高等數(shù)學高職PPT完整全套教學課件

第一章函數(shù)的極限與連續(xù)高等職業(yè)教育“十三五”規(guī)劃教材高等數(shù)學【ch01】函數(shù)的極限與連續(xù).pptx【ch02】導數(shù)與微分及其應用.pptx【ch03】一元函數(shù)積分及其應用.pptx【ch04】常微分方程及其應用.pptx【ch05】空間解析幾何及其應用.pptx【ch06】多元函數(shù)微積分及其應用.pptx【ch07】無窮級數(shù).pptx全套可編輯PPT課件01函數(shù)的概念PARTONE函數(shù)的概念

“函數(shù)(function)”一詞最初是由德國數(shù)學家萊布尼茨在1692年開始使用。1734年，瑞士數(shù)學家歐拉引入了函數(shù)符號“f(x)”,認為函數(shù)是由一個公式確定的數(shù)量關系。但是當時的函數(shù)概念仍然是比較模糊的。1837年，德國數(shù)學家狄利克雷提出“如果對于x的每一個值，y總有一個完全確定的值與之對應，則y是x的函數(shù)”。這個定義比較清楚地說明了函數(shù)的內涵：不管其對應法則是公式、圖像、表格，還是其他形式，函數(shù)f(x)是x與y之間的一種對應關系。函數(shù)的概念函數(shù)的概念1.函數(shù)的概念：函數(shù)關系的“機器”描述：函數(shù)關系本質上是變量之間的一種運算模式或結構，可以形象地看成“一臺函數(shù)機器”,對每一個允許輸入的x給出唯一一個確定的輸出y。輸入的范圍構成函數(shù)的定義域，輸出的范圍則構成函數(shù)的值域。x→f(x)→y2.函數(shù)記號：函數(shù)y=f(x)的表達式中，f()表示函數(shù)關系，而f(x)表示對應于x的函數(shù)值，兩者是有區(qū)別的。習慣上常把函數(shù)f和函數(shù)值f(x)都稱為函數(shù)。3.函數(shù)的兩要素：函數(shù)的定義域D和函數(shù)關系f，函數(shù)y=f(x)的定義域D是自變量x的取值范圍，而函數(shù)值y是由函數(shù)關系f和自變量x來確定的。函數(shù)的概念函數(shù)的表示方法

1.解析式法(公式法)用一個(或幾個)數(shù)學式子表示函數(shù)關系的方法稱為解析式法，也稱為公式法，一個函數(shù)的解析式可能不唯一，例如絕對值函數(shù)2.表格法(列表法)將自變量的取值與對應的函數(shù)值列成表格表示函數(shù)的方法稱為表格法，例如三角函數(shù)表、對數(shù)表等是用表格法表示的函數(shù)。3.圖像法函數(shù)y=f(x)的圖像是指坐標平面x0y上的集合{(x,y)}y=f(x),x∈D),通常是平面上的一條曲線。函數(shù)的四種特性1.有界性若存在正數(shù)M,使得函數(shù)f(x)在某區(qū)間I上有f|(x)|≤M。則稱函數(shù)f(x)在I上有界，否則稱函數(shù)f(x)在I上無界。若函數(shù)f(x)在I上有界，則其圖像在直線y=-M與y=M之間，顯然，若函數(shù)f(x)有界，則其界不唯一。函數(shù)的概念2.單調性若對于區(qū)間I內任意兩點x1,x2,當x1<x2時，有f(x1)≤f(x2)(或f(x1)≥f(x2)),則稱f(x)在I上單調增加(或單調減少),此時區(qū)間I稱為單調增區(qū)間(或單調減區(qū)間)。3.奇偶性設函數(shù)y=f(x)的定義域D關于原點對稱，若對于任意x∈D,f(-x)=f(x)都成立，則y=f(x)是D上的偶函數(shù)；若對于任意x∈D,f(-x)=-f(x)都成立，則y=f(x)是D上的奇函數(shù)。函數(shù)的概念函數(shù)的概念偶函數(shù)的圖像關于y軸對稱；奇函數(shù)的圖像關于原點對稱。如圖1.1所示。4.周期性對于函數(shù)f(x),若存在不為零的數(shù)T,對任意x∈I,均有x+T∈I,且f(x+T)=f(x)恒成立，稱f(x)為I上的周期函數(shù)，稱T為f(x)的周期。通常所說周期是指它的最小正周期。基本初等函數(shù)

微積分的研究對象是函數(shù)，而一切初等函數(shù)都是由基本初等函數(shù)組成的。中學數(shù)學課程中，我們學習過冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)和反三角函數(shù)，這五類函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù)。函數(shù)的概念復合函數(shù)和反函數(shù)

1.復合函數(shù)一個函數(shù)好比是一臺機器，它把輸入的原料x進行加工，便制造出產品f(x)。如果兩臺機器前后串聯(lián)，后者以前者的輸出作為輸入進行再加工，制造出更新的產品，如此便構成一臺更為復雜的機器，這就是復合函數(shù)的原理。具體說：如果函數(shù)g對x操作，產生g(x),然后函數(shù)f對g操作，產生f(g(x)),這構成的函數(shù)稱為由函數(shù)g和f復合而成的復合函數(shù)，記作fog,即(fog)(x)=f(g(x))。函數(shù)的概念2.反函數(shù)函數(shù)是一種對其定義域內每個元素指定其值域中唯一確定的值的規(guī)則。例如，f(x)=x2對x=1和x=-1指定輸出為1,此時兩個不同的輸入得到相同的輸出。而有些函數(shù)如f(x)=x3,對不同的輸入，輸出總是不同的。若每當x1≠x?時f(x1)≠f(x?),則我們稱這樣的函數(shù)是一對一的。函數(shù)的概念初等函數(shù)與分段函數(shù)

1.初等函數(shù)定義1.2由常數(shù)及基本初等函數(shù)經過有限次的四則運算及有限次的復合所構成，并且可以用一個式子表示的函數(shù)，稱為初等函數(shù)。2.分段函數(shù)在工程技術中，還有一類常見函數(shù)一分段函數(shù)，它在不同的定義域上用不同的函數(shù)表達式表示，一般情況下，分段函數(shù)不是初等函數(shù)。函數(shù)的概念下面列舉幾個常用的分段函數(shù)。(1)絕對值函數(shù)(如圖1.2所示)(2)符號函數(shù)(如圖1.3所示)函數(shù)的概念(3)特征函數(shù)(4)單位階躍函數(shù)(5)取整函數(shù)y=[x]它表示不超過x的最大整數(shù)部分，如圖1.4所示。02極限的概念PARTTWO極限的概念1數(shù)列的極限對于數(shù)列{x},如果當n無限增大時，通項x,無限趨近于某個確定的常數(shù)a,那么稱常數(shù)a為數(shù)列{Xn}的極限。記作：這時稱數(shù)列{x}收斂于a。否則稱數(shù)列發(fā)散，發(fā)散數(shù)列的極限不存在。極限的概念2函數(shù)的極限在理解了“無限接近、無限逼近”的基礎上，我們沿著數(shù)列極限的思路，討論函數(shù)的極限。在討論函數(shù)極限時，自變量的變化過程有以下兩種：(1)自變量的絕對值無限增大，即|x|→+∞。(2)自變量x任意地趨近于某一確定點x0,即x→x0。1.x→0時函數(shù)f(x)的極限

設函數(shù)f(x)當|x|>a時有定義(a為某個正實數(shù)),如果存在一個常數(shù)A,當自變量x的絕對值無限增大時，相應的函數(shù)值f(x)無限接近于A,那么稱A為函數(shù)f(x)當x→0時的極限，記作極限的概念極限的概念在定義中x→0的方式是任意的，即x可以沿正方向趨于無窮大(x→+∞),也可沿負方向趨于無窮大(x→-∞),相應的函數(shù)值都應無限趨近于常數(shù)A。由上面的分析和定義知相應地，如果存在一個常數(shù)A,當x→+∞(x→-∞)時，相應的函數(shù)值f(x)無限接近于A,那么稱A為函數(shù)f(x)當x→+∞(x→-∞)時的極限。記作若

則直線y=A稱為曲線y=f(x)的水平漸近線。當x→∞時，可以得到所以y=0是曲線水平漸近線圖，如圖1.7所示。2.x→x0時函數(shù)f(x)的極限

設函數(shù)f(x)在點x的附近(x≠x0)有定義，若存在常數(shù)A,當自變量x無限趨近于x0(x≠x0)時，相應的函數(shù)值f(x)無限接近于A,則稱A為函數(shù)f(x)當x→x0時的極限，記作為了正確理解函數(shù)極限的概念，下面就函數(shù)

極限說明兩點：(1)x趨近于x0的方式是任意的，x可能從x0的左側趨近于x0,也可能從x0的右側趨近于x0,而相應的函數(shù)值都應無限接近于A。(2)與函數(shù)f(x)在x處是否有定義無關。極限的概念3.函數(shù)的單側極限(左極限和右極限)

