二年級(jí)幾何(第二冊(cè))

初中二年級(jí)幾何（第二冊(cè)）第三章第二單元全等三角形拋磚引玉指點(diǎn)迷津思維基礎(chǔ)學(xué)法指要思維體操心中有數(shù)動(dòng)腦動(dòng)手創(chuàng)新園地

一、教法建議【拋磚引玉】

全等三角形這一單元的引入,應(yīng)從學(xué)生實(shí)驗(yàn)入手,一讓學(xué)生拿同一張底片沖洗出來的兩張照片,放在一起,能發(fā)現(xiàn)什么呢?二用自己使用一塊三角板按在硬紙上,畫下圖形,照?qǐng)D形裁下來的硬紙和三角板一樣.把裁下來的硬紙和三角板放在一起又發(fā)現(xiàn)什么呢？大家可發(fā)現(xiàn)，兩種試驗(yàn)，兩個(gè)圖形都能完全重合，然后便可適時(shí)引入全等形和全等三角形概念等.由此引出：“全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等；全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等.”結(jié)合圖形，講清楚“對(duì)應(yīng)”這個(gè)概念，進(jìn)一步講清楚對(duì)應(yīng)邊，對(duì)應(yīng)角.以便教會(huì)學(xué)生找對(duì)應(yīng)邊，對(duì)應(yīng)角的方法.對(duì)課本P24六種全等變換對(duì)學(xué)生可介紹.進(jìn)一步鞏固找對(duì)應(yīng)邊對(duì)應(yīng)角的關(guān)系.對(duì)于公理1，教學(xué)時(shí)，可以直接告訴學(xué)生怎樣畫圖，即已知一個(gè)三角形，畫一個(gè)三角形有兩條邊及其夾角與已知三角形的兩邊及夾角對(duì)應(yīng)相等的步驟.讓學(xué)生自己動(dòng)手畫，畫完以后，再動(dòng)手剪剪量量，在這個(gè)基礎(chǔ)上啟發(fā)學(xué)生想一想，判定兩個(gè)三角形全等需要什么條件？這里想通了，對(duì)學(xué)習(xí)后面幾個(gè)公理有好處，由于學(xué)生親自參與畫圖，剪量……等實(shí)驗(yàn)的全過程，對(duì)來源于實(shí)踐的公理1確信無(wú)疑，印象深刻，才能應(yīng)用公理進(jìn)行證明.為了讓學(xué)生熟悉公理，學(xué)會(huì)用公理證明兩個(gè)三角形全等，特別是學(xué)會(huì)把證明過程正確地寫出來.一定要學(xué)習(xí)例題的書寫格式，嚴(yán)格按例題的書寫格式書寫，養(yǎng)成習(xí)慣.在應(yīng)用公理1證明有關(guān)問題時(shí)，要注意圖形的各種變化（如平移，旋轉(zhuǎn)，對(duì)稱等），注意引導(dǎo)學(xué)生觀察分析圖形，熟悉這些簡(jiǎn)單變化的圖形，可以為后面觀察分析復(fù)雜圖形打下基礎(chǔ).在教學(xué)時(shí)，始終遵循理論與實(shí)踐相結(jié)合.應(yīng)用學(xué)得知識(shí)為生產(chǎn)服務(wù)，如P29、例5.對(duì)公理2，公理3及直角三角形的判定公理都要從畫圖實(shí)驗(yàn)引入，讓學(xué)生親自參與，切入主題.通過練習(xí)，發(fā)現(xiàn)問題，及時(shí)糾正，防患未然.不論學(xué)生情況怎樣，訓(xùn)練或練習(xí)都要圍繞掌握三角形全等的判定方法這個(gè)中心.使學(xué)生在這一階段，把這項(xiàng)任務(wù)完成.

