第二十屆華羅庚金杯少年數(shù)學邀請賽決賽試卷（小中組B卷）

第1頁（共1頁）第二十屆“華羅庚金杯”少年數(shù)學邀請賽決賽試卷（小中組B卷）一、填空題（每小題10分，共80分）1．（10分）計算：3752÷（39×2）+5030÷（39×10）＝．2．（10分）如圖中，∠A+∠B+∠C+∠D+∠F+∠G等于度．3．（10分）商店以每張2角1分的價格進了一批賀年卡，共賣14.57元．若每張的售價相同，且不超過買入價格的兩倍，則商店賺了角．4．（10分）兩個班植樹，一班每人植3棵，二班每人植5棵，共植樹115棵．兩班人數(shù)之和最多為．5．（10分）某商店第一天賣出一些筆，第二天每支筆降價1元后多賣出100支，第三天每支筆比前一天漲價3元后比前一天少賣出200支．如果這三天每天賣得的錢相同，那么第一天每支筆售價是元．6．（10分）一條河上有A，B兩個碼頭，A在上游，B在下游．甲、乙兩人分別從A，B同時出發(fā)，劃船相向而行，4小時后相遇．如果甲、乙兩人分別從A，B同時出發(fā)，劃船同向而行，乙16小時后追上甲．已知甲在靜水中劃船的速度為每小時6千米，則乙在靜水中劃船每小時行駛千米．7．（10分）某個兩位數(shù)是2的倍數(shù)，加1是3的倍數(shù)，加2是4的倍數(shù)，加3是5的倍數(shù)，那么這個兩位數(shù)是．8．（10分）在三個給詞語“盡心盡力”、“力可拔山”和“山窮水盡”中，每個漢字代表1至8之間的數(shù)字，相同的漢字代表相同的數(shù)字，不同的漢字代表不同的數(shù)字，如果每個詞語的漢字所代表的數(shù)字之和都是19，且“盡”＞“山”＞“力”，則“水”最大等于．二、簡答題（每小題15分，共60分，要求寫出簡要過程）9．（15分）有一批作業(yè)，王老師原計劃每小時批改6本，批改了2小時后，他決定每小時批改8本，結(jié)果提前3小時批改完，那么這批作業(yè)有多少本？10．（15分）用五種不同的顏色涂正方體的六個面．如果相鄰的兩個面不能涂同種顏色，則共有多少種不同的涂色方法？（將正方體任意翻轉(zhuǎn)后仍然不同的涂色方法才被認為是不同的）11．（15分）如圖所示，有一個圓圈填了數(shù)字1．請在空白圓圈內(nèi)填上2，3，4，5，6中的一個數(shù)字，要求無重復數(shù)字，且相鄰圓圈內(nèi)的數(shù)字的差至少為2．問共有幾種不同的填法？12．（15分）邊長分別為8cm和6cm的兩個正方形ABCD與BEFG如圖并排放在一起．連接DE交BG于P，則圖中陰影部分APEG的面積是多少？

第二十屆“華羅庚金杯”少年數(shù)學邀請賽決賽試卷（小中組B卷）參考答案與試題解析一、填空題（每小題10分，共80分）1．（10分）計算：3752÷（39×2）+5030÷（39×10）＝61．【分析】根據(jù)除法的性質(zhì)，原式＝3752÷2÷39+5030÷10÷39＝1876÷39+503÷39＝（1876+503）÷39＝2379÷39＝61，據(jù)此解答即可．【解答】解：3752÷（39×2）+5030÷（39×10）＝3752÷2÷39+5030÷10÷39＝1876÷39+503÷39＝（1876+503）÷39＝2379÷39＝61；故答案為：61．2．（10分）如圖中，∠A+∠B+∠C+∠D+∠F+∠G等于360度．【分析】連接CD，有∠G+∠F＝∠EDC+∠ECD，這樣就轉(zhuǎn)化成四邊形的內(nèi)角和了，四邊形的內(nèi)角和是360度．【解答】解：連接CD，有∠G+∠F＝∠EDC+∠ECD，所以，∠A+∠B+∠C+∠D+∠F+∠G＝∠A+∠B+∠C+∠D+∠EDC+∠ECD＝四邊形ABCD的內(nèi)角和，180×（4﹣2）＝180×2＝360（度）答：∠A+∠B+∠C+∠D+∠F+∠G等于360度．故答案為：360．3．（10分）商店以每張2角1分的價格進了一批賀年卡，共賣14.57元．若每張的售價相同，且不超過買入價格的兩倍，則商店賺了47角．