由x→x0時函數(shù)f(x)的極限以及函數(shù)的左、右極限的定義，不難得到函數(shù)極限與函數(shù)左、右極限有如下關系：當x→x0時函數(shù)f(x)極限存在的充分必要條件是函數(shù)f(x)的左、右極限存在并且相等，即由于分段函數(shù)在分段點x0的兩側有不同的表達式，因此在討論分段函數(shù)f(x)在x0的極限時，需要先討論函數(shù)在x0處的左、右極限，然后利用函數(shù)極限與函數(shù)左、右極限的關系判定函數(shù)的極限是否存在。極限的概念極限的概念3無窮小與無窮大1.無窮小無窮小的概念在自變量x的某一變化過程中，如果函數(shù)f(x)的極限為零，則稱f(x)為無窮小量，簡稱無窮小。極限的概念3無窮小與無窮大2.無窮小的性質性質1有限個無窮小的代數(shù)和是無窮小。例如，x→0時，x和sinx都是無窮小量，故x+sinx也是x→0時的無窮小量。性質2有限個無窮小的乘積是無窮小。例如，x→0時，x、sinx都是無窮小量，故xsinx也是x→0時的無窮小量。性質3無窮小與有界變量之積是無窮小。極限的概念3無窮小與無窮大3.無窮大無窮大的概念若當x→x0(或x→x)時，函數(shù)的絕對值|f(x)|無限增大，則稱函數(shù)f(x)當x→x0或(x→a)時為無窮大。記為0。(1)無窮大有正無窮大和負無窮大的情形；(2)無窮大是一個變量，不是常數(shù)，一個無論多大的常數(shù)都不是無窮大；(3)無窮大量是極限不存在的一種情形，我們借用記號來表示"當x→x0時，f(x)是無窮大量”,但并不表示極限存在。極限的概念3無窮小與無窮大無窮大與無窮小的關系定理1.1在自變量的同一變化過程中，若f(x)為無窮大，則為無窮??；若f(x)為無窮小，且f(x)≠0,則為無窮大。03求極限的方法PARTTHREE求極限的方法極限的四則運算法則：下面的討論中，只對x→x0的情形進行說明，自變量的其他變化情形結論類似。求極限的方法兩個重要極限：求極限的方法求極限的方法求極限的方法無窮小的比較：求極限的方法無窮小的比較：求極限的方法無窮小的比較：04極限的應用PARTFOUR極限的應用極限的應用極限的應用極限的應用2.左連續(xù)與右連續(xù)極限的應用3.連續(xù)函數(shù)與連續(xù)區(qū)間若函數(shù)y=f(x)在開區(qū)間(a,b)內的每一點都連續(xù)，則稱f(x)在開區(qū)間(a,b)內連續(xù)，也稱函y=f(x)為(a,b)內的連續(xù)函數(shù)，區(qū)間(a,b)稱為函數(shù)y=f(x)的連續(xù)區(qū)間。若函數(shù)y=f(x)在開區(qū)間(a,b)內連續(xù)，且在左端點a右連續(xù)，在右端點b左連續(xù)，則稱函數(shù)y=f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)不間斷的曲線。極限的應用4.函數(shù)的間斷點極限的應用極限的應用極限的應用4.閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質設函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上有定義，如果有x0∈I,使得對于任意x∈I,都有f(x)≤f(x0)(或f(x)≥f(x0))那么稱f(x0)是函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上的最大值(或最小值)性質4.1(最大值和最小值定理)若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則f(x)在[a,b]上必有而且取得最大值和最小值。極限的應用如圖1.13所示，設函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則存在ε1,ε2∈[a,b],使得若函數(shù)在開區(qū)間內連續(xù)，或在閉區(qū)間上有間斷點，結論不一定成立。性質4.2(介值定理)若函數(shù)y=f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，m和M分別為f(x)在[a,b]上的最小值和最大值，則對介于m與M之間的任一實數(shù)C,在(a,b)內至少存在一點ε,使得極限的應用介值定理的幾何意義是：在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)的曲線y=f(x)與直線y=C(m<C<M)至少有一個交點。交點的坐標為(ε,f(ε),其中f(ε)=C。如圖1.14所示，有四個交點，極限的應用推論(零點定理)若函數(shù)y=f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f(a)與f(b)異號。則至少存在一點ε∈(a,b),使得f(ε)=0(a<ε<b)零點定理的幾何意義是：如果連續(xù)的曲線弧f(x)的兩個端點分別位于x軸的上、下兩側，那么這段曲線弧與x軸至少有一個交點(ε,0),即有f(ε)=0。如圖1.15所示。零點定理常被用來判定方程根的存在性，也稱為根的存在定理。極限的應用三、曲線的漸近線為了討論曲線向無窮遠處延伸時的變化規(guī)律，還需引入漸近線的概念。如果曲線上的點沿曲線趨于無窮遠時，此點與某一直線I的距離趨于零，那么稱此直線I為曲線的漸近線,一般地，對于給定函數(shù)y=f(x)。(1)如果

(為常數(shù)),那么稱y=A為曲線y=f(x)的水平漸近線。(2)如果有常數(shù)a使得那么稱x=a為曲線y=f(x)的垂直漸近線。05數(shù)學實驗——用Matlab繪制平面圖形PARTFIVE數(shù)學實驗——用Matlab繪制平面圖形1函數(shù)作圖1.Matlab軟件作平面圖形的常用符號函數(shù)為fplot(),其格式如下：fplot('fun',[xmin,xmax]),表示作出函數(shù)fun在區(qū)間[xmin,xmax]上的圖形。需注意的是：(1)函數(shù)fun中的變量必須用syms定義為符號對象；(2)fplot函數(shù)不能畫參數(shù)方程和隱函數(shù)圖形，但在一個圖上可以畫多個圖形。數(shù)學實驗——用Matlab繪制平面圖形1函數(shù)作圖2.Matlab中隱函數(shù)和參數(shù)方程作圖都采用函數(shù)ezplor(),其格式分別如下：ezplor(f,[xmin,xmax,ymin,ymax])表示在區(qū)間[xmin,xmax,ymin,ymax]上作隱函數(shù)f(x,y)=0的圖形；ezplot(x(t),y(t),[tmin,tmax])表示在t參數(shù)區(qū)間[tmin,tmax]上作參數(shù)方程x=x(t),y=y(t)的圖形。數(shù)學實驗——用Matlab繪制平面圖形2極限的計算在Matlab中可以使用命令limit來計算函數(shù)在某一點處的極限，其使用方法如表1.8所示。謝謝觀看第二章導數(shù)與微分及其應用高等職業(yè)教育“十三五”規(guī)劃教材高等數(shù)學01導數(shù)的概念PARTONE導數(shù)的概念

【案例1高臺跳水入水速度問題】高臺跳水是一項極富冒險性的體育項目，它源于海邊漁民的懸崖跳水，目前已被列入世界游泳錦標賽正式比賽項目，為安全起見，在高臺跳水國際比賽中，跳臺的極限高度為28m,你能計算出運動員入水的瞬時速度嗎?分析運動員跳水過程可以視為自由落體運動，該例實際上是一個求變速直線運動瞬時速度問題，如圖2.1所示。由自由落體運動的知識可知，運動員跳下的距離s(m)和所用時間(s)的關系為(g=9.8m/s2):如果運動員起跳時間記為t=0,那么入水時間為一、變化率問題導數(shù)的概念

計算入水的瞬時速度即跳下2.4s時的速度v(2.4),困難之處在于沒有時間間隔.于是，我們考慮用一些持續(xù)縮短的時間間隔[2.4,2.4+△t]上的平均速度來逐步近似(見表2.1),比如在時間間隔[2.4,2.41]上的平均速度為導數(shù)的概念容易看出，隨著時間間隔的縮短，平均速度越來越接近23.52m/s.結論：運動員入水的瞬時速度v(2.4)定義為從r=2.4開始的逐漸縮短的時間間隔內平均速度的極限值，即一般地，在變速直線運動中，當|△t|很小時，時間段[t0,t0+△t]內的平均速度近似地等于物體在t0時刻的瞬時速度，且|△t|越小，其近似程度越好,當△t→0時，若平均的極限存在，則此極限值稱為物體在t0時刻的瞬時速度v(n),即導數(shù)的概念二、函數(shù)y=f(x)在點x0處的導數(shù)

導數(shù)的概念三、曲線在已知點的切線斜率——導數(shù)的幾何意義

函數(shù)y=f(x)在點x0處的導數(shù)f(x0)在幾何上表示曲線y=f(x)在點(x0,f(x0))處的切線斜率k,即k=f′(x0),從而曲線y=f(x)在點(x0,f(x0))處的切線方程為：y-f(x0)=f′(x0)(x-x0)法線方程為:導數(shù)的概念四、函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內的導數(shù)——導函數(shù)

