正交小波基的構(gòu)造和性質(zhì)

題號一二三四五六七八九十總分評卷教師簽名得分研究生課程答題紙研究生學(xué)院一、 詳細(xì)歸納正交小波基的性質(zhì)和構(gòu)造過程。（20分）二、 運(yùn)用小波包的方法，在MATLAB中對tieda_noise.bmp圖片進(jìn)行降噪處理，要求列出程序（處理過程）、降噪結(jié)果及降噪的理論依據(jù)。（30分）三、 課程論文：綜述小波變換理論與工程應(yīng)用方面的研究進(jìn)展，要求包括題目、摘要、引言、正文、結(jié)論、參考文獻(xiàn)，每個課程論文均不少于2000字。（20分）四、 平時成績，包括出勤、課堂練習(xí)、課后作業(yè)。（30分）第一題正交小波基的構(gòu)造和性質(zhì)本題中，濾波器句代表高通濾波器h1(n)；濾波器h代表低通濾波器h0(n)；由尺度函數(shù)構(gòu)造正交小波基1.由正交尺度函數(shù)§(t-k))構(gòu)造正交小波基，構(gòu)造步驟如下:ke1.(1)選擇4(t)或中(3)使b(t-k)(1)keZ(2(2)求h(n):h(n)h(n)=<?(t)如—k)>(1-1)H-=富(1-2)(3)由h(n)求g(n):(3)由h(n)求g(n):g(n)=(—1)n?h一n+1(1-3)(4)G(p)=e-j^H(s+兀)(1-4)由g(n),4(t)構(gòu)造正交小波基函數(shù)w(t):w(t)=zgn81n(t)n(1-5)W(①)=G(3,2)?中(?2)(1-6)例1.Haar小波的構(gòu)造選擇尺度函數(shù)1, 0<tv14(t)=<0,其他顯然版t-k)}為一正交歸一基，則keZh=v2jdt^(x)^(2t-n)nf/r- 一1,,f2,n=0,1=<0, 其他由式(1-3)TOC\o"1-5"\h\z1《J2, n=0 1

g(n)=(—1)n-h =<—1/72, n=10,其他0<tv0<tv121<tv12其他1,1 1W(t)=-^e(t)一-^e(t)==〈—

<2-1,0 v'2-1,10,例2.由尺度函數(shù)為Riesz基時構(gòu)造正交小波基函數(shù)要找到一個多分辨率分析的尺度函數(shù)4(t)，使它的整數(shù)平移構(gòu)成一個正交系列，有時候不太方便。但要找到一個函數(shù)，使它的整數(shù)位移構(gòu)成一個Riesz基§(t-k)}keZ來構(gòu)造一個多分辨率框架，從而構(gòu)造一組正交小波基。首先給出Riesz基的定義：設(shè)函數(shù)§(t-kR"張成的空間為％的Riesz基的充分必要條件為存在兩常數(shù)A>0,B<8，使得對于所有(Ck)心^L2(Z)都有

*(t-*(t-k)<k(1-7)可以證明式（1-7）等價于0<（2兀）-1A<￡|中（s+2兀l）|2<（2兀）-1B<3l因此我們可以定義一個L（t）e12（R），使得i中#（①）=[Z|中（①+2兀l）|2]-2-①（①）l顯然，中#@）滿足E|中#（①+2兀l）|2=1即如（t-k）是正交基。且如（t-k）可以構(gòu)成（｝^的多分辨率分析框架。由此可由如（t-k）入手，構(gòu)造一個正交小波基?？梢宰C明如下：（1） 除了N=0時（此時為Haar小波）例外，其他4（t-k）都不具有正交性，因此必須實(shí)行正交化處理過程奴（t）。（2） 正交的如（t）及其構(gòu)造的小波函數(shù)w（t）（Battle—Lemarie小波函數(shù)）支集都為非緊的（定義域?yàn)檎麄€實(shí)軸，即無限長）。1（3） 當(dāng)N為偶數(shù)時，4#（或4）關(guān)于t=?對稱，當(dāng)N奇數(shù)時，4#（或4）關(guān)于1t=0對稱。而所有Battle—Lemarie小波關(guān)于t=一對稱。并且已證明4#和w都具有2指數(shù)衰減性。（4） 結(jié)論：正交小波的光滑性和衰減性是一對矛盾特性。二、緊支集正交小波基的性質(zhì)和構(gòu)造由MRA理論可知，尺度函數(shù)和小波函數(shù)均滿足雙尺度方程：

