工程力學(xué)第8次作業(yè)解答

#《工程力學(xué)》第8次作業(yè)解答（應(yīng)力狀態(tài)與強(qiáng)度理論）2010-2011學(xué)年第2學(xué)期一、填空題過(guò)構(gòu)件內(nèi)某點(diǎn)各個(gè)截面中的最人正應(yīng)力和最小正應(yīng)力就是該點(diǎn)處的圭應(yīng)力。最大切應(yīng)力作用面與主應(yīng)力作用面成Q度角。研究點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)，通常是圍繞該點(diǎn)取單元體，由于單元體尺寸為無(wú)窮小,所以可認(rèn)為單元體每個(gè)側(cè)面上的應(yīng)力是均勻分布的;兩相互平行的側(cè)面上相應(yīng)的應(yīng)力人小是蟹的，符號(hào)是相反的。若單元體某一截面上的切應(yīng)力為零,則該截面稱為主平面；主平面上的正應(yīng)力稱為主應(yīng)力。一個(gè)單元體上有相互垂直的三對(duì)主平面，因此有三個(gè)主應(yīng)力，它們按代數(shù)值人小的排列順序是>a3o人fi'i顧郢莎和力學(xué)試驗(yàn)中觀測(cè)到的材料失效現(xiàn)象與構(gòu)件的應(yīng)力分析相結(jié)合，提出了一些解釋材料在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)卜?失效原因的假說(shuō)，這些假說(shuō)稱為強(qiáng)度理論。材料失效的現(xiàn)象盡管多種多樣，但其主要形式不外乎兩種：一是脆性斷裂,二是塑性屈服。第一強(qiáng)度理論認(rèn)為最大拉應(yīng)力是引起材料失效的原因,其強(qiáng)度條件為5<[b]。第三強(qiáng)度理論認(rèn)為最人切應(yīng)力是引起材料失效的原因,其強(qiáng)度條件為q-巧?]。第四強(qiáng)度理論認(rèn)為形狀改變比能是引起材料失效的原因,其強(qiáng)度條件為J*[（5-6）’+（6—巧）‘+（①一5）’]<[CT]o二、問(wèn)答題1、什么叫一點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)？為什么要研究一點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)？如何研究一點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)？答：所謂一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)，就是通過(guò)受力構(gòu)件內(nèi)某一點(diǎn)的各個(gè)截面上的應(yīng)力情況。由桿件拉（壓）、扭轉(zhuǎn)和彎曲等幾種基本變形形式卞，可進(jìn)行橫截面上的內(nèi)力、應(yīng)力、強(qiáng)度和剛度計(jì)算。但是這些計(jì)算還不能解決某些同時(shí)存在幾種基本變形時(shí)的強(qiáng)度問(wèn)題，也不能建立既有正應(yīng)力和切應(yīng)力存在時(shí)的強(qiáng)度準(zhǔn)則。為了解決以上問(wèn)題，還必須分析受力構(gòu)件上上一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)，在此基礎(chǔ)上建立一般應(yīng)力狀態(tài)下的強(qiáng)度準(zhǔn)則，以解決構(gòu)件在復(fù)雜受力時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算問(wèn)題。描述構(gòu)件上一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)的方法，是用繞這一點(diǎn)取一個(gè)微小正六面體單元，當(dāng)六面體的各邊邊長(zhǎng)充分小時(shí)，便趨于宏觀上的點(diǎn)。這樣的正六面體微元，當(dāng)邊長(zhǎng)無(wú)限小時(shí)稱為單元體。如果如果單元體上的應(yīng)力已知，就可確定該點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。2、什么叫單元體？什么叫主平面和主應(yīng)力？主應(yīng)力與正應(yīng)力有什么區(qū)別？單元體就是闈繞一點(diǎn)用三對(duì)互相垂直的平面截取的邊長(zhǎng)無(wú)限小的正六面體。切應(yīng)力為零的平面稱為主平面，作用在主平面上的正應(yīng)力稱為主應(yīng)力。一般而言，過(guò)受力構(gòu)件上某點(diǎn)的平面上既有正應(yīng)力又有切應(yīng)力，主應(yīng)力就是切應(yīng)力為零時(shí)平面上的正應(yīng)力，是正應(yīng)力的一種特例，并且主應(yīng)力還是正應(yīng)力的極值。一般正應(yīng)力由選取單元體的方位確定，主應(yīng)力一般需要通過(guò)分析單元體的正應(yīng)力和切應(yīng)力才能確定其方位。三、計(jì)算題1、試畫出圖示簡(jiǎn)支梁上點(diǎn)4和拆處的應(yīng)力單元體，并算出這兩點(diǎn)的主應(yīng)力數(shù)值。

