第十九屆華羅庚金杯少年數(shù)學(xué)邀請賽決賽試卷（小高組D卷）

第1頁（共1頁）第十九屆“華羅庚金杯”少年數(shù)學(xué)邀請賽決賽試卷（小高組D卷）一、填空題（每小題10分，共80分）1．（10分）如圖，邊長為12米的正方形池塘周圍是草地，池塘邊A、B、C、D處各有一根木樁，且AB＝BC＝CD＝3米，現(xiàn)用長4米的繩子將一頭羊拴在其中的某根木樁上，為了使羊在草地上活動(dòng)區(qū)域的面積最大，應(yīng)將繩子拴在處的木樁上．2．（10分）在所有是20的倍數(shù)的自然數(shù)中，不超過3000并且是14的倍數(shù)的數(shù)之和是．3．（10分）從1～8這八個(gè)自然數(shù)中，任取三個(gè)數(shù)，其中沒有連續(xù)自然數(shù)的取法有種．4．（10分）如圖所示，網(wǎng)格中每個(gè)小正方格的面積都為1平方厘米．小明在網(wǎng)格紙上畫了一匹紅鬃烈馬的剪影（馬的輪廓由小線段組成，小線段的端點(diǎn)在格子點(diǎn)上或在格線上），則這個(gè)剪影的面積為平方厘米．5．（10分）如果﹣＜成立，則“○”與“□”中可以填入的非零自然數(shù)之和最大為．6．（10分）如圖，三個(gè)圓交出七個(gè)部分．將整數(shù)1～7分別填到七個(gè)部分中，要求每個(gè)圓內(nèi)的四個(gè)數(shù)字的和都相等．那么和的最大值是．7．（10分）學(xué)校組織482人去郊游，租用42座大巴和20座中巴兩種汽車．如果要求每人一座且每座一人，則有種租車方案．8．（10分）長為4的線段AB上有一動(dòng)點(diǎn)C，等腰三角形ACD和等腰三角形BEC在過AB的直線同側(cè)，AD＝DC，CE＝EB，則線段DE的長度最小為．二、解答下列各題（每題10分，共40分，要求寫出簡要過程）9．（10分）把n個(gè)相同的正方形紙片無重疊地放置在桌面上，拼成至少兩層的多層長方形（含正方形）組成的圖形，并且每一個(gè)上層正方形紙片要有兩個(gè)頂點(diǎn)各自在某個(gè)下層的正方形紙片一邊的中點(diǎn)上．如圖給出了n＝6時(shí)所有的不同放置方法，那么n＝8時(shí)有多少種不同放置方法？10．（10分）有一個(gè)杯子裝滿了濃度為15%的鹽水，有大、中、小鐵球各一個(gè)，它們的體積比為10：5：3，首先將小球沉入鹽水杯中，結(jié)果鹽水溢出10%，取出小球，其次把中球沉入鹽水杯中，又將它取出，接著將大球沉入鹽水杯中后取出，最后在杯中倒入純水至杯滿為止，此時(shí)杯中鹽水的濃度是多少？11．（10分）清明節(jié)同學(xué)們乘車去烈士陵園掃墓，如果汽車行駛1個(gè)小時(shí)后將車速提高五分之一，就可以比預(yù)定時(shí)間提前10分鐘趕到；如果該車先按原速行駛60千米，再將速度提高三分之一，就可以比預(yù)定時(shí)間提前20分鐘趕到．那么從學(xué)校到烈士陵園有多少千米？12．（10分）如圖，在三角形ABC中，AF＝2BF，CE＝3AE，CD＝2BD，連接CF交DE于P點(diǎn)，求的值．三、解答下列各題（每小題15分，共30分，要求寫出詳細(xì)過程）13．（15分）從連續(xù)自然數(shù)1，2，3，…，2014中取出n個(gè)數(shù)，使這n個(gè)數(shù)滿足：任意取其中兩個(gè)數(shù)，不會(huì)有一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的7倍．試求n的最大值，并說明理由．14．（15分）在右邊的算式中，字母a，b，c，d和“□”代表十個(gè)數(shù)字0到9中的一個(gè)，其中a，b，c，d四個(gè)字母代表□□□□不同的數(shù)字，求a，b，c，d代表的數(shù)字之和．