在研究全等形的基礎(chǔ)上,通過教學(xué),使學(xué)生掌握角平分線性質(zhì)定理和它的逆定理,能利用它們證明兩角相等或兩條線段相等,了解原命題和逆命題的關(guān)系,能說出題設(shè)和結(jié)論都很簡(jiǎn)單的逆命題,通過實(shí)例使學(xué)生認(rèn)識(shí)原命題是真命題，它的逆命題不一定是真命題.【指點(diǎn)迷津】

找對(duì)應(yīng)邊，對(duì)應(yīng)角對(duì)學(xué)生來說有一定困難.我們結(jié)合實(shí)例，針對(duì)兩個(gè)三角形不同位置關(guān)系，總結(jié)出尋找對(duì)應(yīng)邊，對(duì)應(yīng)角的規(guī)律：（1）有公共邊的，公共邊一定是對(duì)應(yīng)邊；（2）有公共角的，公共角一定是對(duì)應(yīng)角；（3）有對(duì)頂角的，對(duì)頂角是對(duì)應(yīng)角；（4）兩個(gè)全等三角形中一對(duì)最長(zhǎng)的邊（或最大的角）是對(duì)應(yīng)邊（或角），一對(duì)最小邊（或最小的角）是對(duì)應(yīng)邊（或角）等.對(duì)于證（解）題思路分析，應(yīng)該讓學(xué)生懂得，在探索證明方法的過程中，常會(huì)遇到走不通的情況，這時(shí)不要畏縮不前，要再認(rèn)真研究圖形與已知條件，聯(lián)想定理，將問題轉(zhuǎn)化，另找辦法.對(duì)于證明書寫格式一定從嚴(yán)要求，并要注意對(duì)應(yīng)關(guān)系，這對(duì)以后學(xué)習(xí)打下良好基礎(chǔ).通過全等三角形學(xué)習(xí)，向?qū)W生指出：研究線段相等，兩角相等，兩直線平行，兩直線垂直等通常轉(zhuǎn)化為證明兩三角形全等，沒有條件，可添設(shè)輔助線，創(chuàng)造條件，構(gòu)造全等三角形，達(dá)到目的.總之，認(rèn)真學(xué)好三角形全等問題，可為以后學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ).二、學(xué)海導(dǎo)航【思維基礎(chǔ)】

1．能夠完全________的兩個(gè)三角形叫做全等三角形，

的頂點(diǎn)叫對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，

的邊叫對(duì)應(yīng)邊，互相重合的角叫

.

2．全等三角形的

相等,

相等.

3．判定一般三角形全等的方法有

，

，

，

.判定直角三角形全等的方法還有.

4．全等三角形的對(duì)應(yīng)角

，對(duì)應(yīng)線段（邊、高、中線、角平分線）

.

5．在角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離

.到一個(gè)角兩邊距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的

.角的平分線是到角的兩邊距離的所有點(diǎn)的集合.

6．如果第一個(gè)命題的是第二個(gè)命題的，而第一個(gè)命題

又是第二個(gè)命題的

，那么這兩個(gè)命題叫做互逆命題，如果把其中一個(gè)叫

那么另一個(gè)叫做它的

.