導數(shù)的概念[關于變化率]把導數(shù)f(x)稱為局部變化率反映了因變量隨著自變量在某處的變化的快慢程度。[關于導數(shù)符號]符號y/表示函數(shù)y=f(x)的因變量y關于自變量x的導數(shù)，為強調對自變量x求導數(shù)，常常記為y'x。[導數(shù)的工程意義](1)瞬時速度：在變速直線運動中，路程函數(shù)s=s(t)對時間的導數(shù)，就是瞬時速度，即v(t)=s'(t)。(2)電流：Q=Q2(t)是通過導體某截面的電量，它是時間：的函數(shù)，Q(t)對時間：的導數(shù)，就是電流，即I(t)=Q'(t)。(3)線密度：非均勻分布的細桿m=m(x)在x處的導數(shù)，就是該細桿在x處的線密度p(x)=m'(x)。02求導的方法——基本公式和復合函數(shù)的導數(shù)PARTTWO求導的方法——基本公式和復合函數(shù)的導數(shù)1求導公式和法則1.基本初等函數(shù)的求導公式根據(jù)導數(shù)的定義，可以求出常數(shù)及基本初等函數(shù)的導數(shù)，作為求導的基本公式.見表2.2。求導的方法——基本公式和復合函數(shù)的導數(shù)2.導數(shù)的四則運算法則利用導數(shù)的定義，可以證明導數(shù)的四則運算法則定理3.1設函數(shù)u=u(x),v=v(x)在點x處可導，則其和、差、積、商在點x處可導，且有：求導的方法——基本公式和復合函數(shù)的導數(shù)03求導數(shù)的方法——隱函數(shù)和由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導數(shù)PARTTHREE求導數(shù)的方法——隱函數(shù)和由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導數(shù)一、隱函數(shù)的導數(shù)前面，我們接觸的函數(shù)都具有y=f(x)的形式，我們把因變量y由自變量x明確表達成y=f(x)形式的函數(shù)稱為顯函數(shù).但有時，變量x,y之間的函數(shù)關系y=f(x)由一個含有x,y的方程F(x,y)=0給出。隱函數(shù)的求導方法：將方程F(x,y)=0兩邊對x求導，遇到含有y的項，把y看作中間變量，先對y求導，再乘y對x的導數(shù)y,得到一個含有y的方程，從中解出y,即可。求導數(shù)的方法——隱函數(shù)和由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導數(shù)二、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導數(shù)求導數(shù)的方法——隱函數(shù)和由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導數(shù)二、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導數(shù)求導數(shù)的方法——隱函數(shù)和由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導數(shù)三、對數(shù)求導法對函數(shù)先取自然對數(shù)，通過對數(shù)運算法則化簡后，再利用隱函數(shù)求導方法求出函數(shù)的導數(shù)，這種求導方法稱為對數(shù)求導法，它不但能解決像y=u(x))類冪指函數(shù)的求導問題，而且對連乘連除的函數(shù)可使求導運算變得簡便。04導數(shù)的應用——函數(shù)的單調性、極值和最值PARTFOUR導數(shù)的應用——函數(shù)的單調性、極值和最值導數(shù)的應用——函數(shù)的單調性、極值和最值導數(shù)的應用——函數(shù)的單調性、極值和最值導數(shù)的應用——函數(shù)的單調性、極值和最值導數(shù)的應用——函數(shù)的單調性、極值和最值三、函數(shù)的極值1.函數(shù)的極值函數(shù)的極值不僅是函數(shù)形態(tài)的重要特征，而且在實際問題中有著廣泛的應用，下面我們用求導的方法來討論函數(shù)的極值問題。若函數(shù)y=f(x)在x的附近(x≠x0)取值時有f(x0)>f(x)(f(x0)<f(x)),則稱f(x0)為函數(shù)y=f(x)在x0的極大值(極小值)，函數(shù)的極大、極小值統(tǒng)稱為極值，使函數(shù)取得極值的點x0稱為函數(shù)的極值點。導數(shù)的應用——函數(shù)的單調性、極值和最值導數(shù)的應用——函數(shù)的單調性、極值和最值極值的必要條件設函數(shù)f(x)在點x處可導，且在點xo取得極值，那么f′(x0)=0，結合函數(shù)單調性的判定方法，下面給出函數(shù)極值的判別方法。極值的判別法設函數(shù)f(x)在點xo連續(xù)且在x0的附近(不含x0)可導，則(1)若當x<x0時，f′(x)>0;當x>x0時，f(x)<0,那么函數(shù)f(x)在x0處有極大值；(2)若當x<x0時，f'′(x)<0;當x>x0時，f(x)>0,那么函數(shù)f(x)在x0處有極小值。導數(shù)的應用——函數(shù)的單調性、極值和最值四、函數(shù)的最值

求函數(shù)的最值問題是最優(yōu)化問題的重要內容，下面討論如何求函數(shù)的最值.從圖2.7可以看出：函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上的最大值或最小值在函數(shù)的極大(小)值點處達到，或在區(qū)間的端點x=a或x=b處取得，因此，求函數(shù)f(x)在[a,b]上最值的具體步驟如下：導數(shù)的應用——函數(shù)的單調性、極值和最值四、函數(shù)的最值

第一步：找出方程f(x)=0的點以及使f(x)不存在的點x1,x?,…,xn;第二步：比較f(x1),f(x2)，…,f(xm),f(a).f(b)的大小，最大者就是函數(shù)f(x)在[a,b]的最大值，最小者就是函數(shù)f(x)在[a,b]上的最小值。05高階導數(shù)及其應用PARTFIVE高階導數(shù)及其應用1高階導數(shù)的概念若函數(shù)y=f(x)的導數(shù)f(x)在點x處可導，則f'(x)在點x處的導數(shù)稱為函數(shù)y=f(x)在點x處的二階導數(shù)，記作y"或f"(x)或高階導數(shù)及其應用2曲線的凹凸性與拐點函數(shù)圖形能直觀地反映函數(shù)的變化規(guī)律，利用函數(shù)的一階導數(shù)可以判斷函數(shù)是上升還是下降的，但這還不夠，有時，還需要知道曲線的彎曲方向，它是向上彎還是向下彎，從圖2.11可以觀察到，當曲線向下彎曲時，曲線總在它的切線上方；當曲線向上彎曲時，曲線總在它的切線的下方，于是有如下的定義高階導數(shù)及其應用從圖2.11可以進一步看出：當曲線是凹的時，切線的斜率隨著x的增大而增大，即f(x)是單調增加的；當曲線是凸的時，切線的斜率隨著x的增大而減小，即f(x)是單調減少的，而函數(shù)f′(x)的單調性，可以用(f(x))Y=f”(x)的符號來判別.在區(qū)間I上任意作曲線y=f(x)的切線，若曲線總是在切線的上方，則稱此曲線在區(qū)間I上是凹的；若曲線總是在切線的下方，則稱此曲線在區(qū)間I上是凸的；曲線凹、凸的分界點稱為曲線的拐點。高階導數(shù)及其應用由此判定方法，得求函數(shù)曲線的凹凸區(qū)間的步驟如下：第一步確定f(x)的定義域；第二步求f(x),f"(x),解出使f"(x)=O的點和f"(x)不存在的點；第三步用這些點將定義域分成若干小區(qū)間，列表判定f"(x)在小區(qū)間內的符號；第四步寫出曲線y=f(x)的凹凸區(qū)間及拐點。曲線凹凸性的判定法設函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且在開區(qū)間(a,b)內具有二階導數(shù)，對于任意x∈(a,b),如果(1)f"(x)>0,則曲線f(x)在區(qū)間[a,b]上是凹的；(2)f"(x)<0,則曲線f(x)在區(qū)間[a,b]上是凸的。高階導數(shù)及其應用3二階導數(shù)的意義從函數(shù)f(x)的二階導數(shù)f′′(x)的定義可以看出，f′′(x)=[f(x)]實際上是函數(shù)f(x)的變化率f′(x)的變化率，f′′(x)>0說明f(x)是單調增加的，即函數(shù)f(x)的變化率是單調增加的。高階導數(shù)及其應用4曲率高階導數(shù)及其應用曲率反映了曲線的彎曲程度，曲率大的，彎曲程度高；反之，曲率小的，彎曲程度小。下面給出函數(shù)y=f(x)的一、二階導數(shù)計算曲率的公式：對于直線，若其方程為y=ax+b(a為直線的斜率),因為y′=a,y′′=0,所以，k=0,即直線的彎曲程度為0(直線不彎曲)。高階導數(shù)及其應用06函數(shù)的微分及其應用PARTSIX函數(shù)的微分及其應用這里，按習慣將自變量的改變量△x記作dx,稱為自變量的微分即△x=dx，一般地，可導函數(shù)f(x)在任一點x處的微分為dy=f(x)dx。我們知道，函數(shù)y=f(x)的導數(shù)為即函數(shù)f(x)的導數(shù)f′(x)等于函數(shù)的微分dy與自變量的微分dx之商，因此導數(shù)又稱為“微商”。一、函數(shù)的微分

設函數(shù)f(x)在點x0及其附近可導，則稱f′(x0)dx為函數(shù)f(x)在點x0處的微分，記作dy│x=x0函數(shù)的微分及其應用二、用微分近似計算改變量和進行誤差估計