【分析】將14.57元化為整數(shù)是1457分，售價應是不超過42的奇數(shù)，容易試出答案．【解答】1457分解質(zhì)因數(shù)是1457＝31×47，47超過了21的2倍，31符合條件，所以售價是31分，進而數(shù)量是47張，47×（31﹣21）＝470分＝47角故答案為：47．4．（10分）兩個班植樹，一班每人植3棵，二班每人植5棵，共植樹115棵．兩班人數(shù)之和最多為37．【分析】設一班a人，二班b人，則有3a+5b＝115，求兩班人數(shù)最多，算式轉(zhuǎn)化成：3（a+b）+2b＝115，a+b最大，b盡可能的小，b＝2時，a+b＝37．【解答】解：設一班a人，二班b人，則3a+5b＝115，3（a+b）+2b＝115，a+b最大，b盡可能的小，b＝1時，得出a不是整數(shù)，b＝2時，3（a+2）+2×2＝1153a+6+4＝1153a＝105a＝35a+b＝35+2＝37（人）答：兩班人數(shù)之和最多的是37人．故答案為：37．5．（10分）某商店第一天賣出一些筆，第二天每支筆降價1元后多賣出100支，第三天每支筆比前一天漲價3元后比前一天少賣出200支．如果這三天每天賣得的錢相同，那么第一天每支筆售價是4元．【分析】設第一天每支筆售價x元，賣出y支，那么根據(jù)總價＝單價×數(shù)量可知：第一天賣出的錢數(shù)就是xy元，第二天的單價就是x﹣1元，賣出的支數(shù)是y+100支，第二天賣出的總價就是（x﹣1）（y+100）；同理得出第三天賣出的總價，再分別根據(jù)第一天賣出的錢數(shù)與第二天和第三天賣出的錢數(shù)分別相等列出方程組，再化簡求解．【解答】解：設第一天的單價為x元，數(shù)量為y只，那么有：化簡得：解得：答：第一天每支筆售價是4元．故答案為：4．6．（10分）一條河上有A，B兩個碼頭，A在上游，B在下游．甲、乙兩人分別從A，B同時出發(fā)，劃船相向而行，4小時后相遇．如果甲、乙兩人分別從A，B同時出發(fā)，劃船同向而行，乙16小時后追上甲．已知甲在靜水中劃船的速度為每小時6千米，則乙在靜水中劃船每小時行駛10千米．【分析】在流水行船問題中，兩船相遇的速度即兩船的速度和，兩船追及速度即兩船的速度差．相向而行兩船所行的路程是A、B兩個碼頭之間的距離，同向而行兩船的距離差也為A、B兩個碼頭之間的距離，因此根據(jù)路程相等，設乙船的速度是x千米/小時，列出方程（x+6）×4＝（x﹣6）×16，解決問題．【解答】解：設乙船的速度是每小時x千米，（x+6）×4＝（x﹣6）×164x+24＝16x﹣9612x＝120x＝10答：乙在靜水中劃船每小時行駛10千米．故答案為：10．7．（10分）某個兩位數(shù)是2的倍數(shù)，加1是3的倍數(shù)，加2是4的倍數(shù)，加3是5的倍數(shù)，那么這個兩位數(shù)是62．【分析】根據(jù)2、3、5的倍數(shù)的特征：個位上是0、2、4、6、8的數(shù)都是2的倍數(shù)；各位上的數(shù)字之和是3的倍數(shù)，這個數(shù)一定是3的倍數(shù)；個位上是0或5的數(shù)都是5的倍數(shù)；據(jù)此解答即可．【解答】解：2、3、4、5的最小公倍數(shù)是：2×3×2×5＝60，已知這個兩位數(shù)是偶數(shù)，在60～70之間5的倍數(shù)是65，又知這個兩位數(shù)加上3是5的倍數(shù)，所以這個兩位數(shù)是65﹣3＝62，答：這個兩位數(shù)是62．故答案為：62．8．（10分）在三個給詞語“盡心盡力”、“力可拔山”和“山窮水盡”中，每個漢字代表1至8之間的數(shù)字，相同的漢字代表相同的數(shù)字，不同的漢字代表不同的數(shù)字，如果每個詞語的漢字所代表的數(shù)字之和都是19，且“盡”＞“山”＞“力”，則“水”最大等于7．