如果一個(gè)定理的

經(jīng)過證明是真命題，那么它也是一個(gè)定理，這兩個(gè)定理叫做

定理，其中一個(gè)叫做另一個(gè)的

.【學(xué)法指要】例1．如圖，已知AB∥CD，AD∥BC，F(xiàn)在DC的延長(zhǎng)線上，AM=CF，F(xiàn)M交DA的延長(zhǎng)線上于E.交BC于N,求證:AE=CN.思路分析:欲證AE=CN.看它們?cè)谀膬蓚€(gè)三角形中,設(shè)法證這兩個(gè)三角形全等即可.結(jié)合圖形可發(fā)現(xiàn)△AME≌△FCN可證.題設(shè)告知AM=CF,AD∥BC,AB∥CD.由兩平行條件,可找兩對(duì)角相等.∵AD∥BC(已知)∴∠1=∠E(兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等)∠3=∠D(兩直線平行,同位角相等)∵∠1=∠2(對(duì)頂角相等)∴∠2=∠E(等量代換)∵AB∥CD(已知)∴∠4=∠D(兩直線平行,同位角相等)∴∠3=∠4(等量代換).至此,兩三角形全等條件完全具備.在△AME與△CNF中∠3=∠4(已證)∠2=∠E(已證)CF=AM(已知)∴△AME≌△CNF(A.A.S)∴AE=CN(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等)例2.△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，過C的一條直線CE⊥AE于E，BD⊥CE的延長(zhǎng)線于D，求證：AE=BD+DE.思路分析：從本例的結(jié)論知是求線段和的問題，由此入手，很難找到突破口.此時(shí)可迅速調(diào)整思維角度,可仔細(xì)觀察圖形,正確的圖形是證題的“向?qū)А?由此可發(fā)現(xiàn)△ACE與△CBD好像(猜測(cè))全等.那么AE=CD=CE+DE.又BD=CE.那么,此時(shí)已水落石出.證明:∵∠ACB=90°(已知)∴∠2+∠3=∠ACB=90°∵AE⊥CE，BD⊥CE（已知）∴∠1+∠2=90°（直角三角形兩銳角互余）∴∠1=∠3（等角的余角相等）∴∠AEC=∠CDB=90°（垂直定義）在△ACE與△CBD中AC=BC（已知）∠1=∠3（已證）∠AEC=∠CDB（已證）∴△ACE≌△CBD（AAS）∴BD=CE，AE=CD（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）∵AE=CE=CE+DE∴AE=BD+DE（等量代換）例3．如圖，AD是△ABC的中線，DE，DF分別平分∠ADB和∠ADC，連接EF，求證：EF<BE+CF.思路分析:由結(jié)論EF<BE+CF很容易與定理“三角形兩邊之和大于第三邊”聯(lián)系在一塊，觀察圖形，BE，CF，EF條件分散，不在一個(gè)三角形中，必須設(shè)法（平移，旋轉(zhuǎn)，翻轉(zhuǎn)等）把三者集中在一個(gè)三角形中，是打開本例思路的關(guān)鍵.由角的平分線這一線索,可將△BDE沿角平分線翻轉(zhuǎn)180°,即B點(diǎn)落在AD的點(diǎn)B'上(如圖)(也就是在DA上截取DB＇=BD),連結(jié)EB＇,B＇F,此時(shí)△BDE與△B＇DE完全重合,所以△BDE≌△B＇DE(兩個(gè)三角形能夠完全重合就是全等三角形,所以BE=B＇E(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等).∵AD為△ABC的中線(已知)∴BD=CD(中線性質(zhì))∵BD=B＇D(已證)∴CD=B＇D(等量代換)∴在△CDF與△B＇DF中CD=B＇D

(已證)∠CDF=∠B＇DF(已知)DF=DF

(公用邊)∴△CDF≌△B＇DF(SAS)∴B＇F=CF(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等)在△EFB＇中,EF<B＇E+B＇F(三角形的兩邊之和大于第三邊).∴EF<BE+CF(等量代換).對(duì)本例,也可采取平移法把CF平移與BE在一個(gè)三角形中(如圖),作BF＇∥AC交FD的延長(zhǎng)線于F＇,連結(jié)BF＇.由AD為△ABC中線知:BD=DC.∵BF＇∥AC(由作圖知)∴∠C=∠F＇BD(二直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等)在△F＇BD與△FCD中∠C=∠F＇BD(已證)BD=DC(已證)∠F＇DB=∠FDC(對(duì)頂角相等)∴△F＇BD≌△FCD(ASA)∴F＇B=FC(全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等)此時(shí),連結(jié)EF＇,便構(gòu)造出△BEF＇,則BE+BF＇>EF＇(三角形的兩邊之和大于第三邊).即EF＇<BE+FC(等量代換)對(duì)照結(jié)論,只要再證EF＇=EF便達(dá)目的.由△F＇BD≌△FCD(已證)∴DF＇=DF（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）∵∠EDA=∠ADB,∠FDA=∠ADC(已知)∴∠EDA+∠FDA=(∠ADB+∠ADC)∵∠ABD+∠ADC=180°(平角定義)∴∠EDA+∠FDA=90°∵∠EDF=∠EDA+∠FDA∴∠EDF=90°∵∠EDF＇+∠EDF=180°(平角定義)∴∠EDF＇=90°在△EDF和△EDF＇中ED=ED

