第十八屆華羅庚金杯少年數(shù)學(xué)邀請賽決賽試卷（小高組B卷）

第1頁（共1頁）第十八屆“華羅庚金杯”少年數(shù)學(xué)邀請賽決賽試卷（小高組B卷）一、填空題（每空3分，第8小題6分，共30分）1．（3分）計(jì)算：19×0.125+281×+12.5＝．2．（6分）農(nóng)諺‘逢冬數(shù)九’講的是，從冬至之日起，每九天分為一段，依次稱之為一九，二九，…，九九，冬至那天是一九的第一天．2012年12月21日是冬至，那么2013年的2月10日是九的第天．3．（3分）某些整數(shù)分別被，，，除后，所得的商化作帶分?jǐn)?shù)時(shí)，分?jǐn)?shù)部分分別是，，，，則滿足條件且大于1的最小整數(shù)是．4．（3分）如圖，P，Q分別是正方形ABCD的邊AD和對(duì)角線AC上的點(diǎn)，且PD：AP＝4：1，QC：AQ＝2：3，如果正方形ABCD的面積為25，那么三角形PBQ的面積是．5．（3分）有一筐蘋果，甲班分，每人3個(gè)還剩10個(gè)；乙班分，每人4個(gè)還剩11個(gè)；丙班分，每人5個(gè)還剩12個(gè)．那么這筐蘋果至少有個(gè)．6．（3分）兩個(gè)大小不同的正方體積木粘在一起，構(gòu)成圖所示的立體圖形，其中，小積木的粘貼面的四個(gè)頂點(diǎn)分別是大積木的粘貼面各邊不是中點(diǎn)的一個(gè)四等分點(diǎn)．如果大積木的棱長為4，則這個(gè)立體圖形的表面積為．7．（6分）甲、乙兩車分別從A，B兩地同時(shí)出發(fā)相向而行，甲車每小時(shí)行40千米，乙車每小時(shí)行60千米．兩車分別到達(dá)B地和A地后，立即返回．返回時(shí)，甲車的速度增加二分之一，乙車的速度不變．已知兩車兩次相遇處的距離是50千米，則A，B兩地的距離為千米．8．（3分）用“學(xué)”和“習(xí)”代表兩個(gè)不同的數(shù)字，四位數(shù)“”與“”的積是一個(gè)七位數(shù)，且它的個(gè)位和百萬位數(shù)字與“學(xué)”所代表的數(shù)字相同，那么“”所能代表的兩位數(shù)共有個(gè)．二、解答下列各題（每題10分，共40分，要求寫出簡要過程）9．（10分）如圖中，不含“*”的長方形有多少個(gè)？10．（10分）如圖，三角形ABC中，AD＝2BD，AD＝EC，BC＝18，三角形AFC的面積和四邊形DBEF的面積相等，那么AB的長度是多少？11．（10分）若干人完成了植樹2013棵的任務(wù)，每人植樹的棵數(shù)相同．如果有5人不參加植樹，其余的人每人多植2棵不能完成任務(wù)，而每人多植3棵可以超額完成任務(wù)．問：共有多少人參加了植樹？12．（10分）由四個(gè)完全相同的正方體堆積成如圖所示的立體，則立體的表面上（包括底面）所有黑點(diǎn)的總數(shù)至多是．三、解答下列各題（每小題15分，共30分，要求寫出詳細(xì)過程）13．（15分）用八個(gè)如圖所示的2×1的小長方形可以拼成一個(gè)4×4的正方形．若一個(gè)拼成的正方形圖形經(jīng)過旋轉(zhuǎn)與另一個(gè)拼成的正方形圖形相同，則認(rèn)為兩個(gè)拼成的正方形相同．問：可以拼成幾種兩條對(duì)角線都是其對(duì)稱軸的正方形圖形？14．（15分）對(duì)于155個(gè)裝有紅、黃、藍(lán)三種顏色球的盒子，有三種分類方法：對(duì)于每種顏色，將該顏色的球數(shù)目相同的盒子歸為一類．若從1到30之間所有的自然數(shù)都是某種分類中一類的盒子數(shù)，那么，（1）三種分類的類數(shù)之和是多少？（2）說明，可以找到三個(gè)盒子，其中至少有兩種顏色的球，它們的數(shù)目分別相同．