第十九屆“華羅庚金杯”少年數(shù)學(xué)邀請賽決賽試卷（小高組D卷）參考答案與試題解析一、填空題（每小題10分，共80分）1．（10分）如圖，邊長為12米的正方形池塘周圍是草地，池塘邊A、B、C、D處各有一根木樁，且AB＝BC＝CD＝3米，現(xiàn)用長4米的繩子將一頭羊拴在其中的某根木樁上，為了使羊在草地上活動(dòng)區(qū)域的面積最大，應(yīng)將繩子拴在B處的木樁上．【分析】分別把A、B、C、D這四個(gè)點(diǎn)為圓心的扇形面積算出來，再進(jìn)行比較即可選擇出正確答案．【解答】解：①SA＝π×42+×π×（4﹣3）2＝8.25π（平方米）；②SB＝π×42＝12π（平方米）；③SC＝π×42+×π×（4﹣3）2＝8.25π（平方米）；④SD＝π×42＝8π（平方米），π＜8.25π＜12π，所以為了使羊在草地上活動(dòng)區(qū)域的面積最大，應(yīng)將繩子拴在B處的木樁上．故答案為：B．2．（10分）在所有是20的倍數(shù)的自然數(shù)中，不超過3000并且是14的倍數(shù)的數(shù)之和是32340．【分析】在所有20的倍數(shù)中不超過2014并且是14的倍數(shù)最小是140，最大是2940，共21個(gè)，然后根據(jù)“高斯求和”的方法解答．【解答】解：20＝2×2×514＝2×720和14的最小公倍數(shù)是：2×2×5×7＝1403000÷140≈21.4140×21＝2940所以在所有20的倍數(shù)中不超過3000并且是14的倍數(shù)最小是140，最大是2940，共21個(gè)，（140+2940）×21÷2＝3080×21÷2＝32340．答：在所有是20的倍數(shù)的自然數(shù)中，不超過3000并且是14的倍數(shù)的數(shù)之和是32340．故答案為：32340．3．（10分）從1～8這八個(gè)自然數(shù)中，任取三個(gè)數(shù)，其中沒有連續(xù)自然數(shù)的取法有20種．【分析】首先取3個(gè)所有的方法有＝56種連續(xù)的有兩個(gè)連續(xù)另外一個(gè)不連續(xù)，如果這兩個(gè)連續(xù)的數(shù)在兩端，是12或78，則各有5種不同的方法，如：124，125，126，127，128，如果這兩個(gè)兩個(gè)數(shù)在中間，是23、34、45、56、67，則各有4種不同的方法，如：235，236，237，238；這樣一共有5×2+5×4種方法；三個(gè)連續(xù)的有123，234，345，456，567，678，6種情況；用總種數(shù)減去有連續(xù)自然數(shù)的種數(shù)，就是符合要求的數(shù)．【解答】解：＝＝56（種）有兩個(gè)連續(xù)數(shù)的可能是：5×2+5×4＝30（種）有三個(gè)連續(xù)的數(shù)的可能有6種：56﹣30﹣6＝20（種）答：沒有連續(xù)自然數(shù)取法為20種．故答案為：20．4．（10分）如圖所示，網(wǎng)格中每個(gè)小正方格的面積都為1平方厘米．小明在網(wǎng)格紙上畫了一匹紅鬃烈馬的剪影（馬的輪廓由小線段組成，小線段的端點(diǎn)在格子點(diǎn)上或在格線上），則這個(gè)剪影的面積為56平方厘米．【分析】按題意，可以將圖中剪影分割成若干部分，然后標(biāo)出每部分的面積，利用剪切和拼接的性質(zhì)求得每部分的面積，最后求和．【解答】解：根據(jù)分析，如圖，將剪影分割，通過分割和格點(diǎn)面積公式可得小馬剪影的總面積＝0.5+3+16+2+1+2.5+3+0.5+1.5+12+3+2+0.5+3+0.5+1+2+1.5+0.5＝56（平方厘米）故答案是：56．5．（10分）如果﹣＜成立，則“○”與“□”中可以填入的非零自然數(shù)之和最大為393．【分析】將不等式﹣＜的左右通分，分母變成55×□，即，則5×○×□﹣385＜44×□，即5×○×□﹣44×□＜385，□×（5×○﹣44）＜385，當(dāng)5×○和44約接近時(shí)，□的值越大，所以○＝9時(shí)，□的值最大；據(jù)此解答即可．