(1-8a)(1-8b)的)=-Jl￡h(n)8((1-8a)(1-8b)n

neZ ,w(t)='克￡(-1)nh (n)^(2t-n)—n+1neZ由上式可知，即使Nt）是支集緊的，相應(yīng)的w（t）的支集未必是緊的。因此既簡單又重要的是要求式（1-8）的右邊僅包含有限（N+1）項，此時只要作適當(dāng)?shù)钠揭谱儞Q即可將雙尺度方程寫成：Nt）=、.2￡h（n）^（2t-n） （1-9a）nn=0w（t）=巨￡g（n）@（2t-n） （1-9b）nn=1-N如此，若Nt）是正交MRA中緊支集的母函數(shù)，則由此構(gòu)成的正交小波基的母函數(shù)W（t）也是緊支集的?，F(xiàn)在的關(guān)鍵問題是要求出滿足式（1-9a）的雙尺度方程中的Nt）。由式（1-9a）可以知道如果先直接尋找。函數(shù)，然后再來確定有限項的h是不容易的。相反，若有限長度的h已確定，再來確定。則容易些。1.緊支集正交小波基的構(gòu)造構(gòu)造緊支集正交小波基的雙尺度方程憶）=上￡h此t-n）<2nn=0也就是構(gòu)造特征多項式H（z）=42&嚴(yán)的方法可歸結(jié)為下列步驟：'n=01） 選定一整數(shù)L>2。2） 選定一多項式，使它滿足以下三式：,1 、 ，1 、 一?R0-y）=-R（g+>） （1-10）

(1-11)，、 ，1 、C C-(1-11)頃+WF2°’ 0VyV1其中P(y)滿足PL(yPL(y)=尸J=0，其中n!

k!(n-k)!(1-12)1(1-13)sup[P(y)+yLR(-—y)]<22(L-1)(1-13)l 21尋找一買系數(shù)二角多項式Q(z)，使得\Q(z)|2=P(z)+zLR(—z)。1選取萬法是：從P(z)+zlR{-—z)的每四個復(fù)零點(diǎn)中選兩個，每對買零點(diǎn)中選一個，按照下式構(gòu)造Q(z)。則得H(z)=(1*^)Q(z)最簡單的情況是取R三0(yG[0,1])，此時P(y)是正系數(shù)多項式，所以條件式(1-12)顯然得到滿足，且因當(dāng)y>0時，P(y)單調(diào)增加，因此，supP(ysupP(y)=P(1)=ye[0,1]1\(2L-1)2iLL—1)VLJ(1-14)=22(L=22(L—1)2k=0故條件式(1-14)也得到滿足。于是利用Riesz引理即可構(gòu)作實(shí)系數(shù)二角多項式QK)=空一q(n)ejn?，k=0滿足Q(ej?)|2QK)=空一q(n)ejn?，k=0由「構(gòu)作Q時，我們選取時，我們選取「在單位圓內(nèi)的根，這相應(yīng)于設(shè)計濾波器時選取最小相位。當(dāng)L=2,3時，Ql(ee)的具體解析式為