第十八屆“華羅庚金杯”少年數(shù)學(xué)邀請賽決賽試卷（小高組B卷）參考答案與試題解析一、填空題（每空3分，第8小題6分，共30分）1．（3分）計(jì)算：19×0.125+281×+12.5＝50．【分析】根據(jù)乘法分配律進(jìn)行簡算．【解答】解：19×0.125+281×+12.5＝19×0.125+281×0.125+100×0.125＝（19+281+100）×0.125＝400×0.125＝50．故答案為：50．2．（6分）農(nóng)諺‘逢冬數(shù)九’講的是，從冬至之日起，每九天分為一段，依次稱之為一九，二九，…，九九，冬至那天是一九的第一天．2012年12月21日是冬至，那么2013年的2月10日是六九的第7天．【分析】先求出2012年12月21日到2013年的2月10日經(jīng)過了多少天，再求這些天里有幾個(gè)9天，還余幾天，再根據(jù)余數(shù)推算是幾九第幾天即可．【解答】解：2012年12月21日到2013年的2月10日的元旦共有11+31+10＝52天，52÷9＝5…7，說明已經(jīng)經(jīng)過了5個(gè)9天，還余7天，這一天就是六九的第7天．答：2013年的2月10日是六九的第7天．故答案為：六，7．3．（3分）某些整數(shù)分別被，，，除后，所得的商化作帶分?jǐn)?shù)時(shí)，分?jǐn)?shù)部分分別是，，，，則滿足條件且大于1的最小整數(shù)是3466．【分析】設(shè)這個(gè)數(shù)為x，則：x÷＝x，x÷＝x，x÷＝x，x÷＝x，因此這個(gè)數(shù)應(yīng)是分母的最小公倍數(shù)+1，據(jù)此解答．【解答】解：設(shè)這個(gè)數(shù)為x，則：x÷＝x，x÷＝x，x÷＝xx÷＝x因此這個(gè)數(shù)應(yīng)是分母的最小公倍數(shù)+1，即5×7×9×11+1＝3465+1＝3466答：滿足條件且大于1的最小整數(shù)是3466．故答案為：3466．4．（3分）如圖，P，Q分別是正方形ABCD的邊AD和對(duì)角線AC上的點(diǎn)，且PD：AP＝4：1，QC：AQ＝2：3，如果正方形ABCD的面積為25，那么三角形PBQ的面積是6.5．【分析】過Q點(diǎn)作，EF∥AB，交AD于F，交BC于E，QG⊥DC于G，根據(jù)相似比可以求出各線段的長度，再用正方形的面積分別減去其余的部分，可得最后結(jié)果．【解答】解：連結(jié)QD，作EF∥AB，交AD于F，交BC于E，QG⊥DC于G，因?yàn)檎叫蜛BCD的面積為25，所以AD＝EF＝5；因?yàn)镼C：AQ＝2：3，根據(jù)正方形的對(duì)稱性，所以QE＝QG＝2，QF＝3．因?yàn)镻D：AP＝4：1，所以AP＝1，PD＝4．S△PQD＝S正方形ABCD﹣S△CQB﹣S△DQC﹣S△PQD﹣S△PAB＝25﹣2×5÷2﹣2×5÷2﹣4×3÷2﹣1×5÷2＝25﹣5﹣5﹣6﹣2.5＝6.5．答：三角形PBQ的面積是6.5．故答案為：6.5．5．（3分）有一筐蘋果，甲班分，每人3個(gè)還剩10個(gè)；乙班分，每人4個(gè)還剩11個(gè)；丙班分，每人5個(gè)還剩12個(gè)．那么這筐蘋果至少有67個(gè)．【分析】因?yàn)?0÷3＝3…1，11÷4＝2…3，12÷5＝2…2，蘋果個(gè)數(shù)除以3余1，除以4少1，除以5余2，滿足除以3余1，除以4少1的數(shù)最少是7，7除以5余數(shù)剛好是2，又因?yàn)樘O果個(gè)數(shù)大于12，3、4、5的最小公倍數(shù)是60，所以這筐蘋果至少有：60+7＝67；由此解答即可．【解答】解：10÷3＝3…1，11÷4＝2…3，12÷5＝2…2，滿足除以3余1，除以4少1的數(shù)最少是7，7除以5余數(shù)剛好是2，又因?yàn)樘O果個(gè)數(shù)大于12，所以蘋果至少：3×4×5+7＝60+7＝67（個(gè)）；答：這筐蘋果至少有67個(gè)．故答案為：67．6．（3分）兩個(gè)大小不同的正方體積木粘在一起，構(gòu)成圖所示的立體圖形，其中，小積木的粘貼面的四個(gè)頂點(diǎn)分別是大積木的粘貼面各邊不是中點(diǎn)的一個(gè)四等分點(diǎn)．如果大積木的棱長為4，則這個(gè)立體圖形的表面積為136．