考答案：1．A【解析】【分析】由復數的四則運算結合幾何意義得出.【詳解】故選：A2．B【解析】【分析】判斷各選項向量組是否共線即可得出答案.【詳解】因為，所以和共線，所以和不能作為基底.故選：B.3．C【解析】【分析】根據線面平行的判定和性質，對每個選項進行逐一分析，即可判斷和選擇.【詳解】對：若//，//，則//或，故錯誤；對：若//，，則//或，故錯誤；對：若//，，，則//，故正確；對：若//，//，則可以平行，可以相交，也可以是異面直線，故錯誤；故選：.4．A【解析】【分析】由圓錐的結構特征求出底面半徑、高，再應用圓錐的體積公式求體積.【詳解】由題意，圓錐的底面半徑，圓錐的高，所以圓錐的體積.故選：A.5．C【解析】【分析】根據斜二測畫法還原平面圖，然后計算可得.【詳解】根據斜二測畫法還原平面圖如圖，則.故選：C6．D【解析】【分析】由余弦定理求出中間的角可得結論．【詳解】設邊長為7的邊所對角為，則，是三角形內角，所以，因此三角形中最大角與最小角的和是．故選：D．7．B【解析】【分析】利用勾股定理證得，再根據線面垂直的判定定理可得平面，故三棱錐的外接球在過底面外接圓圓心且垂直于底面的直線上，利用正弦定理求得外接圓的半徑為，再根據三棱錐外接球的半徑為求出外接球半徑，即可得出答案.【詳解】解：由，可得，所以，又，且，平面，所以平面，故三棱錐的外接球在過底面外接圓圓心且垂直于底面的直線上，由正弦定理，可得外接圓的半徑為，所以三棱錐外接球的半徑為，所以三棱錐外接球的表面積為，即三棱錐外接球的表面積為.故選：B.8．B【解析】【分析】根據題意將，兩邊同時平方可得，再三角代換，利用三角函數的值域求法即可解出．【詳解】由題意得，，，，由，等式兩邊同時平方，得，所以，令，則，則，其中，因為，所以，所以，即的最大值為.故選：B．9．ACD【解析】【分析】可以證明選項ACD正確，舉反例說明選項B不正確，即得解.【詳解】A.若存在實數，使得，則,所以該選項正確；B.若，則不一定存在實數，使得，如是非零向量，是零向量，則不存在實數，使得，所以該選項不正確；C.，為非零向量，若，所以，所以，則與方向相同，所以該選項正確；D.已知長度相等的三個非零向量、、滿足，則是等邊三角形．如圖所示，設中點為,連接并延長到,使連接.顯然四邊形是平行四邊形，因為,所以四邊形是菱形，因為所以,所以三點共線，所以,所以同理所以,所以是等邊三角形．所以選項D正確.故選：ACD10．ABC【解析】【分析】根據復數的運算以及和復數有關的定義分別判斷即可．【詳解】解：設，，則，故A正確；設，，當時，由則，所以，若得不到，當時，若，則，“”是“”的充分不必要條件，故B正確；方程的根是，故C正確；是復數，可能是復數，但是復數的模，一定是實數，如，則，但是，故D錯誤；故選：ABC．11．ABC【解析】【分析】根據異面直線的定義，線面平行，垂直的判定定理，幾何體的體積求解方法依次討論各選項即可得答案.【詳解】解：對于A，直線平面，平面，直線，則易得直線與為異面直線，故A正確；對于B，因為平面平面，所以平面，故B正確；對于C，連接，因為正方體中，，所以平面，所以，故C正確；對于D，三棱錐的體積，故D錯誤．故選:ABC.12．ABC【解析】【分析】對A，取N為的中點時判斷即可對B，根據計算即可；對C，取分別為中點可得平面，平面判斷即可；對D，根據正方體的性質可知與平面，平面均垂直，且被兩平面平分為3段可得點四點到平面的距離為【詳解】對于A，當N為的中點時，易得，又，故，故A正確；對于B，，故B正確；對于C，如圖所示分別為中點，有平面，平面，故C正確；對于D，易證平面，平面，分別交平面，于，則，所以有點四點到平面的距離為，故D錯．故選：ABC13．【解析】【分析】由平面向量的坐標運算，代入可得：，解方程即可得出答案.【詳解】因為，，所以，所以，解得：.故答案為：14．【解析】【分析】利用圓錐體積公式可求得圓錐底面半徑，利用勾股定理可得母線長；根據球的表面積公式可求得結果.【詳解】設圓錐的底面半徑為，母線長為，圓錐體積，，，以為半徑的球的表面積.故答案為：.15．5【解析】【分析】取AD的中點P，連接PM、PN，∠MPN即為異面直線AC與BD所成的角，解△MPN即可.【詳解】取AD的中點P，連接PM，PN，則BD∥PM，AC∥PN，∴∠MPN即為異面直線AC與BD所成的角，∴∠MPN＝90°，PN＝AC＝4，PM＝BD＝3，∴MN＝5.故答案為：5.16．②③【解析】【分析】由勾股定理求出、、，即可判斷①，由即可判斷②，根據異面直線的定義判斷③，設中點為N，即可得到平面，即平面，得出矛盾，即可判斷④；【詳解】解：由題意得．則，，所以與不垂直．故①錯誤；，點B到平面的距離為，由，所以，所以，又，則，故②正確；P為線段上的點（不包括端點），故與為異面直線，故③正確；若，設中點為N，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，平面，所以，又，則平面，即平面，又因為平面，故點P與點重合，不合題意，故④錯誤．故答案為：②③17．體積為1200＋（cm3），表面積700＋（cm2）．【解析】【分析】利用長方體和球的體積公式、表面積公式進行求解即可.【詳解】根據該組合體是由一個長方體和一個半球組合而成．由已知可得V長方體＝10×8×15＝1200（cm3），又V半球＝，所以所求幾何體體積為：V＝V長方體＋V半球＝1200＋（cm3）．因為S長方體全＝2×（10×8＋8×15＋10×15）＝700（cm2），故所求幾何體的表面積S表面積＝S長方體全＋S半球－S半球底＝700＋＝700＋（cm2）．18．(1)；(2)且.【解析】【分析】(1)根據向量共線的坐標表示即可求出k，根據向量模長公式即可計算；(2)若向量與的夾角是鈍角，則＜0且與不反向，根據數量積即可運算.(1)∵，∴，解得，∴.(2)∵與的夾角是鈍角，∴，且與不反向，即且，∴且.19．(1)(2)1【解析】【分析】（1）設，根據復數代數形式的運算法則及復數相等的充要條件得到方程組，解得即可；（2）將代入已知方程，利用復數代數形式的乘法運算及復數為的充要條件得到方程，即可求出、，再代入，利用復數除法運算法則化簡，從而求出其模；(1)解：設，則，所以，所以，即，所以；(2)解：將代入已知方程可得，即，整理可得，所以，解得，所以，又，故復數的模為1．20．(1)；(2).【解析】【分析】（1）利用正弦定理邊化角，再利用和角的正弦化簡求解作答.（2）利用余弦定理結合均值不等式求出的最大值，再由面積定理求解作答.(1)在中，，由及正弦定理得：，即，，于是得，又，即，則，因，所以.(2)，由余弦定理得：，當且僅當時取“=”，因此，，于是得，當且僅當時取“=”，所以的面積的最大值為.21．(1)證明見解析(2)【解析】【分析】（1）通過證明來證得平面.（2）通過等體積法求得點E到平面PCD的距離.(1)因為，所以.又，.所以在中，由勾股定理，得.因為，所以是