1 - -Q")=2[(1+履)+d3)e-m]1 .— ■- '=' — -— 廠Q3(ej^)=4〔(1+?10)+寸5+2J10+2(1-50)em+(1+J10-J5+2J10)e2m]相應(yīng)的h為：當(dāng)L=2時：h(0)=0.482962913145,h(1)=0.836516303738h(2)=0.224143868042,h(3)=-0.129409偵325此時、的非零長度為N=4。當(dāng)L=3時：h(0)=0.3326705529500825,h(1)=0.8068915093110924h(2)=0.4598775(8^9,h(3)=-0.135011QDQ(546h(4)=-0.0854418202,h(5)=0.0352268570.9520此時、的非零長度為N=6。0 12 320-20 2 4 620-28D40 2 4 6 88D6101520-208D8855152010-10108此時、的非零長度為N=6。0 12 320-20 2 4 620-28D40 2 4 6 88D6101520-208D8855152010-10108DY208DY1220-20 5 100103040208D40圖1-1Daubechies尺度函數(shù)(N=4,6,8,???40)2320-2014620-20226820-204Wd41020-205WD6101520-20WD85101520-20WD平1055152020-20102320-2014620-20226820-204Wd41020-205WD6101520-20WD85101520-20WD平1055152020-2010WD20WD1210304010-1020WD40WD16圖1-2Daubechies小波函數(shù)(N=4,6,8,???40)當(dāng)L=4~10時相應(yīng)的尺度方程系數(shù)見表1,其相應(yīng)hn的非零長度為N=2L,圖1-1和1-2示出了一些尺度函數(shù)與小波母函數(shù)的圖形。對這樣的緊支集小波，它的一般性質(zhì)如下：支集大小由式(1-14)得到不同L下尺度函數(shù)的支集為suppeL=[0,2L-1]=[0,N]其相應(yīng)的小波母函數(shù)的支集為suppw=[-(2L-2),2L-1]=[-(N-1),N]L對稱性問題盡管緊支集小波有支集緊的優(yōu)點(diǎn)，但它一般沒有對稱性?？梢宰C明，除Haar小波(其W⑺關(guān)于t=1為反對稱，其e(t)關(guān)于t=1為對稱)外，其他所有連續(xù)的緊支集正交小波基及其尺度函數(shù)都不具有任何對稱性。光滑性問題緊支集多尺度生成元e的光滑性也較差。要增加e的光滑度，則要增加支集長度，即時域支集變長，其光滑度也即頻域局部性變好。消失矩特性對某些應(yīng)用來說(特別在指數(shù)計算方面)，小波不僅應(yīng)當(dāng)是零均值的(滿足可容許性條件)，而且還必須具有高階消去性。小波的消失矩定義如下：若jv(t)tmdt=0;m=0,1,2,M-1我們稱小波W(t)具有M階消失矩。Haar小波只具有一階消失矩，Daubechies連續(xù)的緊支集正交小波可具有任意高階消失矩，消失矩隨著支集增大而增大。對于L階消失矩的Daubechies小波，其h(n)的長度N=2L，并且L-1次連續(xù)可導(dǎo)。二、運(yùn)用小波包的方法，在MATLAB中對tieda_noise.bmp圖片進(jìn)行降噪處理，要求列出程序(處理過程)、降噪結(jié)果及降噪的理論依據(jù)。程序如下：clc;clear;holdon%繪制原始無噪圖像figure(1);%繪制原始彩色圖像[a,map]=imreadCC:\Users\Administrator\Desktop\考試資料\tieda_RGB.bmp','bmp');[A,map]=rgb2ind(a,256);save'my'Amap;loadmy;colormap(map);image(A);title('原始彩色圖像')figure(2);subplot(222);b=imread('C:\Users\Administrator\Desktop\考試資料\tieda_gray.bmp','bmp');B=double(b);image(B);title('原始無噪圖像')%裝載原始有噪圖像[X,map]=imread('C:\Users\Administrator\Desktop\考試資料

\tieda_noise.bmp','bmp');%loadY;Y=double(X);nbc=size(map,1);%使用coif2執(zhí)行3層小波包

wname='coif2';lev=3;tree=wpdec2(Y,lev,wname);%由第1層的高頻系數(shù)估計噪聲的標(biāo)準(zhǔn)差detl=[wpcoef(tree,2)wpcoef(tree,3)wpcoef(tree,4)];sigma=median(abs(det1(:)))/0.6745;%使用wpbmpen進(jìn)行全局閾值選擇

alpha=0.9;thr=wpbmpen(tree,sigma,alpha);%使用wpdencmp函數(shù)，采用上面的閾值和軟閾值處理方式，保存低頻，進(jìn)行圖像