【分析】觀察圖形可知，大正方體與小正方體的相連的兩個(gè)面如圖所示：因?yàn)榇笳襟w的棱長是4，則四周的小直角三角形的直角邊分別是3、1；如果把四周的四個(gè)直角三角形剪下來，正好拼成一個(gè)一個(gè)面的面積是4×4﹣3×1÷2×4＝10的正方形，根據(jù)正方形的面積公式可得：大正方體的一個(gè)面的面積是4×4＝16；則這個(gè)立方體的表面積就是大正方體的表面積與小正方體的四個(gè)面的面積之和，據(jù)此即可解答．【解答】解：根據(jù)題干分析可得：大正方體的一個(gè)面的面積是：4×4＝16，小正方體一個(gè)面的面積是：4×4﹣3×1÷2×4＝16﹣6＝10，所以這個(gè)立體圖形的表面積是：16×6+10×4＝96+40＝136，答：這個(gè)立體圖形的表面積為136．故答案為：136．7．（6分）甲、乙兩車分別從A，B兩地同時(shí)出發(fā)相向而行，甲車每小時(shí)行40千米，乙車每小時(shí)行60千米．兩車分別到達(dá)B地和A地后，立即返回．返回時(shí)，甲車的速度增加二分之一，乙車的速度不變．已知兩車兩次相遇處的距離是50千米，則A，B兩地的距離為千米．【分析】已知原來甲車每小時(shí)行40千米，乙車每小時(shí)行60千米，則此時(shí)兩車的速度比是40：60＝2：3，則第一次相遇時(shí)，甲行了全程的＝，乙行了全程的＝；甲車加速后，速度是每小時(shí)60×（1+）＝60千米，即兩車返回時(shí)的速度相同．當(dāng)甲到達(dá)B地時(shí)，乙速度快，在此之前就返回了，由于此時(shí)甲行完全程，則乙所行路程是甲的，即此時(shí)乙從A地返回又行了全程的﹣1＝，剩下路程兩人速度一樣，則各行一半，即在距B地處相遇，所以50千米占全程的﹣＝，則全程是50÷千米．【解答】解：甲乙兩車的速度比是：40：60＝2：3，甲車加速后是每小時(shí)行：60×（1+）＝60千米，（﹣1）÷2＝50÷（﹣）＝50÷（﹣）＝50＝（千米）答：兩地相距千米．故答案為：．8．（3分）用“學(xué)”和“習(xí)”代表兩個(gè)不同的數(shù)字，四位數(shù)“”與“”的積是一個(gè)七位數(shù)，且它的個(gè)位和百萬位數(shù)字與“學(xué)”所代表的數(shù)字相同，那么“”所能代表的兩位數(shù)共有3個(gè)．【分析】因?yàn)樗奈粩?shù)“”與“”的積是一個(gè)七位數(shù)，且它的個(gè)位和百萬位數(shù)字與“學(xué)”所代表的數(shù)字相同，那么習(xí)＝1，若習(xí)取大于1的數(shù)字，則不滿足題意，又因?yàn)?111×2222＝2468642，1111×3333＝3702963，1111×4444＝4937284，1111×5555＝6171605，不符合題意，據(jù)此即可解答問題．【解答】解：根據(jù)題干分析可得：1111×2222＝2468642，1111×3333＝3702963，1111×4444＝4937284，它們的積的個(gè)位和百萬位數(shù)字與“學(xué)”所代表的數(shù)字相同，那么習(xí)＝1，所以“”所能代表的兩位數(shù)有21、31、41，一共有3個(gè)．答：“”所能代表的兩位數(shù)共有3個(gè)．故答案為：3．二、解答下列各題（每題10分，共40分，要求寫出簡要過程）9．（10分）如圖中，不含“*”的長方形有多少個(gè)？【分析】如下圖：含有A的標(biāo)記*的長方形有4×15＝60個(gè)，含有B的標(biāo)記*的長方形有4×15＝60個(gè)，含有標(biāo)記A和標(biāo)記B的長方形有4×4＝16個(gè)，所以含有*的三角形有60+60﹣16＝104個(gè)，再算出圖中一共長方形的個(gè)數(shù)，據(jù)此解答．【解答】解：圖中共有長方形：×＝21×10＝210（個(gè)），含有A的標(biāo)記*的長方形：4×15＝60（個(gè)），含有B的標(biāo)記*的長方形：4×15＝60（個(gè)），含有標(biāo)記A和標(biāo)記B的長方形：4×4＝16（個(gè)），所以含有*的長方形：60+60﹣16＝104（個(gè)），不含“*”的長方形：210﹣104＝106．