【解答】解：將不等式﹣＜的左右通分，即，，則，5×○×□﹣385＜44×□，即，5×○×□﹣44×□＜385，□×（5×○﹣44）＜385，當(dāng)5×○和44約接近時(shí)，□的值越大，所以○＝9時(shí)，□的值最大，□×（5×9﹣44）＜385□＜385□最大是384，所以，當(dāng)○＝9，□＝384時(shí)，兩數(shù)之和最大，即，○+□＝9+384＝393．答：“○”與“□”中可以填入的非零自然數(shù)之和最大為393．故答案為：393．6．（10分）如圖，三個(gè)圓交出七個(gè)部分．將整數(shù)1～7分別填到七個(gè)部分中，要求每個(gè)圓內(nèi)的四個(gè)數(shù)字的和都相等．那么和的最大值是19．【分析】因?yàn)槭沟妹總€(gè)圓內(nèi)的四個(gè)數(shù)字的和都相等，且和最大值時(shí)，7最大，就把7寫在最中間，還剩的3個(gè)較大數(shù)字6、5、4，填在兩圓公共的部分，最后剩下的1、2、3；1與7、6、5結(jié)合；2與7、6、4結(jié)合；3與7、5、4結(jié)合，那么每個(gè)圓內(nèi)的四個(gè)數(shù)字的和都是19，據(jù)此解答即可．【解答】解：根據(jù)分析可得，所以和的最大值是19．故答案為：19．7．（10分）學(xué)校組織482人去郊游，租用42座大巴和20座中巴兩種汽車．如果要求每人一座且每座一人，則有2種租車方案．【分析】設(shè)42座大巴x輛，20座中巴y輛，依題意有：42x+20y＝482，求方程的整數(shù)解，即得答案．【解答】設(shè)42座大巴x輛，20座中巴y輛，依題意有：42x+20y＝482，兩邊除以2有：21x+10y＝24110y個(gè)位數(shù)字是0，所以21x的個(gè)位數(shù)字是1，x只能取1或11，x＝1時(shí)，y＝22；x＝11時(shí)，y＝1．所以有2種租車方案．達(dá)：有2鐘租車方案．8．（10分）長為4的線段AB上有一動(dòng)點(diǎn)C，等腰三角形ACD和等腰三角形BEC在過AB的直線同側(cè)，AD＝DC，CE＝EB，則線段DE的長度最小為2．【分析】根據(jù)題意畫出圖1，此時(shí)要使DE的長最短，就要調(diào)整兩個(gè)等腰三角形的高度，當(dāng)兩個(gè)等腰三角形一樣高的時(shí)候DE之間的長度才最小，如圖2【解答】解：因?yàn)榈妊切问禽S對稱圖形，所以可以將圖2沿兩條高對折，不難得出DE的長度實(shí)際上是AB的一半4÷2＝2故此題填2．二、解答下列各題（每題10分，共40分，要求寫出簡要過程）9．（10分）把n個(gè)相同的正方形紙片無重疊地放置在桌面上，拼成至少兩層的多層長方形（含正方形）組成的圖形，并且每一個(gè)上層正方形紙片要有兩個(gè)頂點(diǎn)各自在某個(gè)下層的正方形紙片一邊的中點(diǎn)上．如圖給出了n＝6時(shí)所有的不同放置方法，那么n＝8時(shí)有多少種不同放置方法？【分析】可以分層討論各種可能的情況，然后求和匯總，由于n＝8時(shí)，最多只能分3層放置，故不難求得總共的不同的放置方法．【解答】解：根據(jù)分析，分層數(shù)不同討論：①層數(shù)為2時(shí)，7+1有6種；6+2有4種；5+3有2種；②層數(shù)為3時(shí)，5+2+1有3種；4+3+1有2種；故總共只有：6+4+2+3+2＝17種．故答案是：17．10．（10分）有一個(gè)杯子裝滿了濃度為15%的鹽水，有大、中、小鐵球各一個(gè)，它們的體積比為10：5：3，首先將小球沉入鹽水杯中，結(jié)果鹽水溢出10%，取出小球，其次把中球沉入鹽水杯中，又將它取出，接著將大球沉入鹽水杯中后取出，最后在杯中倒入純水至杯滿為止，此時(shí)杯中鹽水的濃度是多少？【分析】溢出水量實(shí)際就是大球的體積，即整杯鹽水的10%×＝，所以倒?jié)M水后濃度變?yōu)?，?jù)此解答即可．【解答】解：10%×＝，＝＝10%，答：此時(shí)杯中鹽水的濃度是10%．