降噪keepapp=1;xd=wpdencmp(tree,'s','nobest',thr,keepapp);%畫出原始圖像和降噪后的圖像

colormap(gray(nbc));subplot(223),image(wcodemat(X,nbc))

title('原始有噪圖像')subplot(224),image(wcodemat(xd,nbc))

title('降噪后的圖像')降噪結(jié)果：降噪前、降噪后和無噪原始圖像詳見圖2-1和2-2。通過降噪后的圖像和降噪前的圖像相比，基本上達(dá)到了降噪的目的，

圖像得到了改善。通過降噪后的圖像和未加噪的圖像對比，該方法只起到了降噪的目的，并不

能完全達(dá)到去噪的目的，并不理想。原始彩色圖像圖2-1原始彩色圖像圖2-1降噪前后圖像對比理論依據(jù)：本程序從閾值函數(shù)和閾值估計兩方面對圖像去噪。圖像去噪需要用二維的分析工具對圖像進(jìn)行分析，需對高頻系數(shù)分別進(jìn)行閾值量化處理，對圖像分解的三個方向的高頻系數(shù)進(jìn)行閾值處理。圖像去噪步驟如下：（1） 對圖像進(jìn)行小波分解。選擇合適的小波函數(shù)及適合的分解層次對圖像進(jìn)行分解。（2） 對分解后的高頻系數(shù)進(jìn)行閾值處理。對分解的每一層，選擇合適的閾值對該層的水平、垂直和斜線三個方向的高頻系數(shù)進(jìn)行閾值處理。（3） 重構(gòu)圖像。根據(jù)小波分解的低頻系數(shù)和閾值處理后的高頻系數(shù)進(jìn)行圖像重構(gòu)。第三題基于提升小波多分辨分析的圖像去噪基于提升小波多分辨分析圖像去噪是小波理論中的一項重要的內(nèi)容，它是解決去噪問題的一種非常有效手段，基于提升方案的小波變換，比傳統(tǒng)的小波變換有很多的優(yōu)越性。本課題提出基于提升系統(tǒng)的小波多分辨分析圖像去噪主要目的是體現(xiàn)提升小波對圖像去噪比起其他算法的優(yōu)勢。本課題采用了對比的方法，對cameraman圖像加入自定義噪聲，噪聲方差為0.5,利用haar小波函數(shù)對該圖像和信號進(jìn)行二級分解，分別用小波變換和其對應(yīng)的提升小波進(jìn)行圖像和信號去噪，并采用空域?yàn)V波和頻域低通濾波對其去噪，給出了仿真結(jié)果，從視覺直觀圖和峰值信噪比、均方誤差等參數(shù)上進(jìn)行了分析對比，比較其效果，體現(xiàn)了提升小波圖像去噪比起其他算法的優(yōu)劣。仿真結(jié)果表明，提升小波和傳統(tǒng)小波相比，其優(yōu)點(diǎn)在于計算簡單，編程容易，速度快，該算法去噪后的圖像質(zhì)量優(yōu)于一般小波變換和傳統(tǒng)方法。關(guān)鍵詞：小波變換提升小波圖像消噪第1章小波變換理論基礎(chǔ)1.1連續(xù)小波變換設(shè)WC)6L(R),其傅里葉變換為w(w),當(dāng)W(w)滿足式(1-1)時，稱w(w)為一個基本小波或母小波(MotherWavelet)。它說明了基本小波在其頻域內(nèi)具有較好的衰減性。成而C=j'?dw<8 (1-1)R其中，當(dāng)w=0時，有W(w)=0，即J8wG丸=0同時有W(8)=0。因此，一個允許的-8基本小波的幅度頻譜類似于帶通濾波器的傳遞函數(shù)。事實(shí)上，任何均值為零(即J8wGM=0)且在頻率增加時以足夠快的速度消減為零(空間局域化特征)的帶通-8濾波器的沖激響應(yīng)(傳遞函數(shù))，都可以作為一個基本小波。將母函數(shù)W(t)經(jīng)過伸縮和平移后得到：W(t)=^!=W-_—,其中白,bgR;a。0 (1-2)心 』a|Ia7稱其為一個小波序列。其中a為伸縮因子，b為平移因子。通常情況下，基本小波甲。以原點(diǎn)為中心，因此W.b。是基本小波W(t)以t=b為中心進(jìn)行伸縮得到?；拘〔?。被伸縮為W(ta)(；>1時變寬，而a<1時變窄)可構(gòu)成一組基函數(shù)。在大尺度a上，膨脹的基函數(shù)搜索大的特征，而對于較小的a則搜索細(xì)節(jié)特征。對于任意的函數(shù)f(t)gL(R)的連續(xù)小波變換為：W(a,b)<f,W>|a|2jf(tWt—-dt (1-3)當(dāng)此小波為正交小波時，其重構(gòu)公式為:

TOC\o"1-5"\h\zf(I)=1j+J+81w(a,b}[i'^dadb (1-4)C-8-8a2f\a/V在小波變換過程中必須保持能量成比例，即j'ajW(a,b)2db=Cj|f(x)2dx (1-5)a2 f1V由于基小波甲6)生成的小波V.b()在小波變換中對被分析的信號起著觀測窗的作用，所以V&)還應(yīng)該滿足一般函數(shù)的約束條件：I+8V(tg<8 (1-6)-8故V(w)是一個連續(xù)函數(shù)，這意味著，為了滿足重構(gòu)條件式(1-1)，V(W)在原點(diǎn)必須等于零，即v(0)=f+8v(td=0，即說明w(t)具有波動性。為了使信號重構(gòu)的實(shí)現(xiàn)上是穩(wěn)定的，除了滿足重構(gòu)條件外，還要求V&)的傅立葉變換滿足如下穩(wěn)定性條件：Abv(-mJ<B (1-7)+81.2離散小波變換在實(shí)際運(yùn)用中，尤其是在計算機(jī)上實(shí)現(xiàn)時，連續(xù)小波必須加以離散化。因此有必要討論連續(xù)小波V.b《)和連續(xù)小波變換七(a,b)的離散化。需要強(qiáng)調(diào)指出的是，這一離散化都是針對連續(xù)的尺度參數(shù)和連續(xù)平移參數(shù)b的，而不是針對時間t的。這一點(diǎn)與我們以前的習(xí)慣不同。在公式(1-2)中，a，beR；a手(是容許的。為方便起見，在離散化中，總限制a只取正值。通常，把連續(xù)小波變換中尺度參數(shù)a和平移參數(shù)b的離散化公式分別取作a=aj,b=b，這里jgZ，擴(kuò)展步長a。1是固定值，0 0 0'-jt-kb)0 0為方便起見，總是假定a0>1。所以對應(yīng)的離散小波函數(shù)'-jt-kb)0 0(1-8)1

= (1-8)Ml而離散化小波變換系數(shù)則可表示為:ck=』+8f。虹Qdt<f,w飛>0(1-9)其重構(gòu)公式為：f°=CwC^(t)(1-10)j,k j,k-s-s1.3多分辨分析特性多分辨率分析是在函數(shù)空間L2(R)，將函數(shù)f(x)描述為一系列近似函數(shù)的極限。其主要思想是：從L2(R)的某個子空間出發(fā)，在這個子空間先建立基底，然后利用變換，再把基底擴(kuò)充到L2(R)去，最終將L2(R)分解為一串具有不同分辨率的子空間序列。多分辨率分析是指L2(R)中滿足下列條件的一個空間序列：嵌套性：匕u七+1逼近性：V.={0},頂=L2(R)沱Z 沱Z伸縮性：f(t)e匕of(2t)eV川平移不變性：f(t)eV.nf(t-k)eV.,VkeZRiesz基存在性：8eV0,且{?(x-k),keZ}構(gòu)成V0的Riesz基(按照L2(R)內(nèi)積)。設(shè)以v.表示低頻部分，w表示高頻部分，w是V.在V.1中的正交補(bǔ)，即V十W=V1，.eZ。多分辨率分析的子空間V0可以用有限個子空間來逼近，那么就有如7圖1-1所示：-%_中偵v■—Y—...Wj_2 W『1 Wj圖1-1多分辨率空間1.4小波基的選擇小波變換與傅里葉變換只有一種函數(shù)或變換核不同，它不具有單一性，理論上有無限多種小波基或變換核，必須根據(jù)具體問題選擇合適的小波基，否則就難以達(dá)到滿意的效果。一般來說，在小波分析中，小波基的選擇應(yīng)考慮以下幾個方面：正交性、緊支撐性、對稱性、正則性、消失矩等。第2章提升小波去噪基本原理2.1提升算法的過程提升小波的基本思想就是通過一個母小波逐步構(gòu)建出一個具有更加良好性質(zhì)的新的小波，完全在信號的空間域Hi】，對信號實(shí)施分裂、預(yù)測和更新三大步驟，完成對信號的頻率分解。提升算法給出了雙正交小波簡單而有效的構(gòu)造方法，使用了基本的多項式插補(bǔ)來獲取信號的高頻分量，之后通過構(gòu)建尺度函數(shù)來獲取信號的低頻分量。由提升方法構(gòu)成的小波變換的分解、預(yù)測和更新三個步驟可具體描述如下：②分解。將信號七分裂成為兩個互不相交的子集七1和《1，常用的算法是將輸入信號按奇偶分成兩個子集，即 71 71F(S)=(S^d1) (2-1)