從圖2.15可以看出，金屬薄片受熱后面積的改變量AS(圖2.15中陰影部分)可以用面積的微分dS(圖2.15中淺色陰影部分)近似計算。函數(shù)的微分及其應用函數(shù)的微分及其應用07數(shù)學實驗——用Matlab計算函數(shù)導數(shù)和最小值PARTSEVEN數(shù)學實驗——用Matlab計算函數(shù)導數(shù)和最小值數(shù)學實驗——用Matlab計算函數(shù)導數(shù)和最小值2.計算函數(shù)在一點處的導數(shù)值在Matlab中可以使用命令subs來計算函數(shù)在某一點處的導數(shù)值，subs命令的使用格式為subs(s,old,new。其中s表示表達式，新值new用來替換舊值old。數(shù)學實驗——用Matlab計算函數(shù)導數(shù)和最小值3.計算函數(shù)的最小值在Matlab中可以使用fminbnd命令來計算函數(shù)y=f(x)在給定區(qū)間[x1,x2]上的最小值。Matlab沒有提供計算在給定區(qū)間上函數(shù)的最大值的命令，如果需要計算y=f(x)在區(qū)間[x1,x2]上的最大值，可以對函數(shù)y=f(x)做變換：令w=-y,則w=-f(x),那么就把求函數(shù)y的最大值問題轉化為求函數(shù)w的最小值問題fminbnd命令的使用格式如表2.8所示。數(shù)學實驗——用Matlab計算函數(shù)導數(shù)和最小值數(shù)學實驗——用Matlab計算函數(shù)導數(shù)和最小值數(shù)學實驗——用Matlab計算函數(shù)導數(shù)和最小值這里畫的是區(qū)間[-4,4]上的圖形，也可以選別的區(qū)間。我們可以發(fā)現(xiàn)①導函數(shù)圖像在橫軸上方的區(qū)域是對應于原函數(shù)的單增區(qū)間；而橫軸下方的區(qū)域是對應于原函數(shù)的單減區(qū)間；②導函數(shù)圖像由橫軸上方到下方的交點為極大值點；而由橫軸下方到上方的交點為極小值點。謝謝觀看第三章一元函數(shù)積分及其應用高等職業(yè)教育“十三五”規(guī)劃教材高等數(shù)學01定積分的概念PARTONE定積分的概念

17世紀下半葉，歐洲科學技術迅猛發(fā)展，由于生產力的提高和社會各方面的迫切需要，經各國科學家的努力與歷史的積累，建立在函數(shù)與極限概念基礎上的微積分理論應運而生。定積分起源于求解圖形的面積和幾何體的體積等實際問題.古希臘阿基米德(公元前287-前212年)用“窮竭法”,我國的劉徽用“割圓術”,都曾計算過一些圖形的面積和幾何體的體積，這些均為定積分的雛形。一、定積分的起源定積分的概念

1.窮竭法總量問題是積分學的中心問題，積分的起源可追溯到2500年前的古希臘，那時的希臘人在計算一些圖形的面積時，使用了“窮竭法”,當時他們已經能計算多邊形的面積：先把多邊形分成若干個三角形，然后把這些三角形的面積累加起來.然而在計算曲邊形的面積時，這種方法就不適用了，后來，古希臘數(shù)學家阿基米德利用“窮竭法”計算圓的面積：先計算圓的內接正多邊形和外切正多邊形的面積，然后讓多邊形的邊數(shù)不斷增加，逼近圓的面積。定積分的概念2.割圓術我國魏晉時期數(shù)學家劉徽使用了“割圓術”來推算圓面積，他從圓內接正六邊形開始割圓，每次邊數(shù)倍增，計算出正192邊形的面積，求得稱為“徽率”,后來祖沖之使用劉徽的方法，正確地計算出圓內接正3072邊形的面積，從而得到精確度很高的圓周率近似值精確到小數(shù)點后四位，即：3.1416。定積分的概念3.無限求和在歐洲，對此類問題的研究興起于17世紀，其中德國的萊布尼茨接受了意大利數(shù)學家卡瓦列里(1598——1647)不可分量的原理，將曲邊形看成無窮多個寬度為無窮小的矩形之和，從而導致了積分的產生.牛頓從另一途徑引出積分概念，他從確定面積的變化率(即導數(shù))入手，通過求變化率的逆過程來計算面積.兩人都得到了解決計算特殊形狀的面積問題的普遍算法積分計算法，又幾乎同時互相獨立地得出了積分和微分的互逆關系，由此創(chuàng)立了積分學.但是，他們的積分概念缺少邏輯基礎，嚴格的定積分的定義是由19世紀的柯西和黎曼建立的。定積分的概念

許多工程實踐中我們經常會遇到一些不規(guī)則、不均勻、非恒定的整體量的計算問題.我們處理這些類似問題時常將它們轉化為無限多個規(guī)則、均勻，恒定的量相加問題，也就是采用一種無限求和的思想方法加以解決。1.曲邊梯形面積的計算求曲邊梯形的面積可以轉化為求無限個矩形面積之和，即面積的無限求和問題。2.變速直線運動路程的計算求變速直線運動的路程可以轉化為求無限個勻速運動路程之和，即路程的無限求和問題。二、無限求和問題定積分的概念三、定積分的概念

如果把上述兩個例子中無限求和的思想，推廣到定義在閉區(qū)間上的有界函數(shù)，如圖3.3所示，就可得到定積分的定義。定積分的概念定積分的概念四、定積分的性質下面介紹定積分的幾個常用性質。因此，性質1和性質2被統(tǒng)稱為定積分的線性性質。定積分的概念四、定積分的性質性質3被稱為定積分的區(qū)間可加性，它為我們計算絕對值函數(shù)或分段函數(shù)的定積分帶來了方便。性質4若函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，則在[a,b]中至少存在一點5,使得下式成立：該性質的幾何意義是：當f(x)≥0時，定積分所對應的曲邊梯形的面積必定與某個以f(5)為寬，區(qū)間[a,b]長度b-a為長的矩形面積相等，性質4也稱為積分中值定理。02定積分的計算PARTTWO定積分的計算1不定積分1.原函數(shù)和不定積分的定義我們知道(x2)=2x,2x是x2的導函數(shù)，那么把x2稱為2x的一個原函數(shù)。很容易想到，2x的原函數(shù)并不唯一，因為(x2+1)=2x,所以x2+1也是2x的一個原函數(shù)，事實上，x2+C都是2x的原函數(shù)，且為2x的一切原函數(shù)，其中C為任意常數(shù)。原函數(shù)：若F'(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx,則稱F(x)是f(x)的一個原函數(shù)。定積分的計算1不定積分2.不定積分的公式和性質根據(jù)不定積分的定義以及求不定積分與求導運算的互逆關系，我們將學習過的求導公式反過來就成了求不定積分的公式：定積分的計算二.微積分基本定理在上一節(jié)例2中，曾討論過變速直線運動的路程問題，得到了速度為v(t)的物體在時間段[a,b]經過的路程可表示為定積分如果做直線運動的物體的運動規(guī)律s=s(t)是已知的，顯然物體在時間段[a,b]上經過的路程又可表示為s(b)-s(a),而由導數(shù)的物理意義知：s’(t)=v(t),于是有其中s(t)是v(t)的原函數(shù)。定積分的計算二.微積分基本定理定理3.1(微積分基本定理)設函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，F(xiàn)(x)是f(x)的一個原函數(shù)，則有如下公式：定理結論中的式3.1就是著名的牛頓-萊布尼茨公式，也稱為微積分基本公式，它以一個簡單的等式表示了定積分與不定積分之間的密切關系，同時也表示了微分與積分之間的基本關系，因而該定理被稱為微積分基本定理.它給出了計算連續(xù)函數(shù)定積分的一種簡單方法，為了方便，公式也常被簡寫為如下形式：我們用公式3.2再來計算上節(jié)例1中的曲邊三角形的面積就非常簡便：定積分的計算1.不定積分的直接積分法

所謂不定積分的直接積分法是指對積分函數(shù)進行一定的整理變形就可直接利用積分的線性性質和積分公式計算不定積分的一種方法。2.不定積分的湊微分法積分函數(shù)是復合函數(shù)的不定積分，用直接積分法是不行的，例如根據(jù)積分運算與導數(shù)運算互為逆運算的關系，我們從復合函數(shù)求導法推出求不定積分的另一種重要而有效的方法——湊微分法。三、不定積分的求法

由牛頓-萊布尼茨公式可知，定積分的計算關鍵在于計算積分函數(shù)的原函數(shù)，即先要求出積分函數(shù)的不定積分，我們先來學習兩種求不定積分的方法——直接積分法和湊微分法。定積分的計算1.定積分的換元積分法

所謂定積分的換元積分法，就是通過變量換元，將一個較難計算的定積分轉化為另一個數(shù)值相等的較簡單定積分的計算。其原理如下：式(3.5)稱為定積分的換元公式，其中β,α由確定.通俗地講，即“上限對上限，下限對下限",同時定積分的積分變量也由原來的x代換為t。四、定積分的求法

我們已經學習了兩種求不定積分的方法直接積分法和湊微分法，在用上述方法求出原函數(shù)后，只要運用牛頓一萊布尼茨公式就可以計算定積分.然而，由于定積分自身的特點，我們還需要學習兩種定積分的求法，將定積分先作一定的化簡處理再進行計算。定積分的計算2.定積分的分部積分法在化簡定積分的計算時，除了可以用前面介紹的換元法將其轉化為另一個較簡單的定積分進行計算，還可以用分部積分法實現(xiàn)這種轉化。分部積分法就是根據(jù)乘法求導法則推出的來簡化定積分計算的一種公式方法：式(3.6)被稱為定積分的分部積分公式。分部積分法一般用于解決積分函數(shù)為冪函數(shù)與其他基本初等函數(shù)乘積、三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)乘積形式的定積分計算問題。其關鍵在于如何湊成一個函數(shù)的微分dv,才能使公式右邊的定積分比公式左邊的定積分