11．（10分）清明節(jié)同學(xué)們乘車去烈士陵園掃墓，如果汽車行駛1個(gè)小時(shí)后將車速提高五分之一，就可以比預(yù)定時(shí)間提前10分鐘趕到；如果該車先按原速行駛60千米，再將速度提高三分之一，就可以比預(yù)定時(shí)間提前20分鐘趕到．那么從學(xué)校到烈士陵園有多少千米？【分析】先求出行駛1個(gè)小時(shí)后的預(yù)定時(shí)間，所用的時(shí)間就是預(yù)定時(shí)間的1÷（1+）＝，則預(yù)定時(shí)間是10÷（1﹣）＝60分鐘，所以全程的預(yù)定時(shí)間就是1小時(shí)+60分鐘＝120分鐘；再求出所用時(shí)間，所用時(shí)間就是預(yù)定時(shí)間的1÷（1+）＝，即提前120×（1﹣）＝30分鐘，最后求出60千米所對應(yīng)的分率即1﹣，解答即可．【解答】解：如果行駛1個(gè)小時(shí)后，將車速提高五分之一，則行駛1個(gè)小時(shí)后所用的時(shí)間就是預(yù)定時(shí)間是1÷（1+）＝，則預(yù)定時(shí)間是10÷（1﹣）＝60分鐘，所以全程的預(yù)定時(shí)間就是1小時(shí)+60分鐘＝120分鐘；如果該車先按原速行駛60千米，再將速度提高三分之一，則所用時(shí)間就是預(yù)定時(shí)間的1÷（1+）＝，即提前120×（1﹣）＝30分鐘，但實(shí)際卻提前了20分鐘，說明有20÷30＝的路程提高了速度，60÷（1﹣）＝60÷＝180（千米），答：從學(xué)校到烈士陵園有180千米．12．（10分）如圖，在三角形ABC中，AF＝2BF，CE＝3AE，CD＝2BD，連接CF交DE于P點(diǎn)，求的值．【分析】如圖，連接DF，根據(jù)已知推出△BFD≌△BAC，推出∠BDF＝∠BCA，求出DF∥CA，＝，求出＝，＝，根據(jù)平行線分線段成比例定理得出即可．【解答】解：連接DF，因?yàn)锳F＝2BF，CD＝2BD，所以＝＝，因?yàn)椤螧＝∠B，所以△BFD≌△BAC，所以∠BDF＝∠BCA，所以DF∥CA，＝，因?yàn)镃E＝3AE，所以＝，所以＝，因?yàn)镈F∥CA，所以＝＝．三、解答下列各題（每小題15分，共30分，要求寫出詳細(xì)過程）13．（15分）從連續(xù)自然數(shù)1，2，3，…，2014中取出n個(gè)數(shù)，使這n個(gè)數(shù)滿足：任意取其中兩個(gè)數(shù)，不會(huì)有一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的7倍．試求n的最大值，并說明理由．【分析】首先將這些數(shù)分組4個(gè)數(shù)的有5組：{1，7，49，343}，{2，14，98，686}，{3，21，147，1029}{4，28，196，1372}{5，35，245，1715}3個(gè)數(shù)的有{6，42，294}{8，56，392}{9，63，441}…{41，287，2009}注意第一個(gè)數(shù)跳過7、14、21、28、35等數(shù)，共有41﹣6+1﹣5＝31組．2個(gè)數(shù)的有{43，301}{44，308}…{286，2002}，注意跳過前面出現(xiàn)的數(shù)，即49、98、147、196、245、56、63、…280等34個(gè)數(shù)，因此2個(gè)數(shù)的有286﹣43+1﹣34＝210組【解答】解：由分析可知：{1，7，49，343}，{2，14，98，686}，…{286，2002}共246組數(shù)里，在前五組中每組至多能取2個(gè)，至少有10個(gè)不能取，在有3個(gè)數(shù)的組里，共至少有31個(gè)不能取，在2個(gè)數(shù)組里至少有210個(gè)不能取，故最多能取2014﹣10﹣31﹣210＝1763個(gè)數(shù)，在這1763個(gè)數(shù)中，答：任取其中