(公用邊)∠EDF=∠EDF＇

(已證)DF=DF＇

(已證)∴△EDF≌△EDF＇(SAS)∴EF=EF＇(全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等)∴EF<BE+CF(等量代換)

由例1,例2我們可以發(fā)現(xiàn),要證結(jié)論成立,必須知道需要什么條件,即要找什么?此時(shí)便可由題設(shè),再結(jié)合準(zhǔn)確的圖形便可找到需要條件,使思路打通.再一步步寫出找到的條件和依據(jù)(即依據(jù)的定義,定理,已知,已證等),就可寫出完整的證明過程,請(qǐng)同學(xué)們?cè)诰唧w的實(shí)踐過程中慢慢就熟悉證明的方法了.當(dāng)條件分散或者直接找不到題設(shè)與結(jié)論的關(guān)系時(shí),此時(shí)便可添設(shè)輔助線.但添設(shè)輔助線不能盲目,要有“的”放“矢”.一要有利于架設(shè)結(jié)論與題設(shè)的關(guān)系;二要有利于充分利用已知條件;三要把分散條件集中一塊,有利于溝通關(guān)系.把握這幾個(gè)原則.添設(shè)輔助線便可心中有數(shù).架起“橋梁”鋪平道路.思路自然順暢.從例3就向同學(xué)們指示了這一規(guī)律.望同學(xué)們要養(yǎng)成這種添設(shè)輔助線的好習(xí)慣!在證明幾何問題的道路上會(huì)越走越寬,越走越好.【思維體操】例已知:如圖,AB=AC,DB=DC,F是AD的延長(zhǎng)線上的一點(diǎn),求證:BF=CF.揭示思路:本例要證BF=CF,要看BF與CF在哪兩個(gè)三角形中,即將問題轉(zhuǎn)化為證明全等三角形問題,結(jié)合圖形可發(fā)現(xiàn)BF與CF在△ABF與△ACF或△BDF與△CDF中,只要證△ABF≌△ACF或△BDF≌△CDF,由兩條思路吸引同學(xué)們?nèi)ヌ剿?結(jié)合題設(shè),發(fā)現(xiàn)這兩組三角形都不具備全等條件,使問題擱淺.但結(jié)合題設(shè)與圖形可發(fā)現(xiàn)△ABD與△ACD卻具備全等條件AB=AC(已知),BD=DC(已知),AD=AD(公用邊),給證題提供了有利因素.由它們?nèi)瓤傻谩螧AF=∠CAF,這時(shí)證△ABF≌△ACF(SAS)便沒有阻力.同時(shí)由∠ADB=∠ADC可證∠BDF=∠CDF(等角的補(bǔ)角相等),那么△BDF≌△CDF(SAS)也很順利了,兩種思路,殘途同歸.擴(kuò)散一:已知:如圖,AB=AC,DB=DC,F是AD延長(zhǎng)線上一點(diǎn),且B,F,C在一條直線上,求證:F是BC的中點(diǎn).揭示思路:欲證F是BC的中點(diǎn),即證BF=CF,與原例所證結(jié)論相同,仿原例思路能行通嗎?當(dāng)然是可以的.請(qǐng)同學(xué)們寫出證明過程.待學(xué)完等腰三角形,還有更簡(jiǎn)捷的證法,那時(shí)你們?cè)偬剿靼?