容易求出。定積分的計算五、反常積分定積分的計算03定積分的應用PARTTHREE定積分的應用一、微元法定積分的思想是17世紀人類最偉大的成果之一，它對于解決那些不規(guī)則、非均勻、非恒定的整體量計算問題非常有用，因而定積分在各個領域內的應用相當廣泛，定積分的無限求和思想常被歸納為一種更為廣泛意義下的微元法。定積分的應用定積分的應用二、求平面圖形的面積和旋轉體的體積1.平面圖形的面積設函數(shù)f(x),g(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f(x)>g(x),求由曲線y=f(x),y=g(x)及直線x=a,x=b所圍平面圖形的面積。2.旋轉體的體積所謂旋轉體是由一個平面圖形繞著這個平面內一條直線旋轉一周所形成的幾何體，這條直線稱為旋轉軸車床切削加工出來的工件很多都是旋轉體，常見的有圓柱、圓錐、圓臺和球等，它們可分別看成是由矩形繞它的一條邊、直角三角形繞它的直角邊、直角梯形繞它的直角腰和半圓繞它的直徑旋轉一周而成的旋轉體。定積分的應用三、定積分在工程上的應用舉例

1.計算光滑曲線的弧長工程上的曲面大多都是光滑的，經常需要求曲面上一些曲線的長，即存在如下問題：設曲線弧由參數(shù)方程：給定，其中φ(t),ψ(t)在區(qū)間[α,β]上具有連續(xù)導數(shù)，且φ′(t),ψ′(t)不同時為零，求該曲線弧的長度。分析采用微元法，選擇參數(shù)為積分變量，任取積分區(qū)間[α,β]上一個微小區(qū)間[t,t+△t],該微小區(qū)間上小弧段的長度可近似等于對應的弦的長度定積分的應用2.求變力做功如果物體受恒力F作用沿著力的方向移動一段距離s,那么力所做的功W=F·s。工程上經常要考慮這樣的問題：如果物體在變力F(x)作用下沿著x軸從x=a運動到x=b,求變力F(x)所做的功。3.求液體側壓力由物理學壓強知識知道，在液面下深度為h處的壓強為p=pgh,其中p是液體的密度，g是重力加速度，如果有一個面積為A的薄板水平地放置于該液面下h處，則薄板一側所受到的液體壓力為F=pA。但在實際問題中，往往要計算薄板豎直放置在液體中時，其一側所受到的壓力，由于壓強隨液體的深度而變化，所以薄板一側所受到的液體壓力要用微元法來解決。04數(shù)學實驗——用Matlab計算積分PARTFOUR數(shù)學實驗——用Matlab計算積分在Matlab中可以使用int命令來求一個函數(shù)的不定積分，使用格式如表3.1所示。數(shù)學實驗——用Matlab計算積分數(shù)學實驗——用Matlab計算積分數(shù)學實驗——用Matlab計算積分謝謝觀看第四章常微分方程及其應用高等職業(yè)教育“十三五”規(guī)劃教材高等數(shù)學01微分方程的概念PARTONE微分方程的概念

英國數(shù)學家、哲學家懷特曾指出：“數(shù)學是一門理性思維的科學，它是研究、了解和知曉現(xiàn)實世界的工具，”例如，1846年9月23日，數(shù)學家和天文學家合作，通過微分方程求解，發(fā)現(xiàn)了一顆有名的新星——海王星，這一發(fā)現(xiàn)一直在科學界傳為佳話。又如，1991年，科學家曾在阿爾卑斯山發(fā)現(xiàn)一個肌肉發(fā)達的冰人，據(jù)軀體所含碳原子消失的程度，通過微分方程求解，推斷這個冰人大約在5000年以前遇難。由此可見，微分方程所具有的價值。凡是含有未知函數(shù)的導數(shù)(或微分)的方程，稱為微分方程。其中未知函數(shù)是一元函數(shù)的微分方程稱為常微分方程。在微分方程中，未知函數(shù)最高階導數(shù)的階數(shù)，稱為微分方程的階。1.微分方程的定義微分方程的概念

如果把函數(shù)y=f(x)代入微分方程后，能使方程成為恒等式，則稱該函數(shù)y=f(x)為微分方程的解。一般地，在微分方程的解中，所含的獨立任意常數(shù)的個數(shù)與微分方程的階數(shù)相同，稱這樣的解為微分方程的通解。2.微分方程的解與通解微分方程的概念

在通解中，任意常數(shù)由未知函數(shù)及其各階導數(shù)在某個特定點的值來確定，稱為初始條件，滿足初始條件的解稱為微分方程的特解。3.初始條件與特解02一階微分方程PARTTWO一階微分方程1可分離變量的微分方程形如的微分方程，稱為可分離變量的微分方程。其中，f(x),g(y)分別是變量x,y的連續(xù)函數(shù)。一階微分方程二、可分離變量的微分方程的求解方法一階微分方程三、一階線性微分方程

形如的微分方程，稱為一階線性微分方程，其中P(x),2(x)都是x的已知連續(xù)函數(shù)?！咀ⅰ俊熬€性”是指未知函數(shù)y和它的導數(shù)y/都是一次的。當Q(x)≠0時，式(4.1)稱為一階非齊次線性微分方程；當Q(x)=0時，式(4.1)稱為一階齊次線性微分方程。一階微分方程四、求解一階線性微分方程的簡便方法-公式法

03二階常系數(shù)線性微分方程PARTTHREE二階常系數(shù)線性微分方程定理4.1如果y?與y?是方程(4.3)的兩個特解，而且

≠常數(shù)，則y=C1y?+C?y?為方程(4.3)的通解，其中C1與C?為任意常數(shù)，滿足“≠常數(shù)”這一條件的兩個解稱為線性無關的解，求(4.3)的通解就歸結為求它的兩個線性無關的特解，下面討論如何求方程的兩個線性無關的特解。一、二階常系數(shù)線性微分方程

形如y′′+py′+qy=0的微分方程(其中p、q均為已知常數(shù)),稱為二階常系數(shù)齊次線性微分方程。二階常系數(shù)線性微分方程二、二階常系數(shù)齊次線性微分方程的求解

二階常系數(shù)線性微分方程二、二階常系數(shù)齊次線性微分方程的求解

二階常系數(shù)線性微分方程為了求解，我們給出如下兩個定理。定理4.2(非齊次線性微分方程解的疊加原理)如果函數(shù)y為式(4.5)的一個特解，Y為式(4.5)所對應齊次線性微分方程y′′+py′+qy=0的通解，則y=y*+Y為式(4.5)的通解。定理4.3(非齊次線性微分方程解的分離定理)如果y1*是方程y′′+py′+qy=f(x)的特解，y1*是方程y′′+py′+qy=f(x)的特解，則y=y1*+y?*是方程y′′+py′+qy=f1(x)+f2(x)的特解。三、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程

形如y′′+py′+qy=f(x)的微分方程(其中p、g均為已知常數(shù)),稱為二階常系數(shù)非齊次線性微分方程，f(x)稱為非齊次項。二階常系數(shù)線性微分方程四、求解二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的步驟

第一步：先求出式(4.5)所對應的齊次線性微分方程y′′+py′+qy=0的通解Y;第二步：根據(jù)非齊次項f(x)不同類型設出式(4.5)的含待定系數(shù)的特解y*,并將y*代入式(4.5)中，求解出待定常數(shù)，進而確定非齊次方程y′′+py′+qy=f(x)的一個特解y;第三步：寫出式(4.5)的通解y=y*+Y非齊次項f(x)通常有以下兩種類型的微分方程。二階常系數(shù)線性微分方程五、類型1

二階常系數(shù)線性微分方程六、類型2

04微分方程的幾個應用案例PARTFOUR微分方程的幾個應用案例【案例1考古挖掘物年代的確定】

根據(jù)C-14會發(fā)生放射性衰變的規(guī)律，建立木碳制品所含C-14數(shù)量的微分方程，在測得木炭制品中的C-14衰變速率后，將C-14的半衰變期5568年作為方程的初始條件，求解微分方程，結合初始速率這一條件，確定木炭制品的年代。測定考古挖掘物年代的最精確方法之一，是1949年由利比發(fā)明的C-14年齡測定法，這種方法的科學依據(jù)是地球周圍的大氣不斷受到宇宙射線的沖擊，這些宇宙射線使地球的大氣中產生中子，中子同氮氣作用后產生C-14，由于C-14會發(fā)生放射性衰變，所以通常稱為放射性碳。這種放射性碳又結合為二氧化碳(CO?),二氧化碳在大氣中運動被植物吸收，動物通過進食植物又把放射性碳帶入到它們的組織中，在活的組織中，提取C-14的速率正好與C-14的衰變速率相平衡。微分方程的幾個應用案例【案例1考古挖掘物年代的確定】

