【解析】江西省宜春實驗中學(xué)2019-2020學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)（文）試題

宜春實驗中學(xué)2021屆下學(xué)期期中考試高二數(shù)學(xué)（文科）試卷一、選擇題（每題5分，共60分）1.復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位）的共軛復(fù)數(shù)是（）A.1+i B.1–i C.–1+i D.–1–i【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算化簡復(fù)數(shù)，再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念可得答案.【詳解】因為，所以共軛復(fù)數(shù)為.故選：B.【點睛】本題考查了復(fù)數(shù)的除法運算，考查了共軛復(fù)數(shù)的概念，屬于基礎(chǔ)題.2.下列說法錯誤的是（）A.在回歸直線方程中，當(dāng)解釋變量x每增加1個單位時，預(yù)報變量平均增加個單位.B.對分類變量X與Y，隨機變量的觀測值k越大，則判斷“X與Y有關(guān)系”的把握程度越小.C.兩個隨機變量的線性相關(guān)性越強，則相關(guān)系數(shù)的絕對值就越接近于1.D.回歸直線過樣本點的中心.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)線性回歸方程，相關(guān)系數(shù)，獨立性檢驗的相關(guān)知識即可判斷選項的正誤.【詳解】對于選項A：在回歸直線方程中，當(dāng)解釋變量x每增加1個單位時，預(yù)報變量y平均增加0.2個單位，正確.對于選項B：對分類變量X與Y，隨機變量的觀測值k越大，則判斷“X與Y有關(guān)系"的把握程度越大，錯誤.對于選項C：兩個隨機變量的線性相關(guān)性越強，則相關(guān)系數(shù)的絕對值就越接近于1，正確.對于選項D：回歸直線過樣本點的中心，正確.故選:B【點睛】本題主要考查了線性回歸的有關(guān)知識，考查了隨機變量的相關(guān)性，考查了推理能力，屬于中檔題.3.命題“∈(0，+∞)，”的否定為（）A.∈(0，+∞)， B.∈(0，+∞)，C.∈(∞，0]， D.∈(∞，0]，【答案】A【解析】【分析】根據(jù)特稱命題的否定為全稱命題，以及量詞和不等號的變化，即可得到所求命題的否定．【詳解】解：由特稱命題的否定為全稱命題，可得命題“∈(0，+∞)，”的否定為“∈(0，+∞)，”，故選．【點睛】本題考查命題的否定，注意特稱命題的否定為全稱命題，以及量詞和不等號的變化，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題．4.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出s的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【詳解】初始條件：，第1次判斷0<8，是，第2次判斷2<8，是，第3次判斷4<8，是，第4次判斷6<8，是，第5次判斷8<8，否，輸出;故選D.考點：程序框圖.5.在極坐標(biāo)系中，直線的方程為，則點到直線的距離為A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先將極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo),利用點到直線的距離公式即可得.【詳解】點的直角坐標(biāo)為，，直線：即，化為直角坐標(biāo)方程為．由點到直線的距離公式得，故選．【點睛】本題考查極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)之間的互化,屬于基本題型,解題中關(guān)鍵是運算的準(zhǔn)確性.6.已知，，則的最大值為（）A.9 B.3 C.1 D.27【答案】B【解析】【分析】由已知，可利用柯西不等式，構(gòu)造柯西不等式，即可求解．【詳解】由已知，可知，，利用柯西不等式，可構(gòu)造得，即，所以的最大值為3，故選B．【點睛】本題主要考查了柯西不等式的應(yīng)用，其中解答中熟記柯西不等式，合理構(gòu)造柯西不等式求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于中檔試題．7.若雙曲線（，）的一條漸近線被圓所截得的弦長為2，則的離心率為（）A.2 B. C. D.【答案】A【解析】由幾何關(guān)系可得，雙曲線的漸近線方程為，圓心到漸近線距離為，則點到直線的距離為，即，整理可得，雙曲線的離心率．故選A．點睛:雙曲線的離心率是雙曲線最重要的幾何性質(zhì)，求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根據(jù)一個條件得到關(guān)于a，b，c的齊次式，結(jié)合b2＝c2－a2轉(zhuǎn)化為a，c的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以a或a2轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍)．8.已知兩個正數(shù)a，b滿足，則的最小值是A.23 B.24 C.25 D.26【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，分析可得，對其變形可得，由基本不等式分析可得答案．【詳解】根據(jù)題意，正數(shù)a，b滿足，則，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.