解：（1）求支座反力受力圖如右所示，由于結(jié)構(gòu)和載荷對(duì)稱，故F.=Fr=*]l=36kN（2）作內(nèi)力圖內(nèi)力圖如右所示。由圖可知A、B兩處的剪力和彎矩大小相等。（3）確定解：（1）求支座反力受力圖如右所示，由于結(jié)構(gòu)和載荷對(duì)稱，故F.=Fr=*]l=36kN（2）作內(nèi)力圖內(nèi)力圖如右所示。由圖可知A、B兩處的剪力和彎矩大小相等。（3）確定A、B處內(nèi)力由內(nèi)力圖可得：Fsa=一Fsb=12kN12kN/mMA=叫=—x（36+12）x2=48kN.m（4）確定A、B兩處的正應(yīng)力和切應(yīng)力及原始單元體圖A處橫截面上的應(yīng)力及單元體圖48x10’0.15x0.2’x(_0?05)=-24MPa12GS；=^z￡_v2)=12x2Lb2//4A)a0.15x0.23■■2x1209-x(—-—0.052)=0.45Mpa單元體圖如右所示。由圖知：<7.v=-24Mpa,<Jy=0Mpa,Tx=0.45Mpa,故主應(yīng)力為—24+02土+0.452J0.008[-24.008故q=0.008Mpa,<r2=0,cr3=-24.008MpaB處橫截面上的應(yīng)力及單元體圖48x1048x1030.15x0.23x0.05=24MPa12■■=-12x10’0.2-005j045陽(yáng)c0.15x0.23'42x12單元體圖如右所示。由圖知：=24Mpa,=0Mpa,rv=-0.45Mpa,故主應(yīng)力為24+02±J(24-0..y+24+02±J(24-0..y+0.45"_「24.008一“-.008故q=24.008Mpa,6=0,込=—0.008Mpa,2、試求各單元體中指定斜截面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力。(0(0-100-502cosl20°=12.5MPa2sin2a+z\cos2a=??—100—502xsni120°=-64.95MPa-100-502cosl20°=12.5MPa2sin2a+z\cos2a=??—100—502xsni120°=-64.95MPa解：(a)單元體斜截面上正應(yīng)力和切應(yīng)力圖示單元體中，a=60°,crv=-100NIPa,=50MPa,r=0,故kTOC\o"1-5"\h\zI?>(7+cr(7-(76=+cos2a-rsiii2aQ22A-100+50+2(b)單元體斜截面上正應(yīng)力和切應(yīng)力圖示單元體中，已如h己知：q=60°?(Jx=0,crv=-60MPa,Tx=-40MPa,故+CTVCTV—CTVol=—+cos2a-rsiii2aQ22A=+^^cosl20°+40sml20°=-10.36MPa22產(chǎn)s咖+"2—晉s迅2。。-40220—45.9莎(c)單元體斜截面上正應(yīng)力和切應(yīng)力圖示單元體中，已知：已知：a=-67.5°,丁=-20MPa,b、.=30MPa,r=-30MPa,故

+O"vCTV—<TV6=—+—cos2a-z\sin2&匕22A=一2°+3°+一2°一303$卜］35。)+30sin(—135。)=1.46MPa(7-Ca=‘2sin2a+“cos2a=—2：—3°sm(_135(7-Ca=‘2sin2a+“cos2a=3、對(duì)于下列所示的單元體，試求:（1）求出主應(yīng)力和主平面方位；（2）畫出主單元體；（3）最人切應(yīng)力。解：圖（a）圖示單元體中，已知：a=SOMPa,?%(a)(Jy=0MPa,Tx=-30MPa。（1）主應(yīng)力和主平面方位主應(yīng)力確定^maxl6+6=290MPa-10故主應(yīng)力：q=90Mpa,込=0,cr3=-10Mpa主平面方位確定解得：a0=18°26\%+90。=108。26‘（2）畫主單元體（如右圖所示）（3）最人切應(yīng)力max(b)=50圖（b）(b)=50圖示單元體中，已知：a=60MPa,<JV=30MPa,rv=-25MPao（1）主應(yīng)力和主平面方位主應(yīng)力確定

60+3060-30.z“宀=±{(=)-+(-25)60+3060-30.z“宀=±{(=)-+(-25)，74.1515.85MPa故主應(yīng)力：5=74.15Mpa,cr2=15.85Mpa,込=0主平面方位確定tan26Z0=-tan26Z0=-2x(-25)_560-30蔦解得：a0=29°3r,另一主平面方位角：ao+90°=119°3rr.計(jì)算解得：a0=29°3r,另一主平面方位角：ao+90°=119°3rr.計(jì)算4F=亦4x50x10’-^x(30xW3)2=70.74MPa（2）畫主單元體（如右圖所示）（3）最大切應(yīng)力q—込74.15+0”wmax=-4-^=一—=37?07》Mpa4、如圖所示的圓軸，直徑d=30inm,如拉力F=50KN,扭矩M=0?2KN?m,H=120MPa。試按第三和第四強(qiáng)度理論，校核其強(qiáng)度。解：（1）原始單元體上應(yīng)力確定正應(yīng)力計(jì)算原始單元體上正應(yīng)力由桿的拉伸引起，用拉桿橫截面上應(yīng)力公式b、=0切應(yīng)力計(jì)算原始單元體上的切應(yīng)力由桿的扭轉(zhuǎn)引起，可用圓軸扭轉(zhuǎn)橫截面切應(yīng)力公式計(jì)算。由上圖可知其扭矩為負(fù)，且T=—M=—0?2kNm故T-0.2x103x16r=r=——==.x(30xl0-7=-37*73Mpa（2）主應(yīng)力確定警土J（呼）+9.7卄87.09-16.35MPa故主應(yīng)力分別為：q=87