然而，當組織死了以后，它就停止了提取C-14,因此C-14在組織內的濃度按照C-14的衰變速率減少，地球的大氣被宇宙射線沖擊的速率始終不變。在這種假設之下，像木炭這種物質，C-14原來的衰變速率同現(xiàn)在測量出來的衰變速率是一樣的，這是因為自20世紀50年代以來，核武器實驗使得大氣中放射性碳的數(shù)量顯著增加，這種不幸的事實反而為我們提供了檢驗藝術品真?zhèn)蔚囊环N極其有效的方法，科學家們用許多材料驗證了C-14的濃度與植物或動物死亡時大氣中的C14的濃度相同。在假設C-14的衰變速率與該時刻C-14的含量成正比的條件下，通過下述方法便可確定木炭制品的年齡。微分方程的幾個應用案例微分方程的幾個應用案例微分方程的幾個應用案例【案例2】

馬王堆一號墓于1972年8月出土，出土時測得木炭標本的C-14的平均原子衰變速率為29.78次/分，而新砍伐燒成的木炭的原子衰變速率為38.37次/分。試估算一下馬王堆一號墓的大致年代。將T=5568,N′(0)=38.37,N′(t)=29.78代入到(4.9)式，得即馬王堆一號墓距今約2000年，推斷出墓主是西漢長沙國丞相利蒼之妻辛追。微分方程的幾個應用案例【案例3游船上的傳染病人數(shù)】

一只游船上有800人，一名游客不幸患了某種傳染病，12小時后已有3人發(fā)病，由于這種傳染病沒有早期癥狀，故感染者不能被及時隔離.直升機在60至72小時將疫苗運到，試估算疫苗運到時已患此傳染病的人數(shù)。解：設y(t)表示發(fā)現(xiàn)首例病人后t小時的感染人數(shù)，則800-y(t)表示此時刻未受到感染人數(shù)，由題意知y(0)=1,y(12)=3。當感染人數(shù)y(t)很小時，傳染病的傳播速度較慢，因為只有很少的游客能接觸到感染者；當感染人數(shù)y(t)很大時，未受感染的人數(shù)800-y(t)很小，即只有很少的游客會被傳染，所以此時染病的傳播速度也很慢，排除上述兩種極端的情況，當有很多的感染者及很多的未感染者時，傳染病的傳播速度很快，因此傳染病的發(fā)病率，一方面受感染人數(shù)的影響，另一方面也受未感染人數(shù)的制約。微分方程的幾個應用案例微分方程的幾個應用案例從上面的數(shù)字可以看出，在72小時疫苗被運到時感染者的人數(shù)將是在60小時時感染人數(shù)的2倍，可見在傳染病流行時及時采取措施是至關重要的。微分方程的幾個應用案例【案例4生物的重量問題】

肥胖的人想要減肥，許多運動項目也要求運動員控制體重，然而許多養(yǎng)殖場卻想在限定時間內使牲畜的體重增加到一定重量，期望取得最大利潤.如何解釋重量和時間的關系，解不妨嘗試用熱量平衡方程來解釋此問題。微分方程的幾個應用案例【案例4生物的重量問題】

(1)設每天的飲食可產生的熱量為A,用于正常的新陳代謝所消耗的熱量為B,運動消耗掉熱量為體重的C倍，并且假定增重、減肥的熱量主要由脂肪提供，每千克脂肪轉化的熱量為D,記W(t)為體重，考慮t倒t+△t的時間間隔內，體重增加所需要的熱量等于這段時間飲食所攝入的熱量減去正常新陳代謝所消耗的熱量及運動所消耗的熱量。微分方程的幾個應用案例微分方程的幾個應用案例微分方程的幾個應用案例05數(shù)學實驗——用Matlab解微分方程PARTFIVE數(shù)學實驗——用Matlab解微分方程數(shù)學實驗——用Matlab解微分方程數(shù)學實驗——用Matlab解微分方程謝謝觀看第五章空間解析幾何及其應用高等職業(yè)教育“十三五”規(guī)劃教材高等數(shù)學01空間直角坐標系與向量代數(shù)基礎PARTONE空間直角坐標系與向量代數(shù)基礎

在空間取定一點O,過0點作三條兩兩互相垂直的數(shù)軸Ox,Oy,Oz,并按右手螺旋法則確定正方向(即將右手的拇指朝向Oz方向，其余四指指向Ox的方向，四指彎曲后的方向為Oy的方向)。一、空間直角坐標系

兩個有序實數(shù)可以確定平面上的一點，平面上任何一點可以用有序實數(shù)對(a,b)來表示，a是橫坐標，b是縱坐標.在空間確定一個點，需要三個有序實數(shù)，我們用有序的三元實數(shù)組(a,b,c)來表示空間中的任意一點?？臻g直角坐標系與向量代數(shù)基礎

三軸的交點O稱為原點，三條軸分別稱為x軸(橫軸),y軸(縱軸)和z軸(豎),它們統(tǒng)稱為坐標軸，這樣的三條坐標軸和原點就組成了一個空間直角坐標系，如圖5.1所示。任意兩條坐標軸確定一個平面.x軸與y軸、y軸與z軸、z軸與x軸確定的平面分別稱為x0y平面、yOz平面和zOx平面，統(tǒng)稱為坐標面；三個坐標面把空間分成八個部分，每個部分稱為一個卦限，其順序是先從上半空間中(z>0)按逆時針方向依次為I、Ⅱ、Ⅲ、IV四個卦限，下半空間(z<0)與I、Ⅱ、Ⅲ、IV卦限對應的依次是V、VI、VI、VⅢ四個卦限，如圖5.2所示?？臻g直角坐標系與向量代數(shù)基礎

設M為空間中的一個點，過點M作三個平面分別垂直于三條坐標軸，它們與x軸、y軸、z軸的交點依次為P、Q、R(如圖5.3所示),設P、Q、R三點在三個坐標軸上的坐標依次為x,y,z.這樣，空間的一個點就唯一的確定了一個有序實數(shù)組(x,y,z),數(shù)組(x,y,z)稱為點M的空間直角坐標，x,y,z分別稱為點M的橫坐標、縱坐標和豎坐標，可以證明數(shù)值(x,y,z)與空間中的點M是一一對應的，故空間點M通常表示為M(x,y,z)。這樣，通過空間直角坐標系，我們就建立了空間的點M與有序實數(shù)組(x,y,z)之間的一一對應關系?？臻g直角坐標系與向量代數(shù)基礎二、向量的概念

在現(xiàn)實生活中，我們常常遇到兩種類型的量，一種是如長度、質量、溫度、時間等，只有大小，用一個數(shù)字就完全可以表示的量，這種量稱為數(shù)量(標量);另一種是如力、速度、位移、電場強度等既有大小，又有方向的量，這種既有大小又有方向的量稱為向量(矢量)?？臻g直角坐標系與向量代數(shù)基礎如果向量a和b的模相等且方向相同，則稱向量a和向量b是相等的，記作a=b。如果兩個向量的模相等而方向相反，這時我們就稱其中一個向量是另一個向量的負向量，例如向量a的負向量記作-a。向量通常用黑斜體字母a,b,c等來表示，手寫時也可用英文小寫字母加一箭頭表示，如d,b等。幾何上，常用有向線段表示向量，起點為A終點為B的向量記為A。向量的長度稱為向量的模，用al,b1,AB來表示。模等于1的向量稱為單位向量。模等于0的向量稱為零向量，記作0,零向量的方向可以看做是任意的。空間直角坐標系與向量代數(shù)基礎三、向量的線性運算及其坐標表達式1.向量的線性運算(1)向量的加法這種表示向量加法的方法稱為向量加法的平行四邊形法則.由于向量可以平移，所以，若把b的起點平移到a的終點上，則以a的起點為起點，以b的終點為終點的向量即a+b,這種表示向量和的方法稱為向量加法的三角形法則?？臻g直角坐標系與向量代數(shù)基礎(2)向量的減法向量的減法是加法的逆運算。若：a-b=c,則b+c=a,故根據(jù)向量加法的三角形法則，可得向量減法的作圖方法：取O為起點，作向量OA=a,OB=b,則向量BA=c即為向量a與b的差，如圖5.6所示。(3)向量的數(shù)乘實數(shù)n與向量a的乘積是一個向量，記作λa,λa的模是a的模的2倍，即|λa|=|λ|·|a|當λ>0時，Aa與a同向；當λ<0時，a與a反向；當λ=0時，a=0?？臻g直角坐標系與向量代數(shù)基礎2.向量的坐標表示在給定的空間直角坐標系0xyz中，取三個分別與x軸、y軸、z軸同向的單位向量依次記作i;j,k稱其為空間直角坐標系下的三個基本單位向量，空間中任一向量a,都可以唯一地表示為i.j,k數(shù)乘之和。對于任一向量a,我們來定義它的坐標。將a平移，如圖5.7所示，使原點O為a的始點，終點記為M,則OM=a,過M點作垂直于三個坐標軸的平面，分別交x軸、y軸、z軸于點A、B、C,則OA,OB,OC分別稱為OM在坐標軸上的分向量?？臻g直角坐標系與向量代數(shù)基礎空間直角坐標系與向量代數(shù)基礎利用向量的坐標，可以將兩個向量的加法、減法運算及數(shù)與向量的乘積運算轉化為代數(shù)運算。所以a±b與λa的坐標分別為也就是說，向量的和(差)向量的坐標等于它們的坐標的和(差)，數(shù)乘向量λa的坐標等于數(shù)λ乘a的坐標?？臻g直角坐標系與向量代數(shù)基礎實際生活中，我們會經常遇到像這樣由兩個向量的模及其夾角余弦的乘積構成的算式，由此，我們引入兩向量的數(shù)量積的概念。四、向量的數(shù)量積和向量積

