方程有兩個相等實數(shù)根是否能改為有一個實數(shù)根

方程有兩個相等實數(shù)根是否能改為有一個實數(shù)根？河北省臨西縣第一中學(xué)（054900）高孝軍李其福在教授P34用公式法（《人教版》2009年3月第2版，2013年6月第8次印刷）解一元二次方程時，對于求根公式,當(dāng)△=0時，一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根可否改為有一個實數(shù)根學(xué)生產(chǎn)生了困惑。經(jīng)過同學(xué)們歸納梳理之后，形成了如下意見：意見1：當(dāng)△=0時，方程有兩個相等的實數(shù)根是正確的。意見2：當(dāng)△=0時，方程有兩個相等的實數(shù)根可以改為方程有一個實數(shù)根。意見3：討論1和討論2都對。意見4：不知道哪個對哪個錯。持意見1的同學(xué)認為，教材是這樣敘述的，難道會出錯嗎？他們在相信教材的基礎(chǔ)上認為：當(dāng)△=0時，方程有兩個相等的實數(shù)根是正確的，不應(yīng)改動。持意見2的同學(xué)認為，既然這兩個根是相等的，并且是一模一樣的，可以省略一個根，把兩個相等的實數(shù)根合寫成一個實數(shù)根就可以了。既然如此，怎樣分析才能使同學(xué)們明白誰對誰錯，我進行了思考。思考一：利用平方根的意義對求根公式進行解釋1、對意見1的解釋。一元二次方程的一般形式（a、b、c是常數(shù)，a），用配方法進行求解得到結(jié)果。因為,a≠0，所以，所以。所以，根的判別公式的值有三種情況：（不討論）。（1）當(dāng)時，>0。根據(jù)平方根的意義可知，有兩個不相等的平方根。于是得：，即，，所以當(dāng)時，方程有兩個不相等的實數(shù)根，。（2）當(dāng)時，把代入x1，x2中，得：，即，所以當(dāng)時，方程有兩個相等的實數(shù)根。從以上的分析中得出意見1是正確的。2、對意見2的解釋。當(dāng)時，把兩個相等的實數(shù)根通常說成只有一個實數(shù)根，只是一種個人認識，而這種認識不符合n次n解的原理，故討論2是錯誤的。評析：利用平方根的意義對有兩個相等的實數(shù)根進行講解后，一部分學(xué)生糾正了對當(dāng)時有一個實數(shù)根的錯誤認識，但仍有部分同學(xué)感到困惑。思考二：利用函數(shù)圖象與x軸交點的個數(shù)對求根公式進行了解釋對于任何一個一元二次方程（a、b、c是常數(shù)，a）可以看作是二次函數(shù)的圖像（a、b、c是常數(shù)，a）與平面直角坐標(biāo)系中x軸交點的橫坐標(biāo)。于是對二次函數(shù)進行配方后可得（a、b、c是常數(shù)，a），其頂點坐標(biāo)為（）。由于二次函數(shù)（a、b、c是常數(shù)，a）的圖象是一條拋物線，而二次函數(shù)的圖象位于平面直角坐標(biāo)系的哪一象限，與二次項系數(shù)a，一次項系數(shù)b，常數(shù)項c有密切的聯(lián)系。二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向。當(dāng)a﹥0（a﹤0），拋物線開口向上（向下）。一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定拋物線對稱軸的位置。由于拋物線的對稱軸是直線，故b=0時對稱軸為y軸。時，a,b同號，對稱軸在y軸左側(cè)；時，a,b異號，對稱軸在y軸右側(cè)。常數(shù)項c的大小決定二次函數(shù)圖象與y軸交點的位置。當(dāng)x=0時，y=c，所以拋物線與y軸有且只有一個交點(0,c)；當(dāng)c=0時，拋物線經(jīng)過原點；當(dāng)c﹥0（c﹤0）時，拋物線與y軸交與正（負）半軸。從以上分析可以知道，確定二次函數(shù)圖象的位置可以由二次項系數(shù)a，常數(shù)項c與頂點坐標(biāo)（）共同來確定。a決定圖象開口方向；c決定圖像與y軸的正半軸、原點、負半軸相交；頂點坐標(biāo)決定圖像的最大值與最小值。函數(shù)圖象與x軸有交點即一元二次方程有實數(shù)根，函數(shù)圖象與x軸無交點即一元二次方程沒有實數(shù)根。當(dāng)時，拋物線（a）與x軸相交有兩個公共點，這兩個公共點分布在對稱軸的兩側(cè)，說明一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根。當(dāng)時，拋物線（a）與x軸相交只有一個公共點，即頂點坐標(biāo)坐落在x軸上。其實質(zhì)是分布在對稱軸兩側(cè)的兩個公共點，沿對稱軸兩側(cè)圖像的軌跡向拋物線的頂點處移動，逐漸重合而成為一個公共點，即一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根。從而證明意見1是正確的，意見2是錯誤的。評析：在理解二次函數(shù)（a、b、c是常數(shù)，a）的圖象的基礎(chǔ)上，可知拋物線與x軸相交于兩點、相交于一點、沒有交點三種情況來判定一元二次方程根的情況。思考三：利用因式分解法之完全平方公式對求根公式進行解釋一元二次方程（a、b、c是常數(shù)，a）的右邊為0，左邊可以利用完全平方公式進行因式分解。即一元二次方程（a、b、c是常數(shù)，a）的左邊可以分解為。由△=0知，方程可變?yōu)?，即，解之得，。所以一元二次方程?dāng)△=0時有兩個相等的實數(shù)根?？芍庖?是錯誤的。如，左邊是典型的完全平方公式的形式，即，而可以寫成(2x-1)(2x-1)=0兩個一次式乘積等于0的形式。即2x-1=0或2x-1=0，解之得，所以。所以一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根。評析：利用完全平方公式解一元二次方程要對一元二次方程的左邊進行因式分解，化為兩個一次式的乘積等于0的形式，再使這兩個一次式分別等于0，從而實現(xiàn)了降次的目的。思考四：對求根公式的升華原句(P36)：由求根公式可知，一元二次方程的根不可能多與兩個。單從本句表達的意義不難理解一元二次方程的根不可能多于兩個，也就是說一元二次方程的根可以有兩個、一個、0個（沒有）實數(shù)根。當(dāng)時，一元二次方程有兩個（不相等和相等）實數(shù)根；當(dāng)時，一元二次方程有0個實數(shù)根（沒有實數(shù)根）。從而說明“一元二次方程的根不可能多于兩個”這句話是錯誤的。應(yīng)改為“由求根公式可知，一元二次方程的根應(yīng)為兩個或0個。”通過對一元二次方程求根公式的思考發(fā)現(xiàn)，當(dāng)時，有兩個相等的實數(shù)根不可能改為有一個實數(shù)根這種說法。以上觀點如有不對的地方，敬請專