方程有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根是否能改為有一個(gè)實(shí)數(shù)根

方程有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根是否能改為有一個(gè)實(shí)數(shù)根？河北省臨西縣第一中學(xué)（054900）高孝軍李其福在教授P34用公式法（《人教版》2009年3月第2版，2013年6月第8次印刷）解一元二次方程時(shí)，對(duì)于求根公式,當(dāng)△=0時(shí)，一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根可否改為有一個(gè)實(shí)數(shù)根學(xué)生產(chǎn)生了困惑。經(jīng)過同學(xué)們歸納梳理之后，形成了如下意見：意見1：當(dāng)△=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根是正確的。意見2：當(dāng)△=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根可以改為方程有一個(gè)實(shí)數(shù)根。意見3：討論1和討論2都對(duì)。意見4：不知道哪個(gè)對(duì)哪個(gè)錯(cuò)。持意見1的同學(xué)認(rèn)為，教材是這樣敘述的，難道會(huì)出錯(cuò)嗎？他們?cè)谙嘈沤滩牡幕A(chǔ)上認(rèn)為：當(dāng)△=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根是正確的，不應(yīng)改動(dòng)。持意見2的同學(xué)認(rèn)為，既然這兩個(gè)根是相等的，并且是一模一樣的，可以省略一個(gè)根，把兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根合寫成一個(gè)實(shí)數(shù)根就可以了。既然如此，怎樣分析才能使同學(xué)們明白誰對(duì)誰錯(cuò)，我進(jìn)行了思考。思考一：利用平方根的意義對(duì)求根公式進(jìn)行解釋1、對(duì)意見1的解釋。一元二次方程的一般形式（a、b、c是常數(shù)，a），用配方法進(jìn)行求解得到結(jié)果。因?yàn)?a≠0，所以，所以。所以，根的判別公式的值有三種情況：（不討論）。（1）當(dāng)時(shí)，>0。根據(jù)平方根的意義可知，有兩個(gè)不相等的平方根。于是得：，即，，所以當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，。（2）當(dāng)時(shí)，把代入x1，x2中，得：，即，所以當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根。從以上的分析中得出意見1是正確的。2、對(duì)意見2的解釋。當(dāng)時(shí)，把兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根通常說成只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，只是一種個(gè)人認(rèn)識(shí)，而這種認(rèn)識(shí)不符合n次n解的原理，故討論2是錯(cuò)誤的。評(píng)析：利用平方根的意義對(duì)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根進(jìn)行講解后，一部分學(xué)生糾正了對(duì)當(dāng)時(shí)有一個(gè)實(shí)數(shù)根的錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)，但仍有部分同學(xué)感到困惑。思考二：利用函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)對(duì)求根公式進(jìn)行了解釋對(duì)于任何一個(gè)一元二次方程（a、b、c是常數(shù)，a）可以看作是二次函數(shù)的圖像（a、b、c是常數(shù)，a）與平面直角坐標(biāo)系中x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。于是對(duì)二次函數(shù)進(jìn)行配方后可得（a、b、c是常數(shù)，a），其頂點(diǎn)坐標(biāo)為（）。由于二次函數(shù)（a、b、c是常數(shù)，a）的圖象是一條拋物線，而二次函數(shù)的圖象位于平面直角坐標(biāo)系的哪一象限，與二次項(xiàng)系數(shù)a，一次項(xiàng)系數(shù)b，常數(shù)項(xiàng)c有密切的聯(lián)系。二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開口方向。