1.向量的數(shù)量積【案例2恒力做功問題】我們知道在物理學中，恒力F作用于一物體，這個力所做功W的大小，由力的大小、物體在受力產生的位移s以及s與F的夾角0的余弦來決定如圖5.9所示，即：空間直角坐標系與向量代數(shù)基礎

由數(shù)量積的定義易知：兩個非零向量a與b垂直的充要條件是它們的數(shù)量積為零，即對于任意向量a,b及任意實數(shù)n,有交換律：a·b=b·a;分配律：a·(b+c)=a·b+a·c;與數(shù)乘結合律：(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)。空間直角坐標系與向量代數(shù)基礎

2.向量的向量積【案例3物理力矩問題】在物理學中，要表示一外力對物體的轉動所產生的影響，我們用力矩來描述，設一杠桿的一端O固定，力F作用于杠桿上的點A處，F(xiàn)與OA的夾角為0,則杠桿在F的作用下繞O點轉動，這時，可用力矩M來描述，力F對O的力矩M是個向量，M的大小為M的方向與OA及F都垂直，且OA、F、M成右手系，如圖5.10所示實際生活中，會經常遇到由兩個向量的模及其夾角正弦的乘積構成的算式，由此，引入兩向量的向量積的概念?？臻g直角坐標系與向量代數(shù)基礎從定義5.2中可得出如下結論：(1)兩向量a與b的向量積a×b是一個向量，其模|a×b的幾何意義是以a,b為鄰邊的平行四邊形的面積。(2)對于兩個非零向量a與b,a與b平行的充要條件是它們的向量積為零向量，即a//b?a×b=0空間直角坐標系與向量代數(shù)基礎對任意向量a、b及任意實數(shù)n,有以下定律。反交換律：a×b=-b×a。分配律：a×(b+c)=a×b+a×c,(a+b)×c=a×c+b×c。與數(shù)乘的結合律：(λa)×b=λ(a×b)=a×(Aλb)。02空間解析幾何及其應用PARTTWO空間解析幾何及其應用有下述關系：(1)曲面∑上任一點的坐標都滿足方程F(x,y,z)=0;(2)滿足方程F(x,y,z)=O的點(x,y,z)在曲面乙上，不在曲面乙上的點都不滿足方程F(x,y,z)=0那么，一、曲面方程的概念

在空間解析幾何中，任何曲面都可以看做點的幾何軌跡，如果曲面∑與三元方程F(x,y,z)=0?？臻g解析幾何及其應用F(x,y,z)=0就稱為曲面∑的方程，而曲面∑就稱為此方程的圖形。解析幾何主要解決的問題：(1)已知一曲面作為點的幾何軌跡，建立這個曲面的方程；(2)已知一曲面的方程，研究這個曲面的幾何形狀?？臻g解析幾何及其應用若一個非零向量n垂直于平面π,則稱向量n為平面π的一個法向量。顯然，若n是平面π的一個法向量，則λn(λ為任意非零實數(shù)),都是π的法向量。二、平面與直線

1.平面方程由立體幾何知識知道，過一個定點M0(x0,y0,z0)且垂直于一個非零向量n={A,B,C}有且只有一個平面π，(見圖5.12)?？臻g解析幾何及其應用空間解析幾何及其應用消去λ，得這就是直線L上任意一點M(x,y,z)的坐標所滿足的方程，而不在直線L上的點的坐標均不滿足式5.5,因此式5.5就是直線L的方程，稱其為直線L的點向式方程，也稱為標準方程。由于直線L的方向向量s≠0,所以m,n,p不全為零，但當有一個為零時，如m=0時，直線方程為該直線與yOz平面平行。當有兩個為零時，如m=n=0時，直線方程為：該直線與z軸平行。空間解析幾何及其應用1.柱面直線L沿空間一條曲線r平行移動所形成的曲面稱為柱面.動直線L稱為柱面的母線，定曲線T稱為柱面的準線。常見的柱面有：圓柱面：x2+y2=R2,橢圓柱面：三、二次曲面

二次方程所表示的曲面叫二次曲面；n次方程所表示的曲面稱為n次曲面.下面介紹幾個常見的二次曲面，我們經常應用“截痕法”對二次曲面進行研究，即利用平行于坐標平面的平面去截曲面，然后考察其截痕(交線)圖形的特點，以此來想象曲面的空間形狀，這種方法稱為截痕法?？臻g解析幾何及其應用空間解析幾何及其應用空間解析幾何及其應用3.雙曲面雙曲面根據(jù)圖形的特點分為單葉雙曲面和雙葉雙曲面。由方程所確定的曲面稱為單葉雙曲面(見圖5.18)。由方程所確定的曲面稱為雙葉雙曲面(見圖5.19)。單葉雙曲面還有雙葉雙曲面還有空間解析幾何及其應用4.拋物面常見的拋物面有橢圓拋物面和雙曲拋物面，由方程所確定的曲面稱為橢圓拋物面(見圖5.20)03數(shù)學實驗——用Matlab繪制空間圖形PARTTHREE數(shù)學實驗——用Matlab繪制空間圖形

函數(shù)plot(x,y,z)中，參數(shù)x,y,z分別定義曲線的三個坐標向量或矩陣，若是向量，則表示繪制一條三維曲線；若是矩陣，則表示繪制多條三維曲線?！纠?】繪制一條三維螺旋線解在Matlab的命令窗口輸入：>>t=0:uppi/50:10*uppi;>>x=sin(t);>>y=cos(t);>>z=t;>>subplot(1,2,1);>>plot3(x,y,z)回車后，結果顯示如5.21左圖所示。數(shù)學實驗——用Matlab繪制空間圖形【例2】繪制函數(shù)z=x2-2y2滿足-10≤x,y≤10的圖形.解在Matlab的命令窗口輸入：>>t=-10:1:10;>>[x2,y2]=meshgrid(t);>>z2=x2.A2-2*y2.A2;>>mesh(x2,y2,z2),title(馬鞍面)回車后，結果如圖5.21右圖所示。數(shù)學實驗——用Matlab繪制空間圖形【例3】畫函數(shù)x2+y2=1的所形成的柱面與旋轉曲面。解在Matlab的命令窗口輸入：>>r=-1:0.1:1;>>subplot(1,2,1),cylinder(1,50),title('柱面’);>>subplot(1,2,2),cylinder(sqrr(abs(r)),50),title('旋轉面’)回車后，結果如圖5.22所示。謝謝觀看第六章多元函數(shù)微積分及其應用高等職業(yè)教育“十三五”規(guī)劃教材高等數(shù)學01多元函數(shù)微分學PARTONE多元函數(shù)微分學

【案例1】柱體的體積公式V=πr2h(r>0,h>0)描述了圓柱體的體積V(因變量)與其底面半徑r和高h之間的唯一確定關系，這是一個以r和h為自變量的二元函數(shù)。一、二元函數(shù)的概念、極限與連續(xù)