即的最小值是25．本題選擇C選項.【點睛】在應(yīng)用基本不等式求最值時，要把握不等式成立的三個條件，就是“一正——各項均為正；二定——積或和為定值；三相等——等號能否取得”，若忽略了某個條件，就會出現(xiàn)錯誤．9.已知圓的方程為．以原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，該圓的極坐標(biāo)方程為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】直接把極坐標(biāo)的公式代入直角坐標(biāo)方程化簡即得.【詳解】由題得.故答案為B【點睛】(1)本題主要考查極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2)極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)互化的公式有：.10.曲線在點處的切線方程為A.BC.D.【答案】B【解析】【分析】先對曲線求導(dǎo)，再根據(jù)點斜式寫出切線方程即可【詳解】由，，所以過點切線方程為答案選B【點睛】本題考查在曲線上某一點切線方程的求法，相對比較簡單，一般解題步驟為：先求曲線導(dǎo)數(shù)表達式，求出，最終表示出切線方程11.函數(shù)的圖象可能是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】通過判斷函數(shù)的奇偶性，以及利用特殊點，排除法可得結(jié)果.【詳解】由可知，，所以，函數(shù)為奇函數(shù)，排除A，B選項；當(dāng)時，，故在上存在零點，D符合，故選：D【點睛】本題是函數(shù)圖像的識別題，利用函數(shù)性質(zhì)和特殊點對應(yīng)的函數(shù)值，通過排除法可快速得出結(jié)果，是基礎(chǔ)題.12.當(dāng)時，不等式恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先將問題轉(zhuǎn)化為當(dāng)時，原式恒成立；當(dāng)時，恒成立；當(dāng)時，恒成立，然后構(gòu)造函數(shù)，再運用導(dǎo)數(shù)求出其函數(shù)的最值，進而可得出實數(shù)的取值范圍．【詳解】當(dāng)時，原式恒成立；當(dāng)時，原式等價于恒成立；當(dāng)時，原式等價于恒成立；令，，令，設(shè)，，可知為的增區(qū)間，為的減區(qū)間，所以時，即；在上遞減，在上遞增，所以時，即；綜上，可知的取值范圍是.故選：C.【點睛】本題主要考查不等式的恒成立問題和利用導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)的最值中的應(yīng)用，屬于難題．二.填空題（每題5分，共20分）13.甲、乙兩人各進行一次射擊，如果甲、乙兩人擊中目標(biāo)的概率分別為0.7，0.4，則其中恰有一人擊中目標(biāo)的概率是________.【答案】【解析】【分析】恰好有1人擊中,表示甲擊中乙沒有擊中，或表示甲沒有擊中乙擊中，這兩個事件是互斥事件,根據(jù)相互獨立事件和互斥事件的概率公式得到結(jié)果.【詳解】恰好有1人擊中,表示甲擊中乙沒有擊中,或表示甲沒有擊中乙擊中,這兩個事件是互斥事件,根據(jù)相互獨立事件和互斥事件的概率公式得到：，故答案為：【點睛】本題主要考查了相互獨立事件與互斥事件，屬于基礎(chǔ)題.14.觀察下列式子：，，，，，根據(jù)以上式子可猜想：________________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，分析題干所給的等式可得：，歸納等式兩邊的變化規(guī)律，進而可得答案.【詳解】根據(jù)題意，分析題干所給等式可得：，，，歸納可得：，故答案為：【點睛】歸納推理的一般步驟是:(1)通過觀察個別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì);(2)從已知的相同性質(zhì)中推出一個明確表達的一般性命題(猜想).15.在極坐標(biāo)系中，經(jīng)過點且與極軸垂直的直線的極坐標(biāo)方程為．【答案】【解析】試題分析：點的直角坐標(biāo)為，故過此點且垂直于極軸的直線方程的直角坐標(biāo)方程為，化為極坐標(biāo)方程為．考點：簡單曲線的極坐標(biāo)方程．16.已知函數(shù)在上單調(diào)遞增,則實數(shù)的取值范圍是_____.【答案】【解析】,解得在上恒成立,構(gòu)造函數(shù),解得x=1,在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,g(x)的最大值為g(1)=1,,,故填.點睛:本題考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性.方程的有解問題就是判斷是否存在零點的問題，可參變分離，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問題處理.恒成立問題以及可轉(zhuǎn)化為恒成立問題的問題，往往可利用參變分離的方法，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值處理．也可構(gòu)造新函數(shù)然后利用導(dǎo)數(shù)來求解.注意利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法.三.簡答題（共6答題，共70分）17.下面圖形都是由小正三角形構(gòu)成的,設(shè)第個圖形中的黑點總數(shù)為.