【分析】通過分析可知：由“盡心盡力”、“力可拔山”和“山窮水盡”三個詞語中每個詞語的漢字所代表的數(shù)字之和都是19，可得方程：可得3盡+心+2力+可+拔+2山+窮+水＝19×3＝57而1～8的和是36，則有2盡+1力+1山＝57﹣36＝21，與（1）比較得山﹣心＝2．“盡”＞“山”＞“力”，“力”盡可能大，“盡”才最小，假定“力”、“山”、“盡”是連續(xù)自然數(shù)，有2（力+2）+力+1+力＝21“力”為4，此時山＝5，心＝3，盡＝6；（1）式滿足：6+3+6+4＝19；（3）式：5+窮+水+6＝19窮水，水此時最大為7，窮為1，來推倒2式：（2）式：4+可+拔+5＝19可拔，而現(xiàn)在只剩下2和8了，滿足條件．此時水最大為7若水最大取8時，有但此時6（盡）、4（山）、5（力），不滿足“盡”＞“山”＞“力”，所以不符合要求．故水最大為7．據(jù)此解答即可．【解答】解：由“盡心盡力”、“力可拔山”和“山窮水盡”三個詞語中每個詞語的漢字所代表的數(shù)字之和都是19，可得方程：（1）+（2）+（3）可得：3盡+心+2力+可+拔+2山+窮+水＝19×3＝57而1～8的和是36，則有2盡+1力+1山＝57﹣36＝21，與（1）比較得山﹣心＝2．“盡”＞“山”＞“力”，“力”盡可能大，“盡”才最小，假定“力”、“山”、“盡”是連續(xù)自然數(shù)，有2（力+2）+力+1+力＝21“力”為4，此時山＝5，心＝3，盡＝6；（1）式滿足：6+3+6+4＝19；（3）式：5+窮+水+6＝19窮水，水此時最大為7，窮為1，來推倒2式：（2）式：4+可+拔+5＝19可拔，而現(xiàn)在只剩下2和8了，滿足條件．此時水最大為7若水最大取8時，有但此時6（盡）、4（山）、5（力），不滿足“盡”＞“山”＞“力”，所以不符合要求．故水最大為7．故答案為：7．二、簡答題（每小題15分，共60分，要求寫出簡要過程）9．（15分）有一批作業(yè)，王老師原計劃每小時批改6本，批改了2小時后，他決定每小時批改8本，結(jié)果提前3小時批改完，那么這批作業(yè)有多少本？【分析】根據(jù)題意知道，這批作業(yè)的總數(shù)本變，即工作總量一定，那么計劃與實際的工作效率與工作時間成反比例，據(jù)此設出原計劃x小時批改完，列出方程先求出原計劃用的小時數(shù)，再根據(jù)工作效率×工作時間＝工作量進而得解．【解答】解：設原計劃x小時批改完，由題意得：6×2+8（x﹣3﹣2）＝6x12+8x﹣40＝6x8x﹣6x＝282x＝28x＝14．6×14＝84（本）；答：這批作業(yè)有84本．10．（15分）用五種不同的顏色涂正方體的六個面．如果相鄰的兩個面不能涂同種顏色，則共有多少種不同的涂色方法？（將正方體任意翻轉(zhuǎn)后仍然不同的涂色方法才被認為是不同的）【分析】用五種不同的顏色涂正方體的六個面．先確定1種顏色染一組對面，剩下的4種顏色（用a、b、c、d表示）有abcd、acdb、acbd，3種染色方法，有?3＝15種；據(jù)此解答即可．【解答】解：根據(jù)分析可得，?3＝5×3＝15（種）；答：共有15種不同的涂色方法．11．（15分）如圖所示，有一個圓圈填了數(shù)字1．請在空白圓圈內(nèi)填上2，3，4，5，6中的一個數(shù)字，要求無重復數(shù)字，且相鄰圓圈內(nèi)的數(shù)字的差至少為2．問共有幾種不同的填法？【分析】可以按照數(shù)字找位置來分析，數(shù)字2不能在1附近，數(shù)字3有不在2附近，可以根據(jù)數(shù)字的位置枚舉出來進行分析即可．【解答】解：相鄰兩個圓圈內(nèi)的數(shù)字的差至少為2，設如圖所示字母為a，b，c，d，e所以2只能填在d和e．（1）d處填2，2的周圍不能有3．所以3只能填在a處.3的周圍不能填4，4只能填在c和e．，5、6不能在一起，所以5填在b.6和4可以在c和e交換，此時2種填法；（見中圖）（2）e處填2，3填a或者b處．3填a處，4、5、6必有兩個相鄰，沒有滿足條件的填法；3填b處，4只能填入c處，5只能填入a處，6填入d處．1種填法；（見右圖）故共2+1＝3種填法．答：共有3種不同的方法