1.二元函數(shù)的定義在很多實際問題中，經常會遇到多個變量之間的依賴關系.舉例說明如下：多元函數(shù)微分學

【案例2】銷售某種產品所得收入R依賴于銷售量Q和銷售價格P,即R=PQ。當銷售價格P與銷售量Q一定時，就有唯一確定的收入與之對應。以上兩個案例的共同點是：兩個自變量每取定一組值時，按照確定的對應關系可以唯一確定另外一個變量(因變量)的取值，對照一元函數(shù)概念，這就是二元函數(shù)。一般地，以x和y為自變量，以z為因變量的二元函數(shù)記作z=f(x,y)多元函數(shù)微分學一元函數(shù)的自變量x的取值范圍即定義域，一般是數(shù)軸上的一個區(qū)間，而二元函數(shù)自變量的取值范圍由數(shù)軸擴充到x0y平面上，二元函數(shù)的定義域通常是x0y平面上的一個平面區(qū)域，記作D。函數(shù)z=f(x,y)在點(x0,y0)的函數(shù)值記作f(x0,y0)。與一元函數(shù)一樣，二元函數(shù)的兩個要素是定義域和對應法則，所以當定義域和對應法則都給定時，才確定了一個二元函數(shù)，換句話說，當且僅當定義域與對應法則分別相同時，兩個函數(shù)才稱為相等的(或同一個)函數(shù)。多元函數(shù)微分學多元函數(shù)微分學二元連續(xù)函數(shù)具有以下性質：(1)二元連續(xù)函數(shù)的和、差、積仍為連續(xù)函數(shù)；在分母不為零的點處，連續(xù)函數(shù)之商仍為連續(xù)函數(shù)：(2)二元連續(xù)函數(shù)的復合函數(shù)也是連續(xù)函數(shù)；(3)二元初等函數(shù)在其定義區(qū)域上都是連續(xù)函數(shù)：(4)最值定理：有界閉區(qū)域D上的連續(xù)函數(shù)，在區(qū)域D上必定取得最大值和最小值；(5)介值定理：有界閉區(qū)域D上的連續(xù)函數(shù)，在區(qū)域D上必能取得最大值與最小值之間的任何值。3.二元函數(shù)的連續(xù)性如果函數(shù)z=f(x,y)在區(qū)域D內每一點都連續(xù)，則稱函數(shù)z=f(x,y)在區(qū)域D內連續(xù)，并稱二元數(shù)z=f(x,y)為區(qū)域D內的二元連續(xù)函。多元函數(shù)微分學二、二元函數(shù)的偏導數(shù)在物理學中有這樣一個實際例子：一定量的理想氣體的體積V與壓強p和溫度T之間，遵循玻意耳定律，即這三者之間存在函數(shù)關系(比例系數(shù)R是常數(shù))，當溫度與壓強兩個因素同時變化時，體積的變化較復雜，通常先考慮兩種特殊情況：(1)等壓過程：當壓強一定時，體積V關于溫度T的變化率，即V關于T的一階導數(shù)(2)等溫過程：當溫度一定時，體積V關于壓強p的變化率，即V關于p的一階導數(shù)在二元函數(shù)變化過程中，暫時認定其中一個變量為常量，函數(shù)關于另一個變量的變化率本質上也就是一元函數(shù)的導數(shù)，即下面要講的二元函數(shù)的一階偏導數(shù)多元函數(shù)微分學多元函數(shù)微分學同樣，可以定義函數(shù)f(x,y)在點P?處對y的一階偏導數(shù)為如果函數(shù)z=f(x,y)在區(qū)域D內每一點P(x,y)處對x的偏導數(shù)都存在，那這個偏導數(shù)就是x,y的函數(shù)，稱為函數(shù)z=f(x,y)對自變量x的偏導函數(shù)，記作同樣，可以定義函數(shù)z=f(x,y)對自變量y的偏導函數(shù)，記作的偏導函數(shù)，通常簡稱偏導數(shù)。由此可見：求二元函數(shù)z=f(x,y)對自變量x的一階偏導數(shù)時，把自變量y暫時看作常量，對自變量x求導數(shù)；求二元函數(shù)z=f(x,y)對自變量y的一階偏導數(shù)時，把自變量x暫時看作常量，對自變量y求導數(shù)。顯然，只需運用一元函數(shù)導數(shù)基本運算法則、導數(shù)基本公式及復合函數(shù)導數(shù)運算法則，就可以得到結果。多元函數(shù)微分學多元函數(shù)微分學

三、全微分與一元函數(shù)類似，二元函數(shù)也有可微的概念多元函數(shù)的微分有如下結論：【定理6.1】若函數(shù)z=f(x,y)在點(x0,y0)處可微，則此函數(shù)在該點處必連續(xù).【定理6.2】設函數(shù)z=f(x,y)在點(x0,y0)處可微，則該函數(shù)在此點處的兩個偏導數(shù)f(x0,y0),f;(x0,y0)必存在，且A=f(x0,y0),B=f3(x0,y0)如果函數(shù)z=f(x,y)在點(x0,y0)處可微，則有同樣，如果函數(shù)z=f(x,y)在區(qū)域D內可微，則dz=f′x(x,y)dx+f′y(x,y)dy。多元函數(shù)微分學(2)向量的減法向量的減法是加法的逆運算。若：a-b=c,則b+c=a,故根據(jù)向量加法的三角形法則，可得向量減法的作圖方法：取0為起點，作向量0A=a,0B=b,則向量BA=c即為向量a與b的差，如圖5.6所示。02二元函數(shù)的極值與最值PARTTWO二元函數(shù)的極值與最值一、二元函數(shù)的極值

設函數(shù)z=f(x,y)在點(x0,y0)及其附近有定義，對于該附近異于(x0,y0)的點(x,y),如果都滿足不等式f(x,y)<f(x0,y0)那么稱函數(shù)在點(x0,y0)有極大值f(x0,y0);如果都滿足不等式f(x,y)>f(x0,y0)那么稱函數(shù)在點(x0,y0)有極小值f(x0,y0).極大值與極小值統(tǒng)稱為極值，使函數(shù)取得極值的點稱為極值點。二元函數(shù)的極值與最值【定理6.3】(極值點存在的必要條件)設函數(shù)z=f(x,y)在點(x0,y0)可微，且在點(x0,y0)處有極值，則z=f(x,y)在該點的偏導數(shù)必然為零.即f′x(x0,y0)=0,f′y(x0,y0)=0【定理6.4】(極值存在的充分條件)設函數(shù)z=f(x,y)在點(x0,y0)的某個鄰域內連續(xù)且有連續(xù)的一階和二階偏導數(shù)，又(x0,y0)為函數(shù)f(x,y)的駐點，即f′x(x0,y0)=0,f′y(x0,y0)=0記A=f′′xx(x0,y0),B=f′′xy(x0,y0),C=f′′yy(x0,y0),則二元函數(shù)的極值與最值(1)當B2-AC<0時，f(x0,y0)為f(x,y)的極值，且A<0時為極大值，A>0時為極小值；(2)當B2-AC>0時，f(x0,y0)不為f(x,y)的極值；(3)當B2-AC=0時，f(x0,y0)可能是f(x,y)的極值，也可能不是f(x,y)的極。二元函數(shù)的極值與最值二元函數(shù)的極值與最值二、二元函數(shù)的最值

如果函數(shù)f(x,y)在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，那么f(x,y)在D上必定能取得最大值和最小值，使函數(shù)取得最大值或最小值的點既可能在D的內部，也可能在D的邊界上。求函數(shù)的最大值和最小值的一般方法：將函數(shù)f(x,y)在區(qū)域D內所有駐點處的函數(shù)值與在區(qū)域D的邊界上的最大值和最小值進行比較，其中最大的即為最大值，最小的即為最小值。二元函數(shù)的極值與最值三、條件極值

現(xiàn)實世界中，人們的行為總是要受到一些客觀條件的約束.如果在所討論極值問題中，對于函數(shù)自變量的取值，除了限制在函數(shù)的定義域內以外，還有附加稱為條件極值。求函數(shù)z=f(x,y)在約束條件(x,y)=0下的條件極值問題，我們一般采用拉格朗日乘數(shù)法轉化成無條件極值問題，其步驟如下：二元函數(shù)的極值與最值先構造輔助函數(shù)(稱為拉格朗日函數(shù))L=L(x,y,λ)=f(x,y)+A(x,y),其中參數(shù)n稱為拉格朗日乘數(shù)，將條件極值問題化為求三元函數(shù)L(x,y,A)的無條件極值問題；再解方程組得到的解x,y,即為函數(shù)z=f(x,y)在約束條件(x,y)=0下可能的極值點的坐標。拉格朗日乘數(shù)法的本質是通過增加一個參數(shù)，將約束優(yōu)化問題轉化為無約束優(yōu)化問題。03二重積分及其應用PARTTHREE二重積分及其應用

一、二重積分的概念1.實例分析【例1】(曲頂柱體的體積)設函數(shù)z=f(x,y)在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，且f(x,y)≥0。以函數(shù)z=f(x,y)所表示的曲面為頂，以區(qū)域D為底，且以D的邊界曲線為準線而母線平行于z軸的柱面為側面的立體稱為曲頂柱體(見圖6.3)，現(xiàn)在我們討論如何計算它的體積V。二重積分及其應用由于柱體的高f(x,y)是變動的，且在區(qū)域D上是連續(xù)的，所以在小范圍內它的變動很小，可以近似地視為不變。因此，就可用類似于求曲邊梯形面積的方法，即采取分割、取近似、求和、取極限的方法求曲頂柱體的體積V.具體步驟如下：第一步：用任意曲線將區(qū)域D分割成n個小區(qū)域：同時用上述記號表示各個小區(qū)域的面積，相應地把曲頂柱體分為n個以△δi;為底面、母線平行于z軸的小曲頂柱體，其體積記為△V;(i=1,2,…,n)。二重積分及其應用二重積分及其應用二重積分及其應用2.二重積分的定義

二重積分及其應用二重積分及其應用

3.二重積分的性質二重積分有著與定積分相類似的一些性質，現(xiàn)將這些性質敘述如下：性質1被積函數(shù)中的常數(shù)因子可以提到積分號外面,即性質2有限個函數(shù)的代數(shù)和的積分等于各個函數(shù)積分的代數(shù)和，即性質3如果閉區(qū)域D由有限條曲線分為有限個部分區(qū)域，則在D上的二重積分等于在各部分區(qū)域上的二重積分之和。例如D被分割為兩個區(qū)域D?和D?,則有二重積分及其應用性質4如果在區(qū)域D上，f(x,y)≤g(x,y),則有不等式性質5如果在區(qū)域D上，m≤f(x,y)≤M,則性質6(二重積分的中值定理)設函數(shù)f(x,y)在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，則在D上至少存在一點(5,n),使得下式成立二重積分及其應用

二、二重積分的計算二重積分計算的基本方法是將二重積分轉化為累次積分。1.直角坐標系下二重積分的計