(1)求的值;(2)找出與的關(guān)系,并求出的表達式.①②③④【答案】(1)見解析；(2)【解析】【分析】（1）根據(jù)題意可直接寫出結(jié)果；（2）分別計算出，，，，歸納出，再由累加法即可求出的表達式.【詳解】（1）由題意可得：，，，；（2）因為；；；；觀察猜想：是一個首項為公差為的等差數(shù)列，即．因為；；；；；把上述式子累加可得到：；又因為，所以.【點睛】本題主要考查歸納推理以及累加法求數(shù)列的通項公式，屬于?？碱}型.18.在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線的方程為，以O(shè)為極點，以x軸非負半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.（I）求曲線和直線的極坐標(biāo)方程；（Ⅱ）若直線與曲線交于P，Q兩點，求的值.【答案】（1）的極坐標(biāo)方程為；直線的極坐標(biāo)方程（2）【解析】試題分析：（1）首先把圓的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程，進一步轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程，再把直線方程轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程；（2）根據(jù)（1）所得到的結(jié)果代入到極坐標(biāo)方程中，利用幾何意義可得結(jié)果.試題解析：（1）曲線C1的參數(shù)方程為（為參數(shù)），轉(zhuǎn)化為普通方程：，即，則的極坐標(biāo)方程為，∵直線的方程為，∴直線的極坐標(biāo)方程．（2）設(shè)，，將代入，得：，∴，∴．19.選修45：不等式選講已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求不等式的解集；（2）設(shè)函數(shù).,,求的取值范圍.【答案】（1）;（2）.【解析】【詳解】試題分析：（1）當(dāng)時，，得到不等式的解集；（2）不等式等價于恒成立，根據(jù)三角不等式，即求的取值范圍.試題解析：（1）當(dāng)時，等價于，即，解得，所以解集為.（2）當(dāng)時，，所以當(dāng)時，等價于，①當(dāng)時，①等價于，無解；當(dāng)時，①等價于，解得，所以的取值范圍是.20.電視傳媒公司為了了解某地區(qū)電視觀眾對某類體育節(jié)目的收視情況，隨機抽取了100名觀眾，調(diào)查結(jié)果如下面的2×2列聯(lián)表.“非體育迷”“體育迷”總計男301545女451055總計7525100（1）據(jù)此資料判斷是否有90%的把握認(rèn)為“體育迷”與性別有關(guān).（2）將日均收看該體育項目不低于50分鐘的觀眾稱為“超級體育迷”，已知“超級體育迷”共有5人，其中女性2名，男性3名，若從“超級體育迷”中任意選取2人，求至少有1名女性觀眾的概率.【答案】（1）沒有95%的把握認(rèn)為“體育迷”與性別有關(guān)（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)2×2列聯(lián)表，計算觀測值，對照臨界值得出結(jié)論；（2）用列舉法求出基本事件數(shù)，根據(jù)古典概型計算所求事件概率值即可.【詳解】（1）根據(jù)2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)可得：，因為3.030<3.841，所以我們沒有95%的把握認(rèn)為“體育迷”與性別有關(guān)；（2）用A、B、C表示3名男生，d、e表示2名女性，則從5人中任取2人中,基本事件為AB、AC、Ad、Ae、BC、Bd、Be、Cd、Ce、de共10種,至少有1人是女性的基本事件是Ad、Ae、Bd、Be、Cd、Ce、de共7種,故所求的概率值為.【點睛】本題主要考查了根據(jù)2×2列聯(lián)表計算，考查了獨立性檢驗，及列舉法求古典概型的概率問題，屬于中檔題.21.已知橢圓C的中心為坐標(biāo)原點O，焦點在y軸上，離心率，橢圓上的點到焦點的最短距離為,直線l與y軸交于點P（0，m），與橢圓C交于相異兩點A、B，且.（1）求橢圓方程；（2）求的取值范圍．【答案】（1）y21．（2）（﹣1，）∪（，1）．【解析】【詳解】（1）由條件知a﹣c＝1，，∴a＝1，b＝c，故C的方程為：y21．（2）設(shè)l：y＝kx+m與橢圓C交點為A（x1，y1），B（x2，y2）聯(lián)立得（k2+2）x2+2kmx+（m2﹣1）＝0△＝（2km）2﹣4（k2+2）（m2﹣1）＝4（k2﹣2m2+2）＞0（*）x1+x2，x1x2∵3，∴﹣x1＝3x2∴x1+x2＝﹣2x2，x1x2＝﹣3x22，消去x2，得3（x1+x2）2+4x1x2＝0，∴3（）2+40整理得4k2m2+2m2﹣k2﹣2＝0m2時，上式不成立；m2時，k2，因λ＝3，∴k≠0，∴k20，∴﹣1＜m或m＜1容易驗證k2＞2m2﹣2成立，所以（*）成立即所求m的取值范圍為（﹣1，）∪（，1）．22.已知，．Ⅰ討論的單調(diào)性；Ⅱ當(dāng)時，恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】(Ⅰ)詳見解析；(Ⅱ).【解析】【分析】Ⅰ求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；Ⅱ問題轉(zhuǎn)化為恒成立，設(shè)，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)的最值，從而確定a的范圍即可．【詳解】Ⅰ的定義域是，，當(dāng)