答：不含“*”的長方形有106個(gè)．10．（10分）如圖，三角形ABC中，AD＝2BD，AD＝EC，BC＝18，三角形AFC的面積和四邊形DBEF的面積相等，那么AB的長度是多少？【分析】此題可以設(shè)想通過求得AD、BD的長度，來求AB的長度．因?yàn)锳D＝EC，只要求出EC的長度，就可知AD的長度．根據(jù)三角形AFC的面積和四邊形DBEF的面積相等，求得＝，即可求出EC＝BC＝×18＝6；再根據(jù)AD＝2BD，求得2BD＝6，則BD＝3，因此求出AB的長度，解決問題．【解答】解：設(shè)S△AFC＝S四邊形DBEF＝1，S△CEF＝x，S△ADF＝y(tǒng)，因?yàn)锳D＝2BD，所以＝＝，即＝＝，解得y＝2x+1則＝＝＝，所以＝．所以EC＝×BC＝×18＝6，則AD＝EC＝6．又因?yàn)锳D＝2BD，BD＝AD÷2＝6÷2＝3．綜上，AB＝AD+BD＝6+3＝9．答：AB的長度是9．11．（10分）若干人完成了植樹2013棵的任務(wù)，每人植樹的棵數(shù)相同．如果有5人不參加植樹，其余的人每人多植2棵不能完成任務(wù)，而每人多植3棵可以超額完成任務(wù)．問：共有多少人參加了植樹？【分析】根據(jù)時(shí)間知“若干人完成了植樹2013棵的任務(wù)，每人植樹的棵數(shù)相同”，則人數(shù)與棵數(shù)是2013的因數(shù)，可設(shè)原來有a人，每人植樹b棵，則ab＝2013，因有5人不參加植樹，所以，a＞5．“如果有5人不參加植樹，其余的人每人多植2棵不能完成任務(wù)，而每人多植3棵可以超額完成任務(wù)”．則2（a﹣5）＜5b＜3（a﹣5）．據(jù)此解答．【解答】解：設(shè)原來a人，每人b棵ab＝2013，a＞52（a﹣5）＜5b＜3（a﹣5）2（a﹣5）÷5＜b＜3（a﹣5）÷5b在0.5（a﹣5）附近2013＝33×61符合a＝61，b＝33共有61人參加植樹．答：共有61人參加了植樹．12．（10分）由四個(gè)完全相同的正方體堆積成如圖所示的立體，則立體的表面上（包括底面）所有黑點(diǎn)的總數(shù)至多是59．【分析】每個(gè)正方體總點(diǎn)數(shù)為1+2+3+4+5+6＝21，4個(gè)正方體共84個(gè)黑點(diǎn)，因?yàn)橐蠛邳c(diǎn)的總數(shù)至多是多少，因此，遮住的部分的點(diǎn)數(shù)應(yīng)盡量少．然后根據(jù)相鄰邊的點(diǎn)數(shù)推出個(gè)正方體被遮住的面上的點(diǎn)數(shù)，解決問題．【解答】解：每個(gè)正方體總點(diǎn)數(shù)為1+2+3+4+5+6＝21，4個(gè)正方體共84個(gè)黑點(diǎn)，因?yàn)橐蠛邳c(diǎn)的總數(shù)至多是多少，因此，遮住的部分的點(diǎn)數(shù)應(yīng)盡量少．根據(jù)相鄰邊的點(diǎn)數(shù)推出：最上面正方體底面點(diǎn)數(shù)為5；右面正方體的左面的點(diǎn)數(shù)為6；中間正方體5的對(duì)面是2，因此被遮住部分的總點(diǎn)數(shù)為21﹣5﹣2﹣6＝8；左邊正方體右面的點(diǎn)數(shù)為6．因此立體的表面上（包括底面）所有黑點(diǎn)的總數(shù)至多是84﹣（5+6+8+6）＝84﹣25＝59．故答案為：59．三、解答下列各題（每小題15分，共30分，要求寫出詳細(xì)過程）13．（15分）用八個(gè)如圖所示的2×1的小長方形可以拼成一個(gè)4×4的正方形．若一個(gè)拼成的正方形圖形經(jīng)過旋轉(zhuǎn)與另一個(gè)拼成的正方形圖形相同，則認(rèn)為兩個(gè)拼成的正方形相同．問：可以拼成幾種兩條對(duì)角線都是其對(duì)稱軸的正方形圖形？【分析】用右圖代替題目中的2×1小長方形，因?yàn)轭}目所給的小長方形的上下不對(duì)稱，所以同一個(gè)小長方形在拼成的兩條對(duì)角線都是其對(duì)稱軸的正方形圖形中，這樣，就可以只考慮上半部分的不同情形，據(jù)此畫圖分析解解答．【解答】解：