②預(yù)測。針對數(shù)據(jù)間的相關(guān)性，可用S.1去預(yù)測d.1。故可采用一個與數(shù)據(jù)集結(jié)構(gòu)無關(guān)的預(yù)測算子P，使得dj1=P(Sj1)，這樣就可以用子數(shù)據(jù)集S,1代替原始的數(shù)據(jù)集S’。若用子集d1與預(yù)測值P(S，)‘的差值去代替d1，則此.值反映了兩者的逼近程度。如果預(yù)'測是合理的，貝^差值數(shù)據(jù)集所包含祠信息比原始子集d.1包含的信息要少得多。預(yù)測過程的表達(dá)式為：(2-2)d.1=d.1-P(S.(2-2)③更新。由于分解成子集，原來集合的一些特征丟失，通過更新使子集的數(shù)據(jù)和原來集合的數(shù)據(jù)保持相同的特征。也就是通過算子U產(chǎn)生一個更好的子數(shù)據(jù)集S1，使之保持原數(shù)據(jù)集S.的一些特性。S.1的定義為：S=^+U③更新。由于分解成子集，原來集合的一些特征丟失，通過更新使子集的數(shù)據(jù)和原來集合的數(shù)據(jù)保持相同的特征。也就是通過算子U產(chǎn)生一個更好的子數(shù)據(jù)集S1，使之保持原數(shù)據(jù)集S.的一些特性。S.1的定義為：S=^+U(d) (2-3)重構(gòu)數(shù)據(jù)時的提升公式與分解公式相同「通過直接改變計算次序和符號就可以實(shí)現(xiàn)，具體過程如下：d=d+P(S) (2-5)\o"CurrentDocument"S=Merge(S,d) (2-6)圖2-1提升算法框圖其中Merge是合并的意思，是將分或后的'子集S.1和d.1重構(gòu)成初始信號S.o利用不同的預(yù)測算子?和更新算子U可以建立不同的小波變換。利用第二代小波變換分解和重構(gòu)的示意圖如圖2-1圖2-1提升算法框圖利用提升方案進(jìn)行小波變換具有可進(jìn)行同址運(yùn)算優(yōu)點(diǎn)，這樣在具體實(shí)現(xiàn)時可省去大量在存貯器開銷。它的另一個優(yōu)點(diǎn)是可提高小波變換的速度。所以把現(xiàn)存的有限長小波濾波器分解成基本的提升步驟，可加快小波變換的進(jìn)行，隨濾波器長度的增加，運(yùn)算速度趨于常規(guī)小波變換的2倍，換言之，在同等的硬件條件下，對一維小波變換而言，運(yùn)算時間降低一半，對二維小波變換則降為原來的四分之一。第3章基于Matlab的圖像仿真與分析3.1小波分級層數(shù)對去噪效果的影響加入高斯噪聲圖像1層?。翰ㄈピ牒髨D像PSNR=14.8191PSNR=1883342層小''波去噪后圖像加入高斯噪聲圖像1層?。