擴(kuò)散二:已知:如圖,AB=AC,DB=DC,F是AD上的一點(diǎn),求證:BF=CF.揭示思路:F點(diǎn)由AD的延長(zhǎng)線上移動(dòng)至AD上,要證的結(jié)論不變,那么證題的思路沿“老路”走還能走通嗎？?jī)煞N“老路”亦然可行.請(qǐng)同學(xué)們寫出證明過程.擴(kuò)散三:已知:如圖,AB=AC,DB=DC,F是DA延長(zhǎng)線上的一點(diǎn),求證:BF=CF.揭示思路:F點(diǎn)由AD的延長(zhǎng)線上移動(dòng)至AD的反向延長(zhǎng)線上,要證的結(jié)論亦然不變.那么證題思路仍重蹈舊轍,是否是輕車熟路呢?仍然是一路春風(fēng).請(qǐng)同學(xué)們完成證明過程.擴(kuò)散四:已知:AB=AC,DB=DC,F是直線AD上一動(dòng)點(diǎn)(即點(diǎn)F在直線AD上運(yùn)動(dòng)),點(diǎn)F在AD上不停的運(yùn)動(dòng).你發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律?請(qǐng)說出,并進(jìn)行證明.

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

揭示思路:因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)F在直線AD上運(yùn)動(dòng).可出現(xiàn)圖(1)～(6)六種情況(其中圖(3)可看作圖(4)的特例).當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)D或點(diǎn)A重合時(shí),FB=FC.顯然成立,當(dāng)點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)至圖(3)～圖(6)的位置時(shí),FB=FC,證明可仿原例證明,請(qǐng)同學(xué)們寫出證明過程.由此可知,點(diǎn)F在AD上不停動(dòng),始終保持FB=FC這一規(guī)律,證明略.擴(kuò)散五:已知:如圖,AB=AC,DB=DC,F是AD延長(zhǎng)線上一點(diǎn),求證:點(diǎn)F到AB,AC的距離相等.揭示思路:欲證點(diǎn)F到AB,AC的距離相等,即證FM=FN.由此萌生在角的平分線上一點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊距離相等的念頭,那么便轉(zhuǎn)化為證明∠BAF=∠CAF即可.證明兩角相等,通常轉(zhuǎn)化證明兩三角形全等.而△ABD≌△ACD條件具備(AB=AC,BD=DC,AD=AD),則證∠BAF=∠CAF垂手可得了.證明如下:證明:在△ABD與△ACD中AB=AC(已知)BD=DC(已知)AD=AD(公用邊)∴△ABD≌△ACD(SSS)∴∠BAF=∠CAF(全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等)∵FM⊥AB,FN⊥AC（已知）∴FM=FN(在角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等).擴(kuò)散六:已知:如圖,AB=AC,DB=DC,F是AD上的一點(diǎn),求證:點(diǎn)F到AB,AC的距離相等.揭示思路:F點(diǎn)在AD的延長(zhǎng)線上移至AD上,結(jié)論仍然成立.可仿擴(kuò)散五便可一路順風(fēng)達(dá)到目的.證法留給同學(xué)們完成.擴(kuò)散七:已知:如圖,AB=AC,DB=DC,F是DA延長(zhǎng)線上的一點(diǎn),求證:點(diǎn)F到AB,AC的距離相等.揭示思路:當(dāng)點(diǎn)F在DA的延長(zhǎng)線上(如圖),結(jié)論亦然成立.思路亦然如舊,請(qǐng)同學(xué)們自行完成.擴(kuò)散八:已知:如圖,AB=AC,DB=DC,點(diǎn)F在直線AD上運(yùn)動(dòng),那么點(diǎn)F到AB,AC的距離有何關(guān)系?請(qǐng)?zhí)岢瞿愕牟孪?并進(jìn)行證明.揭示思路:本例可仿照擴(kuò)散四進(jìn)行探索.請(qǐng)同學(xué)們照此完成吧.