當(dāng)a﹥0（a﹤0），拋物線開口向上（向下）。一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定拋物線對(duì)稱軸的位置。由于拋物線的對(duì)稱軸是直線，故b=0時(shí)對(duì)稱軸為y軸。時(shí)，a,b同號(hào)，對(duì)稱軸在y軸左側(cè)；時(shí)，a,b異號(hào)，對(duì)稱軸在y軸右側(cè)。常數(shù)項(xiàng)c的大小決定二次函數(shù)圖象與y軸交點(diǎn)的位置。當(dāng)x=0時(shí)，y=c，所以拋物線與y軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)(0,c)；當(dāng)c=0時(shí)，拋物線經(jīng)過原點(diǎn)；當(dāng)c﹥0（c﹤0）時(shí)，拋物線與y軸交與正（負(fù)）半軸。從以上分析可以知道，確定二次函數(shù)圖象的位置可以由二次項(xiàng)系數(shù)a，常數(shù)項(xiàng)c與頂點(diǎn)坐標(biāo)（）共同來確定。a決定圖象開口方向；c決定圖像與y軸的正半軸、原點(diǎn)、負(fù)半軸相交；頂點(diǎn)坐標(biāo)決定圖像的最大值與最小值。函數(shù)圖象與x軸有交點(diǎn)即一元二次方程有實(shí)數(shù)根，函數(shù)圖象與x軸無交點(diǎn)即一元二次方程沒有實(shí)數(shù)根。當(dāng)時(shí)，拋物線（a）與x軸相交有兩個(gè)公共點(diǎn)，這兩個(gè)公共點(diǎn)分布在對(duì)稱軸的兩側(cè)，說明一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。當(dāng)時(shí)，拋物線（a）與x軸相交只有一個(gè)公共點(diǎn)，即頂點(diǎn)坐標(biāo)坐落在x軸上。其實(shí)質(zhì)是分布在對(duì)稱軸兩側(cè)的兩個(gè)公共點(diǎn)，沿對(duì)稱軸兩側(cè)圖像的軌跡向拋物線的頂點(diǎn)處移動(dòng)，逐漸重合而成為一個(gè)公共點(diǎn)，即一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根。從而證明意見1是正確的，意見2是錯(cuò)誤的。評(píng)析：在理解二次函數(shù)（a、b、c是常數(shù)，a）的圖象的基礎(chǔ)上，可知拋物線與x軸相交于兩點(diǎn)、相交于一點(diǎn)、沒有交點(diǎn)三種情況來判定一元二次方程根的情況。思考三：利用因式分解法之完全平方公式對(duì)求根公式進(jìn)行解釋一元二次方程（a、b、c是常數(shù)，a）的右邊為0，左邊可以利用完全平方公式進(jìn)行因式分解。即一元二次方程（a、b、c是常數(shù)，a）的左邊可以分解為。由△=0知，方程可變?yōu)?，即，解之得，。所以一元二次方程?dāng)△=0時(shí)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根。可知意見2是錯(cuò)誤的。如，左邊是典型的完全平方公式的形式，即，而可以寫成(2x-1)(2x-1)=0兩個(gè)一次式乘積等于0的形式。即2x-1=0或2x-1=0，解之得，所以。所以一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根。評(píng)析：利用完全平方公式解一元二次方程要對(duì)一元二次方程的左邊進(jìn)行因式分解，化為兩個(gè)一次式的乘積等于0的形式，再使這兩個(gè)一次式分別等于0，從而實(shí)現(xiàn)了降次的目的。思考四：對(duì)求根公式的升華原句(P36)：由求根公式可知，一元二次方程的根不可能多與兩個(gè)。單從本句表達(dá)的意義不難理解一元二次方程的根不可能多于兩個(gè)，也就是說一元二次方程的根可以有兩個(gè)、一個(gè)、0個(gè)（沒有）實(shí)數(shù)根。當(dāng)時(shí)，一元二次方程有兩個(gè)（不相等和相等）實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，一元二次方程有0個(gè)實(shí)數(shù)根（沒有實(shí)數(shù)根）。從而說明“一元二次方程的根不可能多于兩個(gè)”這句話是錯(cuò)誤的。應(yīng)改為“由求根公式可知，一元二次方程的根應(yīng)為兩個(gè)或0個(gè)?！蓖ㄟ^對(duì)一元二次方程求根公式的思考發(fā)現(xiàn)，當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根不可能改為有一個(gè)實(shí)數(shù)根這種說法。以上觀點(diǎn)如有不對(duì)的地方，敬請(qǐng)專