翰ㄈピ牒髨D像PSNR=14.8191PSNR=1883342層小''波去噪后圖像3層小波去噪后圖像4層，_］糠去噪后圖像PSNR=14.8055PSNR=19.4B3-1小波分級層數(shù)對去噪效果的影響原始圖像通過圖3-1的實(shí)驗(yàn)直觀效果圖及峰值信噪比可知，對圖像進(jìn)行2級小波分解效果最佳，峰值信噪比最大，所以在以下的實(shí)驗(yàn)中選用2級小波分解。小波各分級層數(shù)的信噪比如表3-1所示：表3-1小波各分級層數(shù)的信噪比分解級數(shù)1級分解2級分解3級分解4級分解PSNR18.833419.414617.293914.80553.2小波基函數(shù)對去噪效果的影響PSNR=14.5832hamr小'波去噪后的圖像PSNR=20.5123原始圖像北10小波去噪后的圖像PSNR=20.9041bi口「PSNR=14.5832hamr小'波去噪后的圖像PSNR=20.5123原始圖像北10小波去噪后的圖像PSNR=20.9041bi口「4』小波去噪后的圖像毗「22卜波去噪后的圖像PSNR=203081PSNR=20.7512PSNR=21.0996PSNR=24.6311圖3-2小波基函數(shù)對去噪效果的影響通過圖3-2的實(shí)驗(yàn)直觀效果圖及峰值信噪比可知，對圖像采用haar小波基函數(shù)進(jìn)行分解效果最佳，得到的圖像最接近原始圖像，而且峰值信噪比最大，另外haar小波的正交性，緊支撐性，對稱性，正則性等都優(yōu)于其他小波基函數(shù)，所以在以下的實(shí)驗(yàn)中選用haar小波基函數(shù)。各小波基函數(shù)的信噪比如表3-2所示：表3-2各小波基函數(shù)的信噪比小波基sym4小波db10小波coif2小波bior4.4小波bior2.2小波haar小波PSNR20.904120.512321.099620.308120.751224.63313.3提升小波去噪仿真結(jié)果與分析為了體現(xiàn)提升小波去噪效果，本論文采用了對比的方法，對cameraman圖像加入了自定義噪聲，在去噪中采用haar小波函數(shù)對其進(jìn)行二層分解，分別用提升小波和小波變換及傳統(tǒng)方法進(jìn)行圖像和信號去噪，給出了仿真結(jié)果，從視覺直觀圖和峰值信噪比、均方誤差等參數(shù)上進(jìn)行了分析對比，比較效果。提升小波圖像去噪如圖3-3所示：圖3-3提升小波圖1豕去噪從圖3-3的消噪結(jié)果來看，用提升小波進(jìn)行圖像消噪所得的圖像主觀效果更好，從它們的峰值信噪比來看，用提升小波進(jìn)行圖像消噪所得的圖像的峰值信噪比更大，從它們的均方誤差來看提升小波的誤差較小，這些都說明提升小波圖像去噪效果更好。用提升小波及其他算法進(jìn)行圖像消噪的均方誤差和峰值信噪比如表3-3所