由原例擴(kuò)散,把本單元用一線穿珠的辦法連為一體,使所學(xué)知識(shí)系統(tǒng)化,條理化.使所學(xué)知識(shí)掌握的更牢固,應(yīng)用的更靈活.在學(xué)習(xí)時(shí),一定要掌握這種學(xué)習(xí)方法,它是提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)非常行之有效的好方法.本例在擴(kuò)散中,由靜到動(dòng),栩栩如生.提出猜想,對(duì)培養(yǎng)同學(xué)們的探索能力恰到好處.不管圖形多變化,其規(guī)律不變,萬(wàn)變不離其宗.只要抓住萬(wàn)變中的不變,即可一不變應(yīng)萬(wàn)變,學(xué)一例,會(huì)一片,諸類旁通,左右逢源.通過以上的學(xué)習(xí),對(duì)證線段相等,兩角相等.兩直線平等或垂直等,通常可轉(zhuǎn)化為證明三角形全等,思路便可找到,望同學(xué)們?cè)诮窈髮W(xué)習(xí)中不斷演練,將會(huì)更上一層樓.二、智能顯示【心中有數(shù)】

三角形是最常見的幾何圖形之一，在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和日常生活中都有廣泛的應(yīng)用.三角形又是多邊形的一種,而且是最簡(jiǎn)單的多邊形,在幾何里,常常把多邊形分割成若干個(gè)三角形,利用三角形的性質(zhì)去研究多邊形,實(shí)際上對(duì)于一些曲線形,也可以利用一系列的三角形逼近它,從而利用三角形的性質(zhì)去研究它們.另外,全等三角形是證明線段相等或角相等的重要工具,“全等三角形”是本章的重要內(nèi)容,掌握了判定三角形全等的方法,就為后面的學(xué)習(xí)做了準(zhǔn)備.因此,本章內(nèi)容是幾何中最重要的基礎(chǔ)知識(shí).本單元又是本章之首,又是推理入門階段.一定要學(xué)好本單元內(nèi)容.【動(dòng)腦動(dòng)手】1.如圖,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于D,DF⊥AB,DE⊥AC,求證:DE=DF.2.求證:三角形一邊上的中線小于其它兩邊和的一半.3.如圖,在△ABC中,AD為∠A的平分線,E為BC的中點(diǎn),過E作EF∥AD交AB于G,交CA的延長(zhǎng)線于F,求證:BG=CF.揭示思路:1.(如原題圖).∵AD⊥BC(已知)∴△ABD和△ACD為Rt△.∵AB=AC(已知)AD=AD(公用邊)∴Rt△ABD≌Rt△ACD(H.L)∴∠1=∠2(全等三角形對(duì)應(yīng)角相等)∵DF⊥AB,DE⊥AC(已知)∴∠AFD=∠AED在△ADF和△ADE中∠1=∠2(已證)∠AFD=∠AED(已證)AD=AD(公共邊)∴△ADF≌△ADE(AAS)∴DE=DF(全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等)2.延長(zhǎng)AD至E,使DE=AD,連結(jié)BE.則AD=AE.在△ACD和△EBD中AD=DE(由作圖知)∠1=∠2(對(duì)頂角相等)BD=DC(已知)∴△ACD≌△EBD(SAS)∴BE=AC(全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等)在△ABE中,AE<AB+BE(三角形的兩邊之和大于第三邊)∴AE<AB+AC(等量代換)∴AE<(AB+AC)∴AD<(AB+AC)3.(參照原題圖)過B,C分別作BP⊥EF,CQ⊥FE.垂足分別為P,Q,則BP∥CQ.(垂直于同一條直線的兩條直線平行)∴∠PBE=∠QCE(兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等)在△BPE和△CQE中∠PBE=∠QCE(已證)∠BPE=∠CQE=90°(已知)BE=CE(已知)∴△BPE≌△CQE(AAS)∴BP=CQ(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等)∵EF∥DA(已知)∴∠BGE=∠BAD(二直線平行同位角相等)