?。罕?-3各種去噪方法的信噪比和誤差去噪方法峰值信噪比/dB均方誤差中值去噪15.44761.5736巴特沃斯低通去噪16.11261.4991小波去噪16.56641.4336提升小波去噪17.06871.2771研究生課程考試答題紙

總結(jié)與展望現(xiàn)實(shí)中的圖像多為含噪的圖像，當(dāng)噪聲較嚴(yán)重時，會影響圖像的分割、識別和理解。傳統(tǒng)的去噪方法在去噪的同時圖像的細(xì)節(jié)變得模糊。本論文總結(jié)了圖像去噪方法，并在前人研究成果的基礎(chǔ)上，對提升小波去噪進(jìn)行了深入的研究，取得了一定的效果。與此同時，本論文在的研究工作仍然存在著許多缺陷有待進(jìn)一步的完善。1、 全文工作總結(jié)小波分析理論因其具有良好的時頻局域特性和多分辨率特性。本論文針對提升小波圖像去噪方面的應(yīng)用進(jìn)行了研究。具體歸納如下：本文首先總結(jié)了圖像去噪方法，并對其進(jìn)行了總結(jié)與對比，提出了各自的優(yōu)缺點(diǎn)，引出了小波變換圖像去噪方法，闡述了小波變換的基礎(chǔ)理論，給出了小波變換的基本概念、基本思想、發(fā)展歷程和提升小波去噪的基本方法。適當(dāng)選擇小波參數(shù)可以進(jìn)一步的提高圖像去噪的效果，本文小波去噪時各種參數(shù)設(shè)置進(jìn)行了詳盡的對比研究過程，在此基礎(chǔ)上，實(shí)現(xiàn)了提升小波去噪仿真，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，該算法比傳統(tǒng)算法有更好的去噪效果。2、 工作展望提升小波在圖像去噪應(yīng)用已取得了很好的成果，但還是存大著一些不足。針對本論文的研究內(nèi)容和小波去噪的發(fā)展趨勢提出一些改進(jìn)的思路與想法，以供以后工作借鑒：⑴如何建立非高斯噪聲的分布模型。根據(jù)獲得的先驗(yàn)知識和已有先驗(yàn)知識進(jìn)行準(zhǔn)確的建模，對于對非高斯噪聲的去除非常重要，尋找理想的小波系數(shù)模型已成為目前小波去噪研究的一個方向，如何使用高斯噪聲分布的去噪方法對非高斯噪聲進(jìn)行延拓都是值得進(jìn)一步探討的課題。(2)小波變換具有時頻局域特性和多分辨率特性，但它缺乏人眼的方向特性。隨著脊波和曲波的出現(xiàn)，提高了模型的準(zhǔn)確性，改善了小波的去噪性能，脊波、曲波、邊緣波也會成為當(dāng)前研究的一大趨勢。本文對提升小波做了介紹，并將其應(yīng)用于圖像去噪。但這些變換方法的研究都還處于開始階段，理論和應(yīng)用都有待進(jìn)一步的探索。參考文獻(xiàn)李建平.小波分析與信號處理一理論、應(yīng)用及軟件實(shí)現(xiàn).重慶出版社,1997年第1版.陳武凡.小波分析及其在語音信號和圖像處理中的應(yīng)用.科學(xué)出版社,2002年第1版.夏良正.數(shù)字語音信號和圖像處理.南京:東南大學(xué)出版社,1999第一版.路系群，陳純.語音信號和圖像處理原理、技術(shù)與算法.浙江大學(xué)出版社,2001,8.PokG,LiuJC,NairAS.SelectiveRemovalofImpulseNoiseBasedonHomogeneityLevelInformation[J].IEEETrans,OnImageProcessing,2003,12(1):85-92.KasparisT,TzannesNS,QChen.Detail-preservingadaptiveconditionalmedianfilters[J].Electic.Image,1992,1(14):356-364.SawantA,ZemanH,MuratoreD,etal.AnadaptivemedianfilteralgorithmtoremoveimpulsenoiseinX-rayandCTimagesandspeckleinultrasoundimages[J]proc.SPIE,199913661(2):1263-1274.OppenheimA.V.andSchaferR.W.DigitalSignalProcessing.Prentice-Hall[J].1975:361-367.VidakovicB,JohnstoneCB.Ontimedependentwaveletdonoising.[J]In:IEEETrans,Signalprocessing,1998,46(9),2549-2551.DonohoDL,JohnstoneIM,KerkyacharianGetal.Waveletshrinkage:asymptopia?[J]In:Journalofroyalstatisticssocietyseries,1995,57:301-369.WeyichN,WarholaGT.Waveletshrinkageandgeneralizedcrossvalidationforimagedenoising.[J]In:IEEETrans.ImageonProcessing,1998,7(71),82-90.GunawanD.Dennoisingimagesusingwavelettransform.[J]In:ProcessingsoftheIEEEPacificPimConferenceonCommunications,ComputterandSignalProcessing,VictoriaBC,USA,1999,83-85.SharkLK,YuC.Denoisingbyoptimalfuzzythresholdinginwaveletdomain.[J]In:ElectronicesLetters,2000,36(6),581-582.首先，要特別說明一下這個題目是我從大學(xué)本科的論文中整理出的一部分，修改了一些。其